2025年中考數學一輪復習相似三角形一動點問題訓練小專題

1.如圖，在等腰RtZXASC中，ZABC=90°,AB=BC=4cm,點。為3c延長線上一點，且

CD-2cm.現有一動點尸從點/出發，沿方向勻速運動，速度為lcm/s；同時，動點。

從點/出發，沿AC方向勻速運動，速度為J5cm/s.過點。作龐〃/「，交P。的延長線于

點、E,連接BE.設運動時間為f(s).(0<r<4)

⑴試猜想P。與BC的位置關系，并證明.

(2)當f為何值時，DE±BE?

(3)直接寫出四邊形BCQP的面積S(cm)與f(s)之間的函數關系式.

(4)取5E中點連接加并延長，交BC于點、N,隨著時間f的變化，N點位置是否發生變

化？若發生變化，請說明理由；若不發生變化，請求出的值.

2.直線丁=-工+2與x軸、>軸分別交于點A、點C,拋物線經過點A、C,且無軸的另一

個交點為3(-1，。).

圖1圖2

答案第1頁，共51頁

(1)求拋物線的解析式；

(2)點。為第一象限內拋物線上的一動點.

①如圖1,若CD=AD,求點。的坐標；

②如圖2,8。與AC交于點E,求Sc°E：SCBE的最大值.

3.如圖所示，四邊形ABC。是矩形，E是BC的中點，射線AE與OC的延長線交于點尸，

(1)判斷/產與/G4E是否相等？并說明理由；

(2)若AB=4,BC=6.

①求sinZDAG的值；

②線段AF上有一動點尸(不與端點重合)，線段AG上有一點。，ZQPG=ZF,若PQG是

等腰三角形，求AP的長.

答案第2頁，共51頁

4.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,動點P從點3出發，沿線段8A以

每秒2個單位長度的速度向終點A運動，同時動點。從點A出發，沿折線AC-CB以每秒2

個單位長度的速度向點8運動.當點尸到達終點時，點。也停止運動，設運動的時間為f秒.

(1)求AB的長;

(2)當。在AC上運動時，若以點A、P、。為頂點的三角形與VABC相似，求f的值.

5.【問題情境】在矩形A3。中，點E為邊BC上一個動點，連接AE.將ABE沿AE翻折,

圖1圖2備用圖

【探究發現】

(1)如圖1,若BC=?B,求NAFD的度數;

(2)如圖2,當AB=4,且砂=EC時，求3C的長.

【拓展延伸】

(3)若矩形ABCD滿足A3:3C=2:3,點E為邊BC上一個動點，將矩形ABCD沿AE進行

答案第3頁，共51頁

翻折，點C的對應點為C',當點E,C,。三點共線時，求/BAE的正切值.

6.如圖，在菱形中，/ABC為銳角，E是對角線AC上的一個動點(0<AE<(AC),

連接BE,DE.

BCBM

圖2圖3

(D如圖1,求證：BCE當DCE；

(2)如圖2,在AB左側作=延長OE分別交AB5產于點RG.

2

①當8歹=4,cosNC8E='時，求FG的長;

②如圖3,在BC上截取3M=瓦"連接交班于點連接DW交對角線AC于點N,

求證：四邊形MNEH是平行四邊形.

7.圖1,在平面直角坐標系中，RtOAB的直角邊04在y軸的正半軸上，且。4=6,斜邊

08=10,點P為線段上一動點.

答案第4頁，共51頁

(1)請直接寫出點8的坐標；

⑵若動點P滿足NPOB=45°,求此時點P的坐標；

(3)如圖2,若點E為線段02的中點，連接PE,以PE為折痕，在平面內將VAPE折疊，點

A的對應點為A,當PAU08時，求此時點尸的坐標；

(4)如圖3,若尸為線段AO上一點，且A尸=2,連接尸尸，將線段尸尸繞點尸順時針方向旋

轉60。得線段FG,連接OG,當OG取最小值時，請直接寫出OG的最小值和此時線段尸P掃

過的面積.

8.如圖，RtZXABC中，ZACB=90°,AC=3cm,A5=5cm,動點P從點8出發，8A邊

上以每秒3cm的速度向點A勻速運動，同時動點。從點C出發，在C8邊上以每秒2cm的速

度向點B勻速運動，運動時間為t秒(0＜，＜；),連接尸Q.

(1)當/為何值時，以8、P、。為頂點的三角形與VABC相似;

(2)當f為何值時，2尸。為以尸Q為腰的等腰三角形；

答案第5頁，共51頁

(3)連接AQ,CP,若AQLCP,直接寫出t的值.

