注：第2.2?2.4節，第3.2?3.4,3.10~3.11節，第4.2?4.3,4.7節，是課本參

考譯文。其余不是課本譯文，僅作為參考。

1.流體力學概論

1.1流體力學的含義及發展沿革

流體力學研究流體宏觀機械運動的規律。

流體力學作為力學的一個分支，是以流體為對象，主要研究流體與流體、流體與

固體之間的相互作用。

流體力學的系統化與理論化卻源發于十八世紀的歐洲。如帕斯卡原理、歐拉運動

方程、伯努力方程。

古典流體力學，流體力學，計算流體力學。

1.2流體的概念

流體由液體和氣體組成。

流體微觀尺度很小，流體分子間的引力還是存在的，此引力稱為內聚力。流體內

聚力小，因而幾乎不能承受拉力，（但流體能承受玉應力）；內聚力小使流體不能保持

一定的形狀，只能取得容器的形狀。

流體分子與固體分子間的相互吸引力稱為附著力，附著力大于內聚力，則流體粘

附于固體壁面并使之濕潤。由于附壁的吸附作用，吸附于固體壁面上的流體層與固體

壁有相同的速度。

由于內聚力小，流體幾乎不能承受拉力；流體對切應力的承受能力也很差，但在

剪切力的作用下，流體會發生連續的變形，這就是流體的易流動性。

由于流體分子的相互吸引力，分子運動時要克服引力，另外，運動時，分子間

會產生相互碰撞，表現出運動時的流體內部阻礙力，稱為內摩擦力。流體有抵抗壓縮

變形的能力。液體抗壓縮變形的能力極強，氣體抗壓縮性極差。

1.3連續性假設

天衣無縫，流體質點，連續函數和場論

嚴格說來，流體不是連續介質，在一般情況下，流體各分子之間的距離極小，在

有限體積中包含的分子數量十分巨大，在工程技術所習用的尺度下，要識別它們分布

的間斷性是十分困難的C

在標準狀態下，一立方微米的氣體有2.7X107個分子，一立方微米的液體有

3X1012個分子，可見，從流體的宏觀機械運動來看，研究流體的運動時可將流

體看成流體是連續的一一這稱為連續介質假設*。

失效情況：稀薄氣體激波（厚度與氣體分子平均自由程同量級）

以后討論流體均認為流體是連續的，流體宏觀物理量是空間點和時間的函數，這

樣可以運用連續函數和場論等數學工具研究流體平衡和運動的問題。

1.4力、質量、長度、時間單位

在流體力學中，由于歷史的原因，單位制種類多。主要的有：SI制，工程單位制,

物理單位制三種。使用上的量綱除基本量綱外還由許多導出量綱。

關于單位制：

1

SI制:基本量綱,長度L質量M時間T

基本單位,mkg

工程單位制:基本量綱，長度L重量F時間T

基本單位，mkgf

物理單位制：基本量綱，長度L質量M時間T

（絕對單位制）基本單位，cmgs

lN=lkgm/s2,lkgf=9.80665N,

kgf---公斤力lN=10'dandan---達因

1.5液體的粘性及內摩擦定律

粘性的概念VISCOSITY

俗話說：“人往高處走，水往地處流:從力學的角度考慮，這是因為高處的水在

重力的作用下，沿著水的表面方向產生了剪切力，破壞了水的靜止狀態，水在剪切力

的作用下開始滑動，從而產生了水的流動。水只所以流動，其原因是水抵抗剪切力的

能力小。

流體的粘性就是流體在運動時對于剪切變形的阻抗能力。粘性是液體阻止自身發

生剪切變形的一種特性，它存在于液體的內部。由于液體粘性的存在，液體在流動過

程中，因克服自身的內摩擦力必然要做功。因此，液體的粘性是液體產生機械能量損

傷的根源。

由下面的簡單實驗可說明流體在運動時相鄰微團之間切向力的存在。圖1.1中，

平板在力F作用下以速度U作勻速運動，板運動之前流體處于靜止狀態，運動后被拖

動，緊挨板的流體和板以速度U運動，從板向下，一層比一層的流體速度小，直到固

定不動的壁面上速度變為零這樣的線性速度分布規律（此外多數為曲線分布）。

這個實驗說明，流體從上往下各層之間互有牽連，速度快的層帶動速度慢的層，

慢層又阻滯快層，就好像固體平面之間的摩擦過程一樣，各層的流體微團之間發生了

抵抗微團做相對運動的切向摩擦作用，這種摩擦作用是反映流體物理性質一一粘性的

結果，切向作用力即是粘性力。

因此，當流體層間發生相對運動時，在流體內部兩個流體層的接觸面上，便產生

粘性阻力或內摩擦力以阻礙相對運動。流體具有的這一性質，稱流體的粘性。

牛頓內摩擦力

速度梯度與剪切變形角速度相同。

牛頓（Newton）于1686年闡述了流體作層狀運動時，其內摩擦力T有如下特性:

