2025年中考數學文化自信搶分練-中國古代數學重

要成就

一、選擇題

1.2021年7月11日至18日，第十四屆國際數學教育大會（ICME14）在上海舉行.如圖是

ICME14的會標，包含了大量的中國數學元素一河圖、洛書、弦圖、八卦等，其中的“弦圖”也是中

國數學會的徽標.下列中國古代數學成就中，與“弦圖”有關的是（）

A.天元術B.正負術C.勾股定理D.楊輝三角

2.我國古代數學的許多創新與發明都曾在世界上有重要影響.下列圖形“楊輝三角”“中國七巧板”“劉

徽割圓術”“趙爽弦圖”中，中心對稱圖形是（）.

3.篆刻是中國獨特的傳統藝術，篆刻出來的藝術品叫印章.印章的文字刻成凸狀的稱為“陽文”，刻

成凹狀的稱為“陰文如圖所示的“希望”即為陽文印章在紙上蓋出的效果,此印章是下列選項中的

（陰影表示印章中的實體部分，白色表示印章中的鏤空部分）（）

帝瞿

B.C.D.

4.在世界數學史首次正式引入負數的中國古代數學著作是（)

A.《孫子算經》B.《九章算術》

C.《算法統宗》D.《周髀算經》

5.三國魏景元四年（公元263年），由我國古典數學理論的奠基人之一劉徽完成了《九章算術注》

十卷，《重差》為第一卷，它是我國學者編撰的最早的一部測量數學著作，亦為地圖學提供了數學基

礎，該卷中的第一個問題是求海島上的山峰的高度，這本書的名稱是（）

A.《海島算經》B.《孫子算經》

C.《九章算術》D.《五經算術》

6.如圖是《九章算術》中“塹堵”的立體圖形，它的左視圖為（）

7.《九章算術》是我國古代最重要的數學著作之一，它的出現標志著中國古代數學形成了完整的體

系.“折竹抵地”問題源自《九章算術》；“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，問折者高幾何？”翻

譯成數學問題是：如圖所示，4ABe中，乙4cB=90。，4。+48=10尺，BC=4尺，求

AC的長.則AC的長為（）

A.4.2尺B.4.3尺C.4.4尺D.4.5尺

8.《九章算術》是我國傳統數學的重要著作之一，奠定了我國傳統數學的基本框架.《九章算術》中

記載：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈.問戶高、廣各幾何？”大意：有一形狀是矩形

的門，它的高比寬多6尺8寸，它的對角線長1丈，問它的高與寬各是多少？利用方程思想，設矩

形門高為%尺，則依題意所列方程為（1丈=10尺，1尺=10寸）（）

A.%2+（%+6.8）2=102B.久2+（%—6.8）2=1（）2

C.%（%+6.8）2=102D.%（%—6.8）2=102

9.《九章算術》成書于公元1世紀，是古代中國乃至東方的第一部自成體系的數學專著，《九章算

術》的算法體系至今仍在推動著計算機的發展和應用.書中記載了這樣一題：“今有程傳委輸（驛站

受托運糧），空車日行七十里，重車日行五十里.今載太倉粟輸上林，五日三返（五天往返三

趟）.問太倉去（距離）上林幾何（多遠）？”用現在的解法，設太倉到上林的距離為x里，可列方

程（）

XX%%_3「_x____5nxx_3

A.+B.+=

50705070550-70=350-70=5

10.我國是最早了解勾股定理的國家之一.據《周髀算經》記載，勾股定理的公式與證明是在商代

由商高發現的，故又稱之為“商高定理”；三國時代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經》內的勾股定理作出了

詳細注釋，并給出了另外一個證明.下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）

11.《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，是《算經十書》之一.書中記載了這樣一個題目：今有

木，不知長短.引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺.木長幾何？其大意是：用一根繩子去

量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺.問木長多少尺？設木長x

尺，則可列方程為（）

11

A.2（%+4,5）=x—1B.2(%+4,5)=%+1

11

C.2（x+1）=x—4.5D.々(Jr—1)=%+4.5

12.我國是最早了解勾股定理的國家之一,它被記載于我國古代著名的數學著作《周髀算經》

中.下列各組數中，是“勾股數''的是（)

