廣東省深圳坪山高級中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．已知盒中裝有大小形狀完全相同的3個紅球、2個白球、5個黑球.甲每次從中任取一球且不放回，則在他第一次拿到的是紅球的前提下，第二次拿到白球的概率為（

）A． B． C． D．2．如果隨機變量，則約等于（）（注：）A．0.210 B．0.0228C．0.0456 D．0.02153．設(shè)隨機變量，且，則的值為（

）A． B． C． D．4．滿足的正整數(shù)等于（

）A．1，5 B．3， C．1，3 D．5，5．函數(shù)，則等于(

)A．1 B．2 C．3 D．－46．等于（

）A．990 B．165 C．120 D．557．某批麥種中，一等麥種占80%，二等麥種占20%等麥種種植后所結(jié)麥含有50粒以上麥粒的概率分別為0.6，0.2，則這批麥種種植后所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒的概率為（

）A．0.48 B．0.52 C．0.56 D．0.658．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列求導(dǎo)正確的是（

）A． B．C． D．10．設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．11．18世紀30年代，數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，如果隨機變量X服從二項分布，那么當n比較大時，可視為X服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)，.任意正態(tài)分布，可通過變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布（且）.當時，對任意實數(shù)x，記，則（

）A．B．當時，C．隨機變量，當減小，增大時，概率保持不變D．隨機變量，當，都增大時，概率單調(diào)增大三、填空題12．已知隨機變量服從正態(tài)分布，則＝13．為了促進邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)的發(fā)展，坪山高級中學(xué)教育集團選派了3名男教師和2名女教師去支援新疆教育，要求這5名教師被分派到3個學(xué)校對口支教，每名教師只去一個學(xué)校，每個學(xué)校至少安排1名教師，其中2名女教師分派到同一個學(xué)校，則不同的分派方法有種14．設(shè)實數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則的取值范圍為．四、解答題15．已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程．（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．16．據(jù)調(diào)查，目前對于已經(jīng)近視的小學(xué)生，有兩種配戴眼鏡的選擇，一種是佩戴傳統(tǒng)的框架眼鏡；另一種是佩戴角膜塑形鏡，這種眼鏡是晚上睡覺時佩戴的一種特殊的隱形眼鏡（因其在一定程度上可以減緩近視的發(fā)展速度，所以越來越多的小學(xué)生家長透擇角膜塑形鏡控制孩子的近視發(fā)展），A市從該地區(qū)小學(xué)生中隨機抽取容量為100的樣本，其中因近視佩戴眼鏡的有24人（其中佩戴角膜塑形鏡的有8人，其中2名是男生，6名是女生）（1）若從樣本中選一位學(xué)生，已知這位小學(xué)生戴眼鏡，那么，他戴的是角膜塑形鏡的概率是多大？（2）從這8名戴角膜塑形鏡的學(xué)生中，選出3個人，求其中男生人數(shù)X的期望與方差；（3）若將樣本的頻率當做估計總體的概率，請問，從A市的小學(xué)生中，隨機選出20位小學(xué)生，求佩戴角膜塑形鏡的人數(shù)Y的期望和方差.17．已知的展開式中第2項與第3項的二項式系數(shù)之和是21，（1）求的值；（2）求展開式中項系數(shù)最大的項.18．設(shè)函數(shù)．（1）若是的極值點，求的值，并討論的單調(diào)性；（2）當時，求證：．19．已知函數(shù).（1）證明：函數(shù)在定義域內(nèi)存在唯一零點；（2）設(shè)，試比較與的大小，并說明理由：（3）若數(shù)列的通項，求證.