（1）與速度梯度力//力成正比；（2）與接觸面積4成正比；（3）與流體的

性質有關；（4）與接觸面上的壓力無關。

牛頓內摩擦定律：，

du

T=±?〃-d-u-A.

dy

式中：7—內摩擦力（N,牛）；r單位面積上的摩擦力或剪切應力（N/m2）；

du/dy—速度梯度（s—1）；A—流體層之間的接觸面積（m2）：〃一與流體種類、

溫度有關的系數，稱為動力粘性系數。

式中“土”是為使八丁永為正值而設定的，即當成//勿〉0時取“+”號,

當du/dy<0時取“一”號。

這里指出：

（1）切應力T是成對出現的，它的方向是這樣確定的：當所研究的面是被快

層帶動時，這面上的了與運動方向一致；如果是被慢層阻止時，這面上的「則與

運動方向相反。

（2）由前式可知，當du/dy=。時，則T=r=0,所謂duldk是指流體質

點間沒有相對運動，即流體處于靜止或相對靜止，因此，在靜止或相對靜止流體

中不出現內摩擦力（或切應力）。在流體靜力學中就要用到這一結論。

牛頓內摩擦定律適用于空氣、水、石油等絕大多數機械工業中常用的流體，凡是

符合剪應力與速度梯度成正比，可以用一條通過原點而非坐標軸的直線所表示的流體

叫做牛頓流體。

非牛頓流體

塑性流體，如凝膠、牙膏等，它們有一個保持不產生剪切變形的初始應力。只有

克服這個初始應力后，其剪切應力才與速度梯度成正比。

假期性流體，如源漿、紙漿、高分子溶液等。當血/2/較小時，丁隨曲力力的增

長率較大，近似于塑性流體有初始切應力的情況。但當兒//如較大時，工隨du/包的

增長率又逐漸降低。

粘性系數

1.粘度的單位泊一Poiseuille

（1）動力粘度（絕對粘度AbsoluteViscosity）

dy

u=T—

du

單位N?s/m2(Pa?s)帕秒si單位制

dan-s/cm2(P)泊物理單位制（厘米克秒制）

1P=1()2CP

lP=0.1Pas1泊=0.1帕.秒

（2）運動粘度KinematicViscosity

丫=巴

P

單位n?/sSI單位制，工程單位制

cm2/s（St.）（斯，）物理單位制（厘米克秒制）

3

1m2/s=104St（斯）=IO。cSt（厘斯）

lmm2/s=IcSt

運動粘度具有速度的量綱而得名，它的物理含義不明確，主要是為了使用上的方

便。因為在流體力學計算中，〃、。總是以〃/。形式出現的。

溫度對粘性系數的影響

溫度對粘性系數的影響比較顯著。這種影響關系對氣體和液體是截然不同的，氣

體的粘性隨溫度的增高而增大；液體的粘性則隨溫度的增高而減小。

理想流體是一種假想的流體。當流體的粘性可忽略時，流體就稱為理想流體。

1.6流體的密度與比體積

密度單位體積的流體質量（均質）pm

p=—(kg/m3)

水的密度（"OlOOOkg/nfV

液壓油的密度（15。。890kg//

mg

重度單位體積的液體重量/Y=(N/m3)

V

重度與密度的關系為：『=伙

式中：g一重力加速廢:，g=9.80665H/；

一般計算取爐9.806m/s2

mg

比容單位質量流體的體積，記uu=(m7kg)