A.2,3,4B.4,5,6C.7,8,9D.6,8,10

13.如圖，七巧板起源于我國先秦時期，古算書《周髀算經》中有關于正方形的分割術，經歷代演

變而成七巧板.下列由七巧板拼成的表情圖中，是軸對稱圖形的為（）

14.《算經十書》是指漢、唐一千多年間的十部數學著作，它們曾經是隋唐時代國子監算學科的教科

書，下列數學著作不屬于《算經十書》的是（）

A.《孫子算經》B.《海島算經》

C.《九章算術》D.《算法統宗》

15.北魏數學家張丘建被稱“算圣”，他所著的《張丘建算經》涉及了各種計算問題.其中有一道：

百雞問題“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一.百錢買雞百只，問雞翁母

何”.譯文：已知公雞1只值5錢，母雞1只值3錢，小雞3只值1錢，又知用100錢買到雞100

只，問三種雞各買了多少只？若設公雞買了x只，則下列各值中x不能?。ǎ?/p>

A.4B.8C.12D.16

16.《夢溪筆談》是我國古代科技著作，其中它記錄了計算圓弧長度的“會圓術”.如圖，油是以點。

2

為圓心、OA為半徑的圓弧油的弧長1的近似值計算公式：1=AB+"L.當OA=4,則1的值為

OA

M

A.11-2V3B.11-4V3C.8-2V3D.8-4V3

17.南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算術》一書中，用如圖所示的三角形解釋二項式（a+b尸的展開

式的各項系數，此三角形稱為“楊輝三角”.

(a+i)?........................1

(a+A)i....................11

9+與2...............121

(a+i)1...........1331

(a+ft)4.......14641

(fl+by5...1S101051

根據“楊輝三角”計算（a+b）8的展開式中從左起第四項的系數為（）

A.84B.56C.35D.28

18.勾股定理又稱畢達哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人類早期發現并證

明的重要數學定理之一，大約有五百多種證明方法，我國古代數學家趙爽和劉徽也分別利用《趙爽

弦圖》和《青朱出入圖》證明了勾股定理，以下四個圖形，哪一個是趙爽弦圖（）

19.我國古代的數學家曾寫下了許多數學名著，這些數學著作是了解古代數學成就的豐富寶庫，其

中有不少成就在世界范圍內處于遙遙領先的地位.下列數學名著與其內容搭配不正確的一項是

)

A.《周髀算經》勾股定理

B.《九章算術》負數的概念和正負數的運算

C.《海島算經》三斜求積術

D.《孫子算經》雞兔同籠

20.中國古代重要的數學著作《孫子算經》是《算經十書》之一.書中記載了這樣一個問題：今有

木，不知長短.引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺.木長幾何？其大意是：用一根繩

子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還余1尺.則木長為（）尺.

A.5B.5.5C.6D.6.5

21.《孫子算經》是中國傳統數學口重要著作之一，其中記載的“蕩杯問題”很有趣.《孫子算經》

記載“今有婦人河上蕩杯，津吏問曰：‘杯何以多？‘婦人曰：‘家有客'，津吏曰：‘客幾何‘？婦人曰：

'二人共飯，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五’，不知客幾何？”譯文：“2人同吃一碗飯，3人同

吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65個碗，問有多少客人？”設共有客人久人，則下列方程正確的是

（）

111

A.尹+/+/=65B.2%+3%+4%=65

心C.…65?寫65x+?w65-TpDx.云65,+6/5+,阪65=1

22.我國古代有著輝煌的數學研究成果，其中《算經十書》是指漢、唐一千多年間的十部著名的數

學著作，這些數學著作曾經是隋唐時代國子監算學科的教科書.十部書的名稱是：《周髀算經》、《九章

算術》、《海島算經》、《張丘建算經》、《夏侯陽算經》、《五經算術》、《緝古算經》、《綴術》、《五曹算

經》、《孫子算經》、《算經十書》標志著中國古代數學的高峰.《算經十書》這10部專著，有著十分豐

富多彩的內容，是了解我國古代數學的重要文獻.這10部專著中據說有6部成書于魏晉南北朝時期.

其中《張丘建算經》、《夏侯陽算經》就成書于魏晉南北朝時期.某中學擬從《算經十書》專著中的魏

晉南北朝時期的6部算經中任選2部作為“數學文化”進行推廣學習，則所選2部專著恰好是《張丘

建算經》、《夏侯陽算經》的概率為（）

A-IB-I。?白D,白

23.《算經十書》是指漢、唐一千多年間的十部著名的數學著作，十部書的名稱是：《周髀算經》、

《九章算術》、《海島算經》、《張丘建算經》、《夏侯陽算經》、《五經算術》、《緝古算經》、《綴術》、

《五曹算經》、《孫子算經》.其中在《孫子算經》中有一道題：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩

四尺五，屈繩量之，不足一尺，問木長幾何？”大致意思是：“用一根繩子去量一根木條，繩子剩余

4.5尺；將繩子對折再量木條，木條剩余1尺，問繩子、木條長多少尺？、設繩子長為工尺，木

條長為y尺，根據題意，所列方程組正確的是（）

X-y-十y

A4.-=4.5

-1一1

B.

y-X-

22x=1

x—y=4.5x—y=4.5

C.D.

