第08講圓錐的認識與計算課程標準學習目標①圓錐的認識②圓錐的側面積③圓錐的全面積認識圓錐以及相關概念。掌握圓錐的側面積計算公式并運用。掌握圓錐的全面積公式并應用。知識點01圓錐的認識圓錐的認識：如圖，圓錐是由一個側面和一個底面構成。頂點C到底面圓上任意一點的連線是圓錐的母線，如的CA與CB。AB是圓錐底面直徑，頂點C到底面圓心O的距離CO是圓錐的高。圓錐的母線長、高與底面半徑的關系：圓錐的母線長與高與底面半徑構成勾股定理。即：如圖：。題型考點：①利用三者之間的關系計算。【即學即練1】1．一個圓錐的底面半徑為10cm，母線長為20cm，求圓錐的高是。【解答】解：（1）如圖所示，在Rt△SOA中，SO＝＝10知識點02圓錐的側面展開圖與側面積圓錐的側面展開圖的認識：圓錐的側面展開圖是一個扇形，這個扇形的半徑等于圓錐的母線長。扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長。圓錐的側面積計算：方法1：若已知圓錐的母線長為a，底面圓的半徑為r，則圓錐的側面展開圖的扇形的半徑為a，弧長等于底面圓周長等于：，根據已知弧長與半徑可得扇形的面積為：。方法2：圓錐的母線長為a，側面展開圖的圓心角為n°。則側面展開圖的扇形面積為：。題型考點：①圓錐側面積的計算。②側面積公式的應用。【即學即練1】2．圓錐的母線長為4，底面半徑為3，圓錐的側面積為（結果保留π）．【解答】解：∵圓錐的母線長為4，底面半徑為3，∴該圓錐的側面積為：π×3×4＝12π．故答案為：12π．【即學即練2】3．已知圓錐的母線長為8cm，側面展開圖的圓心角為45°，則該圓錐的側面積為cm2．【解答】解：根據題意，該圓錐的側面積＝＝8π（cm2）．故答案為8π．【即學即練3】4．如圖，圓錐的底面半徑OB＝6，高OC＝8，則圓錐的側面積等于?【解答】解：∵它的底面半徑OB＝6，高OC＝8．∴BC＝＝10，∴這個圓錐漏斗的側面積是：πrl＝π×6×10＝60π．故答案為：60π．【即學即練4】5．圓錐的側面積為8π，母線長為4，則它的底面半徑為（）A．2 B．1 C．3 D．4【解答】解：設圓錐的底面圓的半徑為r，根據題意得×2πr×4＝8π，解得r＝2．故選：A．【即學即練4】6．若圓錐的側面積是15π，母線長是5，則該圓錐底面圓的半徑是．【解答】解：設該圓錐底面圓的半徑是為r，根據題意得×2π×r×5＝15π，解得r＝3．即該圓錐底面圓的半徑是3．故答案為3．知識點03圓錐的全面積（表面積）計算圓錐的表面積計算：圓錐的側面是一個扇形，底面是一個圓。所以：圓錐的表面積＝圓錐的側面積＋圓錐的底面積。題型考點：①圓錐的表面積的計算。【即學即練1】7．已知圓錐的底面直徑為20cm，母線長為90cm，則圓錐的表面積是cm2．（結果保留π）【解答】解：圓錐的表面積＝10π×90+100π＝1000πcm2．故答案為：1000π．【即學即練2】8．扇形的圓心角為150°，半徑為4cm，用它做一個圓錐，那么這個圓錐的表面積為cm2．【解答】解：∵扇形的圓心角為150°，半徑為4cm，∴扇形的弧長為＝π，∴圓錐的底面周長為π，∴圓錐的底面半徑為π÷2π＝cm，∴圓錐的表面積為π××4+π×（）2＝cm2．故答案為．【即學即練3】9．已知直角三角形ABC的一條直角邊AB＝12cm，另一條直角邊BC＝5cm，則以AB為軸旋轉一周，所得到的圓錐的表面積是（）A．90πcm2 B．209πcm2 C．155πcm2 D．65πcm2【解答】解：圓錐的表面積＝×10π×13+π×52＝90πcm2．故選：A．題型01圓周側面積的計算【典例1】已知圓錐的底面半徑是4，母線長是5，則圓錐的側面積是（）A．