2021年四川省資陽市高考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷（理科）一、選擇題（共12小題）.1．已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x＜2}（）A．{0} B．{x|x＜2} C．{0，1} D．{x|x≤2}2．復(fù)數(shù)﹣i的共軛復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．3．若雙曲線x2﹣＝1（m＞0）的離心率為4（）A．3 B． C．4 D．4．乘客小王下午要到南寧火車站乘坐車次為D3570的動車，該動車在16：22準時到達，16：41準時出發(fā)．小王上午已在網(wǎng)上購買該車次的火車票，他只可能在16：20到16：50中的一個時刻到達該動車的站臺，則小王能趕上這個車次的動車的概率為（）A． B． C． D．5．已知直線l：y＝kx﹣3（k＜0）與圓 C：x2﹣4x+y2+6y+12＝0相切，則l的方程為（）A．x+2y+6＝0 B． C． D．x+y+3＝06．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S5＝40，a2＝5，則S11＝（）A．165 B．176 C．180 D．1877．某夜市的某排攤位上共有9個鋪位，現(xiàn)有6家小吃類店鋪，3家飲料類店鋪打算入駐，要求飲料類店鋪不能相鄰，則可以排出的攤位規(guī)劃總個數(shù)為（）A． B． C． D．8．若函數(shù)f（x）＝sin（ωx﹣）的圖象關(guān)于直線x＝，則f（x）的最小正周期（）A．存在最大值，且最大值為2π B．存在最小值，且最小值為2π C．存在最大值，且最大值為π D．存在最小值，且最小值為π9．設(shè)x，y滿足約束條件，則z＝2x+y的取值范圍是（）A．[1，15] B．[1，16] C．[﹣1，15] D．[6，16]10．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＝1的兩個焦點，橢圓上的兩點D1∥EF2，DF2⊥EF2，則＝（）A． B． C．3 D．211．設(shè)曲線y＝x3﹣kx在x＝k處切線的斜率為f（k），則（）A． B． C． D．12．某三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，已知該三棱錐的各頂點都在球O的球面上，過該三棱錐最短的棱的中點作球O的截面（）A．π B． C．2π D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．已知向量＝（1，k），＝（﹣2，14），且與共線，則k＝．14．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱C1D1的中點，則BE與底面ABCD所成角的正弦值為．15．某商場舉行抽獎活動，只要顧客一次性購物滿180元就有一次抽獎機會．抽獎方法如下：一個抽獎箱中裝有6個形狀、大小完全相同的小球（4個紅球和2個黃球），顧客從中隨機抽取2個，若只有1個黃球則獎勵3元，其余情況都無獎勵．則每次抽獎所得獎勵的數(shù)學(xué)期望是元．16．已知數(shù)列{an}滿足a2＝3，an+1+1＝2（an+1），現(xiàn)有如下四個結(jié)論：①a7＝127；②{an}中各項均為奇數(shù)；③a10能被7整除；④數(shù)列{3an?2n}的前n項和為4n+1﹣3?2n+1+2．其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每道試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17．芯片作為在集成電路上的載體，廣泛應(yīng)用在、軍工、航天等多個領(lǐng)域，是能夠影響一個國家現(xiàn)代工業(yè)的重要因素．根據(jù)市場調(diào)研與統(tǒng)計（億元）與收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：（1）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；（2）根據(jù)折線圖的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回歸方程（系數(shù)精確到整數(shù)部分）；（3）為鼓勵科技創(chuàng)新，當研發(fā)技術(shù)投入不少于15億元時，國家給予公司補貼4億元附：樣本（xi，yi）（i＝1，2，…，n）的相關(guān)系數(shù)r＝，其回歸方程的斜率和截距的最小二乘法估計分別為＝，＝﹣．當|r|∈[0.75，1]時，兩個變量間高度相關(guān)．參考數(shù)據(jù)：．18．