第１章場(chǎng)論1.1矢量的基本運(yùn)算公式1.2場(chǎng)的基本概念1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度1.4矢量場(chǎng)的散度和旋度1.5亥姆霍茲定理1.6常用正交曲線坐標(biāo)系1PPT課件1.1矢量的基本運(yùn)算公式1.1.1標(biāo)量和矢量1.1.2基本運(yùn)算公式1.1.3常用矢量2PPT課件標(biāo)量-用大小能夠完整描述的物理量矢量-需用大小和方向描述的物理量

若三個(gè)相互垂直的坐標(biāo)軸上的分量已知,一個(gè)矢量就確定了。例如在直角坐標(biāo)系中,矢量A的三個(gè)分量模值分別是Ax,Ay,Az,則A可表示為該矢量的模為1.1矢量的基本運(yùn)算公式

1.1.1標(biāo)量和矢量A的單位矢量為矢量的表示方法3PPT課件例如,在直角坐標(biāo)下,標(biāo)量場(chǎng)如溫度場(chǎng),電位場(chǎng),高度場(chǎng)等;矢量場(chǎng)如流速場(chǎng),電場(chǎng),渦流場(chǎng)等。1.1矢量的基本運(yùn)算公式

1.1.1標(biāo)量和矢量4PPT課件設(shè)1.1矢量的基本運(yùn)算公式

1.1.2矢量的基本公式(2)矢量的加法和減法(1)矢量的數(shù)乘5PPT課件(3)標(biāo)量積和矢量積標(biāo)量積A·B并有因而得

矢量的相乘有兩種定義-標(biāo)量積(點(diǎn)乘)和矢量積(叉乘)。1.1矢量的基本運(yùn)算公式

1.1.2矢量的基本公式6PPT課件矢量積A×B(3)標(biāo)量積和矢量積并有故1.1矢量的基本運(yùn)算公式

1.1.2矢量的基本公式7PPT課件標(biāo)量三重積為矢量三重積為（4）三重積

矢量的三連乘也有兩種-標(biāo)量、矢量三重積。1.1矢量的基本運(yùn)算公式

1.1.2矢量的基本公式8PPT課件(5)求導(dǎo)例求矢量場(chǎng)的矢量線方程。解矢量線應(yīng)滿足的微分方程為從而有解得矢量方程c1和c2是積分常數(shù)。1.1矢量的基本運(yùn)算公式

1.1.2矢量的基本公式9PPT課件1.1矢量的基本運(yùn)算公式

1.1.2矢量的基本公式(6)曲線積分例設(shè)，求任意兩點(diǎn)a、b間的矢量E的線積分。解10PPT課件(7)曲面積分例已知矢量場(chǎng)，求由內(nèi)向外穿過(guò)圓錐面x2+y2=z2與平面z=H所圍封閉曲面的通量。解

1.1矢量的基本運(yùn)算公式

1.1.2矢量的基本公式11PPT課件1.1矢量的基本運(yùn)算公式

1.1.3常用矢量

單位矢量一個(gè)特定方向上的單位矢量等于該方向上的任一矢量除以其幅值分矢量一個(gè)矢量在特定方向上的投影為其在該方向上的分量切向矢量（分量）法向矢量（分量）12PPT課件1.2場(chǎng)的基本概念1.2.1定義1.2.2分類1.2.3場(chǎng)圖13PPT課件1.2場(chǎng)的基本概念

1.2.1場(chǎng)的定義

場(chǎng)是一個(gè)標(biāo)量或一個(gè)矢量的位置函數(shù)，即場(chǎng)中任一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)確定的標(biāo)量或矢量值。1.2.2場(chǎng)的分類（1）標(biāo)量場(chǎng)例如,在直角坐標(biāo)系標(biāo)量場(chǎng)的場(chǎng)線-等值線(面)。等值線14PPT課件標(biāo)量場(chǎng)φ(x,y,z)的等值面方程為1.2場(chǎng)的基本概念

1.2.1場(chǎng)的定義

場(chǎng)是一個(gè)標(biāo)量或一個(gè)矢量的位置函數(shù)，即場(chǎng)中任一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)確定的標(biāo)量或矢量值。1.2.2場(chǎng)的分類（1）標(biāo)量場(chǎng)例求數(shù)量場(chǎng)φ=(x+y)2-z通過(guò)點(diǎn)M(1,0,1)的等值面方程。解點(diǎn)M的坐標(biāo)是x0=1,y0=0,z0=1，則該點(diǎn)的數(shù)量場(chǎng)值為φ=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程為或15PPT課件1.2場(chǎng)的基本概念