10π B．15π C．20π D．25π【解答】解：圓錐的側面積＝×2π×4×5＝20π，故選：C．【典例2】圓錐的高為，母線長為3，沿一條母線將其側面展開，展開圖（扇形）的圓心角是度，該圓錐的側面積是（結果用含π的式子表示）．【解答】解：∵圓錐的高為，母線長為3，∴圓錐底面圓的半徑為：，∴圓錐底面圓的周長為：2π．設展開圖（扇形）的圓心角是n°，依題意得：，解得：n＝120°，圓錐的側面積是：．．故答案為：120，3π．【典例3】已知圓錐的底面半徑為5cm，高線長為12cm，則圓錐的側面積為（）cm2．A．130π B．120π C．65π D．60π【解答】解：∵圓錐的底面半徑為5cm，高線長為12cm，∴圓錐的底面周長＝2π×5＝10π（cm），母線長＝＝13（cm），∴圓錐的側面積＝×10π×13＝65π（cm2）．故選：C．【典例4】已知一個三角形的三邊長分別為3、4、5，將這個三角形繞著最短的邊所在直線旋轉一周，得到一個幾何體，那么這個幾何體的側面積為（）A．12π B．15π C．20π D．24π【解答】解：∵32+42＝52，∴這個三角形為直角三角形，兩直角邊為3，4，斜邊為5，∴以直角邊為3所在直線旋轉一周得到一個圓錐，底面半徑是4，母線是5，∴×2π×4×5＝20π．故選：C．題型02圓錐的表面積計算【典例1】已知圓錐的母線是3cm，底面半徑是1cm，則圓錐的表面積是cm2．【解答】解：底面半徑為1cm，則底面周長＝2πcm，圓錐的側面面積＝×2π×3＝3πcm2，底面面積＝πcm2，∴圓錐的表面積＝3π+π＝4πcm2．故答案為：4π．【典例2】如圖，圓錐的底面直徑AB＝6cm，OC＝4cm，則該圓錐的表面積是24πcm2（結果保留π）．【解答】解：∵AB＝6cm，OC＝4cm，∴OA＝＝3（cm），∴AC＝＝5（cm），∴圓錐的表面積＝S底+S側＝πr2+πrl＝9π+15π＝24π（cm2），故答案為：24π．【典例3】如圖，在△ABC中，AC＝3，AB＝4，BC邊上的高AD＝2，將△ABC繞著BC所在的直線旋轉一周得到的幾何體的表面積為14π．【解答】解：所得到的幾何體的表面積為π×2×3+π×2×4＝14π．故答案為：14π．【典例4】如圖所示，矩形紙片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓，恰好能作為一個圓錐的底面和側面，則圓錐的表面積為（）A．4πcm2 B．5πcm2 C．6πcm2 D．8πcm2【解答】解：設AB＝xcm，則DE＝（6﹣x）cm，根據題意，得＝π（6﹣x），解得x＝4，所以圓錐的表面積＝S側+S底＝×42π+π＝5π（cm2）．故選：B．題型03底面圓的半徑計算【典例1】如果圓錐側面展開圖的面積是15π，母線長是5，則這個圓錐的底面半徑是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：設底面半徑為R，則底面周長＝2πR，圓錐的側面展開圖的面積＝×2πR×5＝15π，∴R＝3．故選：A．【典例2】將半徑為4，圓心角為90°的扇形圍成一個圓錐的側面，則此圓錐底面圓的半徑是（）A．1 B． C．2 D．【解答】解：設此圓錐底面圓的半徑是r，根據題意，可得，解得r＝1，即此圓錐底面圓的半徑是1．故選：A．【典例3】如圖，用圓心角為120°，半徑為6的扇形圍成一個圓錐的側面，則這個圓錐的底面半徑是（）A．4 B．2 C．4π D．2π【解答】解：扇形的弧長＝＝4π，∴圓錐的底面半徑為4π÷2π＝2．故選：B．