彈性力學

第二章1Chapter2TheoryofPlaneProblems

第二章：平面問題的理論2.1Planestressandplanestrain

平面應力問題與平面應變問題2023/7/20彈性力學

第二章2

Spatialproblemsandplaneproblems

空間問題轉化為平面問題。

aspatialproblemaplaneproblem

thebodyhasaparticularshape.particularexternalforces.當物體的形狀特殊，外力分布特殊，空間問題轉化為平面問題。

Planeproblems:planestressproblemsandplanestrainproblems

平面問題:

平面應力問題與平面應變問題2023/7/20彈性力學

第二章3A.conditionsforplanestressproblem

平面應力問題的條件Body--averythinplateofuniformthickness.很薄的等厚度薄板Externalforces--1.Thesurfaceforcesactontheedgesonly.

面力僅作用板周邊

2.Thesurfaceforcesandbodyforcesareparalleltothefacesoftheplateanddistributeduniformlyoverthethickness.

面力、體力平行于板面且沿厚度無變化。2023/7/20彈性力學

第二章42023/7/20彈性力學

第二章5B.Coordinatesystemforplanestressproblem

平面應力問題的坐標系xandyaxesareinthemiddleplaneandzaxisisperpendiculartothemiddleplane.x,y軸放在薄板的中面內，z垂直于中面2023/7/20彈性力學

第二章6C.Stressesforplanestressproblem

平面應力問題的應力Notingtheabsenceofsurfaceforcesonthefacesoftheplate,wehave板面無面力作用，故:sincestressgradientsthroughplatearesmall,

通過板的應力梯度小

(zzxzy)z=any

≈0(xyxy)≠0,Theyare

functionsofxandyonly.theplateissaidtobeinaplanestresscondition

板稱為處于平面應力狀態。2023/7/20彈性力學

第二章71.planestressproblem(1)Geometrycharacter一個方向的尺寸比另兩個方向的尺寸小得多。等厚度薄平板如：板式吊鉤，旋轉圓盤，工字形梁的腹板等(2)Forcecharacter（1）板邊上受有平行于板面且不沿厚度變化的面力；（2）體力平行于板面且不沿厚度變化。(3)Stresscharacter2023/7/20彈性力學

第二章8思考題：斜放的平板可否視為平面應力問題？平面應力問題只有三個應力分量：應變分量、位移分量也僅為x、y的函數，與z無關。2023/7/20彈性力學

第二章9D.conditionsforplanestrainproblem

平面應變問題的條件Body--acylindricalorprismaticalbodywithinfinitelength無限長的柱形體Externalforces--1.Thesurfaceforcesareactingonthelateralsurface.

面力僅作用橫向周邊

2.Thesurfaceforcesandbodyforcesareparalleltoanycrosssectionofthebodyandnotvaryingalongtheaxialdirection.

面力體力平行于橫截面且不沿長度變化。2023/7/20彈性力學

第二章102023/7/20彈性力學

第二章11E.Coordinatesystemforplanestrainproblem

平面應變問題的坐標系xandyaxesareinanycrosssectionofthebody,andzaxisisperpendiculartothexyplane.x,y軸放在任意的橫截面內，z垂直于xy面2023/7/20彈性力學

第二章12F.Displacementsforplanestrainproblem

平面應變問題的位移Notingmotionconstrainedinzdirection,wehave：w=0

z向運動受限制，故：w=0(u,v)≠0,Theyarefunctionsofxandyonly

uv

通常不為零，且只是xy的函數。Planedisplacementproblem

平面位移問題2023/7/20彈性力學

第二章13G.Stressesforplanestrainproblem

平面應變問題的應力Symmetriccondition對稱條件:

zx=0zy=0z

≠0notindependent不獨立(xyxy)≠0,Theyarefunctionsofxandyonly

xyxy

通常不為零，且只是xy的函數2023/7/20彈性力學

第二章14

Symmetriccondition對稱條件:zx=0,zy=0

AB2023/7/20彈性力學

第二章15將mn作為對稱面，按作用反作用關系，左部分某點若有，右部分則有，大小與相等。由對稱性，對稱點切應力應具有相同方向，右邊又可有，而均代表同一點的切應力，故有，所以，因而同理2023/7/20彈性力學

第二章16H.Strainforplanestrainproblem

平面應變問題的應變w=0---------z=0zx=0zy=0--------rzx=0,rzy=0(x

y

rxy)≠0functionsofxandyonly

xy

rxy

通常不為零，且只是xy的函數Thebodyissaidtobeinaplanestraincondition.物體處于平面應變狀態。2023/7/20彈性力學

第二章172.planestrainproblem(1)幾何特征

一個方向的尺寸比另兩個方向的尺寸大得多，且沿長度方向幾何形狀和尺寸不變化。

——近似無限長等截面柱體(2)外力特征

外力（體力、面力）平行于橫截面作用，且沿長度z方向不變化。約束——沿長度z方向不變化。(3)變形特征——planestrainproblem2023/7/20彈性力學

