2025年中考數學解答題專題系列：垂徑定理及其應用

1.如圖，已知劣弧A8和其所在圓的圓心。，若要等分AB，請按以下要求作圖:

'O'O

(1)利用直尺和圓規完成作圖，不寫作法，保留作圖痕跡:

(2)用兩種不同的方法作圖.

2.如圖，四邊形A3CO內接于(O,BC為。的直徑，BA,8的延長線交于點E,連接3。.

⑴若點A為BE的中點，ZC=52°,求/3D4的度數；

(2)若點A是BO的中點，BC=8,54=3,求CD的長.

3.在。中，A3為〈。的弦，連接。4OB,ZABO=30°,

(1)如圖1,若半徑OC_LAB于點。，CD=1,求弦A3的長；

⑵如圖2,為。的切線，點P為切點，豆MN〃OB,過點尸作PFLM于點F,與半徑。8相

交于點E.若［O的半徑是3,求0E的長.

4.如圖，四邊形ABC。內接于10,對角線AC是。的直徑，且點。為弦A3所對優弧的中點，連

接0D,分別延長AZK8C相交于點

⑴求證：AC=CM；

Q)若DM=2非,BC=3,求直徑AC的長.

5.如圖，。的直徑C。垂直弦A3于點E,連接AC,G是弧的中點，連接AG,延長CG交

的延長線于點F.

F

D

⑴若CE=8,DE=2,求A3的長；

(2)判斷二GW的形狀，并證明你的結論.

6.如圖，A3是。的直徑，CD是。的弦，CDLAB于點E,點尸在。上且C尸=C4，連接AF,求

證：AF=CD；

7.已知：如圖，AB是。的直徑，CD是O的弦，過。作OGLCD于點G,過點C作:O的切線

CP交OG的延長線于點P,連接PO.

A

⑴求證：是：。的切線；

3

⑵連接AD、BC.若ZD4B=74。，ZCBA=46°,OB、,求。尸的長.

8.如圖，是。。的直徑，2C為。。的切線，。為。。上的一點，CD=CB,延長CD交54的延

長線于點E.

⑴求證：C。是。。的切線；

(2)若E4=AO=2,求圖中陰影部分的面積.(結果保留兀)

9.如圖，A3是，。的直徑，點C在O上，作CGLAB于。交＜O于G,NACG的平分線交A3于

點、E,交：。于點/，連結AF,BF.

c

⑴若，：，o的半徑為6,AD=4,求弦CG的長;

⑵求證：AF=EF.

10.。是VABC的外接圓，A3是。的直徑，點。為。上一點，過點。作DE〃AC,DE與的

延長線交于點E,連接A。,C￡>,CD與A3交于點尸.

⑴如圖①,若NA4c=20°,求NE和/ADC大小;

(2)如圖②，若DE恰好切：。于點。，S.AC=6,CD=3y/10,求。的半徑和BC的長.

11.如圖，AC是：O的直徑，點。在。上，點8是CD的中點，連接A3,BC,過點8作的

切線交AC的延長線于點E,交AO的延長線于點E

⑴求證：AF1EF；

⑵若NC4D=60。，AD=4,求BF的長.

12.如圖，VABC內接于。，A3為直徑，ODLAC于點。，延長OD交于。點E,連結￡?交AC

于點F,連結CE.

⑴求證：EC2=EFEB

⑵若5G=］，求tanZABE的值.

FB4

13.如圖①，圓形拱門屏風是中國古代家庭中常見的裝飾隔斷，既美觀又實用，彰顯出中國元素的韻

味.圖②是這一款拱門的示意圖，已知拱門所在圓的半徑為L7m,拱門最下端AB=L6m.

圖①圖②

⑴求拱門最高點到地面的距離；

（2）現需要給房間內搬進一個直徑為3m的圓桌面（桌面的厚度忽略不計），已知搬桌面的兩名工人在

搬運時所抬高度相同（桌面與地面平行），通過計算說明工人將桌面抬高多少（即桌面與地面的距離）

就可以使該圓桌面通過拱門.

14.某居民小區一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，如

圖，是水平放置的破裂管道有水部分的截面.

⑴請找出截面的圓心0.（尺規作圖不寫畫法，保留作圖痕跡.）

（2）若這個輸水管道有水部分的水面寬鉆=12cm,水面最深的地方為4cm,求這個圓形截面的半徑.