【典例4】如圖，從一塊半徑是2的圓形鐵片上剪出一個圓心角為90°的扇形，將剪下來的扇形圍成一個圓錐，那么這個圓錐的底面圓半徑是（）A． B． C． D．1【解答】解：連接BC，AO，由題意，得：∠CAB＝90°，AC＝BC，∵A，B，C在⊙O上，∴BC為⊙O的直徑，AO＝BO＝2，BC⊥AO，在Rt△ABO中，，即扇形的半徑為：扇形的弧長：設圓錐底面圓半徑為r，則有，∴，故選：C．題型04圓錐的高線的計算【典例1】已知圓錐的母線長13cm，側面積65πcm2，則這個圓錐的高是cm．【解答】解：設圓錐的底面圓的半徑為rcm，根據題意得?2π?r?13＝65π，解得r＝5，所以圓錐的高＝＝12（cm）．故答案為：12．【典例2】圓錐的側面展開圖是一個圓心角120°，半徑6cm的扇形，則該圓錐的高是（）A．1cm B．2cm C．cm D．cm【解答】解：∵一圓錐的側面展開圖是圓心角為120°、半徑為6cm的扇形，∴扇形弧長＝＝4π（cm），∴2πr＝4π，∴r＝2（cm），∴圓錐的高＝＝4（cm），故選：C．【典例3】如圖，已知圓錐側面展開圖的扇形面積為65πcm2，扇形的弧長為10πcm，則圓錐的高是（）A．5cm B．10cm C．12cm D．13cm【解答】解：設母線長為R，由題意得：65π＝×10π×R，解得R＝13cm．設圓錐的底面半徑為r，則10π＝2πr，解得：r＝5，故圓錐的高為：＝12故選：C．題型05圓錐的母線長的計算【典例1】已知一個圓錐的底面半徑是5cm，側面積是85πcm2，則圓錐的母線長是（）A．6.5cm B．13cm C．17cm D．26cm【解答】解：設圓錐的母線長為Rcm，則：85π＝π×5×R，解得R＝17，故選：C．【典例2】圓錐的底面圓半徑是1，側面展開圖的圓心角是90°，那么圓錐的母線長是．【解答】解：設圓錐的母線長為R，由題意得：解得：R＝4，故答案為：4．【典例3】如圖，以正六邊形ABCDEF的頂點A為圓心，AB為半徑作⊙A，與正六邊形ABCDEF重合的扇形部分恰好是一個圓錐側面展開圖，則該圓錐的底面半徑與母線長之比為（）A． B． C． D．【解答】解：設正六邊形ABCDEF的邊長為a，圓錐的底面半徑為r，∵六邊形ABCDEF為正六邊形，∴∠BAF＝120°，根據題意得2πr＝，所以＝，即該圓錐的底面半徑與母線長之比為．故選：C．1．圓錐的底面半徑為3，母線長為5．則這個圓錐的側面積為（）A．25π B．20π C．15π D．12π【解答】解：圓錐的側面積＝πrl＝π×3×5＝15π，故選：C．2．已知圓錐的底面半徑為5cm，高為12cm，則這個圓錐的側面積為（）A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2 D．130πcm2【解答】解：由圓錐底面半徑r＝5cm，高h＝12cm，根據勾股定理得到母線長l＝＝＝13（cm），根據圓錐的側面積公式：πrl＝π×5×13＝65π（cm2），故選：B．3．某學校組織開展手工制作實踐活動，一學生制作的圓錐母線長為30cm，底面圓的半徑為10cm，這個圓錐的側面展開圖的圓心角度數是（）A．30° B．60° C．90° D．120°【解答】解：設這種圓錐的側面展開圖的圓心角度數是n°，根據題意得，，解得n＝120，即這種圓錐的側面展開圖的圓心角度數是120°，故選：D．4．如圖，沿一條母線將圓錐側面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐的底面圓的半徑r＝1cm，扇形的圓心角θ＝120°，則該圓錐的母線長l為（）A．1cm B．12cm C．3cm D．