9.在VABC中，已知/3=45。,/。=30。,47=8,點T是射線CB上一動點，聯結AT,在AT

右側作等腰直角ATK,即AT=AK,NA1K=9O。.

⑴如圖(a),當點K落在線段AC上時，求線段BT的長度;

(2)如圖(6),當點7在線段BC上且點K在VABC內部(不包括邊界)時，聯結CK,設BT=尤,

AKC面積為乃即5AA~求>關于x的函數解析式及定義域;

(3)若點K落在VABC某一邊垂直平分線上時,具體求出線段的長度.

10.在等邊VABC中，AM為中線，。是線段上的動點(不與點M、C重合)，將線段DM

繞點。順時針旋轉120。得到線段DE.

答案第6頁，共51頁

①求證：。是MC的中點；

②AE與EN的位置關系是,NE與的數量關系是；

⑵如圖2,若在線段所上存在點尸(不與8、M重合)使得C、尸兩點關于點。中心對稱,

連接AE、EF,線段AE、EF存在怎樣的關系，請說明理由.

11.如圖，已知點A(2,0),8(0,4),NAOB的平分線交AB于C,一動點P從。點出

發，以每秒2個單位長度的速度，沿y軸向點8作勻速運動，過點P且平行于的直線

交x軸于Q,作點P、Q關于直線OC的對稱點〃、N.設點尸運動的時間為f(0<1<2)

(1)用含f的代數式表示點M,N的坐標，M點的坐標為N點的坐標為

答案第7頁，共51頁

⑵求。點的坐標.

⑶設MNC與△OA^重疊部分的面積為S.試求S關于％的函數關系式.

12.如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=2x+2的圖象與》軸交于點Z,與反比

3

⑵點。是X軸正半軸上一點，連接5C交反比例函數y=丁(%>0)于點。，連接AD,若

2x

的面積為1,求黑；

⑶在(2)的條件下，點￡是x軸上的一動點，點尸在y=2x+2圖象上，當DEF為等邊三

角形時，請直接寫出點E的坐標，并寫出其中一個點E坐標的求解過程.

答案第8頁，共51頁

13.如圖，已知梯形ABCD中，AD//BC,ZBAD=90°,AD=1cm,AB=BC=4cm,P

為一動點從點B出發，沿Aj￡＞方向，以Icm/s的速度向由點B向點。運動；Q為另一

動點，從C出發，沿C＞￡＞方向，以lcm/s的速度向由點C向點。運動，當其中一動點到達

圖1圖2

⑴如圖1,當P運動f秒時，恰好有PADsCBP,求f的值；

(2)如圖2,過點。作QE，于點E.

①在運動過程中，是否存在f秒時，使得以尸、A、。為頂點的三角形與ACQE相似？若存

在，請求出所有符合條件的f的值；若不存在，請說明理由.

②在運動過程中，是否存在f秒時，使得以P、。、。為頂點的三角形恰好是等腰三角形？

若存在，請求出所有符合條件的f的值(直接寫出答案)；若不存在，請說明理由.

14.【綜合與實踐】

如圖，在Rt^ABC中，點。是斜邊上的動點(點。與點A不重合)，連接C。，以CD為

直角邊在8的右側構造RSCDE,NDCE=90°,連接8E,柒=等=根.

【特例感知】

(1)如圖1,當機=1時，BE與AD之間的位置關系是一，數量關系是一.

【類比遷移】

(2)如圖2,當相學1時，猜想班與AD之間的位置關系和數量關系，并證明猜想.

答案第9頁，共51頁

【拓展應用】

(3)在(1)的條件下，點歹與點C關于。E對稱，連接DF,EF,BF,如圖3.已知AC=8,

設AD=x,四邊形COPE的面積為九

①求y與X的函數表達式，并求出y的最小值；

②當B尸=2時，請直接寫出AD的長度.

圖1圖2圖3

15.已知拋物線y=-2Y+4x+6與x軸相交于2、B兩點，與>軸相交于點C,點。為頂點.

(1)直接寫出A、B、C、。四個點的坐標；

⑵如圖1,點尸為拋物線對稱軸(直線/)上的動點，求當點P在什么位置時，|P8-PC|取

答案第10頁，共51頁

得最值？最值是多少？

⑶如圖2,在第一象限內，拋物線上有一動點交BC于點E,求黑MF的最大值.

