/安徽省合肥市2024-2025學年高三下冊2月檢測數學試卷一．單項選擇題（共7小題）1．設、是非空集合，定義：且．已知，，則等于A．，，B．，，C．，， D．，，2．為等差數列的前項和，已知，則為A．25 B．30 C．35 D．553．已知展開式各項系數之和為64，則展開式中的系數為A．31 B．30 C．29 D．284．音樂是用聲音來表達人的思想感情的一種藝術．聲音的本質是聲波，而聲波在空氣中的振動可以用三角函數來表示．在音樂中可以用形如的正弦型函數來表示單音，將三個或以上的單音相疊加為和弦．若某和弦由三個單音組成，其中一個單音可以用表示，另外兩個單音的正弦型函數圖象如圖所示，則該和弦的一個周期可能為A． B． C． D．5．已知，分別是橢圓的左、右焦點，是上一點且與軸垂直，直線與的另一個交點為，若，則的離心率為A． B． C． D．6．設函數，，，若的圖象與圖象有且僅有兩個不同的公共點，，，，則下列判斷正確的是A．當時，， B．當時，， C．當時，， D．當時，，7．在正四棱錐中，，，過側棱的延長線上一點作與平面平行的平面，分別與側棱，，的延長線交于點，，．設幾何體和幾何體的外接球半徑分別為和，當最小時，A． B． C． D．二．多選題（共3小題）8．下列說法正確的是A．若樣本數據，，，的樣本方差為9，則數據，，，的方差為16 B．若一組樣本數據的頻率分布直方圖為單峰不對稱，且在左“拖尾”，則樣本數據的平均數大于中位數 C．已知隨機變量，若，則 D．運動員每次射擊擊中目標的概率為0.7，則在11次射擊中，最有可能擊中的次數是8次9．已知實數，滿足，則下列關系式恒成立的有A． B． C． D．10．已知定義在上的函數、，其導函數分別為、，，，且，則A．的圖象關于點中心對稱 B． C．（6）（2） D．（1）（3）三．填空題（共3小題）11．在平面直角坐標系中，單位圓上三點，，滿足：點坐標為并且，在上的投影向量為，則．12．一張方桌有四個座位，先坐在如圖所示的座位上，，，三人隨機坐到其他三個位置上，則與相鄰的概率為．13．若，，使不等式成立，其中為自然對數的底數，則實數的取值范圍是．四．解答題（共4小題）14．已知等差數列的前項和為，且，．當時，．（1）求數列、的通項公式；（2）若，求數列的前項和．15．已知在三棱錐中，，，，，．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的正弦值．16．某學校工會組織趣味投籃比賽，每名選手只能在下列兩種比賽方式中選擇一種．方式一：選手投籃3次．每次投中可得1分，未投中不得分，累計得分；方式二：選手最多投3次．如第1次投中可進行第2次投籃，如第2次投中可進行第3次投籃．如某次未投中，則投籃中止．每投中1次可得2分，未投中不得分，累計得分．已知甲選擇方式一參加比賽，乙選擇方式二參加比賽．假設甲，乙每次投中的概率均為，且每次投籃相互獨立．（Ⅰ）求甲得分不低于2分的概率；（Ⅱ）求乙得分的分布列及期望；（Ⅲ）甲，乙誰勝出的可能性更大？直接寫出結論．17．動圓與圓和圓都內切，記動圓圓心的軌跡為．（1）求的方程；（2）已知圓錐曲線具有如下性質：若圓錐曲線的方程為，則曲線上一點，處的切線方程為：，試運用該性質解決以下問題：點為直線上一點不在軸上），過點作的兩條切線，，切點分別為，．證明：直線過定點；點關于軸的對稱點為，連接交軸于點，設△，△的面積分別為，，求的最大值．

答案與試題解析題號1234567答案BDCCABC一．選擇題（共7小題）1．設、是非空集合，定義：且．已知，，則等于A．，， B．，， C．，， D．，，【分析】先分別求出集合，，然后結合集合的基本運算及已知定義即可求解．解：，，因為時，，當且僅當，即時取等號，所以，，，，，，則，，．故選：．【點評】本題以新定義為載體，主要考查了集合的基本運算，屬于基礎題．2．為等差數列的前項和，已知，則為A．25 B．30 C．35 D．55【分析】由題意和等差數列的性質可得的值，而，代值計算可得．解：由題意和等差數列的性質可得，解得，故選：．【點評】本題考查等差數列的求和公式和等差數列的性質，屬基礎題．3．已知展開式各項系數之和為64，則展開式中的系數為A．31 B．30 C．29 D．28【分析】根據二項式定理相關知識可解．解：令，可得展開式各項系數之和為，得，則展開式通項公式為中的系數為，的系數為，則展開式中的系數為．故選：．【點評】本題考查二項式定理相關知識，屬于中檔題．4．音樂是用聲音來表達人的思想感情的一種藝術．