1.2.1場(chǎng)的定義

場(chǎng)是一個(gè)標(biāo)量或一個(gè)矢量的位置函數(shù)，即場(chǎng)中任一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)確定的標(biāo)量或矢量值。1.2.2場(chǎng)的分類（2）矢量場(chǎng)例如,在直角坐標(biāo)系矢量場(chǎng)的場(chǎng)線-矢量線。其方程為三維場(chǎng)在直角坐標(biāo)下二維場(chǎng)16PPT課件1.2場(chǎng)的基本概念

1.2.1場(chǎng)的定義

場(chǎng)是一個(gè)標(biāo)量或一個(gè)矢量的位置函數(shù)，即場(chǎng)中任一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)確定的標(biāo)量或矢量值。1.2.2場(chǎng)的分類（2）矢量場(chǎng)例求矢量場(chǎng)的矢量線方程。解矢量線應(yīng)滿足的微分方程為從而有解得矢量方程c1和c2是積分常數(shù)。17PPT課件形象描繪場(chǎng)分布的工具--場(chǎng)線矢量場(chǎng)--矢量線標(biāo)量場(chǎng)--等值線(面)。其方程為其方程為在直角坐標(biāo)下:矢量線在某一溫度上沿什么方向溫度變化最快？1.2.3場(chǎng)圖18PPT課件1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度1.3.1方向?qū)?shù)1.3.2梯度1.3.3梯度的物理意義19PPT課件

標(biāo)量場(chǎng)φ(x,y,z)在某點(diǎn)沿l方向的變化率稱為φ沿該方向的方向?qū)?shù)。它的值與所選取的方向有關(guān),設(shè)1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度1.3.1方向?qū)?shù)20PPT課件1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量函數(shù)的最大變化率1.3.1方向?qū)?shù)在直角坐標(biāo)系下性質(zhì)垂直于等值面；指向變化最快的方向；最大的變化率；定義1.3.2梯度定義21PPT課件引入則定義標(biāo)量場(chǎng)φ(x,y,z)在點(diǎn)P(x,y,z)處的梯度(gradient)為22PPT課件標(biāo)量函數(shù)φ的等值面的法線方向單位矢量可用梯度表示為即梯度的方向與過(guò)該點(diǎn)的等值面相垂直,并由梯度定義知,它指向φ增大的方向。

一座山的等高線圖23PPT課件梯度運(yùn)算有如下規(guī)則:24PPT課件例求數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)M(1,1,2)處沿方向的方向?qū)?shù)。解l方向的方向余弦為而在l方向的方向?qū)?shù)為在點(diǎn)M處沿l方向的方向?qū)?shù)25PPT課件例求r在M(1，0，1)處沿方向的方向?qū)?shù)。解

r的梯度為點(diǎn)M處的坐標(biāo)為x=1,y=0,z=1,

所以r在M點(diǎn)處的梯度為r在M點(diǎn)沿l方向的方向?qū)?shù)為而所以26PPT課件

標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量,是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù);

梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向,即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向。

梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù)的最大變化率，即該點(diǎn)最大方向?qū)?shù);1.3.3梯度的物理意義

三維高度場(chǎng)的梯度例高度場(chǎng)的梯度

與過(guò)該點(diǎn)的等高線垂直；

數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最大變化率；

指向地勢(shì)升高的方向。27PPT課件例電位場(chǎng)的梯度

與過(guò)該點(diǎn)的等位線垂直；

指向電位增加的方向。

數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；

電位場(chǎng)的梯度28PPT課件1.4矢量場(chǎng)的散度和旋度1.4.1通量1.4.2散度1.4.3環(huán)量1.4.4旋度29PPT課件1.4矢量場(chǎng)的散度和旋度

1.4.1通量

元通量通量30PPT課件矢量E

沿閉合曲面S的面積分>0(有正源)<0(有負(fù)源)=0(無(wú)源)矢量場(chǎng)的通量可以根據(jù)凈通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì):通量的物理意義31PPT課件定義矢量A在某點(diǎn)的散度(divergence),記為divA:1.4矢量場(chǎng)的散度和旋度