答案第11頁，共51頁

《2025年中考數學一輪復習相似三角形一動點問題訓練小專題》參考答案

1.(l)PQ//BC,證明見解析

(2)當f值為1時，DE±BE

_12

⑶S四邊形BC°P-8-]f

(4)N點位置不發生變化，BN=2cm,理由見解析

【分析】(1)證明APQ-ABC,得出NAPQ=NABC=90。即可證明結論；

(2)先求出AP=PQ=rcm,3P=PE=(4-f)cm,證明四邊形CDE。是平行四邊形，得出

QE=CD=2cm,進而列方程求出結論；

(3)根據S四邊形BCQP=SABC-SAPQ即可求出；

(4)證明BMN9EMQ,得出8N=QE=2cm,即可得出結論.

【詳解】(1)解：PQ//BC,理由如下：

由題意得：AP=fem,AQ=V2fcm,

AB=BC=4cm,

\AC='42+42=4&cm，

、AP_AQ_t

AB-AC-4?

ZA=ZA,

\APQsABC,

\1APQ?ABC90?,

/.PQ//BC.

(2)解：」？ABC90?,ABBC=4cm,

ZA=ZACB=45°,

DELBE,DE//AC,

BEA.AC,

:.ZCBE=45°f

\?PBE45?,

1APQ90革巴A=45?,

\1PBE1PEB45?,AP。是等腰直角三角形，

/.AP=PQ=tcm,BP=PE=(4—/)cm,

答案第12頁，共51頁

PE//BC,DE//AC,

.?.四邊形⑺￡。是平行四邊形，

\QE=CD=2cm,

PE=PQ+QE,

\4-t=t+2,

解得：t=l,

「?當，值為1時，DELBE；

(3)解：ZAP。=/ABC=90。，AP=PQ=tern,AB=BC=4cm,

\S四邊形BC°P=1■倉珞4-g創r=8-52；

(4)解：N點位置不發生變化，BN=2cm,理由如下：

如下圖：

\?BNM征QM,NBM=?QEM,

〃是班中點，

BM=EM,

\BMN烏EMQ,

\BN=QE=2cm,

，隨著時間/的變化，N點位置不發生變化，BN=2cm.

【點睛】本題考查的是相似三角形判定與性質、全等三角形判定與性質、平行四邊形的判定

與性質，勾股定理的應用，求函數解析式等知識，熟練掌握這些知識是解題關鍵.

2.(1)y——X2+%+2

(2)①點O的坐標為(四,夜)；②g

【分析】(1)先利用一次函數解析式求點C和點A的坐標，再設出交點式，將點C的坐標代

入求解；

答案第13頁，共51頁

(2)①先利用等腰直角三角形的性質可判定點。在直線y=x上，則可設設D(〃z,m)(根>0),

然后把。代入y=-r+x+2中求出點。的坐標；②作。尸〃》軸交AC于尸，BG〃y軸交

DF

直線AC于G,先證明DEFsBEG,再結合三角形面積公式得到S：S，設

BCJ

。0，-產+t+2)(O</<2)得到尸(04+2),求出￡)尸，進而求解.

【詳解】(1)解：當x=0時，y=-x+2=2,

則C(0,2),

當y=0時，-x+2=0,

解得x=x=2,

則A(2,0),

設拋物線解析式為>=a(x+D(x-2),

把C(0,2)代入得axlx(-2)=2,

解得〃=-1,

???拋物線解析式為y=-(x+D(尤-2),

即y=-爐+/+2；

(2)角軍：?-OA=OC,

??.(MC為等腰直角三角形，

DC=DA,

???點。在AC的垂直平分線上，

即點。在直線、二%上，

設。(帆m)(m>0),

才巴D(m,根)代入y=-x2+x+2

得-m2+m+2=m,

解得叫=6,恤=-V2(舍去),

.?.點。的坐標為(0,0);

②作。尸〃y軸交AC于尸，8G〃y軸交直線AC于G,如圖2,

答案第14頁，共51頁

DF//BG,

：./\DEFs^BEG,

DEDF

BE-BG

DE

~BG

DF

…0CDE?°

當x=_l時，y=-x+2=3,

則G(-l,3).

設+1+2)(0<r<2),

則F(t,-t+2),

DF~~~t~+/+2-(—t+2)---t~+2t,

_DF—+Z_

,?°CDE-°CBE_BG_3_3VI

當t=l時，sCDE:SCBE的最大值為~.

EX'

F

舊O\

圖2

【點睛】本題考查了二次函數的綜合題：熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征和二次函數

的性質；會利用待定系數法求二次函數解析式；把三角形面積的比轉化為線段的比和利用相

似比表示線段之間的關系是解決此題的關鍵；理解坐標與圖形性質.