比容與密度互為倒數1V

u=—

P

表面力是作用于被研究的流體的外表面上，其大小與表面積成正比。按其作用方

向可分為兩種：一種是沿表面內法線方向的法向切應力，一種是沿表面切向的摩擦力。

單位面積上的法向力稱為流體的正應力，單位面積上的切向力就是流體粘性引起的切

應力。對于靜止流體只有法向力。

質量力作用于流體的每一個質點上，其大小與流體所具有的質量成正比。在均質

流體中，質量力與受作用流體的體積成正比，又叫體積力。（bodyforce）

1.7體積（彈性）模數

液體的壓縮性稱為體積彈性模數。

du/u

因如與〃的變化方向相反，即壓力增加時體積減小，故上式中加一負號，以

使系數為正值。

可見，水的壓縮性是很小的，其它液體的壓縮性也是很小的。因此，在工程上認

為液體是不可壓縮的，但在特殊情況下，如水擊作用和高壓傳動系統中，就必須考慮

液體的壓縮性。

E越大，越不易被壓縮。

純水：E=2.1X109Pa；

1.8氣化壓

4

當液體在管道中流動時，如某一區域的壓強降低到液體的飽和蒸氣壓強之下，那

么在這個區域內液體將會沸騰而產生氣泡。這種『泡如果聚集在低壓區域附近，就會

形成氣穴，發生氣穴現象。

當已產生空化的液體流動到了高壓區時，氣泡被擊破，導致局部的壓強和溫度升高，

并伴有振動和噪聲以及液體的氧化變質等。如果氣泡的潰滅發生在流道的壁面附近，

那么該處壁面材料在這種局部高溫高壓的反復作用下，將會發生剝蝕和破壞，這種現

象稱為氣蝕。

2.流體靜力學

流體靜力學研究流體在外力作用下處于平衡的特征與規律。

流體處于平衡是指流體相對于慣性坐標的靜止，如相對地球坐標的靜止，又如在

運動物體內相對于運動物體的相對靜止等。

靜止流體內，流體質點間沒有相對運動，因而不顯粘性。于是，靜止流體的特

征和規律對理想流體和實際流體都是適應的。

流體靜力學是流體動力學的基礎。

2.1點壓力

體積力：均勻作用于流體質點上，其大小與流體的質量成正比，如重力

表面力：作用于流體表面上的應力

流體靜壓力有兩個特性：

特性一流體靜壓力的方向必定是指向作用面的內法線方向。由于流體不能

承受拉應力，在微小的切力作用下就會發生變形，變形必將引起流體質點的相對運動,

這就破壞流體的平衡條件。因此，流體在平衡條件下，只能承受壓力。故壓力必定垂

直于作用面，指向流體內部。

特性二靜止流體中某點的壓力數值與壓力所在的作用面的空間方位無關，僅

與點的位置有關。

2.2靜壓基本方程

靜止流體上的壓力變化

圖2.2中,作用在靜止流體微元體上的力由表面力和體積力組成。取y軸垂直向

上，重力作為唯一的體積力，在y方向上是-ybx心域z。微元六面體中心點(x,y,z)

的壓力為夕，接近坐標原點(0)的一面，且其法向是y軸方向的一個微元面受到的

力近似為

p_2@1能

?2J

作用在相對一面的力是

dp3y

〃+

力2)

這里演/2是從微元體中心到法向為y軸方向的微

元面的距離。作用在微元體上在y軸方向上的合力

5Figure2.2流體微元體.

為

5F、=--6xdydz-ySxdydz

對于x和z軸方向，由于沒有體積力的作用，

SFX=--^~蜃*應8F.=-^-8x3ySz

微元體上所受矢量力以為

加=+k坐i—+j--k—8x8y6z-yy3x8y(5z

:dxdydz^

如果微元體趨于0,在除以微元體的體積加以近二場后，表達式更準確了。

.d.d.a.

lim—=陛+J『k司|PF⑵2.1)

加->0ou

這就是一點上單位體積受到的合力，在流體靜止時這個合力等于0。圓括號內的數是

梯度，叫做▽([del]),

▽=[+j.+k.(2.2.2)

Ioxdydz,

壓強夕的負梯度，-▽口是單位體積上的表面壓力的矢量場。

f=7P(2.2.3)

靜止流體壓強的變化(分布)規律為

f-jy=0(2.2.4)

對于運動的無粘性流體，或流體運動時切應力處處為0,牛頓第二定律采用下面

的形式

f-jy=pa(2.2.5)

式中a是流體微元體的加速度。當重力是唯一的體積力時，f-力是流體上受到的合

力。方程(2.2.5)被用來研究在2.6節中的相對平衡問題，以及用來推導第三章的

歐拉方程。

方程(2.2.4)用分量的形式表示為

組=0,包=-八包=。⑵2.6)

dxdydz

水平方向的壓強變化方程，就是帕斯卡原理的一和形式：在處于靜止狀態的同一連續

流體中，處于同一水平面上(即同一海拔高度)的兩點壓力相同。由于p僅僅是y

的函數，

dp=-ydy(2.2.7)

這個簡單的微分方程建立了壓強的變化與重度和海拔高度(位置高度)變化之間的關

系，對壓縮和不可壓縮流體都適用。

對于流體來說，可以認為是均質和不可壓縮的，y是常數，方程(2.2.7)積分后

變成，

〃=-/V+c

式中。是積分常數。流體靜力學壓強變化規律常常寫成下面的形式

6

〃二施（2.2.8）

式中h是從自由液面垂直向下測量（左-。，壓強p從自由液面起向下是增長的。

方程（2.2.8）也可以把高度為h的垂直液柱（液柱的上表面在自由液面上）做為流

體分離體來推導出來。這留下來作為學生的練習。

補充：對于湖或海洋，坐標系統通常按下圖選。自由表面（氣液分界面）上片0,p

等于大氣壓Pa,

c=〃+/y=Pa+y。=P.

p=Pa-/y

y

▽4由表面：產o,片p.

