第05講余弦函數的圖像與性質課程標準學習目標1.通過做余弦函數的圖象，培養直觀想象素養．2.通過單調性與最值的計算，提升數學運算素養.3.通過周期性的研究，培養邏輯推理素養．1.了解畫余弦函數圖象的步驟，掌握“五點法”畫出余弦函數的圖象的方法．(重點)2．余弦函數圖象的簡單應用．(難點)3．余弦函數圖象的區別與聯系．(易混點)4．掌握余弦函數的單調性，并能利用單調性比較大小(重點、易混點)5.掌握余弦函數最大值與最小值，并會求簡單余弦函數的值域和最值．(重點、難點)6.了解余弦（型）函數、周期、最小正周期的定義．知識點01余弦曲線和余弦函數圖像的畫法余弦函數y＝cosx，x∈R的圖象叫余弦曲線．(1)要得到y＝cosx的圖象，只需把y＝sinx的圖象向左平移eq\f(π,2)個單位長度即可．(2)用“五點法”畫余弦曲線y＝cosx在[0,2π]上的圖象時，所取的五個關鍵點分別為(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)，再用光滑的曲線連接．【即學即練1】（2223高一下·上海嘉定·期中）不等式的解集為.知識點02余弦函數的周期性、奇偶性、單調性、最值函數y＝cosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π奇偶性偶函數解析式y＝cosx圖象值域[－1,1]單調性在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上單調遞增，在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上單調遞減最值x＝2kπ，k∈Z時，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z時，ymin＝－1【即學即練2】（2324高一下·上海徐匯·期中）已知函數，求此函數的最大值與最小值，并分別求出取得最大值和最小值時所對應的x的值．題型一：求cosx型三角函數的單調性1.（2122高一下·上海浦東新·期末）函數的單調遞增區間是.2．（2122高一下·上海黃浦·期末）函數的單調增區間是．3.（2122高一下·上海浦東新·期中）已知函數和的定義域分別為和，若對任意的，都恰好存在n個不同的實數，使得（其中），則稱為的“n重覆蓋函數”.(1)判斷下面兩組函數中，是否為的“n重覆蓋函數”，并說明理由；①，，“4重覆蓋函數”；②，，“2重覆蓋函數”；(2)若，為，的“9重覆蓋函數”，求的最大值.4．（2223高一下·上海徐匯·期中）已知函數，（其中，）(1)當時，求函數的嚴格遞增區間；(2)當時，求函數在上的最大值（其中常數）；(3)若函數為常值函數，求的值.題型二：求cosx（型）函數的單調性1.（2324高一下·上海嘉定·期中）下列命題中正確的是（

）A．若且，則B．若且，則C．若且，則D．若且，則2.（2324高一下·上海徐匯·期中）函數的值域為．3．（2122高一下·上海寶山·期中）函數的值域為.4.（2223高一下·上海·期中）設為常數，函數．(1)設，求函數的嚴格增區間；(2)若函數為偶函數，求此函數在上的值域．題型三：求含cosx的二次式的最值1．（2223高一下·上海長寧·期末）已知關于的不等式在內恒成立，則實數的取值范圍是．2．（2021高一下·上海奉賢·期中）函數在區間上的最小值是，則的最大值為．3.（2122高一下·上海長寧·期中）已知：.(1)化簡：；(2)求函數的最小值.4．（2324高一下·上海徐匯·期中）已知函數，求此函數的最大值與最小值，并分別求出取得最大值和最小值時所對應的x的值．題型四：由cosx（型）函數的值域（最值）求參數1.（2324高一下·上海徐匯·期中）設a，b為實數，滿足對任意實數x，都有．則的最大值為（

）A． B． C． D．22.（2324高一下·上海浦東新·期中）已知函數在區間有且僅有3個零點，則的取值范圍是.3．（2223高一下·上海浦東新·期中）已知函數，當函數值為時，自變量的取值集合為.4.（2223高一下·上海虹口·期中）設函數定義域為D，對于區間，如果存在，使得，則稱區間I為函數的“P區間”．(1)求證：是函數的“P區間”；(2)判斷是否是函數的“P區間”，并說明理由；(3)設為正實數，若是函數的“P區間”，求的取值范圍．題型五：求余弦（型）函數的最小正周期1.（2324高一下·上海·期中）下列函數中，最小正周期為的是（

）.A． B． C． D．2．（2324高一下·上海奉賢·期中）若函數滿足，則.3．（2223高一下·上海靜安·期中）函數的最小正周期是．4．（2223高一下·上海閔行·期中）函數的最小正周期為.題型六：由余弦（型）函數的周期性求值1．（2223高一下·上海長寧·期中）設函數，若，，在上為嚴格減函數，那么的不同取值的個數為（

