9.3等比數列(四)雙基達標(限時20分鐘)1．已知等比數列的前n項和為Sn，且S3＝2，S6－S3＝4，則S9－S6＝()．A．8 B．4 C．2 D．1解析由題知(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，所以S9－S6＝8.答案A2．{an}為等比數列，若eq\f(a8,a4)＝2，S4＝4，則S8的值等于 ()．A．12 B．24 C．16 D．32解析q4＝2，S8＝S4＋q4S4＝S4＋2S4＝3S4＝12.答案A3．設數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xn))滿足logaxn＋1＝1＋logaxn(a>0且a≠1，n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x100＝100，則x101＋x102＋…＋x200的值為 ()．A．100a B．101C．101a100 D．100解析logaxn＋1＝1＋logaxn(a>0且a≠1，n∈N*)，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xn))成等比數列，公比為a，∴x1＋x2＋…＋x100＝eq\f(x1（1－a100）,1－a)＝100.那么x101＋x102＋…＋x200＝x1a100＋x2a100＋…＋x100a100＝a100(x1＋x2＋…＋x100)＝100答案D4．已知等比數列的前7項和為48，前14項和為60，則前21項和為________．解析由題意S7，S14－S7，S21－S14組成等比數列48，12，3，即S21－S14＝3，∴S21＝63.答案635．一個首項與公比相等的各項均為正數的等比數列，其各項取常用對數后所得數列的前n項和為n(n＋1)，則這個數列的首項等于________．解析利用Sn表達式求然后求出a1.答案1006．求數列1，1＋a，1＋a＋a2，…，1＋a＋a2＋…＋an－1，…的前n項和Sn(其中a≠0)．解當a＝1時，則an＝n，于是Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2).當a≠1時，an＝eq\f(1－an,1－a)＝eq\f(1,1－a)(1－an)．∴Sn＝eq\f(1,1－a)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(n－（a＋a2＋…＋an）))＝eq\f(1,1－a)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(n－\f(a（1－an）,1－a)))＝eq\f(n,1－a)－eq\f(a（1－an）,（1－a）2).∴Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n（n＋1）,2)（a＝1），,\f(n,1－a)－\f(a（1－an）,（1－a）2)（a≠1）.))綜合提高限時25分鐘7．等比數列{an}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，則公比q＝ ()．A．2 B.eq\f(1,2) C．4 D.eq\f(1,4)解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a3＝3S2＋2，,a4＝3S3＋2，))得a4－a3＝3(S3－S2)．a4＝4a3∴q答案C8．已知等比數列{an}的首項為8，Sn是其前n項的和，某同學經計算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后來該同學發現其中一個數算錯了，則該數為()．A．S1 B．S2 C．S3 D．S解析S1＝a1＝8正確，由S2＝a1＋a2＝20得a2＝12，∴公比q＝eq\f(3,2)，由S3＝S2＋a3＝36得a3＝16，∴公比q＝eq\f(4,3).由此可知S2、S3必有一個是錯的．由S4＝eq\f(a1（1－q4）,1－q)＝65檢驗知q＝eq\f(3,2)，∴S3是錯誤的．答案C9．下列命題中正確命題為________．①常數列一定是等比數列；②等比數列前n項和Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)(其中a1為首項，q為公比)；③前n項和Sn為n的二次函數的數列一定是等差數列；④0不可能是任何等比數列的一項．解析對①舉反例：an＝0；②q≠1；③為等差數列，要求讓Sn無常數項．答案④10．設等比數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n項和為Sn，若eq\f(S6,S3)＝3，則eq\f(S9,S6)＝______．解析eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))為等比數列，則S3，S6－S3，S9－S6，…，成等比數列．令S3＝k.∵eq\f(S6,S3)＝3，S6＝3k，S6－S3＝2k，S9－S6＝4k，∴S9＝7k，eq\f(S9,S6)＝eq\f(7,3).答案eq\f(7,3)11．在等比數列{an}中，已知a1＋a4＝27，S6＝189，求q和a5.解由a1＋a4＝27得a1＋a1q3＝27.不難知q≠1.由S6＝189得189＝eq\f(a1（1－q6）,1－q)＝eq\f(a1（1＋q3）（1－q3）,1－q)＝27(1＋q＋q2)，∴q2＋q－6＝0，即q＝－3或q＝2.當q＝－3時，a1＋a1q3＝27，∴a1＝－eq\f(27,26).于是a5＝a1q4＝－eq\f(27,26)×(－3)4＝－eq\f(2187,26).當q＝2時，a1＋a1q3＝27，∴a1＝3，于是a5＝a1q4＝3×16＝48.12．(創新拓展)如果一個數列的各項均為實數，且從第2項起，每一項與它的前一項的平方差都等于同一個常數，則稱該數列為等方差數列，這個常數叫做該數列的公方差．問：是否存在一個非常數列的等比數列，同時也是等方差數列？若存在，求出這個數列；若不存在，說明理由．解設存在一個非常數列的等比數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))，同時也是等方差數列，則an＝a1qn－1，其中a1，q分別是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的首項與公比，則aeq\o\al(2,n)＝aeq\o\al(2,1)q2n－2要使eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是等方差數列，需aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＝k(k是與n無關的常數，n≥2)，即aeq\o\al(2,1)q2n－2－aeq\o\al(2,1)q2n－4＝aeq\o\al(2,1)q2n－4(q2－1)＝k.由等