3.(1)ZF=ZGAE,理由見解析

【分析】(1)由折疊可知ZBAE=NG4E,由平行線可知/BAE=/尸，等量代換即可得解；

(2)①先求出CO=A2=4,AO=3C=6,ZD=90,在RtADG中，利用勾股定理建立方

程求得DG,再求得AG=FG=325,根據三角函數的定義即可得到答案；

4

②分尸G=GQ,PQ=GQ和PQ=PG三種情況分別進行解答即可.

答案第15頁，共51頁

【詳解】（1）解：/F=/GAE,理由如下:

???將ABE沿AE翻折，得到ABrE,

???NBAE=/GAE,

???四邊形ABC。是矩形，

ABCD,

/BAE=ZF,

???ZF=ZGAE；

（2）解：①由（1）知NF=NG4E,

：.GA=GF,

???石是3C中點，

:.BE=CF,

在ABE^中，

'ZBAE=ZF

<ZAEB=ZFEC,

BE=CE

：.ABEmFCE（AAS）,

???AB=CF,

???四邊形A3C。是矩形，

CD==4=CF,AD=BC=6,/D=90°,

:.DF=CD+CF=8,

設OG=x,貝I]AG=FG=8—

在RtAOG中，AD2+DG2=AG2,

即x2+62=（8-x）2,

解得％=：7，

4

25

/.AG=FG=8-x=—,

4

?/八

sinNZ）/4lGc-.D...G..=—7?

AG25

②在RtADF中，AF=^AD2+DF2=A/62+82=10-

?；尸。G是等腰三角形，分三種情況討論：

答案第16頁，共51頁

當尸G=G。時，此時,P與斤重合，舍去;

當PQ=G。時，如圖,

ZQGP=ZQPG=ZF=ZFAG,

APGsAGF,

.AP-AG

**AG-AF?

4八AG2125

二.AP=------=——

AF32

當尸。=PG時，如圖,

NPAQ=ZQPG=NF,

ZPQG=ZPAQ+ZAPQ=ZQPG+ZAPQ=ZAPG,

ZAPG=ZPGQ,

25

/.AP=AG=—

4

綜上所述，若PQG是等腰三角形，人尸1=2等5或亍25.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質、勾股定理、相似三角形的判的和性質、等腰三角形的

判定與性質、全等三角形的判定和性質、解直角三角形等知識，分類討論是解題的關鍵.

4.(1)10

c20T25

⑵"豆或豆

【分析】本題考查了勾股定理，動點問題，相似三角形的性質與判定，分類討論是解題的關

答案第17頁，共51頁

鍵.

(1)根據勾股定理直接求解；

(2)根據題意列出代數式，分當/PQA=90。和/QPA=90。時兩種情況，根據相似三角形

的性質列出比例式，解方程即可求解.

【詳解】(1)解：在RtZXABC中，由勾股定理，得A32=BC2+AC2,

43=&2+82=10,

故答案為：10;

(2)解：由題意，得AP=10-2LAQ=2t,

①當NPQA=90°時，APQsABC,

.AP_AQ

.10-2/_2r

??=，

108

解得，w20，

②當NQP4=90。時，AQPsABC,

.AP_AQ

**AC-AB?

.10—2/2t

??—,

810

解得:亍25，

綜上所述，當方=520■或2三5時，以點力、尸、。為頂點的三角形與VABC相似.

5.(1)120°；(2)40;(3)或1.

【分析】(1)由矩形的性質和銳角三角函數定義，得乙鉆。=60。，再由折疊性質得：=

故AABF是等邊三角形，即可得結論；

(2)由折疊性質得：BF1AE,EF=EB,則3c=2￡8,再證ABE^BCD,根據相似

的性質可得BC的長；

(3)分類討論且結合作圖，當點E在B、C之間時，得DE=AD=BC=3n,運用勾股定理

得CE7DE?-CD。=島，BE=g-布)n,故tanZBAEn”,；當E與C重合時，

BE=BC=3n,tanN8AE=空=一，即可作答.