=0

p=p+r't

-ha

例2.1一海洋學者設計了個5m高的海洋實驗室，實驗室的頂部在從海平面

下100m的水下。求實驗室頂部的壓強。海水的比重為L020.

/=1.020X9806N/m3=10kN/m3

實驗室頂部，/FlOOm,

p=yiT=lMN/m2=IMPa

如果/是標準的，由實驗室頂部向下，壓強的變化是

尸lO（zHOO）kN/m2

2.3壓強單位和度量

壓強可以參照任意的數據來表示。一般用絕對真空為0和當地大氣壓作為參考值。

以絕對真空為基準算起的壓強叫絕對壓強，以表示。以當地大氣壓為基準算起的

壓強叫表壓強，以幾它表示。

彈性金屬曲管式壓力計（圖2.3）是一個典型的測量表壓的儀器。……

圖2.4說明了一般用的壓強的數據及單位之間的相互關系。標準大氣壓是海平

面上的平均壓強，29.92inHg（英寸汞）。用液柱長度表示的壓強等同于基于液柱

的單位面積上的作用力°壓強的變化和高度之間的關系為p=#［方程（2.2.8）］,

表明了用重度承示的液柱高度力和壓強夕之間的關系。

7

D>Da

八

表

絕壓當地大，.在

真密度

壓

Pa,強木〃、Pa

絕對上強

絕對真空

在連續單位制中,p：lb/ft,/:lb/ft3,h:ft；國際單位制中:p：Pa,/:N/m3,

h:nio流體重度尸比重SX水的重度外

方程（2.2.8）變為

⑵3.1)

p=rwsh

對水%=9806N/m3或62.4lb/ft3.

當壓強用lb/in表示時，方程兩邊都除以144:

624

p.=—Sh=0.433S/?（2.3.2）

PM144

式中h是英尺（ft）c

當地大氣壓用水銀氣壓計（圖2.5）或無液氣壓計測量。

圖2.4中壓強在圖表中垂直表示，表示了壓強與絕對真空和當地大氣壓之間的關

系。如果這個點位于當地大氣壓線之下，并且是表壓，它叫負壓或真空度。如1點處

的絕對壓強為460nmiHg,氣壓計讀數為720mmHg（當地大氣壓），負壓為-260mm

Hg,11inHg真空度（：應該注意到

絕對壓強=大氣壓強+表壓強，即pahx=phar+Pgage

真空度=大氣壓強一絕對壓強，即0*/加"而

為了避免混亂，課本中習慣上壓強就是表壓強，除非特別標明絕對壓強，當然大氣壓

強除外，大氣壓強就是絕對壓強單位。

2.4測壓計

壓力計是利用液柱高度來確定壓強不同的儀器。最基本的壓力計，常稱為測壓計,

在2.6a中進行說明。它用液柱高度表示大于0的表壓。它由一根垂直管子組成，管子

下端接被測液體，上端開口通大氣。液體在管子內升起直至達到平衡。從液體新月型

的表面（即氣體和液體的分界面，或兩種不同重度的流體的分界面）到被測點的垂直

高度h就表示被測點的壓強，用容器內液體的長度作為壓強的單位。顯然測壓計不

能測負表壓，因為空氣將通過管子流進容器內。測量力點的大的壓強也不切實際，因

為垂直管道會需要很長。如果液體的比重是5A處的壓強是/1S,單位是水的長

度。

8

可以用圖2.66中的管子來測量小的負表壓或正表壓。在這種布置下，液體新月型

的表面可以停在A之下。因為液體新月型的表面的表壓強為0,并且壓強隨著海拔高

度的增大而減少，

h―hS水的長度作為單位

圖2.6c測量更大的負表壓或正表壓，并選用比重更大的第二種工作液體。它與

第一種流體不混溶，第一種流體這時也可是氣體。

如果在A處的流體的比重是S（基于水），壓力計中液體的比重是&,A處的

壓強方程，或從/開始，或從上面液體新月型的表面開始，并經過壓力計寫下，

h盧h\S「0

式中小是未知壓強，用單位長度水來表示。氏加是長度單位。如果A中是

氣體，一般S太小，因此/72S可以忽略不計。

圖2.6簡單壓力計

一個通用的程序可用來解決所有測壓計的問題：

1.從一段開始（或任何液體新月型的表面，如果管路是連續的），用合適的單

位（比如Pa）寫下壓強，或如果壓強未知，用恰當的符號寫下。

2.從一個液體新月型的表面到下一個，用同樣的單位加到壓強的變化上（如果

下一個新月型的液體表面位置低的話就用+號，高的話就用一號。（對Pa來說，它等

于用m表示的高度差與用N/n?表示的重度的積。）

3.繼續下去直至到另一端的表壓（或開始時的新月型的液體表面）得到，并等

于在那個點的壓強表示，不管是已知或未知。

對簡單測壓計來說，這種表示包含一個未知壓強，或對差壓計來說給出兩點的

壓強差。用方程表示為，

Pt-（71-71,）”一（72-/1）/1-（73-/2）%一（咒—外）（一???一（yLK-1）二,n

式中外,71,yn是每個液體新月型的表面的標高，是長度的單位；九九…，/n-l

是液柱的重度。上面的方程表示單位面積上受的力，也可用圖2.4中的轉換關系變成

別的單位。

當系統中任何點的壓強都不能確定時，差壓計（圖.2.7）可確定4和8點的壓強

差。將上面的程序大綱應用到圖2.7a中，得到

=pBorPA-pa=力i%+%片F%

9

圖2.7差壓計

同樣，對圖2.7b、

PA+hi八一h2y、Llhy、二PBor份一例二一力iy】+方2%+方3%

不需要記住任何測壓計的公式。如果需要的話用上面的通用程序算出來更可取。

如果力和6點的壓強用水柱的高度來表示，對圖2.7a,上面的結果可以寫成

h.j-hfi=h\S\+h?Sr~h3s③unitsoflengthH2O

同樣，對圖2.7/7,

hA-h/i=-7/1S+力s22-力3S

這里S,S,和S是系統中可利用的液體比重。

例2.4圖2.7a中，在力和3處的液體是水，壓力計中的液體是油。90.80;

h\二300mm;h2=200mm;九二600mm.(a)求。一而，用Pa.(A)如果所50kPa,

氣壓計讀數是730mmHg,求用mH20表示/處的絕對壓強。

解：(a)h.\(mH2O)—h\SH2o—73sl20二加；

h,-0.3X1-0.2X0.8+0.6X1二6;

h.Lhk-0.14mH2O

PA-pfFy(hA-必)=(9806N/n)3)X(-0.14m)=-1373Pa

，23

(/?)hB=ps/y=5X10N/m+(9806N/m)=5.099mH20

由?

/z-fcibs—A>abs—0.14—15.027—014—14.89niH2Oabs

3.流動概念和基本方程

3.1流動特性；定義

當流場中參數不隨時間變化時，流動稱為穩定流動。又稱定常流動。其數學表達為

當流場中參數隨時間變化時，流動稱為非穩定流動。又稱非定常流動。

跡線：流體質點在一段時間內在流場空間中所走過的軌跡。

流線：某一瞬時在流體流場中所作的一條空間兒何曲線，在此曲線上，流體質點

的速度與曲線的切線重合。

流場中可以作很多流線。

10

在非定常流動中，流線的形狀隨時間變化；

在定常流中，流線的形狀是不變的，流線與跡線重合；

由于流線上的點只能有一個速度，因此流線間不可能相交，也不能轉折。

流線方程

8x_8y--_-3-z----

uyw

流管：在流場中作一條封閉曲線C,經過曲線C的每一點作流線，由這些流線組成的

表面稱為流管。

垂直于流束的斷面稱之為過流斷面或有效斷面。過流斷面可以是曲面。

3.2系統和控制體的概念

第二章中的分離體是一種方便的方法表示作用在任意固定質量上的力。這是系統

的一種特殊情況。系統是以；由確定質量的物質所組成，與其它物質區別開來的外界,

稱為系統邊界。系統的邊界構成封閉的表面。運動時，系統邊界隨時間而變化，但系

統內物質始終在系統內。例如，I員1筒內有1kg的氣體，隨著活塞的運動被壓縮，系統

的邊界與活塞的一段重合，并隨著活塞的運動而移動。根據需要，系統可以包含極小

的質量，也可以包含很大的流體或固體質量。

質量守恒定律說明系統內的質量不隨時間而變化(不考慮相互影響)。方程為

粵=0(3.2.1)

dt

其中勿是總質量。

牛頓運動第二定律對系統表示為

ZF=—(/HV)(3.2.2)

dt

其中m是系統的恒定質量；YF是所有作用在系統上的合外力，包括體積力，如重力;

v是系統質量中心的速度。

控制體(00是用來觀察流體運動的任意一個固定不動的空間體積。控制體的邊

界叫控制面(比。控制體的大小和形狀是隨意的，但一般一部分與固體邊界重合，

為了簡化，另一部分選取與流動方向垂直的面。通過把系統上的均勻速度和系統環境

重疊在一起，一種應用控制體的方便方法有時起作用，如確定介質中聲波速度。控制

體的概念用來推導連續性方程，動量方程和能量方程，也可以解決很多類型的問題e

控制體也可當作一個開放系統。

不管流體的性質，所有的流體必遵守下面的關系：

1.牛頓運動定律，每個流體質點在任何瞬時都有效；

2.連續性關系，也就是質量守恒定律；

3.熱力學第一和第二定律；

4.邊界條件；真實流動在邊界上相對邊界的速度為0,或無摩擦流體不能滲

透邊界。

別的關系和方程，如牛頓粘性定律，也可以包括進去。

11

圖3?3時間e時速度場中系統和控制體相同.