參考答案1．【答案】D【詳解】解：設(shè)“第一次拿到的是紅球”為事件A,“第二次拿到白球”為事件B，可得：，,則所求事件的概率為：,故選D.2．【答案】B【詳解】由題得.故選B3．【答案】B【詳解】由二項分布的期望和方差公式求出，即可求解.【詳解】隨機變量服從二項分布，，解之得，所以．故選B.4．【答案】C【詳解】若，則或，解得，或，，經(jīng)檢驗，不符合組合數(shù)運算性質(zhì)所以等于1或3.故選C.5．【答案】D【詳解】，，，，，，故選D.6．【答案】B【詳解】因為，所以．故選B7．【答案】B【詳解】種植一等麥種和二等麥種的事件分別為，所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒為事件，依題意，，，，，由全概率公式得，.故選B8．【答案】C【詳解】令，則，所以在定義域上單調(diào)遞增，不等式，即，即，所以，解得，即不等式的解集為.故選C9．【答案】BCD【詳解】A：，錯誤；B：，正確；C：，正確；D：，正確.故選BCD10．【答案】ACD【詳解】因為展開式的第項為，又，所以，，則，故A正確；令，則，令，則；令，則，故，即B錯；，即C正確；，即D正確；故選ACD.11．【答案】AC【詳解】對于A，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得：，故A正確；對于B,當時，，故B錯誤；對于C，D，根據(jù)正態(tài)分布的準則，在正態(tài)分布中代表標準差，代表均值,即為圖象的對稱軸，根據(jù)原則可知數(shù)值分布在中的概率為0.6826，是常數(shù)，故由可知，C正確，D錯誤，故選AC12．【答案】36【詳解】因為隨機變量服從正態(tài)分布，所以，所以.13．【答案】36【詳解】根據(jù)題意，分派方案可分為兩種情況:①2名女教師和1名男教師分派到同一個學(xué)校，則有種方法.②2名女教師分派到同一個學(xué)校，且該學(xué)校沒有分配沒有男教師，則有：種方法.故一共有：36種分配方法.14．【答案】【詳解】方法一：隱零點實數(shù)，對任意的，不等式恒成立，，設(shè)，，則，令，得，由指數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)在第一象限的圖象，得到與有且只有一個交點，如圖，設(shè)交點為，當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，在上單調(diào)遞減，在處取得極小值，且為最小值，此時，由最小值，解得，，所以當時，不等式恒成立，故的取值范圍為．方法二：同構(gòu)對任意，由，可得，當時，不等式恒成立，當時，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，則，即，設(shè)，，則，所以時，，在上單調(diào)遞增；時，，在上單調(diào)遞減，所以在處取得最大值，故．15．【答案】（1）；（2）最大值為，最小值為【詳解】（1）由已知，則，所以曲線在點處的切線方程為，即.故在點處的切線方程為：（2）令，即得或，令，則得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，顯然，在區(qū)間上的最大值為，最小值為.故在區(qū)間上的最大值為，最小值為.16．【答案】（1）；（2），；（3）佩戴角膜塑形鏡的人數(shù)的期望是，方差是.【詳解】（1）根據(jù)題中樣本數(shù)據(jù)，設(shè)“這位小學(xué)生佩戴眼鏡”為事件A，則，“這位小學(xué)生佩戴的眼鏡是角膜塑形鏡”為事件，則“這位小學(xué)生佩戴眼鏡，且眼鏡是角膜塑形鏡”為事件，則，故所求的概率為：，所以從樣本中選一位學(xué)生，已知這位小學(xué)生戴眼鏡，則他戴的是角膜塑形鏡的概率是；（2）依題意，佩戴角膜塑形鏡的有人，其中名是男生，名是女生，故從中抽3人，男生人數(shù)X的所有可能取值分別為0，1，2，其中：；；.所以男生人數(shù)的分布列為：所以，，（3）由已知可得：則：，所以佩戴角膜塑形鏡的人數(shù)的期望是，方差是.17．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由題意可得，即，解得；（2）由二項展開得到項系數(shù)為，則設(shè)，化簡為，解得，故，因此項系數(shù)最大的為第三項，為.18．【答案】（1）1；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明見解析.【詳解】（1）由題意得，由是的極值點，得，所以.于是，定義域為.易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，因此當時，；當時，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即得是的極小值點，符合題意，故，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當，時，，則，故只需證明當時，.當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增.又，故在上有唯一實根，且.當時，；當時，，從而當時，取得最小值.由得，則故.19．【答案】（1）證明見解析（2）