試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁山西省大同市2021-2022學年高一下學期期末數(shù)學試題第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、單選題1．若復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的虛部為（

）A． B． C． D．2．已知，，若，則（

）A． B． C． D．3．我國古代數(shù)學算經(jīng)十書之一的《九章算術》有一問題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)九千人，南鄉(xiāng)五千四百人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役五百，意思是用分層抽樣的方法從這三個鄉(xiāng)中抽出500人服役，則北鄉(xiāng)比南鄉(xiāng)多抽的人數(shù)為（

）A．70 B．50 C．40 D．604．甲、乙、丙三人在3天節(jié)日中值班，每人值班1天，則甲緊接著排在乙的前面值班的概率是A． B． C． D．5．為做好“新冠肺炎”疫情防控工作，某市各學校堅持落實“雙測溫報告”制度，以下是該市某中學高二5班第二組的8名同學某日上午的體溫記錄：36.1，36.1，35.7，36.8，36.5，36.6，36.3，36.4（單位：℃），則該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為（

）A．36.5 B．36.6 C．36.4 D．36.36．如圖，的斜二測直觀圖為等腰，其中，則原的面積為（

）A．2 B．4 C． D．7．袋子中有紅、黃、黑、白共四個小球，有放回地從中任取一個小球，直到紅、黃兩個小球都取到才停止，用隨機模擬的方法估計恰好抽取三次停止的概率.用1，2，3，4分別代表紅、黃、黑、白四個小球，利用電腦隨機產生1到4之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，以每三個隨機數(shù)為一組，表示取球三次的結果，經(jīng)隨機模擬產生了以下18組隨機數(shù)：343

432

341

134

234

132

243

331

112342

241

244

342

142

431

233

214

344由此可以估計，恰好抽取三次就停止的概率為（

）A． B． C． D．8．已知α、β是兩個不同的平面，m、n是兩條不同的直線，下列說法中錯誤的是（

）A．若m⊥α，m//n，n?β，則α⊥β B．若α//β，m⊥α，n⊥β，則m//nC．若α//β，m?α，n?β，則m//n D．若α⊥β，m?α，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β評卷人得分二、多選題9．設向量，，則下列敘述正確的是（

）A．若，則向量與的夾角為鈍角B．的最小值為2C．若為單位向量，且與垂直，則D．若，則或10．某市教體局對全市高三年級學生的身高進行抽樣調查，隨機抽取了100名學生，他們的身高都處在A，B，C，D，E五個層級內，根據(jù)抽樣結果得到如圖所示的統(tǒng)計圖表，則下列敘述正確的是（

）A．樣本中女生人數(shù)少于男生人數(shù) B．樣本中B層人數(shù)最多C．樣本中E層男生人數(shù)為6 D．樣本中D層男生人數(shù)多于女生11．從分別寫有、、、、以及、、、的張紙條中任意抽取兩張，有如下隨機事件：“恰有一張寫有數(shù)字”，“恰有一張寫有字母”，“至少有一張寫有數(shù)字”，“兩張都寫有數(shù)字”，“至多有一張寫有字母”.下列結論正確的有（

）A． B． C． D．12．已知正方形ABCD的邊長為2，將沿AC翻折到的位置，得到四面體，在翻折過程中，點始終位于所在平面的同一側，且的最小值為，則下列結論正確的是（