AB2

【詳解】解：(1)四邊形ABC。是矩形，

答案第18頁，共51頁

AD=BC,ZBAD=9Q°,

BC=MAB,

AD=也AB,

Ari「

/.tanZABD=—=<3,

AB

ZABD=6Q°,

由折疊的性質得：AF=AB,

△A3尸是等邊三角形，

ZAFB=60°,

/.ZAFD=180°-ZAFB=120°；

(2)由折疊的性質得：BFLAE,EF=EB,

/BGE=90。,

EF=EC,

EF=EC=EB,

??.BC=2EB,

四邊形A5CD是矩形，

ZABC=ZBCD=90°,AB=CD=4,

ZBAE+ZAEB=90°,ZCBD+ZAEB=90°,

??.NCBD=/BAE,

/BCD=ZABE,

ABEsBCD,

，絲=型，即41J

BCCD~^=—

BC=472(負值已舍去)，

即BC的長為4夜；

(3)設AB-2rl,BC=3n,

分兩種情況：當點E在2、C之間時，

答案第19頁，共51頁

由折疊的性質得：ZAEC=ZAECf

■:/BEC=ZDEC,

ZAEB=ZAED,

9：AD//BC,

：.ZAEB=ZDAE,

NDAE=/AED,

DE=AD=BC=3〃，

在Rt^CDE中，CE=^DE--CD2=>BE=(3-^n,

3-J5

???tanZBAE=—―;

2

當月與C重合時，BE=BC=3n,

：.tanZBAE=—=~；

AB2

綜上所述，/BAE的正切值為三史或之.

【點睛】本題考查了矩形的性質，解直角三角形的相關運算，勾股定理，相似三角形的判定

與性質，折疊性質，難度適中，綜合性較強，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵.

6.(1)證明見解析

(2)①歹G=3；②證明見解析

【分析】(1)根據菱形的性質利用SAS即可求證；

(2)根據全等三角形的性質和菱形的性質可得NCBE=/CDE=/ABP=/BFG,即得

2

BG=FG,過點G作GH_L8尸于H,由cos/ABP=—求出BG即可求解；

3

(3)延長BC至Q,證明FBMsABC得NBMF=NBCA,即得M尸〃AC,再由

DAF^DCM(SAS)和ABE也AD￡(SAS)可得=,即得BE〃DM,即可求

證.

【詳解】(1)證明：???四邊形A2CD是菱形，

答案第20頁，共51頁

BC=DC,ZBCE=ZDCE,

又???CE=C-

.??BCE空DCE(SAS)；

(2)解:①??,BCE沿DCE,

：.ZCBE=ZCDE,

?.?ZABP=ZCBE,

：.ZCBE=ZCDE=ZABP,

???四邊形ABC。是菱形，

:.AB//CD,

：.ZBFG=ZCDE,

：.ZABP=ZBFG,

：.BG=FG,

過點G作G”_L5產于H,則BH=FH=；BF=2,NBHG=90。,

圖2

2

cosACBE=—,

3

2

cosZABP=—,

3

?BH_2

??二一—f

：.BG=3,

：.FG=3；

②延長BC至Q,

圖3

答案第21頁，共51頁

???四邊形MCD是菱形，

：.BA=BC=CD=AD,ZDAF=ZDCM,ABDC,

u：BM=BF,

BFBM——

----=------,AF=CM,

BABC

又?:ZFBM=ZABC,

/.FBMsABC,

NBMF=NBCA,

：.MF//AC,

即MH//EN,

在ADAF和△DCM中,

AD=CD

<ZDAF=ZDCM,

AF=CM

：.DAF^DCM(SAS),

：.ZADF=ZCDM,

在ABE和VAO石中，

AB=AD

<ZBAE=ZDAE,

AE=AE

；.ABE沿ADE(SAS),

/.ZABE=ZADE,

：.ZABE=ZCDM,

?：ABCD,

；.ZABC=ZDCQ,

：.ZABE+ZEBC=ZCDM+ZDMC,

:?NEBC=/DMC,

：.BE//DM,

即HE〃肱V,

MH//EN,

答案第22頁，共51頁

四邊形MNE”是平行四邊形.

【點睛】本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定和性質，三角函數，相似三角形的判定

和性質，等腰三角形的判定和性質，平行四邊形的判定，正確作出輔助線是解題的關鍵.

7.(1)3(8,6)

⑵*，6)

⑶

(4)OG的最小值為4,

【分析】(1)利用勾股定理求出AB即可；

(2)如圖1中，過點P作尸H1.03于點7/.設PH=OH=x,構建方程求出x,再利用相似

三角形的性質求出尸8即可；

(3)如圖2中，設P4交08于點T.利用相似三角形的性質求出ET,再求出P8,可得結

論；

(4)如圖3中，以AF為邊向右作等邊△AFK,連接KG,延長KG交無軸于點R,過點K

作于點J.KQLOR于點。，過點。作OWLKR于W.證明AKP/狂G(SAS),推

出NPAF=NGKF=90。，推出點G在直線KR上運動，當點G與W重合時，OG的值最小.