聲音的本質是聲波，而聲波在空氣中的振動可以用三角函數來表示．在音樂中可以用形如的正弦型函數來表示單音，將三個或以上的單音相疊加為和弦．若某和弦由三個單音組成，其中一個單音可以用表示，另外兩個單音的正弦型函數圖象如圖所示，則該和弦的一個周期可能為A． B． C． D．【分析】先求出，分別代入可得結果．解：設圖①和圖②所表示的正弦函數分別為，，由圖①解得．，由圖②解得，所以該和弦可以表示為，則錯誤，錯誤；正確；錯誤，故該和弦的一個周期可能為．故選：．【點評】本題主要考查三角函數的圖象和性質，屬于中檔題．5．已知，分別是橢圓的左、右焦點，是上一點且與軸垂直，直線與的另一個交點為，若，則的離心率為A． B． C． D．【分析】先求出的坐標，根據得出的坐標，根據在橢圓上列方程求解即可．解：不妨設在第一象限，由題意，的橫坐標為，令，解得，即，設，又，，，由可得：，解得，又在橢圓上，即，整理得，解得．故選：．【點評】本題主要考查了橢圓的性質，屬于中檔題．6．設函數，，，若的圖象與圖象有且僅有兩個不同的公共點，，，，則下列判斷正確的是A．當時，， B．當時，， C．當時，， D．當時，，【分析】畫出函數的圖象，利用函數的奇偶性，以及二次函數的對稱性，不難推出結論．解：當時，作出兩個函數的圖象，若的圖象與圖象有且僅有兩個不同的公共點，必然是如圖的情況，因為函數是奇函數，所以與關于原點對稱，顯然，即，，即，同理，當時，有當時，，故選：．【點評】本題考查的是函數圖象，直接利用圖象判斷；也可以利用了構造函數的方法，利用函數與導數知識求解．要求具有轉化、分析解決問題，由一般到特殊的能力．題目立意較高，很好的考查能力．7．在正四棱錐中，，，過側棱的延長線上一點作與平面平行的平面，分別與側棱，，的延長線交于點，，．設幾何體和幾何體的外接球半徑分別為和，當最小時，A． B． C． D．【分析】根據正四棱錐，正四棱臺的結構特征確定外接球的球心、半徑，再結合二次函數的最值求得結果．解：如圖所示：設，則，．過點作平面于點，交平面于點，則平面．設幾何體和幾何體的外接球球心分別為，，由，，得，由得，幾何體的外接球球心為在上，所以，，．在直角△中，，解得．如圖2，幾何體的外接球球心為在上，設，，，則，即，解得，，則，當時，取最小值，即最小，此時．則，，，則與重合．故．【點評】本題考查立體幾何的綜合應用，屬中檔題．二．多選題（共3小題）8．下列說法正確的是A．若樣本數據，，，的樣本方差為9，則數據，，，的方差為16 B．若一組樣本數據的頻率分布直方圖為單峰不對稱，且在左“拖尾”，則樣本數據的平均數大于中位數 C．已知隨機變量，若，則 D．運動員每次射擊擊中目標的概率為0.7，則在11次射擊中，最有可能擊中的次數是8次【分析】根據方差的性質可判斷，根據頻率分布直方圖的性質可判斷，根據正態分布曲線的對稱性可判斷，根據二項分布的概率公式可判斷．解：對于，若樣本數據，，，的樣本方差為9，所以數據，，，的方差為，則數據，，，的方差為，故正確；對于，若一組樣本數據的頻率分布直方圖為單峰不對稱，且在左“拖尾”，則樣本數據的平均數小于中位數，故錯誤；對于，已知隨機變量，若，則，故正確；對于，運動員每次射擊擊中目標的概率為0.7，則在11次射擊中，擊中次的概率為，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，，假設擊中次的概率最大，則，解得，又因為，所以，即最有可能擊中的次數是8次，故正確．故選：．【點評】本題主要考查了方差的性質，考查了正態分布曲線的對稱性，以及二項分布的概率公式，屬于中檔題．9．已知實數，滿足，則下列關系式恒成立的有A． B． C． D．【分析】由指數函數的單調性可知，再結合冪函數、對數函數、正弦函數的單調性逐個判斷各個選項即可．解：實數，滿足，，對于選項：函數在上單調遞增，所以，故恒成立，對于選項：取，，則，故不是恒成立，對于選項，恒成立，恒成立，故恒成立，對于選項：取，，則，故不是恒成立，故選：．【點評】本題主要考查了指數函數、冪函數、對數函數和正弦函數的性質，是基礎題．10．已知定義在上的函數、，其導函數分別為、，，，且，則A．的圖象關于點中心對稱 B． C．（6）（2） D．（1）（3）【分析】由已知結合函數的奇偶性，對稱性，周期性及復合函數的求導檢驗各選項即可判斷．