按照系統的一般性質，下面推導控制體的概念與系統的關系。然后分別用來得到

連續性，能量，和線動量方程。

為了用公式表示應用到系統的方程和應用到控制體的方程之間的關系，研究一些

一般的流動情況。圖3.3中，流體的速度是相對于xyz坐標系統。時間t時，考慮包

含在一個系統中的一定質量的流體，系統邊界用點一線表示。另外也考慮一個控制體，

相對于打2坐標系固定不動，在時間t時控制體邊界完全與系統邊界重合。在時間t

+61,系統稍微有一些移動，因為每個質點以與其位置關聯的速度移動。

讓/V表示在七時刻該系統內流體所具有的某種物理量(如質量，能量，動量等)

的總量，〃表示單位質量流體所具有的這種物理量。系統內N的增長率現在依據控制

體用公式表示。

Att+6t.圖3.36中，在時間t時，系統由體積II和III組成；而在時

間t時，圖3.3a中，系統占據體積IIo系統在在時間及內性質”的增長是

-1=&r]pdu+finT1Pdu)t+次-&仍⑹

其中du是微元體體積。重組方程，在加減

ft例4+&

到右邊，然后兩邊除比得到

二(jM向D+十拉一U6施?

a-

?(J11177A.(I力。+次(323)

切切..

左邊的項是在時間及內系統內N的平均增長率。當及―0時，這項變成出如風如果

當次一0時，對方程右端的第一項，其前兩個的積分是在控制體內[巧tE寸"的數

量，第三個積分是在控制體內t時田的數量，其極限是

*?

當體積(控制體)保持不變，當加一0時、需要偏微分形式。

下一項是流出控制體內N的時間變化率，極限時可以寫成

12

lim"+N=dA=jz/pvcosadA(3.2.4)

占->0Stoutflowarea

其中圖3.3c中，dA是表示流出面的面積微元的矢量，方向是控制體表面微元的法線

方向，流出控制體為正，。是速度矢量和微元面矢量之間的夾角。

同樣地，方程(3.2.3)的最后一項，是流進控制體的N的流率，極限為

lim0[nM”+3t__j"pv?dA=-Jz/pvcosadA(3.2.5)

>°&inflowarea

對v-dA來說,負號是必須的(或圖3.3d中，對流進的流體,cosa是負的)。方程⑶2.3)

最后兩項分別由方程(3.2.4)和(3.2.5)表示，可以聯合起來用一項表示，表示在整

個控制面(cs)上的積分

lim終如妙應皿妙川…二加…”

》->0[OtOt)ac

當沒有流入和流出流體時，v^dA=0；因此，這個方程可以用在整個控制面上求值。

方程(3.2.3)變成

號=2Jcv'?閔0+k+/A⑶2.6)

at@33

總之，方程⑶2.6)說明：流體系統的某種物理量的時間變化率等于控制體內這

種物理量的時間變化率加上這種物理量單位時間經過控制面的凈通量。

方程(3.2.6)貫穿這一章，將用在系統中的定律和原理改成適用于控制體的形式。

系統的形式，對跟隨質點的運動有效，是拉格朗日分析的方法；控制體的方法稱為歐

拉分析方法，用來觀察通過固定控制體的流體流動特性。

因為孫n坐標系可以給一個任意的恒定速度，且不影響系統和其環境的動力學特

性。方程(3.2.6)是有效的，如果有固定尺寸和形狀的控制體內有轉換的均勻的速度,

方程(3.2.6)是有效的。

3.3控制體應用到連續，能量，和動量方程

在3.2中發展的系統和控制體對流體參數的通用關系,這節中首先應用到連續性,

然后能量，最后線動量c在下面一節中說明了這些方程的應用。

連續性

連續性方程從質量守恒定律，方程(3.2.1),發展而來。系統內質量隨時間變化

而不變。即

也=0

dt

方程(3.2.6)中，讓N是系統質量他那么/]是單位質量的質量，或T]-1

°=以⑶3.1)

13

也就是說，控制體的連續性方程說明：在控制體內質量增長率僅僅等于流到控制體內

的凈質量流量。方程將在3.4節中得到進一步的檢查。

能量方程

系統的熱力學第一定律：加到系統的熱量Q,與系統做的功『的差值只與系統的初

始和最后狀態有關。系統狀態的不同是系統的性質，不依賴于從初始和最后狀態所經

歷的途徑。稱其為總能量區熱力學第一定律方程形式為

QH—W=ELE、(3.3.2)