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（C+）．（1）求B；（2）若△ABC的面積為，D為AB邊的中點，求CD的最小值．19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°．點E，F(xiàn)分別在棱BC（不包含端點），且PF：DF＝BE：CE．（1）證明：EF∥平面PAB．（2）若PA＝AB，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．20．已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點為F，點P為拋物線C上一點，設(shè)其斜率為k0．（1）求拋物線C的方程；（2）直線l：y＝kx+b與拋物線C相交于不同的兩點A，B（異于點P）若直線AP與直線BP的斜率互為相反數(shù)，證明：k+k0＝0．21．已知函數(shù)f（x）＝alnx+x．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）當a＝1時，證明：xf（x）＜ex．（二）選考題：共10分請考生在第22、23題中任選一題作答如果多做，則按所做的第一題計分.[選修44：坐標系與參數(shù)方程]22．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程是（α為參數(shù)），以坐標原點為極點，直線l的極坐標方程為ρcosθ﹣2ρsinθ＝3．（1）求直線l的直角坐標方程和曲線C的普通方程；（2）若點P在曲線C上，求點P到直線l的距離的最大值．[選修45：不等式選講]23．設(shè)函數(shù)f（x）＝|x+a|+|x﹣3|．（1）當a＝2時，求不等式f（x）≤7的解集；（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍．參考答案一、選擇題（每小題5分，共60分．）1．已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x＜2}（）A．{0} B．{x|x＜2} C．{0，1} D．{x|x≤2}解：∵M＝{0，1，4}，∴M∪N＝{x|x≤2}．故選：D．2．復(fù)數(shù)﹣i的共軛復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．解：復(fù)數(shù)﹣i＝﹣i＝﹣+i，故選：B．3．若雙曲線x2﹣＝1（m＞0）的離心率為4（）A．3 B． C．4 D．解：雙曲線x2﹣＝1（m＞0）的離心率為5＝4．故選：B．4．乘客小王下午要到南寧火車站乘坐車次為D3570的動車，該動車在16：22準時到達，16：41準時出發(fā)．小王上午已在網(wǎng)上購買該車次的火車票，他只可能在16：20到16：50中的一個時刻到達該動車的站臺，則小王能趕上這個車次的動車的概率為（）A． B． C． D．解：根據(jù)題意得，小王在在16：20到16：50中的任意時刻到達站臺方可趕上動車，故所求的概率為＝，故選：C．5．已知直線l：y＝kx﹣3（k＜0）與圓 C：x2﹣4x+y2+6y+12＝0相切，則l的方程為（）A．x+2y+6＝0 B． C． D．x+y+3＝0解：由C：x2﹣4x+y4+6y+12＝0，得（x﹣7）2+（y+3）2＝1，故其圓心為（2，﹣8），若直線l：y＝kx﹣3（k＜0）與圓 C：x8﹣4x+y2+3y+12＝0相切，則＝1，又k＜0，所以k＝﹣，所以直線l的方程為y＝﹣x﹣3y+7，故選：C．6．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S5＝40，a2＝5，則S11＝（）A．165 B．176 C．180 D．187解：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，由S5＝40，a3＝5，可得，解得a7＝2，d＝3，所以a8＝a1+5d＝2+15＝17，所以S11＝11a6＝11×17＝187．故選：D．7．某夜市的某排攤位上共有9個鋪位，現(xiàn)有6家小吃類店鋪，3家飲料類店鋪打算入駐，要求飲料類店鋪不能相鄰，則可以排出的攤位規(guī)劃總個數(shù)為（）A． B． C． D．解：根據(jù)題意，分2步進行分析：①將6家小吃類店鋪排好，有A66種排法，②排好后，有7個空位可用，安排2家飲料類店鋪73種排法，則有A76A73種攤位規(guī)劃方案，故選：C．8．若函數(shù)f（x）＝sin（ωx﹣）的圖象關(guān)于直線x＝，則f（x）的最小正周期（）A．存在最大值，且最大值為2π B．存在最小值，且最小值為2π C．存在最大值，且最大值為π D．存在最小值，且最小值為π解：∵函數(shù)f（x）＝sin（ωx﹣）的圖象關(guān)于直線x＝，∴ω?﹣，k∈Z，即ω＝5+3k，∴函數(shù)的最小正周期≤，故f（x）的最小正周期存在最大值，且最大值為4π，故選：A．