）A．四面體的外接球的表面積為B．四面體體積取最大值時，與平面ABC所成角為45°C．點D的運動軌跡的長度為D．邊AD旋轉所形成的曲面的面積為第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分三、填空題13．已知圓錐的表面積為，且它的側面展開圖是一個半圓，則圓錐的底面半徑為__________．14．已知某6個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，方差為8，現(xiàn)加入2和6兩個新數(shù)據(jù)，此時8個數(shù)據(jù)的方差為__________．15．如圖為一個盛滿水的圓錐形玻璃杯，現(xiàn)將一個球狀物體放入其中，使其完全浸沒于杯中，球面與圓錐側面相切，且與玻璃杯口所在平面相切，則溢出水的體積為___________.16．在中，為上一點，，為上任一點，若，則的最小值是_____________.評卷人得分四、解答題17．已知，，.(1)求與的夾角；(2)求.18．復數(shù)z是關于x的方程的一個根，且.(1)求復數(shù)z；(2)將z所對應向量繞原點O逆時針旋轉得到向量，記所對應復數(shù)為，求的值.19．某校對名高一學生的某次數(shù)學測試成績進行統(tǒng)計，分成，，，，五組，得到如圖所示頻率分布直方圖．（1）求圖中的值；（2）估計該校學生數(shù)學成績的平均數(shù)；（3）估計該校學生數(shù)學成績的第百分位數(shù)．20．在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，且的面積為.(1)求a的值；(2)若D為BC上一點，且______，求的值.從①，②這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.21．有一種魚的身體吸收汞，當這種魚身體中的汞含量超過其體重的1.00ppm（即百萬分之一）時，若人食用它，就會對人體產生危害.現(xiàn)從一批該魚中隨機選出30條魚，檢驗魚體中的汞含量與其體重的比值（單位：ppm），數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：0.07