=1=1

24.勾股定理是人類最偉大的科學發現之一，在我國古算書《周髀算經》中早有記載.如圖1,以直

角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再將較小的兩個正方形分別繞直角三角形斜邊上的兩頂點

A.直角三角形的面積

B.最大正方形的面積

C.最大正方形與直角三角形的面積和

D.較小兩個正方形重疊部分的面積

25.《孫子算經》中有個問題：若三人共車,余兩車空：若兩人共車，剩九人步，問人與車各幾何?

設有x輛車，則根據題意可列出方程為（）

A.3(%+2)=2%-9B.3(%+2)=2%+9

C.3(久-2)=2%-9D.3(%—2)=2%+9

26.勾股定理是人類最偉大的科學發現之一，在我國古算書《周髀算經》中早有記載，如圖以直角

三角形的各邊為邊分別向同側作正方形，若知道圖中阻影部分的面積之和，則一定能求出（）

A.正方形力BED的面積B.正方形力CFG的面積

C.正方形3CMN的面積D.△力BC的面積

27.我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算術》一書中，利用如圖所示的“三角形”解釋二項式

71

（a+b）的展開式的各項系數，止匕三角形”稱為“楊輝三角”.如（a+=/+3a2b+3ab2+爐其展

開式的系數從左起依次是1,3,3,1,請根據“楊輝三角”計算（a+b）8的展開式中從左起第四項的系

數為（）

1

11

121

1331

1464

15101051

1615201561

A.84B.56C.35D.28

二、填空題

28.沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”，其主

要思路是局部以直代曲，給出一個比較實用的近似公式.如圖，43是以。為圓心，。4為半徑的圓

弧，C是的弦中點，CD1AB,。在48上.“會圓術''給出43的弧長的近似值s的計算公式：s=

2

4R當CD=1,4B=6時，s=

-r0A-------------

29.北宋科學家沈括在《夢溪筆談》中曾記載了宋代行軍時的后勤供應情況：人負米六斗，卒自攜

一斗，人食日二升.其大意為，在行軍過程中，民夫可以背負六斗（60升）米，士兵可以自己背一

斗（10升）米，民夫（士兵）每人一天行軍會消耗2升米.

（1）若每個士兵雇傭4個民夫隨其一同行軍，則在沒有其他糧食補充的情況下，背負的米支持行

軍的天數為天；

（2）若每個士兵雇傭ri個民夫隨其一同行軍，則在沒有其他糧食補充的情況下，背負的米支持行

軍的天數為（用含有n的代數式表示）；如果每個士兵雇傭的民夫數量沒有上限，在沒

有其他糧食補充的情況下，背負的米支持的行軍天數有沒有上限？（回答“有”或者“沒

有“）請你說明理由.

30.楊輝三角是中國古代數學的杰出研究成果之一.如圖，在楊輝三角形中，斜線1的上方，從1開

始箭頭所示的數組成一個鋸齒形數列：1,3,3,4,6,5,10,…，用與表示這個數列的第n個

數，則。99+a100=-

31.《九章算術》是中國古代非常重要的一部數學典籍，被視為“算經之首”.《九章算術》大約成書于

公元前200年~公元前50年，是以應用問題解法集成的體例編纂成書的，全書按題目的應用范圍與

解題方法劃分為“方田”、“粟米”、“衰分”等九章.

《九章算術》中有這樣一個問題：

今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.問人數，金價各幾何？

其大意是：假設合伙買金，每人出400錢，還剩余3400錢；每人出300錢，還剩余100錢.問人

數、金價各是多少？如果設有x個人，那么可以列方程為

32.出人相補原理是我國古代數學的重要成就之一最早是由二國時期數學家劉徽創建.“將一個幾何

圖形，任意切成多塊小圖形，幾何圖形的總面積保持不變，等于所分割成的小圖形的面積之和”是

該原理的重要內容之一，如圖，在矩形ABCD中，AB=5,AD=12,對角線AC與BD交于點O,點

E為BC邊上的一個動點，EF±AC,EG±BD,垂足分別為F,G,則EF+EG=.

AD

33.七巧板起源于我國先秦時期，古算書《周髀算經》中有關于正方形的分割術，經過歷代演變而

成七巧板.我校“麒麟團”數學興趣小組用邊長為8的正方形，做了如圖①所示的七巧板.將這個七巧板

拼成如圖②所示的圖形，則圖②中陰影部分的面積為.

①②

34.如圖所示的七巧板起源于我國先秦時期，由古算書《周髀算經》中關于正方形的分割術，經過

歷代演變而成，19世紀傳到國外，被稱為“唐圖”（意為“來自中國的拼圖"）.圖2是由邊長為2的正

方形分割制作的七巧板拼擺而成的"葉問蹬''圖，則圖中拍起的“腿”（即陰影部分）的面積

為.