15.如圖，公園里有一圓弧形的拱橋，已知拱橋所在圓的半徑為10米，拱橋頂C到水面AB的距離

8=4米.

⑴求水面寬度A3的大小;

(2)當水面上升到跖時，從點E測得橋頂C的仰角為a,若cotc=3,求水面上升的高度.

16.如圖①、圖②、圖③均為6x6的正方形網格,每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的頂點

稱為格點，已知三個圓的圓心。均在格點上，且。經過A、B、P三個格點，只用無刻度的直尺,

分別在給定的網格中按下列要求畫圖.

⑵在圖②中，作點尸關于直徑A3所在直線的對稱點M；

⑶在圖③中，已知點。為C。上任意一點(不與點P重合)，作點。關于直徑A3所在直線的對

稱點N.

《2025年中考數學解答題專題系列：垂徑定理及其應用》參考答案

1.(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了尺規作圖.熟練掌握線段垂直平分線作法和性質，垂徑定理，角平分線作法和性

質，垂線作法和切線性質，全等三角形性質是解題的關鍵.

⑴連接AB,作A3的垂直平分線交A8于點C,則AC=2C；

(2)如圖2,作一493的平分線QV交AB于點則40=80；如圖3,作切線AP,BP,交于點

尸，連接OP交AB于點E,則/。4P=/OBP=90。，OA=OB,OP=OP,得RtQ4WRtOBP(HL),

得ZAOP=NBOP,得AE=BE?

2.(1)/304=26。

23

(2)CD=—

【分析】本題考查了圓周角定理、垂徑定理，相似三角形的判定與性質，圓內接四邊形的性質：

(1)利用圓周角定理得到/班心=90。，由點A為BE的中點，得到==推出

ZADB=ZBDA,再根據圓的內接四邊形的性質求出NE4D=NC=52。，利用三角形外角的性質即可

求求解；

(2)連接。4交3D與點「易證AB=AD=3,OA1BD,推出。4CE,證明ABO^EBC,得

AfinACRArrip

到第=2=名，求出2E=6,CK=8,進而求出AE=3,再證明oAEDsCEB,得至U煞=卷，

BECEBCCEBE

Q

求出。石=:，即可解答.

4

【詳解】（1）解：由題意得是。的直徑,

ZBDC=90。,

ZBDE=90°,

點A為班1的中點，

AD=-BE=AB,

2

ZABD=ZBDA,

四邊形A5CD內接于。,

ZBAZ）+ZC=180o,

ZBAD+ZEAD=1SQ°,

：.ZEAD=ZC=52°,

???NEAD=ZABD+ZBDA,

：.ZABD=ABDA=-NEAD=26°；

2

（2）解：如圖，連接。4交30與點尸,

'??點A是30的中點，BC=S,BA=39

：.AB=AD=3,OA±BD,OB=OCOA=4f

：.N毋0=90。,

?.*ZBDC=90°,

：.ZBFO=ZBDC=90°,

：.OACE,

：.ABO^EBC,

.AB_OAOBHn3_4_4

**BE-CE-BC*BBE-CE-8

BE=6,CE=8,

???AE=3,

OACE,

；?_AE4.CEB,

.AEDE日口3DE

>?~~=,即-=~-

CEBE86

9

DE=-

4

9?3

CD=CE—DE=8——=.

44

3.(1)273

⑵G

【分析】(1)根據垂徑定理可得AB=2由)，再根據直角三角形中30。所對的直角邊是斜邊的一半可

得08=200,進而可列28=00+1,解得0D=l,03=2,再根據勾股定理可得弦A3的長.

(2)連接。尸，由切線的性質，平行線的性質，可得N3OP=N3EE=90。，再由對頂角相等可得

ZEPO=ZABO=30°,即可由直角三角形中30。所對的直角邊是斜邊的一半可得尸E=2OE,由勾股

定理可得。E=VL

【詳解】⑴解:OC±AB,

AB=2BD.

ZABO=30°,

:.OB=2OD.

OB=OC,0C=0D+CD,CD=1,

/.2OD=OZD+l.

:.OD=\,OB=2,

在Rt60。中，由勾股定理得BD=[OB?—Ob?=M-]2=5

/.AB=2BD=273.

(2)解：如圖，連接OP.

MN為。的切線,

:.OP±MN,BPZOPN=90°.

MN//OB,

.\ZBOP=ZOPN=90°.