6cm【解答】解：圓錐的底面周長＝2π×1＝2πcm，設圓錐的母線長為Rcm，則：＝2π，解得R＝3．故選：C．5．現有一張圓心角為90°，半徑為8cm的扇形紙片，用它恰好圍成一個圓錐的側面（接縫忽略不計），則該圓錐底面圓的半徑為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【解答】解：設該圓錐底面圓的半徑為r，根據題意得2πr＝，解得r＝2，即該圓錐底面圓的半徑為2cm．故選：B．6．如圖，Rt△ABC的斜邊AB＝13cm，一條直角邊AC＝5cm，以BC邊所在直線為軸將這個三角形旋轉一周，得到一個圓錐，則這個圓錐的全面積為（）A．65πcm2 B．90πcm2 C．156πcm2 D．300πcm2【解答】解：圓錐的表面積＝π×5×13+π×52＝90π（cm2）．故選：B．7．如圖所示，在矩形紙片上剪下一個扇形和一個圓形，使之恰好能圍成一個圓錐模型．若扇形的半徑為R，圓的半徑為r，則R與r滿足的數量關系是（）A．R＝r B．R＝2r C．R＝3r D．R＝4r【解答】解：扇形的弧長是：＝，圓的半徑為r，則底面圓的周長是2πr，圓錐的底面周長等于側面展開圖的扇形弧長則得到：＝2πr，即：R＝4r，R與r之間的關系是R＝4r．故選：D．8．如圖，矩形紙片ABCD中，AD＝12cm，把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓，恰好能作為同一個圓錐的側面和底面，則AB的長為（）A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm【解答】解：設圓錐的底面的半徑為rcm，則DE＝2rcm，AE＝AB＝（12﹣2r）cm，根據題意得＝2πr，解得r＝2，所以AB＝12﹣2r＝12﹣2×2＝8（cm）．故選：C．9．某盞路燈照射的空間可以看成如圖所示的圓錐，它的母線AB＝5米，半徑OB＝4米，則圓錐的側面積是平方米（結果保留π）．【解答】解：∵OB＝4米，AB＝5米，∴圓錐的底面周長＝2×π×4＝8π米，∴S扇形＝lr＝×8π×5＝20π米2．故答案為：20π．10．有一直徑為2的圓形鐵皮，要從中剪出一個最大圓心角為60°的扇形ABC，用此剪下的扇形鐵皮圍成一個圓錐，該圓錐的底面圓的半徑r＝．【解答】解：連接OA，作OD⊥AB于點D．則∠DAO＝×60°＝30°，OD＝，則AD＝OD＝，∴AB＝．則扇形的弧長是：＝π，根據題意得：2πr＝π，解得：r＝．故答案為：．11．已知一個圓錐的側面積與全面積的比為3：5，則其側面展開圖的圓心角為°．【解答】解：設圓錐的底面圓的半徑為r，母線長為l，側面展開圖的圓心角為n°，圓錐的側面積＝×2πr×l＝πrl，圓錐的全面積＝πrl+πr2，∵圓錐的側面積與全面積的比為3：5，∴πrl：（πrl+πr2）＝3：5，∴l＝r，∵2πr＝＝，解得n＝240，即圓錐側面展開圖的圓心角為240°．故答案為：240．12．如圖，已知矩形紙片ABCD，AD＝2，，以A為圓心，AD長為半徑畫弧交BC于點E，將扇形AED剪下圍成一個圓錐，則該圓錐的底面半徑為．【解答】解：cos∠BAE＝，∴∠BAE＝30°，∴∠DAE＝60°，∴圓錐的側面展開圖的弧長為：＝π，∴圓錐的底面半徑為π÷2π＝．13．在半徑為的圓形紙片中，剪出一個圓心角為60°的扇形（圖中的陰影部分）．（1）求這個扇形的半徑；（2）若用剪得的扇形紙片圍成一個圓錐的側面，求所圍成圓錐的底面圓半徑．【解答】解：（1）如圖，連接BC，OB，OC，過點O作OD⊥BC，垂足為D，∵∠BAC＝60°，，AB＝AC，∴∠