圖1圖2

35.七巧板起源于我國先秦時期，古算書《周髀算經》中有關于正方形的分割術，經歷代演變而成

七巧板，也被譽為“東方魔板”.如圖把正方形4BCD木板分為7塊，制作成七巧板，若正方形ABC。的

邊長為4,那么該七巧板中第④塊圖形的面積為.

三'解答題

36.我國是最早了解勾股定理的國家之一，漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅如圖1

所示“趙爽弦圖”（邊長為C的大正方形中放四個全等的直角三角形，兩直角邊長分別為4,b,斜邊

長為c）.

性I2圖3

（1）如圖1,請用兩種不同方法表示圖中空白部分面積.

方法1:S陰影=

方法2：S陰影=____________________

根據以上信息，可以得到等式：

（2）小亮將“弦圖”中的4個三角形進行了運動變換，得到圖2,請利用圖2證明勾股定理;

（3）如圖3,將圖2的2個三角形進行了運動變換，若a=6,b=3,求陰影部分的面積.

37.勾股定理是人類最偉大的十個科學發現之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理.在我國古書

《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理,

創制了一幅“弦圖"（如圖①，后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今.

（1）①請敘述勾股定理.

②勾股定理的證明，人們已經找到了400多種方法，請從以下三種常見的證明方法中任選一

種來證明該定理（圖①②③均滿足證明勾股定理所需的條件）.

（2）①如圖④⑤⑥，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊

三角形，這三個圖形中面積關系滿足Si+S2=S3的有▲個.

②如圖⑦，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月牙形圖案（圖中陰影部分）

的面積分別為Si，S2,直角三角形的面積為S3，請判斷S1，S2,S3的數量關系并證明.

四'綜合題

38.我國宋代著名科學家沈括在《夢溪筆談》中記載過有關古代行軍后勤方面的情況，其大意為：

每個民夫最多可以攜帶6斗（1斗=10升）糧食；一個士兵除了武器裝備外，最多可以攜帶10升糧

食；每個士兵和民夫平均每天各消耗2升糧食.

（1）如果每個士兵雇傭一個民夫隨其行軍，那么最多可以支持多少天的行軍?

（2）如果要維持25天的行軍，每位士兵需要雇傭多少位民夫隨其行軍？

五'實踐探究題

39.“楊輝三角”是中國古代數學重要的成就之一，最早出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算

法》中.其規律是：從第三行起，每行兩端的數都是“1”，其余各數都等于該數“兩肩”上的數之和,

如圖1.

第一行

第二行

第三行

第四行

第五行

第六行10

第七行…161520

圖I

(1)求圖1中第8行第5個數是

(2)求圖1中前10行所有的數字之和;

（3）“楊輝三角”的應用很廣泛，例如“堆垛術”，圖2中的立體圖形是由若干形狀、大小相同的圓

1

球擺放而成，從上至下每層小球的個數依次為：L3,6,10,15…記第九層的圓球數記與，求；r+

11

----F…+的值.

a2a2023

答案解析部分

L【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】A

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】A

10.【答案】D

11.【答案】A

12.【答案】D

13.【答案】C

14.【答案】D

15.【答案】D

16.【答案】B

17.【答案】B

18.【答案】A

19.【答案】C

20.【答案】D

21.【答案】A

22.【答案】C

23.【答案】A

24.【答案】D

25.【答案】D

26.【答案】D

27.【答案】B

28.【答案】弓

29.【答案】(1)25

(2)3°n+5.有

sn+1,e

30.【答案】1327

31.【答案】400%-3400=300尤-100

32.【答案】瑞

33.【答案】24

34.【答案】|

35.【答案】2

36.【答案】(1)(b-a)?；c2—4-^ab；c2=b2+a2,

(2)解：VS大正方形二S陰影正方形+4Sa,

2

即(a+b)=c+4?qab,

整理得小+2ab+b2=c2+2ab,

故小+b2=c2;

(3)解：如圖，S陰影=S正方形ABCD-2S△,

Va=6,b=8,

?*?c=V62+82=10,

則S正方形4BCD==10°，

1

S=c2o—2-□ab=100—6?8=52,

陽彰z

故陰影部分的面積為52.

37.【答案】（1）解：（1）①勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊為c,那

^c2=a2+b2-

②選擇圖①，大正方形的面積等于四個全等三角形的面積與中間小正方形的面積之和，

即：=4x2ab+（b—a）2=M%，

選擇圖②，大正方形的面積等于四個全等三角形的面積與中間小正方形的面積之和，

1

即：(a+b)2=4x2ab+/,

化簡得：a2+b2=c2,

選擇圖③，梯形的面積等于三個直角三角形的面積之和,

111

即：2(a+b)2=2x