9．設(shè)x，y滿足約束條件，則z＝2x+y的取值范圍是（）A．[1，15] B．[1，16] C．[﹣1，15] D．[6，16]解：由約束條件作出可行域如圖，由圖可知，A（0，聯(lián)立，6），作出直線2x+y＝0，由圖可知，z＝2x+y有最小值6，至B時．∴z＝2x+y的取值范圍是[1，16]．故選：B．10．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＝1的兩個焦點，橢圓上的兩點D1∥EF2，DF2⊥EF2，則＝（）A． B． C．3 D．2解：如圖：設(shè)|DF2|＝x，根據(jù)橢圓的定義可知|DF1|＝2﹣x，又因DF1∥EF2，DF6⊥EF2，∴DF1⊥DF7，∴在△DF1F2中，x5+（4﹣x）2＝（2c）2＝8，∴x＝2，即DF1＝DF2＝6，∴點D與橢圓的上頂點重合，所以，∴∠，在△EF2F8中，設(shè)|EF2|＝y(tǒng)，則，解得y＝，故＝5．故選：C．11．設(shè)曲線y＝x3﹣kx在x＝k處切線的斜率為f（k），則（）A． B． C． D．解：y＝x3﹣kx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝3x8﹣k，可得曲線y＝x3﹣kx在x＝k處切線的斜率f（k）＝3k5﹣k，而f（k）＝3（k﹣）2﹣，可得f（k）在（，由＜log52＜log32＜1，且f（log7）＝f（+log22），可得f（log52）＜f（log52）＜f（+log23），即為f（log52）＜f（log98）＜f（log2），故選：B．12．某三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，已知該三棱錐的各頂點都在球O的球面上，過該三棱錐最短的棱的中點作球O的截面（）A．π B． C．2π D．解：由正視圖與俯視圖還原三棱錐的直觀圖如圖所示，該三棱錐為A1﹣BCD，把三棱錐放置在長方體ABCD﹣A1B2C1D1中，長方體的長為5，寬與高為2，則三棱錐的外接球與長方體的外接球相同，設(shè)球的半徑為R，則（2R）8＝22+22+42＝24，解得R＝．由棱錐的直觀圖可得，最短棱為BC，設(shè)BC的中點為E，則OE＝＝，當截面面積最小時，OE與面垂直，則r7+OE2＝R2，解得r＝8，此時截面面積為πr2＝π，故選：A．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．已知向量＝（1，k），＝（﹣2，14），且與共線，則k＝﹣7．解：向量＝（1，＝（﹣2，且與共線，所以3×14﹣（﹣2）×k＝0，解得k＝﹣8．故答案為：﹣7．14．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱C1D1的中點，則BE與底面ABCD所成角的正弦值為．解：如圖，取CD的中點F，BF，所以BE與底面ABCD所成角為∠EBF，設(shè)AB＝2，則BF＝，所以sin∠EBF＝＝．故答案為：．15．某商場舉行抽獎活動，只要顧客一次性購物滿180元就有一次抽獎機會．抽獎方法如下：一個抽獎箱中裝有6個形狀、大小完全相同的小球（4個紅球和2個黃球），顧客從中隨機抽取2個，若只有1個黃球則獎勵3元，其余情況都無獎勵．則每次抽獎所得獎勵的數(shù)學(xué)期望是元．解：設(shè)一次抽獎所得獎勵是X元，隨機變量X的可能取值為0，3，則P（X＝3）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝10）＝＝，所以E（X）＝7×+3×＝．故答案為：．16．已知數(shù)列{an}滿足a2＝3，an+1+1＝2（an+1），現(xiàn)有如下四個結(jié)論：①a7＝127；②{an}中各項均為奇數(shù)；③a10能被7整除；④數(shù)列{3an?2n}的前n項和為4n+1﹣3?2n+1+2．其中所有正確結(jié)論的序號是①②④．解：數(shù)列{an}滿足a2＝3，an+8+1＝2（an+5），解得a1＝1，整理得（常數(shù)），所以數(shù)列{an+1}是以2為首項，6為公比的等比數(shù)列；所以．對于①，根據(jù)數(shù)列的通項公式5＝128﹣1＝127，故①正確；對于②，由于，故②正確；對于③，不能被8整除；對于④，數(shù)列{3an?2n}的前n項和為＝6n+1﹣3?6n+1+2，故④正確．故答案為：①②④．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每道試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17．芯片作為在集成電路上的載體，廣泛應(yīng)用在、軍工、航天等多個領(lǐng)域，是能夠影響一個國家現(xiàn)代工業(yè)的重要因素．