【詳解】(1)解：如圖1中，在Rt498中，ZOAB=90°,0A=6,03=10,

.-.AB=VOB2-OA2=V102-62=8-

..8(8,6)；

(2)解：如圖1中，過點P作/WL08于點

PH=OH,

設PH=OH=x,

,ZB=ZB,ZBHP=ZBAO=90°,

BHPsBAO,

答案第23頁，共51頁

.PH_BH_PB

"AO-BA-OB'

,x_BHPB

45

/.BH=—x,PB=—x

33f

4

XH--X=10.

3

:.PA=AB-PB=S--=-,

77

圖2

:.EA=EO=EB=5,

NEAB=ZB,

由翻折的性質可知ZEAB=ZA\

ZA=ZB,

ArP±OB,

/.ZETAr=ZBAO=90o,

△NXEsXBAO,

.A宏ET

?5_ET

,,一，

106

:.ET=3,BT=5-3=2,

「BTAB

cosB==,

PBOB

?2_8

.?詬一記‘

答案第24頁，共51頁

PB=-

2

AP=AB-PB=S--=—

22

喂，6，;

（4）解：如圖3中，以AF為邊向右作等邊△AFK,連接KG,延長KG交x軸于點R,過

點K作KJJ.AF于點J.KQLOR于點Q,過點。作OWLKR于W.

ZAFK=ZPFG=60°,

FA=FK,FP=FG,

AFP^在G(SAS),

NPAF=NGKF=90。,

二.點G在直線KR上運動，當點G與W重合時，OG的值最小,

KJ.LOA,KQLOR,

Z.KJO=ZJOQ=ZOQK=90°,

.??四邊形WQK是矩形，

/.OJ=KQ,JK=OQ,

KA=KF,KJ±AF,

AJ=JF=1,KJ=6,

KQ=OJ=5,

ZKRQ=360°-90°-90°-120°=60°,

邯=￡即=當,

OR=g^=迫,

33

/.OW=ORsin600=4,

??.OG的最小值為4,

答案第25頁，共51頁

OF=OW=4,ZFOW=60°,

???尸ow是等邊三角形,

:.FW=4,BPFG=4,

.??線段FP掃過的面積=6°爰：42=?

3oO5

【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相

似三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全

等三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

?八、10-16

8.(1)一或——

1123

.32

⑵行或三

(3)”

-24

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理、等腰三角形的定義等知識點,

由三角形相似得出對應邊成比例是解題的關鍵.

(1)先根據勾股定理求出BC,分BPQsBAC、BPQs2CA兩種情況，再根據相似三

角形的性質列出比例式即可求解；

(2)根據VBPQ是以PQ為腰的等腰三角形分PB=PQ,=兩種情況討論，根據平行

線分線段成比例，相似三角形的性質列出比例式，即可求解；

(3)如圖：過P作于點跖AQ,CP交于點N,則PMAC,可證BPMBAC,

根據相似三角形的性質可得Wf12PM=9"再根據ACQsCMP得出A妥C=*CO,

55CMMP

然后代入數據計算即可.

【詳解】(1)解：ZACB=90°,AC=3,AB=5,

/.BC7AB2-AC?=525-9=4,

與VABC相似，且N3=N5,

，當BPQs歷IC時,BPBQ

3t_4-2t

T-4

10

t=—,

11

BPBQ

當BPQs3cA時,

答案第26頁，共51頁

.3t_4-2t

??=，

45

16

，，r-23；

綜上，r=g或t=*時，以8、P、。為頂點的三角形與ABC相似;

(2)①當PB=PQ時如圖1,過點尸作PELBC于￡,

②當8。=尸。時，如圖2,過。作QGLA8于G,

綜上所述：當r="或、時，VBPQ是等腰三角形；

(3)過點尸作尸于點M,AQ,CP交于點N,如圖3所示:

答案第27頁，共51頁

B

/A\TQAC1BC,

圖3

/.PMBsACB.

PB_BM_PM

129

BM=—t,PM=-t

55

12

:.MC=4-—t,CQ=2t,

ZNAC+ZNCA=9009ZPCM+ZNCA=90°,

:"NAC=/PCM,

ZACQ=ZPMC,

ACQsCMP,

.CQ_AC

,?PM-CM'

?2t_3

9.(1)BT=4-1V3；

(2)y=—2A/3.X+8V3-8,。(尤＜4-1A/3,

(3)27=46-4或BT=4.