PF.LAB,

:./BFE=90。，

ZBOP=ZBFE=90°,

NBEF=NPEO,NABO=30。，

:.ZEPO=ZABO=30°,

:.PE=2OE.

在RtAPEO中，由勾股定理得產爐=尸。2+OE2,

即(2OE)2=32+OE2,

解得OE=A/L

【點睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，切線的性質，平行線的性質，對頂角相等，直角三角

形中30。所對的直角邊是斜邊的一半，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

4.⑴見解析

(2)AC=5

【分析】(1)過點。作OE，AB于點E,延長E0交GO于點F,由垂徑定理可推出AF=BF=^AB,

得到點。與點尸重合，由AC是，。的直徑，可得？390?),推出區M得到=

由OD=Q4得到NOD4=/Q4D,進而推出=即可得證；

(2)由AC是O的直徑，可得ZB=ZADC=90。，可得.加0。.加&4,=2DM=4A/5,根據相

似三角形的性質求出CM,即可求解.

【詳解】(1)證明：過點。作OELAB于點E,延長E。交匕。于點下，

AE=BE,

AF=BF=-ACB,

2

點。為弦AB所對優弧的中點，

AD=BD=-ACB,

2

二點。與點F重合,

四邊形ABCD內接于O,對角線AC是的直徑，

-1B90?,

ZB=ZDEA=90°,

BM//DE,

ZM=ZODA,

OD=OA,

ZODA=ZOAD,

ZM=ZOAD,

AC=CM；

(2)四邊形ABC。內接于O,對角線AC是;。的直徑,

ZB=ZADC=90°,

.ZB=ZCDM=90°,

ZM=ZM,AC=CM9

._MDCs_MBA,AM=2DM=A5

CMDMCMDM

?------------，即nn--------------，

AMBMAMBC+CM

,CM2也

…邛-3+CM，

CM=5,

AC=CM=5.

【點睛】本題考查了垂徑定理，圓的性質，等腰三角形的判定與與性質，相似三角形的判定與性質，

平行線的判定與性質，解題的關鍵是掌握相關知識.

5.(1)8

(2)G4R是等腰三角形，證明見解析

【分析】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的判定，根據題目的已知條件并

結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵.

(1)連接Q4,根據垂徑定理可得AB=2AE,最后在RtZXOAE中，利用勾股定理求出AE的長，從

而求出A3的長，即可解答；

(2)連接ZJG,利用同角的余角相等結合圓周角定理，可得/64斤=/尸，最后利用等角對等邊可得

GA=GF,即可解答.

【詳解】(1)解：連接

O的直徑CD垂直弦AB于點E,且CE=8,DE=2,

：.CD=CE+DE=W,AE=BE,

：.OA=OD=~CD=5,貝!]OE=O￡>_DE=3,

在RtZXOAE中，AE=-OE?=6-3?=4，

:.AB=2AE=8；

（2）解：等腰三角形

證明：連接DG,

點G是BC的中點,

CG=BG>

:.NGAF=/D,

O的直徑CD垂直弦AB于點E,

:.NCGD=NCEF=90。,

NF=90。-NDCG=ND,

:.ZGAF=ZF,

:.GA=GF,

.一G4F是等腰三角形.

6.證明見解析

【分析】本題考查了垂徑定理，弧、弦的關系.由垂徑定理得到AC=AD，而CF=C4，得到AF=CD，

從而推出AF=CD.

【詳解】證明：「AB是。的直徑，CDLAB,

,?AC=AD，

CF=CA9

??AF=CD，

???AF=CD.

7.⑴證明見解答

⑵百

【分析】(1)根據SAS證明ODPg.QCP,則NO0P=NOCP=9O。，即可解答；

(2)根據等腰三角形的性質，三角形的內角和定理和勾股定理即可解答.

【詳解】⑴證明：PC為。的切線，OC是半徑，

/.OCLCP,

二.NOC尸=90。，

OGLCD,OC=OD,

:./COP=/DOP,

OP=OP,

ODPqOCP(SAS),

:.ZODP=ZOCP=90°,

.\OD.LPD,

OD是半徑，

.?.PD是:。的切線；

(2)解：OB=OC,ZCBA=46°,

:.ZOCB=ZCBA=46°,

/.ZBOC=180。—46°—46。=88°,

同理得：ZAOD=32°,

.?.ZDOP=NCOP=30。,

RtOCP中，PC=-OP

29

設CP=%,則OP=2x,

由勾股定理得：/+［：=(24,

:.x=§(負值舍)，

2

:.OP=^3.