0.24

0.39

0.54

0.61

0.66

0.73

0.82

0.82

0.820.87

0.91

0.95

0.98

0.98

1.02

1.02

1.08

1.14

1.201.20

1.26

1.29

1.31

1.37

1.40

1.44

1.58

1.62

1.68(1)求上述數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)；(2)有A，B兩個水池，兩水池之間有10個完全相同的小孔聯(lián)通，所有的小孔均在水下，且可以同時通過2條魚.（ⅰ）將其中汞的含量最低的2條魚分別放入A水池和B水池中，若這2條魚的游動相互獨立，均有的概率進入另一水池且不再游回，求這兩條魚最終在同一水池的概率；（ⅱ）將其中汞的含量最低的2條魚都先放入A水池中，若這2條魚均會獨立地且等可能地從其中任意一個小孔由A水池進入B水池且不再游回A水池，求這兩條魚由不同小孔進入B水池的概率.22．如圖，AB是的直徑，C是圓周上異于A，B的點，P是平面ABC外一點，且.(1)求證：平面平面；(2)若，點D是上一點，且與C在直徑AB同側，.（ⅰ）設平面平面，求證：；（ⅱ）求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的正切值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．A【解析】【分析】利用給定等式結合復數(shù)除法求出即可得解.【詳解】因，則，所以的虛部為-2.故選：A2．C【解析】【分析】由平面向量共線坐標運算公式計算可得．【詳解】解：，，，，解得：，故選：．3．D【解析】【分析】先求得抽樣比，再分別求得北鄉(xiāng)和南鄉(xiāng)抽出的人數(shù)，進而得到北鄉(xiāng)比南鄉(xiāng)多抽的人數(shù).【詳解】這三個鄉(xiāng)共有（人），則抽樣比為則北鄉(xiāng)抽出（人），南鄉(xiāng)抽出（人）則北鄉(xiāng)比南鄉(xiāng)多抽的人數(shù)為（人）.故選：D4．C【解析】【詳解】試題分析：.甲、乙、丙三人在3天節(jié)日中值班，每人值班1天，所有可能的事件有甲乙丙；甲丙乙；乙甲丙；乙丙甲；丙甲乙；丙乙甲共6種可能，每種事件發(fā)生的概率相等，其中甲緊接著排在乙的前面值班事件有乙甲丙，丙乙甲共兩種甲緊接著排在乙的前面值班的概率.考點：等可能事件發(fā)生的概率.5．B【解析】【分析】先將數(shù)據(jù)按從小到大排列，算出，根據(jù)百分位數(shù)的求法，即可求得答案.【詳解】將8個數(shù)據(jù)按從小到大排列為35.7，36.1，36.1，36.3，36.4，36.5，36.6，36.8，則所求第80百分位數(shù)為第7位，故為36.6故選：B6．D【解析】【分析】首先算出直觀圖面積，再根據(jù)平面圖形與直觀圖面積比為求解即可.【詳解】因為等腰是一平面圖形的直觀圖，直角邊，所以直角三角形的面積是.又因為平面圖形與直觀圖面積比為，所以原平面圖形的面積是.故選：D7．C【解析】【分析】首先數(shù)出滿足條件的組數(shù)，即可求解.【詳解】18組隨機數(shù)中，滿足條件的有132，112，241，142，這4組數(shù)據(jù)滿足條件，所以估計恰好抽取三次就停止的概率.故選：C8．C【解析】則由面面垂直的判定定理，可得α⊥β，可判定A正確的；根據(jù)線面垂直的性質，可判定B正確的；根據(jù)α//β，m?α，n?β，則m與n平行或異面，可判定C錯誤的；根據(jù)面面垂直的性質定理，可判定D正確的.【詳解】由題意，是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，對于A中，若m⊥α，m//n，n?β，則由面面垂直的判定定理，可得α⊥β，所以是正確的；對于B中，若α//β，m⊥α，n⊥β，根據(jù)線面垂直的性質，可得m//n，所以是正確的；對于C中，若α//β，m?α，n?β，則m與n平行或異面，所以是錯誤的；對于D中，若α⊥β，m?α，α∩β＝n，m⊥n，根據(jù)面面垂直的性質定理，可得m⊥β，所以是正確的.故選：C.【點睛】解答此類問題常見的誤區(qū)：1、對空間平行關系的轉化條件理解不透導致錯誤；2、對面面平行判定定理的條件“面內兩相交直線”認識不清導致錯解；3、對面面平行性質定理理解不深導致錯解.9．AB【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積，向量垂直的坐標表示，模的公式，即可判斷選項.【詳解】A.當向量與的夾角為鈍角時，，得，當時，，所以且，故A正確；B.，所以的最小值為2，故B正確；C.設，所以，解得或，所以或，故C錯誤；D.，解得：或，故D錯誤.故選：AB10．BC【解析】【分析】根據(jù)所給條形圖和扇形圖，結合總人數(shù)100人，逐一分析各個選項，即可得答案.【詳解】對于A：由女生身高情況條形圖可得：女生人數(shù)為9+24+15+9+3=60人，則男生人數(shù)為100-60=40人，所以女生人數(shù)多于男生人數(shù)，故A錯誤；對于B：在女生身高情況條形圖中，B層人數(shù)最多，在男生身高情況扇形圖中，B層比例最高，人數(shù)最多，所以樣本中B層人數(shù)最多，故B正確；對于C：由男生身高情況扇形圖可得：E層人數(shù)為人，故C正確對于D：由女生身高情況條形圖可得：D層人數(shù)為9人，由男生身高情況扇形圖可得：D層人數(shù)為人，男生少于女生，故D錯誤;故選：BC11．