【分析】(1)如圖，過工作AE,8c交BC于點E,先求出三角形的另兩邊長，根據勾股定

理得至IJCT=?石，進而即可解；

(2)如圖，過K作修，BC交3c于點過T作TGLA8交AB于點G,先證ATG^THK,

ATTG]

得出行===K，進而可得出AT,GT,K”與X的關系，用三角形面積的和差即可表示

1KKH72

出AKC面積，最后利用K在VABC內部(不包括邊界)的條件即可得出定義域；

(3)點K落在VABC某一邊垂直平分線上時，分三種情況討論即可得解.

答案第28頁，共51頁

【詳解】（1）解：如圖，過N作4ELBC交3C于點E,

,/NB=45°,ZC=30°,AC=8,

AE=BE=-x8=4,

2

根據勾股定理得，AB=A6,CE=46,

：.BC=4+4A/3,

?..在瓦CAT中，ZC=30°,AC=8,NE4K=90°,

AT='-TC,

2

,根據勾股定理得，CT?=82,

CT=—V3,

3

57=4+473-—V3=4--V3；

33

(2)解：如圖，過K作交BC于點”，過7作TG_LA3交A8于點G,

AATK=ZAKT=45°,

根據勾股定理得，TK=6AT，

'：4=45。，

ZBAT+ZBTA=ZKTH+ZBTA=180°-45°=135°,

ZBAT=ZKTH,

,/ZAGT=ZKHT=9Q°,

：.ATGsTHK,

答案第29頁，共51頁

ATTG1

??天―初_忑，

VZB=45°,

???根據勾股定理得，BT=y/2GT=x^

：.KH=x,GT=BG=-x,

2

AG=AB-BG=4?—Jx,

2

工根據勾股定理得，4f2=%2—8%+32,

??UAKC-uABC°ABT°CKT

=^4+4\/3jx4-^-x4V2x^-x-^-x^4+4^-xjxx-^x2-8x+32)

=-2氐+8石-8,

y——2*\/3x+85/3—8,

由(1)知，當點K落在線段AC上時，BT=x=4-；C,

當點K落在線段8c上時，BT=x=O,

.??函數的定義域為0<x<4-

(3)解：點K落在VABC某一邊垂直平分線上時，可分三種情況，

①如圖，當點K落在A8邊垂直平分線上時，過點7作771/_LAB交的延長線于M點，設

AB的垂直平分線交AB于點N,

:?AN=BN=2C，^TAM+ZMAK=ZMAK+ZAKN=90°,ZAMT=ZANT=9Q°,

：.ZTAM=ZAKN,

;AT=AK,

；.ATM^KAN(AAS),

：.AN=TM=2A/2，

ZABC=45°,

答案第30頁，共51頁

NTBM=ZABC=45°,

BM=MT=20，

■-BT=0x2及=4，

②如圖，當點K落在AC邊垂直平分線上時，過點T作:TO,AC交AC于M點，設AC的垂

直平分線交AC于點。，

AQ=CQ=4,

由①可證得ATD咨KAQ(AAS),

：.TD=AQ=4,

在RtC￡>T中，ZACB=30°,

：.CT=8,

：.87=4指+4-8=4百-4,

③如圖，當點K落在3c邊垂直平分線上時，過N作3C的平行線，與過點K作KRJ.BC交

8c于R點的直線交于點尸，過點T作7。，4「交尸4的延長線于。點，

KPAE,

；.K在直線KP上運動，

由①可證得AT。也KAP(AAS),

TO=AP=ER=4,

：.RC=BC-ER—EA=4y^-4<g(4+46

答案第31頁，共51頁

不是BC邊的中點，

4=45。,"=30。，

ABAC=180°-30°-45°=105°,

/.VA8C為不等腰三角形，

.??K不可能落在2C邊的垂直平分線上，

綜上所述：取=46-4或87=4.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理,

等腰直角三角形的性質，垂直平分線的性質，一次函數的解析式等知識點，熟練掌握其性質，

準確作出輔助線是解決此題的關鍵.

10.(1)①見解析；②AE1EM,AEfEM

(2)AE±EF,AE=^3EF,見解析

【分析】⑴①旋轉，得到4TOE=120。，DM=DE,進而得到NEDC=60。，證明CDE為

等邊三角形，得到CD=DE,進而得到C￡)=。"，即可得證；

②等邊對等角，得至U/MED=N￡MZ)=gx(180°-120°)=30°,角的和差關系求出

AMEC=ZMED+ZCED=90°,進而得到根據三線合一結合含30度角的直角三

角形的性質，推出4￡=石雨即可；

(2)過點E作AC平行線，交BC于點G,交AM于點“，證明△￡?G為等邊三角形，得

到==NDEG=60。,連接EM,推出=90。，三線合一結合教的和差

關系推出=根據含30度角的直角三角形的性質，推出即

HM=也MG,進而得到—=?=V3,等量代換網=空■=6,證明△AHE^FME,

CGMGFMEM

即可得出結論.