【點睛】本題考查了切線的性質和判定，全等三角形的判定和性質，垂徑定理，等腰三角形的性質,

勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型.

8.⑴見解析

⑵與+G

【分析】此題考查了切線判定和性質、扇形面積等知識，熟練掌握切線的判定是解題的關鍵.

(1)連接0D,證明ODLC。，即可證明結論成立；

(2)作O尸，。3于點凡連接AD,證明△49。是等邊三角形，得到/。班>=30。，求出

0F=l,BF=y/3,則8。=28尸=2后，ZAOD=60°,即可求出答案.

【詳解】(1)證明：連接OD,

￡杳3

*/3c為。。的切線，

???ZABC=90°,

CD=CB,

：.ZCBD=ZCDB,

OB=OD,

：.ZOBD=ZODB,

：.NODC=ZODB+ZCDB=ZOBD+ZCBD=ZABC=90°,即QD_LCD,

丁點。在。上，

???C。是。。的切線；

(2)如圖，作。尸，03于點R連接AD,

由E4=AO可得：AD是Rt/XODE斜邊的中線，

：.AD=AO=OD,

：.△AOD是等邊三角形，

???ZDOA=60°,

???NOBD=30。，

又「OB=AO=2,OFLBD,

???OF=1,BF=6

BD=2BF=2A/3,ZAO￡>=60°,

.60^-x221?2兀&

??cS陰影=cS扇形OAD+cSBOD=+萬><2'3><1=7+13.

□OU4J

9.(1)872

(2)詳見解析

【分析】此題考查了垂徑定理、勾股定理、圓周角定理等知識，熟練掌握相關定理內容是解題的關鍵.

(1)連接OC,利用垂徑定理得到CD=OG,ZCDO=90,用勾股定理求出C￡>=4后即可求出答

案；

(2)利用角平分線的定義、圓周角定理等證明—即可得到結論.

【詳解】(1)解：連接OC,

為直徑，CGLAB,

CD=DG,NCDO=90

VAD=4,半徑OA=6

OD=OA—AD=6—4=2

在RtZ\ODC中，

CD=y]OC2-OD2=V62-22=472

：.CG=2CD=8日

(2),.,C尸平分/AC?

:.ZACF=ZGCF

,:AF=AF

：.ZACF=ZABF=ZGCF

9：A5為直徑

ZAFB=90

???ZFAB=90-ZABF

'/ZAEF=ZCED=90-ZGCF

:.NFAB二NAEF

?：AF=EF

10.(l)ZE=90°,ZADC=70°

(2)。的半徑為5,BC=8

【分析】(1)根據圓周角定理得Z4CE=90。，再結合龐〃力。，得出，運用圓周角定理得

ZADC=ZABC=70°9即可作答.

(2)先由切線的性質得Nm花=90。，再證明四邊形O”CE是矩形，則NZ)"C=90。，運用勾股定理

算出。〃=9,再設(。的半徑為「，則+解得『=5,在Rt^ABC中，則A8=10,

BC7AB2-AC?=8,即可作答.

【詳解】(1)解：是，；。的直徑，

NACE=90°,

?/DE//AC,

.—180。—ZACE=180°-90°=90°,

"：ABAC=20°,

AZASC=90°-20°=70°,

AC=AC'

：.ZADC=ZABC=10°.

(2)解：連接。。，并延長。。交AC于一點H,如圖所示:

???DE恰好切。于點。，

ZHDE=9Q°,

由(1)得/E=90。,ZACE=90°,

；?四邊形D”CE是矩形，

NDHC=90。,

：.AH=CH=-AC=3,

2

CD=3M,

DH=7CD2-HC2=V90-9=9，

設：。的半徑為「，

則AO?=。斤+用，

尸=(9-4+9,

解得r=5,

在Rt^ABC中，則AB=2x5=10,

?*-BC=VAB2-AC2=V100-36=8?

【點睛】本題考查了切線的性質，垂徑定理，矩形的判定與性質，圓周角定理，勾股定理，正確掌握

相關性質內容是解題的關鍵.

11.⑴見解析

(2)273

【分析】(1)連接。。,2。交于點6,先由垂徑定理推論和圓周角得到NADC=NOG,則OB〃AB,

由斯是。。的切線，得到NOBE=90。，再由平行線的性質即可求證；

(2)解區1仞。得“3=46，由上知DG=GC,貝ijDG=2VL可證明四邊形DFBG為矩形，即可

求解.