1.4.2散度

哈密頓(W.R.Hamilton)引入微分算子則散度可以表示為32PPT課件1.4矢量場(chǎng)的散度和旋度

1.4.2散度

33PPT課件得高斯公式(散度定理)

該公式表明了區(qū)域V中場(chǎng)A與邊界S上的場(chǎng)A之間的關(guān)系。

矢量函數(shù)的面積分與體積分的互換。1.4矢量場(chǎng)的散度和旋度

1.4.2散度

意義34PPT課件例球面S上任意點(diǎn)的位置矢量為試?yán)蒙⒍榷ɡ碛?jì)算解35PPT課件

矢量A沿某封閉曲線的線積分,定義為A沿該曲線的環(huán)量(或旋渦量),記為1.4矢量場(chǎng)的散度和旋度

1.4.3環(huán)量

環(huán)量密度取不同的路徑，其環(huán)量密度不同。36PPT課件

旋度是一個(gè)矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向。旋度(curl或rotation)與環(huán)量密度的關(guān)系為在直角坐標(biāo)系下1.4矢量場(chǎng)的散度和旋度

1.4.4旋度

37PPT課件1.4矢量場(chǎng)的散度和旋度

1.4.4旋度

旋度的物理意義

矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。

點(diǎn)P的旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值。

在矢量場(chǎng)中，若A=J0,稱之為旋度場(chǎng)(或渦旋場(chǎng))，J

稱為旋度源(或渦旋源)；

點(diǎn)P的旋度的方向是該點(diǎn)最大環(huán)量密度的方向。

若矢量場(chǎng)處處A=0，稱之為無(wú)旋場(chǎng)(或保守場(chǎng))。38PPT課件矢量A的旋度可表示為算子與A的矢量積,即

計(jì)算▽×A時(shí),先按矢量積規(guī)則展開,然后再作微分運(yùn)算,得1.4矢量場(chǎng)的散度和旋度

1.4.4旋度

39PPT課件

旋度運(yùn)算符合如下規(guī)則:在直角坐標(biāo)系中有40PPT課件斯托克斯(Stockes)定理

A

是環(huán)量密度，即圍繞單位面積環(huán)路上的環(huán)量。因此，其面積分后，環(huán)量為即Stocke’s定理在電磁場(chǎng)理論中，Gauss公式和Stockes公式是兩個(gè)非常重要的公式。矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換。該公式表明了區(qū)域S中場(chǎng)A與邊界L上的場(chǎng)A之間的關(guān)系41PPT課件例自由空間中的點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為求任意點(diǎn)處(r≠0)電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度▽×E。解42PPT課件可見,向分量為零;同樣,向和向分量也都為零。故這說(shuō)明點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)。因43PPT課件1.5亥姆霍茲定理1.5.1散度和旋度的比較1.5.2亥姆霍茲定理44PPT課件1.5.1散度和旋度的比較

①

矢量場(chǎng)的散度是一個(gè)標(biāo)量函數(shù),而矢量場(chǎng)的旋度是一個(gè)矢量函數(shù)。

②散度表示場(chǎng)中某點(diǎn)的通量密度,它是場(chǎng)中任一點(diǎn)通量源強(qiáng)度的量度;旋度表示場(chǎng)中某點(diǎn)的最大環(huán)量強(qiáng)度,它是場(chǎng)中任一點(diǎn)處旋渦源強(qiáng)度的量度。1.5亥姆霍茲定理

③

散度由各場(chǎng)分量沿各自方向上的變化率來(lái)決定;而旋度由各場(chǎng)分量在與之正交方向上的變化率來(lái)決定。45PPT課件

在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場(chǎng)由它的散度、旋度及邊界條件唯一地確定。已知矢量A的通量源密度矢量A的環(huán)量源密度場(chǎng)域邊界條件在電磁場(chǎng)中電荷密度電流密度J場(chǎng)域邊界條件（矢量A唯一地確定）1.5.2亥姆霍茲定理

46PPT課件例：判斷矢量場(chǎng)的性質(zhì)=0=0=000=047PPT課件1.6常用坐標(biāo)系1.6.1直角坐標(biāo)系1.6.2圓柱坐標(biāo)系1.6.3球坐標(biāo)系48PPT課件

坐標(biāo)變量微元1.6常用正交曲線坐標(biāo)系

1.6.1直角坐標(biāo)系49PPT課