第05講導數在研究函數中的應用【人教A版2019】模塊一模塊一導數中函數零點（方程根）問題1．導數中的函數零點（方程根）問題利用導數研究含參函數的零點（方程的根）主要有兩種方法：(1)利用導數研究函數f(x)的最值，轉化為f(x)圖象與x軸的交點問題，主要是應用分類討論思想解決.(2)分離參變量，即由f(x)=0分離參變量，得a=g(x)，研究y=a與y=g(x)圖象的交點問題.2．與函數零點（方程根）有關的參數范圍問題的解題策略與函數零點（方程根）有關的參數范圍問題，往往利用導數研究函數的單調區間和極值點，并結合特殊點判斷函數的大致圖象，進而求出參數的取值范圍.也可分離出參數，轉化為兩函數圖象的交點情況.【題型1函數零點（方程根）的個數問題】【例1.1】（2024高二上·全國·專題練習）函數fx=xeA．0 B．1 C．2 D．3【例1.2】（2425高三上·四川·期中）已知實數a滿足2a+a=2，則函數fxA．0 B．1 C．2 D．3【變式1.1】（2425高三下·浙江寧波·階段練習）已知函數fx=x2+4x,x≤0A．3 B．4 C．5 D．6【變式1.2】（2024·新疆烏魯木齊·三模）已知符號函數sgn(x)=1,x>00,x=0A．0 B．1 C．2 D．3【題型2函數零點（方程根）的參數范圍問題】【例2.1】（2425高三上·安徽淮南·階段練習）已知fx=e2x+A．?2e B．?3 C．?e 【例2.2】（2425高三上·內蒙古赤峰·階段練習）已知函數f(x)=?x3+x2,x≤0A．1e,+∞C．0,1e 【變式2.1】（2425高三上·四川德陽·階段練習）已知函數fx(1)若a=e，求函數f(2)若函數fx有兩個不同的零點x1，（ⅰ）求實數a的取值范圍；（ⅱ）求證：1x【變式2.2】（2024·湖北·模擬預測）已知函數fx(1)當a=1時，求函數fx(2)若gx=ax2?1lnx?(x?1)2（ⅰ）求實數a的取值范圍；（ⅱ）求證：3a?1x模塊二模塊二導數中的不等式問題1．導數中的不等式證明(1)一般地，要證f(x)>g(x)在區間(a，b)上成立，需構造輔助函數F(x)＝f(x)－g(x)，通過分析F(x)在端點處的函數值來證明不等式．若F(a)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調遞增即可；若F(b)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調遞減即可.(2)在證明不等式中，若無法轉化為一個函數的最值問題，可考慮轉化為兩個函數的最值問題．2．導數中的恒（能）成立問題解決不等式恒（能）成立問題有兩種思路：(1)分離參數法解決恒（能）成立問題，根據不等式的性質將參數分離出來，得到一個一端是參數，另一端是變量表達式的不等式，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題，即可解決問題．(2)分類討論法解決恒（能）成立問題，將恒成立問題轉化為最值問題，此類問題關鍵是對參數進行分類討論，在參數的每一段上求函數的最值，并判斷是否滿足題意，據此進行求解即可.【題型3利用導數證明不等式】【例3.1】（2425高二上·全國·課后作業）已知函數fx(1)求fx(2)證明：當x∈0,+∞時，【例3.2】（2024高三·全國·專題練習）設函數fx(1)當a=e時，證明：f(2)當a>0時，證明：fx【變式3.1】（2024高三·全國·專題練習）已知函數fx=1?(1)當b=0時，討論fx(2)證明：當0<b<e2時，【變式3.2】（2024·全國·模擬預測）已知函數fx(1)求函數fx(2)若fx1=f【題型4利用導數研究不等式恒成立問題】【例4.1】（2425高三上·江西宜春·階段練習）已知x1,x2是函數fx=1A．?3,+∞ B．?2,+∞ C．2,+∞【例4.2】（2425高一上·江蘇揚州·階段練習）已知當xlnx≥1時，exlnxA．0,e2 C．e,+∞ 【變式4.1】（2425高三上·天津·階段練習）已知函數fx=ex+aln1A．0,1 B．1,+∞ C．1,+∞ 【變式4.2】（2425高三上·山東泰安·階段練習）函數?x=e2x?1ex+2A．(?2,+∞) B．(?∞,2) C．