【詳解】(1)證明：連接DC,30交于點G,

:點8是CD的中點，08為半徑，

OBLDC,GD=GC,

：.ZOGC=90°,

,/AC為直徑，

：.ZADC=ZGDF=90°,

：.ZADC=ZOGC,

：.OB//AF,

；EF是。的切線，

OB1EF,

：.ZOBE=ZOBF=90°,

??OB//AF,

：.NF=NOBE=90。,

/.AF±EF；

(2)解：在RtADC中，DC=ADxtanADAC=4A/3,

由上知DG=GC,

DG=2A/3,

*.?ZF=ZGBF=ZGDF=90°,

，四邊形OEBG為矩形，

，BF=DG=2代.

【點睛】本題考查了圓的綜合題，涉及圓的切線的性質，垂徑定理的推論，圓周角定理，矩形的判定

與性質，解直角三角形等知識點，正確添加輔助線是解題的關鍵.

12.(1)見解析

⑵正

3

【分析】本題考查圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定與性質，求正切值，熟練運用垂徑定理，

證明BCE's,CFE是解題的關鍵.

(1)根據垂徑定理得到嘉=&，進而得到NCBE=ZACE,結合NCEB=ZCEF,證明tBCE^^CFE,

得到B笠F=失FC，即可得出結論；

ECEF

(2)連接AE,由(l)可得AE=CE,根據圓周角定理可得ZA￡B=90。，根據已知，設跖=5x,3尸=4x,

則BE=9x,利用(1)中EC?=EF?EB,求出人石二比二？后，由正切的定義即可求解.

【詳解】⑴證明：??,OD，AC于點。，OE為的半徑，

?**AE=CEf

：.ZCBE=ZACEf

■:/CEB=/CEF,

:..BCE^CFE,

.BE_EC

??沃―訪'

EC?=EF?EB；

(2)解：連接AE,

:由⑴知矗=&，

：.AE=CE,

VAB^J，。的直徑,

：.ZAEB=90°,

..￡F_5

?——,

FB4

T^EF=5X,BF=4X,則BE=EF+BF=9x,

由（1）知EC?=EF-EB,

，EC2=45尤2,

EC=3氐，

AE=EC=3氐，

..AE3布xy[5

.?tan//AABDEr=----=-------=——.

BE9x3

13.(1)拱門最高點到地面的距離為3.2m

(2)工人將桌面抬高0.7m就可以使該圓桌面通過拱門

【分析】本題主要考查了垂徑定理的實際應用，勾股定理，熟知垂徑定理是解題的關鍵.

(1)設拱門所在圓的圓心為O,,作OC_LAB于C,延長C。交圓于。，連接40,由垂徑定理可得

AC=CB=0.8m,則由勾股定理可得OC的長，據此求出C。的長即可得到答案；

(2)設弦EF=3m,且歷18,連接OE,同理求出QJ的長，進而求出C7的長即可得到答案.

【詳解】(1)解：如圖②中，設拱門所在圓的圓心為。，，作于C,延長CO靈圓于。，連

接40,

VCDLAB,CD經過圓心。,

AC=CB=0.8m,

OC=VoA2-AC2=1.5m>

CD=O￡）+OC=1.5+1.7=3.2m,

；?拱門最高點到地面的距離為3.2m；

(2)解:如圖，設弦防=3m,且EF1CD,連接OE.

D

VCDLEF,CD經過圓心。，

：.EJ=JF^1.5m,

OJ=^]OE2-EJ2=0.8m，

AC7=1.5-0.8=0.7m,

答：工人將桌面抬高0.7m就可以使該圓桌面通過拱門.

14.(1)見解析；

(2)這個圓形截面的半徑6.5cm

【分析】此題考查了作圖-應用與設計作圖，垂徑定理的應用和勾股定理.

(1)任取一條弦AC,分別作AC,A8的垂直平分線交點即為圓心，根據尺規作圖的步驟和方法做

出圖即可；

(2)連接。4,鈣交于點E,交弧A3于點。，利用垂徑定理求出AE=：AB=6cm,設半

徑為rem,則OE=OD-OE=(—4)cm,再根據勾股定理列方程計算即可.

【詳解】(1)解：如圖，點。即為所求，

(2)解：如圖，連接Q4,交4?于點E,交弧A3于點Q,

AE=