解：由題意得，兩式相減可得①，所以的圖象關于點中心對稱，故錯誤；由可得，所以是偶函數，以替換①中的可得，所以，所以是周期為4的周期函數，故正確；因為，所以也是周期為4的周期函數，即，兩邊求導可得，所以（6）（2），所以正確；由上可知的圖象關于點中心對稱，所以（1），又因為是偶函數，所以（1），又因為是周期為4的周期函數，所以（3），由可得，，所以（1）（3），正確．故選：．【點評】本題主要考查了函數的奇偶性，對稱性，周期性的判斷，還考查了復合函數的求導，屬于中檔題．三．填空題（共3小題）11．在平面直角坐標系中，單位圓上三點，，滿足：點坐標為并且，在上的投影向量為，則．【分析】由題意畫出圖形，分別求出與的坐標，可得、的坐標，則答案可求．解：如圖，由題意，，在上的投影向量為，，可得，，又，，，即，則．故．【點評】本題考查平面向量數量積的性質及運算，考查倍角公式的應用，是中檔題．12．一張方桌有四個座位，先坐在如圖所示的座位上，，，三人隨機坐到其他三個位置上，則與相鄰的概率為．【分析】通過列表展示所有6種等可能的結果數，再找出與相鄰而坐的結果數，然后根據概率公式求解．解：列表為：左面對面右面共有6種等可能的結果數，其中與相鄰而坐的結果數為4，所以與相鄰而坐的概率．故．【點評】本題考查了列表法求古典概型的概率問題：利用列表法例舉所有等可能的結果，再從中選出符合事件的結果數目，然后利用概率公式計算事件的概率．13．若，，使不等式成立，其中為自然對數的底數，則實數的取值范圍是，．【分析】利用同構思想將原始變形，構造新不等式，通過數形結合得到的范圍，由此反推出的范圍．解：由題，原式變形：，移項且兩邊同時加1得，令，原式可得，令，，因為，（1）（1），由下圖圖像可知，當時，可得，，故，所以，因為題目中為存在性命題，且，，所以，解得，即實數的取值范圍是，．故，．【點評】同構題型識別度較高，當題目中同一個參數出現在多個位置，且一般無法分離，同時式子中指數對數冪函數三類形式的函數時，常常想到同構思想來解題．四．解答題（共4小題）14．已知等差數列的前項和為，且，．當時，．（1）求數列、的通項公式；（2）若，求數列的前項和．【分析】（1）根據條件列出關于首項和公差的方程，求出數列的通項公式；，兩邊同時乘以，則，當時，，兩式相減，即可求出的通項公式；（2）由（1）知，，再由裂項相消法求數列的前項和．解：（1）設等差數列的首項為，公差為，由，，可得，故數列的通項公式為．，兩邊同時乘以，則，當時，，當時，，兩式相減，可得，所以，當時，，故滿足，故．（2），所以．故．【點評】本題主要考查數列的求和，考查轉化能力，屬于中檔題．15．已知在三棱錐中，，，，，．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的正弦值．【分析】（1）先證平面，再利用面面垂直的判定定理即可得證；（2）建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，利用向量法求解即可解：（1）證明：取的中點為點，的中點為點，連接，，在△中，，，，，，又，，又，在△中，，，，平面，平面，平面平面；（2）如圖建立空間直角坐標系，則，0，，，，，，，，，，設平面的法向量，則，，設平面的法向量，則，，，，二面角的正弦值為．【點評】本題考查面面垂直的判定，以及向量法的應用，屬于中檔題．16．某學校工會組織趣味投籃比賽，每名選手只能在下列兩種比賽方式中選擇一種．方式一：選手投籃3次．每次投中可得1分，未投中不得分，累計得分；方式二：選手最多投3次．如第1次投中可進行第2次投籃，如第2次投中可進行第3次投籃．如某次未投中，則投籃中止．每投中1次可得2分，未投中不得分，累計得分．已知甲選擇方式一參加比賽，乙選擇方式二參加比賽．假設甲，乙每次投中的概率均為，且每次投籃相互獨立．（Ⅰ）求甲得分不低于2分的概率；（Ⅱ）求乙得分的分布列及期望；（Ⅲ）甲，乙誰勝出的可能性更大？直接寫出結論．【分析】（Ⅰ）利用獨立事件的概率乘法公式求解；（Ⅱ）設乙的得分為，則的所有可能取值為0，2，4，6，利用獨立事件的概率乘法公式求出相應的概率，得到的分布列，再結合期望公式求解；（Ⅲ）設甲的得分為，則的所有可能取值為0，1，2，3，利用獨立事件的概率乘法公式求出相應的概率，得到的分布列，再結合期望公式求出，與比較即可得出結論．解：（Ⅰ）甲得分不低于2分，即甲得2分或3分，因為甲選擇方式一參加比賽，且甲每次投中的概率均為，所以所求概率為；（Ⅱ）設乙的得分為，則的所有可能取值為0，2，4，6，則，，，，所以的分布列為：0246所以；（Ⅲ）乙勝出的可能性更大，利用如下：設甲的得分為，則的所有可