單位質量的內能稱為比總能e;因此，；應用方程(3.2.6),"二夕及斗二pe/p,

當=A'cv俾(1u+\cs佯“*dA(3.3.3)

或用方程(3.3.2)

6Q8WdEd.../o°n

H彳=f俾4+J“fpevdA(3.3.4)

系統對環境做的功分成兩部分：壓力對移動邊界做的功心.，和切應力做的功收，如作

用在轉軸上的轉矩做的功。壓力在時間灰內做的功為

(5Wpr=dt\pv-dA(3.3.5)

應用功的各項的定義，方程(3.3.4)變為

3Q疥匕d,Ac。

H{e6)

丁一丁二正幾①+片+r

如果不存在原子能，電能，磁能，和表面張力的影響，純凈物質的單位質量內能

e是勢能，動能，和熱力學內能之和。單位質量熱力學內能〃是分子間距離和作用力

存在的結果(依靠夕，「，或加；

e=gz+—+w(3.3.7)

2

線動量方程

方程⑶2.2)作為系統的牛頓第二定律，是使用方程⑶2.6)來推導控制體線動量

方程的基礎。

讓N是系統的線動量加匕及〃是單位質量的線動量夕力？然后應用方程T(3.2.2)

和(3.2.6)

ZF==±.Lypvdu+\cspvv-dA(3.3.8)

總之，作用在控制體上的合外力等于控制體內線動量的時間增長率與從控制體凈流出

的流體的線動量之和。

方程(3.3.1),(3.3.6),和(3.3.8)為分析流體力學的很多問題提供了關系式。

它們為系統的固體力學的關系和流體的控制體的關系提供了橋梁。

后面是基本的控制體方程的檢查和應用。

14

3.4連續性方程

這節是討論方程(3.3.1)的應用。首

先，首先考慮通過圖3.4中部分流管中的

穩定流動。控制體由斷面1和2之間的流

管壁面及斷面1和2組成。由于是穩定流

動，方程(3.3.1)的第一項為0；因此

fpv-dA=Q(3.4.1)

這表責控制體的凈流出質量等于0。在斷

面1凈流出質量是分-必1=-/?!VyM,在

斷面1/爭流出質量是。2%必?=piv-idA>?由圖3.4通過流管的穩定流動

于沒有流體從流管壁流出，所以

piV\dA\=p2v-idAi(3.4.2)

是穩定流動中沿流管的兩個斷面上的連續

性方程。

對圖3.5中的流管，如果0是斷面1

的平均密度，a是斷面2的平均密度，

m=p\(3.4.3)

其中匕，V2表示斷面1和2的平均密度，

應質量流量。斷面上的平均速度是

V=^\vdA

如果流量0(也叫體積流量)定義為

Q=AV(3.4.4)

連續性方程可以采用下面的形式

in=p\Q\=pQ(3.4.5)

對不可壓縮穩定流

0=4匕=A2V2(3.4.6)

是方程的一個有用的形式。

對密度不變的流體，不管是穩定或不穩定，方程(3.3.1)變為

Jj“/A=0(3.4.7)

這個方程說明凈流疝體枳流量為0(暗示任何時候控制體內充滿液體)o

例3.2圖3.6中，流著水的管路系統中斷面1的速度是3.Oft/s,直徑是2.0ft。

斷面2的直徑是3.0fto求流量及斷面2的速度,

解：由方程⑶4.6)

4x2?3

2=4匕=VX=—^―X3=9.42ft/s

②

QQ4

%=看=——=9.42x—y=1.33ft/s3.6流體通過連續管路的控制體.

2A2勺2

42

15

3.6伯努利方程

z+—+—=const(m-N/N,or,m)(3.6.2)

2gpg

它能被解釋為單位重量流體具有的能量(機械能)，單位niN/N

能量意義：

v2

Z表示單位重量流體相對于基準所具有的位置勢能；—表示單位重量流體所具

2g

有的動能；E表示單位重量流體所具有的壓力能

pg

沿流線的伯努利方程應用條件

無摩擦；沿流線；流體運動必須是穩定流，即流動定常；必須滿足不可壓縮條

件，P二常數；質量力只有重力。

3.10穩定流動能量方程的應用

對不可壓縮流體方程(3.9.6)簡化為

—+—+Z|=—+—+z2+losses(3.10.1)

P82gpg2g

其中每一項都是能量項，m.N/N或ft.lb/lb,也包括損失項。功的項已被忽略掉，需

要的話也可加上。

動能修正系數

在處理明渠或封閉渠道流動時常采用一維分析方法進行分析。整個流動被當成一

個大的流管，每個斷面上平均速度為V。不管怎樣，單位重量的動能戶/2g,不是j/g

在整個斷面上的平均。需要對戶/2g計算一個修正系數a,以便使2g是通過斷面

的單位重量流體的動能。參照圖3.18,單位時間通過斷面的動能是

2

夕丁MA

八2g

其中/v6A是單位時間通過必的重量，//2g是單

位重量的動能。是它等于單位時間通過斷面的動能，

用a0/2g表示，則

V2.v3圖3.18速度分布和平均速度

a—pgVA=pf>—dA

2gA2g

解得：動能修正系數a為

1v

=-[f—dA(3.10.2)