【題型5利用導數研究能成立問題】【例5.1】（2024高三·全國·專題練習）函數fx=lnx?mx+1，若存在x∈0,+∞，使A．?∞,1 B．?∞,2 C．【例5.2】（2024高三·全國·專題練習）若?x∈0,+∞，使得不等式lnx?2ax+1≥0成立，則實數aA．12，+∞ B．1，+∞ 【變式5.1】（2425高三上·吉林長春·階段練習）已知函數fx=xe?x，gx=12xA．2e2+C．12?1【變式5.2】（2024高三·全國·專題練習）已知函數fx=x2?2ex+a，gx=lnxA．2e?1,+∞C．e2,+∞模塊模塊三導數中的其他問題1．導數中的雙變量問題破解雙參數不等式的方法：一是轉化，即由已知條件入手，尋找雙參數滿足的關系式，并把含雙參數的不等式轉化為含單參數的不等式；二是巧構函數，再借用導數，判斷函數的單調性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應用到雙參不等式，即可證得結果．2．極值點偏移的相關概念所謂極值點偏移，是指對于單極值函數，由于函數極值點左右的增減速度不同，使得函數圖像沒有對稱性．極值點偏移的定義：對于函數在區間內只有一個極值點，方程的解分別為，且.(1)若，則稱函數在區間上極值點偏移；(2)若，則函數在區間上極值點左偏，簡稱極值點左偏；(3)若，則函數在區間上極值點右偏，簡稱極值點右偏．【題型6雙變量問題】【例6.1】（2324高二下·福建福州·期中）已知函數fx=x?2ex，若fx1A．x1>12 B．x2<【例6.2】（2425高三上·山東·階段練習）已知函數f(x)=e2x,g(x)=x?1，對任意x1∈R，存在x2∈(0,+A．1 B．2C．2+ln2 【變式6.1】（2024·四川·模擬預測）已知函數fx(1)當a=1時，求曲線y=fx在點0,f(2)設x1,x2x【變式6.2】（2425高三上·四川綿陽·階段練習）已知fx(1)當a=3時，求fx(2)若fx有兩個極值點x1，（i）求a的取值范圍；（ii）證明：fx【題型7導數中的極值點偏移問題】【例7.1】（2024高三·全國·專題練習）已知函數fx(1)若函數y=f′x(2)設x1,x2是函數【例7.2】（2024高三·全國·專題練習）已知函數fx(1)求函數fx(2)若函數gx=fx?ax2+a【變式7.1】（2024高二上·全國·專題練習）已知函數fx=x+aex(1)求a的值，并討論函數fx(2)若fx1=fx2【變式7.2】（2425高三上·上海黃浦·期末）函數y=fx的定義域為D，在D上僅有一個極值點x0，方程fx=0在D上僅有兩解，分別為x1、x2，且x1<x0<x2(1)設fx=x2?1，D=(2)設m>0且m≠1，fx=x3?mx2(3)設a∈R，fx=lnx?ax，D=0,+∞【題型8導數的實際應用】【例8.1】（2024·山東泰安·模擬預測）把一個周長為6的長方形鐵皮圍成一個無蓋無底的圓柱，當圓柱的體積最大時，該圓柱的底面半徑和高的比值為（

）A．2 B．1π C．1 D．【例8.2】（2024高三·全國·專題練習）小李準備向銀行貸款x(0<x≤10)萬元全部用于某產品的加工與銷售，據測算每年利潤y（單位：萬元）與貸款x滿足關系式y=lnx?x?12A．3萬元 B．4萬元 C．5萬元 D．6萬元【變式8.1】（2324高二下·重慶沙坪壩·期中）不期而至的新冠肺炎疫情，牽動了億萬國人的心，全國各地紛紛捐贈物資馳援武漢有一批捐贈物資需要通過輪船沿長江運送至武漢，已知該運送物資的輪船在航行中每小時的燃料費和它的速度的立方成正比，已知當速度為10海里每小時時，燃料費是6元每小時，而其他與速度無關的費用是96元每小時，問當輪船的速度是多少時，航行1海里所需的費用總和最小？（