【詳解】(1)解：①證明：???將線段。M繞點。順時針旋轉120。得到線段OE,

AZMDE=no0,DM=DE,

：.NEDC=180°-ZMDE=60°,

：VA8C為等邊三角形，

ZC=60°,

ZCED=180°-NEDC-ZC=60°,

答案第32頁，共51頁

CZJE為等邊三角形，

CD=DE,

：.DM=CD,即。為MC中點.

②；NMDE=120°,DM=DE,

：.ZMED=ZEMD=|x(180°-120°)=30°,

：CUE為等邊三角形，

，ZCED=60°,

AMEC=/MED+ZCED=90°,

AELEF,

?.?等邊VABC中，AM為中線，

ZMAC^-ZBAC^30°,

2

：.ME=-AM,

2

AE=MME；

(2)過點K作AC平行線，交BC于點G,交AM于點”,

ZEGD=ZC=60°,

又,/ZEDG=180°-ZMDE=60°,

△EOG為等邊三角形，

DG=DE=DM,ZDEG=6Q°,

連接EM,

VZMDE=120°,DM=DE,

：.NDME=ADEM=30°,

ZMEG=ZMED+NDEG=90°,NFME=180。—ZDME=150°,

ZMEH=90°,

?；VA8C為等邊三角形，AM為中線，

答案第33頁，共51頁

...AMLBC,

：.ZAHE=AAMC+AEGD=150°,ZHME=90°-ZDME=60°,

ZAHE=ZFME,

在中，/HME=60。,

：.ZMHE=30°,

/.EH=6EM,

VC,廠兩點關于。中心對稱，

???CD=DF,

：.CD-DG=DF-DM,^FM=CG,

在RtZXHMG中，NMHE=30。，

HM=6MG,

GH//AC,

AHCG

HM~MG

AH

~CG

”FM=CG,,

AH

FM

Z\AHES/\FME,

AE

2AEH=NMEF,

~EF

AE=拒EF,ZAEF=ZAEH+ZHEF=NMEF+NHEF=ZMEH=90°,

即AE_L￡F.

綜上，AE±EF,AE=6EF.

【點睛】本題考查等邊三角形的判定和性質，旋轉的性質，含30度角的直角三角形的性質，

勾股定理，相似三角形的判定和性質，熟練掌握相關知識點，添加輔助線，構造特殊圖形,

是解題的關鍵.

11.（l）M（2?,0）,N（0j）.

答案第34頁，共51頁

44

⑵C

3,3

-z2+2/(0<r<1)

⑶s=<J?-2/+|(l<?<2)

【分析】本題是運動型綜合題，涉及二次函數與一次函數、待定系數法、相似、圖形面積計

算、動點問題函數圖象等知識點，正確地進行分類討論，是解決本題的關鍵.

(1)根據平行線分線段成比例得出空=至，進而得出OP=202,進而得出P,。的坐標，

OBOA

根據軸對稱的性質可得ON==OP,即可求解；

(2)證明四邊形CE0P是正方形，設正方形的邊長為無，證明BECsBOA,根據相似三

角形的性質列出比例式，即可求解；

(3)所求函數關系式為分段函數，需要分類討論：圖2,圖3表示出運動過程中重疊部分(陰

影)的變化，分別求解即可.

【詳解】(1)：點4(2,0),5(0,4),

OA=2,OB=4

PQ//AB,

OP_OQpnOP_OQ

OBOA42

OP=2OQ

動點P從。點出發，以每秒2個單位長度的速度，沿y軸向點8作勻速運動,

P(02),

??.2(^0).

ZAOB的平分線交48于C,即對稱軸OC為第一象限的角平分線,

ON=OQ,OM=OP

(2)解：過點C作CP,無軸于點尸，CELy軸于點￡,

答案第35頁，共51頁

圖1

???ZAOB的平分線交A5于C,即對稱軸OC為第一象限的角平分線,

ACE=CF,ZEOC=ZFOC=45°

又?.?。/，九軸于點尸，上,＞軸于點石，

???ZCEO=ZCFO=ZAOB=90°

???四邊形CEO尸是矩形

,/CE=CF

???四邊形CEO尸是正方形，設正方形的邊長為斗

???BE=4-x

.CE〃1軸

BECsBOA

.BECE口口4—xx

..——=——即---=—

BOOA42

4

解得：X=§,

(3)當0UV1時，如圖2所示，點M在線段。4上，重疊部分面積為S.N

圖2