根據(jù)市場調(diào)研與統(tǒng)計（億元）與收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：（1）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；（2）根據(jù)折線圖的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回歸方程（系數(shù)精確到整數(shù)部分）；（3）為鼓勵科技創(chuàng)新，當研發(fā)技術(shù)投入不少于15億元時，國家給予公司補貼4億元附：樣本（xi，yi）（i＝1，2，…，n）的相關(guān)系數(shù)r＝，其回歸方程的斜率和截距的最小二乘法估計分別為＝，＝﹣．當|r|∈[0.75，1]時，兩個變量間高度相關(guān)．參考數(shù)據(jù)：．解：（1）相關(guān)系數(shù)r＝≈＝＝≈7.95＞0.75，所以y與x兩個變量高度相關(guān)，可以用線性回歸模型擬合．（2）由折線圖中數(shù)據(jù)知，＝×（2+3+3+6+8+10+13）＝，＝，因為＝≈＝≈4，所以＝﹣＝﹣×≈12，所以y關(guān)于x的線性回歸方程為＝4x+12．（3）當x＝16時，＝4×16+12＝76億元，此時公司的實際收益的預(yù)測值為76+6＝80億元．18．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（C+）．（1）求B；（2）若△ABC的面積為，D為AB邊的中點，求CD的最小值．解：（1）△ABC中，a＝2bsin（C+），由正弦定理得sinA＝2sinBsin（C+），即sin（B+C）＝2sinB（sinCcos），即sinBcosC+sinBcosC，又sinC＞0，化簡得，即tanB＝；又B∈（0，π）．（2）因為△ABC的面積為S△ABC＝acsinB＝，解得ac＝2；在△BCD中，由余弦定理可得，CD2＝a2+﹣2a?2+﹣2≥2a?，當且僅當a＝，c＝2時，所以CD≥，即CD的最小值為．19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°．點E，F(xiàn)分別在棱BC（不包含端點），且PF：DF＝BE：CE．（1）證明：EF∥平面PAB．（2）若PA＝AB，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．解：（1）證明：過點F作HF∥AD，HF∩PA＝H，∵HF∥AD，∴＝，∵PF：DF＝BE：CE，∴，∴，∵四邊形ABCD是菱形，∴BC∥AD，∴HF∥BE，且HF＝BE，∴四邊形ABCD是菱形，∴BC∥AD，∴HF∥BE，且HF＝BE，∴EF∥BH，∵BH?平面PAB，EF?平面PAB．（2）解：以A為原點，過A作垂直AD的直線為x軸，，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)﹣xyz，設(shè)AB＝2，則B（，7），1，4），2，0），3，2），∴＝（8，2，＝（，8），＝（﹣，3，設(shè)平面PBC的法向量＝（x，y，則，取x＝2，得，0，），設(shè)平面PCD的法向量＝（a，b，則，取a＝2，得，2，），設(shè)二面角B﹣PC﹣D為θ，由圖可知θ為鈍角，∴cosθ＝﹣|cos＜＞|＝﹣＝﹣，∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值為﹣．20．已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點為F，點P為拋物線C上一點，設(shè)其斜率為k0．（1）求拋物線C的方程；（2）直線l：y＝kx+b與拋物線C相交于不同的兩點A，B（異于點P）若直線AP與直線BP的斜率互為相反數(shù)，證明：k+k0＝0．【解答】（1）解：設(shè)點P（x0，y0），由點P到F的距離比點P到x軸的距離大6，所以PF＝y(tǒng)0+1，即，所以p＝2，即拋物線C的方程為x2＝7y；（2）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x6，y2），直線AP的斜率為kAP，直線BP的斜率為kBP，則，，因為直線AP與直線BP的斜率互為相反數(shù)，所以kAP＝﹣kBP，即，又點A（x1，y1），B（x5，y2）均值拋物線上，所以，化簡可得x1+x8＝﹣2x0，因為，所以，故，則，因為x2＝4y，所以，故，故，所以k+k4＝0．21．已知函數(shù)f（x）＝alnx+x．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）當a＝1時，證明：xf（x）＜ex．解：（1）f（x）＝alnx+x，x∈（0．f′（x）＝+1，a≥6時，f′（x）＞0，+∞）上單調(diào)遞增．a(chǎn)＜0時，令f′（x）＝8，函數(shù)f（x）在x∈（0，在（﹣a．（2）證明：當a＝1時，要證明：xf（x）