ABD【解析】【分析】列舉出每個事件所包含的基本事件類型，結合事件的關系判斷可得出結論.【詳解】事件包含的基本事件類型為：一張寫有數(shù)字一張寫有字母，事件包含的基本事件類型為：一張寫有數(shù)字一張寫有字母，事件包含的基本事件類型為：一張寫有數(shù)字一張寫有字母、兩張都寫有數(shù)字，事件包含的基本事件類型為：兩張都寫有數(shù)字，事件包含的基本事件類型為：一張寫有數(shù)字一張寫有字母、兩張都寫有數(shù)字，所以，，，，，故選：ABD.12．ABCD【解析】【分析】A.確定球心和半徑，即可求解外接球的表面積；B.根據(jù)垂直關系，確定線面角，即可求解；C.首先確定點的運動軌跡，再求長度；D.根據(jù)C的判斷結果，確定邊AD旋轉所形成的曲面，再求面積.【詳解】對A：，AC中點即為四面體的外接球的球心，AC為球的直徑，，四面體的外接球的表面積，故選項A正確；對B：當平面平面時，四面體體積的最大，此時高為，此時為與平面ABC所成角，，故選項B正確；對C：設方形對角線AC與BD交于O，由題意，翻折后當?shù)淖钚≈禐闀r，為邊長為的等邊三角形，此時，所以點D的運動軌跡是以O為圓心為半徑的圓心角為的圓弧，所以點D的運動軌跡的長度為，故選項C正確；對D：結合C的分析知，邊AD旋轉所形成的曲面的面積為以A為頂點，底面圓為以O為圓心為半徑的圓錐的側面積的，即所求曲面的面積為，故選項D正確.故選:ABCD.13．【解析】【分析】設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，根據(jù)題意，由和求解.【詳解】解：設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，因為圓錐的表面積為，所以，又側面展開圖是一個半圓，所以，聯(lián)立求得，故答案為：14．【解析】【分析】利用方差公式計算即可得到結果．【詳解】設原數(shù)據(jù)為，則，.加入2和6兩個新數(shù)據(jù)后，所得8個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所得8個數(shù)據(jù)的方差為．故答案為：715．【解析】【分析】由已知求出球的半徑，再由球的體積公式得答案．【詳解】解：作出圓錐的軸截面如圖所示，球心為截面三角形的中心，截面為正三角形，且邊長為2，則球的半徑為．溢出溶液的體積等于球的體積為．故答案為：．16．.【解析】【分析】由已知結合向量的共線定理，求得，然后結合基本不等式，即可求解.【詳解】因為，且為上任一點，可得，如圖所示，由三點共線，可得，其中，則，當且僅當且時，即時，等號成立，所以的最小值是.故答案為：.17．(1)(2)【解析】【分析】（1）先求得與的數(shù)量積，再去求與的夾角；（2）利用數(shù)量積去求的值.(1)∵，∴，即，又，，則，∴，又∵，∴，又∵，∴.(2)∵，∴.18．(1)(2)【解析】【分析】（1）先利用復數(shù)相等解方程，再利用舍根，進而求得復數(shù)z；（2）先由題給條件求得復數(shù)為，再去求求的值即可.(1)設，其中，由得，即，所以，解得，或.由，得，經(jīng)檢驗不滿足，所以，所以.(2)復數(shù)z所對應向量的坐標為，繞原點O逆時針旋轉得到，則.所以，則，所以的值為.19．（1）；（2）分；（3）分．【解析】【分析】（1）利用各組頻率和為1，列方程可求出的值；（2）直接計算平均數(shù)即可；（3）由于50到80的頻率和為，50到90的頻率和為，從而可知第百分位數(shù)在80到90之間，從而可計算得到【詳解】解：（1）由于組距為10，所以有，從而．（2）平均數(shù)分．（3）因為50到80的頻率和為，50到90的頻率和為，所以第75百分位數(shù)為分．20．(1)(2)答案見解析【解析】【分析】（1）先利用題給條件求得的值，再利用余弦定理即可求得的值；（2）選①時先利用正弦定理求得的值，再利用題給條件推得，進而得到的值；選②時先利用余弦定理求得的值，再利用題給條件推得，進而求得的值.(1)因為，，，所以，由余弦定理得，解得.(2)①當時，在中，由正弦定理，，即，所以.因為，所以，所以，所以.②當時，在中，由余弦定理知，.因為，所以，所以，所以，所以.21．(1)中位數(shù)為，眾數(shù)為0.82；(2)（ⅰ）；（ⅱ）【解析】【分析】（1）依據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義即可求得題給數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)；（2）（ⅰ）利用獨立事件同時發(fā)生的概率和互斥事件的概率公式即可求得這兩條魚最終在同一水池的概率；（ⅱ）利用對立事件和獨立事件同時發(fā)生的概率公式即可求得這兩條魚由不同小孔進入B水池的概率.(1)將30個數(shù)據(jù)由小到大排列如下0.07

0.24

0.39

0.54

0.61

0.66

0.73

0.82

0.82

0.820.87

0.91

0.95

0.98

0.98

1.02

1.02

1.08

1.14

1.201.20

1.26

1.29

1.31

1.37

1.40

1.44

1.58

1.62