）A．5 B．4 C．3 D．22.（2425高一上·上海·期末）已知14個任意角滿足對任意恒成立，若，設為這14個任意角的余弦值的和，則的最大值為．3.（2021高一下·上海徐匯·期中）函數的定義域為，對于區間，如果存在，，使得，則稱區間為函數的“區間”．（1）判斷是否是函數的“區間”，并說明理由；（2）設為正實數，若是函數的“區間”，求的取值范圍．題型七：求cosx（型）函數的對稱軸及對稱中心1.（2122高一下·上海楊浦·期中）設函數，其中m，n，，為已知實常數，，則下列4個命題：（1）若，則對任意實數x恒成立；（2）若，則函數為奇函數；（3）若，則函數為偶函數；（4）當時，若，則，其中錯誤的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．42.（2021高一下·上海徐匯·期中）函數（）的對稱軸方程為.3.（2324高一下·上海·期末）已知函數．(1)求的最小正周期，對稱中心；(2)求的單調區間，最值以及取得最值時的值．題型八：利用cosx（型）函數的對稱性求參數1.（2223高一下·上海楊浦·期末）已知常數，如果函數的圖像關于點中心對稱，那么的最小值為（

）A． B． C． D．2.（2324高一下·上海·期中）設函數的一個對稱中心是，則．3．（2122高一下·上海奉賢·期中）函數的圖象關于原點對稱，則4．（2324高一下·上海·期中）已知，常數滿足，若集合中恰有6個元素，則的取值構成的集合為.一、單選題1．（2223高一下·上海浦東新·期中）函數是（

）A．奇函數 B．偶函數C．既是奇函數又是偶函數 D．非奇非偶函數2．（2223高一下·上海長寧·期中）在下列函數中，既是上的嚴格增函數，又是以為最小正周期的偶函數的函數是（

）A． B．C． D．3．（2223高一下·上海寶山·期中）下列函數中是偶函數，以為最小正周期，且在上為增函數的是（

）A． B． C． D．4．（2223高一下·上海普陀·期中）設函數，給出的下列結論中正確的是（

）①當，時，為偶函數；②當，時，在區間上是單調函數；③當，時，在區間恰有3個零點；④當，時，在區間的最大值為，最小值為，則的最大值為A．① B．①④ C．①②③ D．①③④二、填空題5．（2122高一下·上海浦東新·期中）已知，且，則.6．（2223高一下·上海青浦·期中）已知函數是偶函數，則的取值是7．（2324高一下·上海·期中），的單調減區間是.8．（2021高一下·上海長寧·期中）已知函數，則它的單調遞增區間是9．（2021高一下·上海楊浦·期中）函數的單調遞增區間為.10．（2122高一下·上海閔行·期中）在中，，則的形狀為.11．（2223高一下·上海嘉定·期中）函數（其中）為奇函數，則；12．（2324高一下·上海·期中）已知函數是奇函數，則．13．（2122高一下·上海徐匯·期中）實數滿足，，則．14．（2122高一下·上海寶山·期中）已知，存在實數，使得對任意，總成立，則的最小值是．15．（2122高一下·上海楊浦·期中）函數

是奇函數，則；16．（2324高一下·上海·期中）對于函數，給出四個命題：①該函數的值域為；②當且僅當時，該函數取得最大值；③該函數是以2π為最小正周期的周期函數；④當且僅當，．上述命題中，假命題的序號是．三、解答題17．（2223高一下·上海靜安·期末）（1）指出函數的最大值，及函數取得最大值時所對應的的值，并畫出該函數在一個最小正周期內的大致圖像；（2）指出正弦函數的單調性，并以此為依據證明：余弦函數在區間是嚴格增函數.18．（2122高一下·上海寶山·期中）給出集合{對任意，都有成立}.(1)若，求證：函數；(2)由于（1）中函數既是周期函數又是偶函數，于是張同學猜想了兩個結論：命題甲：集合M中的元素都是周期為6的函數：命題乙：集合M中的元素都是偶函數；請對兩個命題給出判斷，如果正確，請證明；如果不正確，請舉反例：(3)設p為常數，且，求滿足成立的常數p的值.19．（2223高一下·上海徐匯·期中）設為常數，函數（）．(1)設，求函數的單調區間及周期；(2)若函數為偶函數，求此函數的值域．20．（2223高一下·上海黃浦·期中）在某個旅游業為主的地區，每年各個月份從事旅游服務工作的人數會發生周期性的變化.現假設該地區每年各個月份從事旅游服務工作的人數可近似地用函數來刻畫.其中，正整數表示月份且，例如時表示1月份，A和是正整數，.統計發現，該地區每年各個月份從事旅游服務工作的人數有以下規律：①各年相同的月份從事旅游服務工作的人數基本相同；②從事旅游服務工作的人數最多的8月份和最少的2月份相差約400人；③2月份從事旅游服務工作的人數約為100人，隨后逐月遞增直到8月份達到最多.(1)試根據已知信息，確定一個符合條