）A．15 B．20 C．25 D．30【變式8.2】（2024高二下·全國·專題練習）某工廠需要建一個面積為512m2的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，則要使砌墻所用材料最省，則堆料場的長和寬各為（A．16m，16m B．32m，16mC．32m，8m D．16m，8m【題型9導數中的新定義問題】【例9.1】（2324高二下·江蘇常州·期中）設f(x)定義在R上，若對任意實數t，存在實數x1,x2，使得fx1?fx2A．f(x)=x3?3x B．f(x)=ex?1 【例9.2】（2425高三上·河北石家莊·期中）定理：如果函數fx及gx滿足：①圖象在閉區間a,?b上連續不斷；②在開區間a,?b內可導；③對?x∈a,?b,?g′x≠0，那么在a,?bA．?32e4C．?4e4【變式9.1】（2425高三上·山東臨沂·階段練習）若存在一個數m，使得函數fx定義域內的任意x，都有fx≥m，則稱fx有下界，(1)求函數fx=xln(2)判斷fx=e(3)若函數fx=xex?x2?3xx>0，m【變式9.2】（2425高三上·上海嘉定·期中）已知定義域為R的函數y=f(x)，其導數為y′=f′x，若對任意的x∈(1)請說明fx(2)若函數y=f(x)為“導可控函數”，且存在正數M，使|f(x)|≤M在x∈R上恒成立，試判斷函數y=f(x)?x(3)若函數y=f(x)為“導可控函數”，且存在a、b(a<b)，使得f(a)=f(b)，證明：對任意的實數x1、x2∈[a,b]一、單選題1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數fx=x+2exA．?1e3,0 B．?1e2．（2324高二下·北京延慶·期末）現有一塊邊長為2米的正方形鐵板，如果從鐵板的四個角各截去一個邊長相等的小正方形，然后做成一個長方體形的無蓋容器，為了使容器的容積最大，則截去的小正方形邊長應為（

）A．16米 B．14米 C．13米 3．（2425高二上·全國·課后作業）若關于x的不等式ex?x?a>0恒成立，則實數a的取值范圍為（A．e,+∞ B．?∞,1 C．4．（2324高二下·江西萍鄉·期中）對于三次函數fx=ax3+bx2+cx+da≠0，給出定義：f′x是y=fx的導函數，f″x是f′A．2022 B．2023 C．2024 D．20255．（2324高一上·北京·期末）已知函數f(x)=x+1x,g(x)=ax?1(a>0)，若?x1∈[12,2],?xA．(0,4] B．(0,74] C．[6．（2024高三·全國·專題練習）已知函數fx=x3+x3+a，若方程fA．1 B．239 C．527．（2425高二下·四川眉山·階段練習）已知函數fx=ex+ax有兩個零點xA．a<?e B．C．x1x2>18．（2425高三上·廣東東莞·階段練習）已知函數fx=xlnx,x>0,A．若a<?1e，則B．若gx恰有2個零點，則a的取值范圍是C．若gx恰有3個零點，則a的取值范圍是D．若1≤a<2，則gx二、多選題9．（2425高二·全國·課后作業）已知一家公司生產某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產1000件需另投入2.7萬元.設該公司一年內生產該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為Rx萬元，且RA．年產量為9000件 B．年產量為10000件C．年利潤最大值為38萬元 D．年利潤最大值為38.6萬元10．（2425高三上·河南·階段練習）已知對任意x>0，不等式ex?ax3+2aA．1 B．e2 C．e D．11．（2024·安徽·模擬預測）設函數fx=x?aA．當a=?1時，fx的圖象關于點0,?2B．當a=0時，方程fx+sinC．當a≥2時，a是fxD．存在實數a，fx三、填空題12．（2425高三上·江蘇淮安·階段練習）函數f(x)=2x3?3a.13．（2425高二上·江西宜春·階段練習）已知函數fx=ex?e?x?2sinx+2，若關于x的不等式14．（2425高三上·廣東深圳·階段練習）已知函數fx=x3+x2?x+1,x<0,x四、解答題15．（2425高三上·北京·階段練習）現有一張長為40cm，寬為30cm的長方形鐵皮ABCD，準備用它做成一只無蓋長方體鐵皮盒，要求材料利用率為100%，不考慮焊接處損失.如圖，在長方形ABCD的一個角剪下一塊正方形鐵皮，作為鐵皮盒的底面，用余下材料剪拼后作為鐵皮盒的側面，設長方體的底面邊長為xcm，高為ycm，體積為(1)求出x與y的關系式；(2)求該鐵皮盒體積V的最大值.16．（2425高三上·山東青島·階段練習）已知函數fx=axlnx，曲線y=fx(1