能量方程變為

16

z(+—+a—=z+—+a—+losses(3.10.3)

PS]2g2pg**22g

對管道層流，。=2,正如5.2節中顯示得。對管道紊流，a從1.01?1.10變

化，經常忽略掉，即取a=l,當然精確計算除外。

在能量方程(3.10.1)中，除了損失項外，其余各項都是可利用能量。對通過系統

得真實流動，可利用能量沿著流動方向而減少；它可用來做功，如通過渦輪機得水可

做功一樣。

用沿著流管的可利用能量圖描繪能量梯度線。表示沿著流管的z加〃I勺線是測壓管

水頭線，或水力梯度線、.真實流動中，能量梯度線經常斜向下，對泵或別的能量源除

外。能量梯度線的減少也稱為水頭損失。

例3.10圖3.19中得虹吸管充滿水，流量是T1501/so求用速度水頭產/2g表

示的從1點到3點的水頭損失。如果2/3的水頭損失發生在從1點到2點之間，求2

點的壓強。

解：控制體由從3點起系統中上游的所有水組成，能量方程(3.10.1)首先用到

這個控制體。3點的高度為0,表壓強為0,即2尸0,0k0。

Z]+—+—=Z3+旦+—+losses

r2/2~

或1.5+0+0=0+0+YLYl

2g2g

其中從1到3得水頭損失表示為KV"2g。從流量

定義得出

1501/slm3/s

4.77riVs

乃(0.1)210001/s

和求12g=1.16m。因此，4=0.29,水頭損失

是0.29公/2g=0.34m?N/N.

Figure3.19虹吸管.

能量方程應用到1點和2點之間的控制體，

其中得水頭損失是(2/3)40/2爐O.23m,因此

0+0+0=2+也+1.16+0.23

Figure3.20皮托管

2點的壓力水頭是-3.39mH20,或壓強-33.2kPa.

例3.11圖3.20中的裝置是用來確定液體在1點的速度。它是一個管子，管子

下端指向上游，另外一段垂直并開口通大氣。開口2上受到得力使液體在垂直一段相

對自由表面升起△之的高度。求1點的速度。點2是停滯點，其速度為0。這產生了沖

擊壓強，叫動壓，迫使流體流進垂直段。寫1和2點的能量方程，忽略流動損失，它

是很小的，

()+—+—=0+—+0

y2gy

P\/y是給定的1點上的流體的高度，且等于kft流體，血丫是由測壓計給出

的，是A+Az,忽略毛細管作用。把這些值代入方程.

=Jz和匕=

2g

17

這是一個簡單形式的皮托管。

3.11線動量方程的應用

3.3節中牛頓第二定律，動量方程發展成線

動量方程，

人以(3.11.1)

這個矢量的關系可以應用到任何分量，對x方向，

方程變為

工鼻味I叫du+￡,pvxv-dA(3.11.2)

選擇隨意的控制體時，優先選擇垂直于速度的表面(橫截面)。另外，如果速度

在表面上時定值，表面上的積分可以不需要。圖3.21中，控制表面如圖中所示，對于

穩定流，作用在控制體上的合力4由方程(3.11.2)給出

工=6&匕匕2-8

或工3%/)蒯瞅

因為每秒進入和離開的質量是小W曠

-硼臚

當在一個平橫截面的控制面上變化時，引入動X

量修正系數分圖3.22中的平均速度可以利用，Figure3.22通過「控制面的

22

\ApvdA=ppVA(3.11.3)非均勻流

其中僅是無量綱數。求解僅得出s

尸=?(己)2dA(3.H.4)

它與方程(3.10.2)中動能修正系數a類似。對等直圓管的層流，在4.2中/=4/3。

對均勻流〃=1，4不能小于lo

在應用方程(3.11.1)或分量方程(3.11.2)時，應該關注控制體的選取和作用在

其上的力。流入和流出項的負號必須仔細確定。第一個例子是非穩定流，使用方程

(3.11.2)和一般的連續性方程(3.3.1)。

例3.14圖3.25中漸縮彎頭位于垂直平面上,水流過彎頭.4=1.8叫&=1.2叫

88.49//s,腔80x10%,2F3m,e120。，p,=275.8kPa,產1.8m,通過彎頭的損失使

0.15為72gm.求&匕，仇二仇:1.

漸縮彎頭的內表而組成了控制體的表面.汝一割分天而沿有流體學時-till卜布音

于流動方向的斷面1