第二章18水壩滾柱厚壁圓筒可近似為平面應變問題的例子：煤礦巷道的變形與破壞分析；擋土墻；重力壩等。2023/7/20彈性力學

第二章192023/7/20彈性力學

第二章202023/7/20彈性力學

第二章21

如圖所示三種情形，是否都屬平面問題？是平面應力問題還是平面應變問題？平面應力問題平面應變問題非平面問題2023/7/20彈性力學

第二章223.Solutionofplaneproblem問題：已知：外力（體力、面力）、邊界條件，求：——僅為xy的函數需建立三個方面的關系：（1）靜力學關系：（2）幾何學關系：（3）物理學關系：形變與應力間的關系。應力與體力、面力間的關系；形變與位移間的關系；建立邊界條件：——Differentialequationsofequilibrium——Geometricalequations——Physicalequations（1）stressboundaryproblems

；（2）displacementboundaryproblems

；（3）mixedboundaryproblems

；2023/7/20彈性力學

第二章232.2Differentialequationsofequilibrium

平衡微分方程Equationsofequilibriuminmechanicsofmaterials材料力學中的平衡方程isolatedelement(脫離體,單元體)L*h*b

從整體平衡中可求得反力x*h*b

從部分梁的平衡可求得內力，dx*h*b

從dx×h的單元體平衡可求得M、Q和q之間的微分關系

dx*dy*dzSpatialelasticityproblemsdx*dy*1Planeelasticityproblems2023/7/20彈性力學

第二章24問題：“如果單元體取得更小成dx×dy，那將怎樣呢？”回答:dx×dy的單元體也是平衡的，由平衡條件就可導得應力和體力之間的關系式，即平衡微分方程，這就是彈力研究的內容。比較類推:可見彈力的平衡微分方程的推導并不是全新的內容，其所用的方法（取單元體，考慮單元體的平衡）在材力中早已用過2023/7/20彈性力學

第二章25彈力的單元體變小了，所得方程從反力、內力的四則運算和常微分關系變成了應力體力的偏微分關系。彈力的研究更前進了一步，因為疊加彈力中無窮多個平衡的無窮小微元單元體就可得到材力中有限大的平衡單元體；相反，材力中有限大單元體的平衡不能保證彈力中無窮小微元單元體的平衡。2023/7/20彈性力學

第二章262023/7/20彈性力學

第二章27Review:Taylor’sseries:泰勒級數2023/7/20彈性力學

第二章28Review:Taylor’sseries:泰勒級數F(x+dx,y)=F(x,y)+F(x,y)/xdx+0.52F(x,y)/x2dx2+???≈F(x,y)+F(x,y)/x

dx

F(x,y+dy)=F(x,y)+F(x,y)/ydy+0.52F(x,y)/y2dy2+???≈F(x,y)+F(x,y)/y

dy

注：

這里用了小變形假定，以變形前的尺寸代替變形后尺寸。2023/7/20彈性力學

第二章29兩邊同除以dx

dy，并整理得：兩邊同除以dx

dy，并整理得：2023/7/20彈性力學

第二章30由微元體PABC平衡，得整理得：當時，有——剪應力互等定理當時，有2023/7/20彈性力學

第二章31平面問題的平衡微分方程：（2-2）說明：（1）兩個平衡微分方程，三個未知量：——超靜定問題，需找補充方程才能求解。（2）對于平面應變問題，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程兩類平面問題均適用；（3）平衡方程中不含E、μ，方程與材料性質無關（鋼、石料、混凝土等）；（4）平衡方程對整個彈性體內都滿足，包括邊界。2023/7/20彈性力學

第二章32Notesaboutdifferentialequationsofequilibrium

平衡方程注

--x方向的平衡方程，體力和應力都是x方向，故應力的第二個下標為x方向。對應力的第一個下標求導。

--y方向的平衡方程，體力和應力都是y方向，故應力的第二個下標為y方向。對應力的第一個下標求導。Inthefirst(second)differentialequationofequilibrium,thebodyforceandstressesareinthe

x

(y)direction,thesecondcoordinatesubscriptinstressesisx

(y),thedifferentialofstressesisrespecttothefirstsubscript.2023/7/20彈性力學

第二章33空間問題轉化為平面問題的條件。試述兩類平面問題z面上的應力情況？平面應力問題z面上的三個應力zzxzy是否精確為零？平面應變問題z面上的兩個應力zxzy是否精確為零？平面應變問題的位移和應變？檢查下面的應力在體力為零時是否是可能的解答.(1)бx

=5x,бy=3y,τxy=0(2)бx=2x2,бy=2y2,τxy=-4xy2023/7/20彈性力學

第二章34Checkwhetherthefollowingstressesmaybethepossiblesolutionwhen=0and=0(1

бx

=5x,бy=3y,τxy=0(2)бx=2x2,бy=2y2

τxy=-4xy2023/7/20彈性力學

第二章352.3Stressatapoint.Principalstresses一點的應力，主應力problem1:thestresscomponentsx

y

xyatapointPareknown.LetnbetheoutwardnormaltotheplaneABpassingthroughpointP.Thecosinesoftheanglesbetweennandaxesxandyaredenotedbylandmrespectively.WewanttoknowthestressesactingonAB

問題1：已知1.P點的x

y

xy2.過P

點的斜面的法線n的方向余弦l=cos(n,x)m=cos(n,y)求斜面上應力2023/7/20彈性力學

第二章362023/7/20彈性力學

第二章37AB=ds

PA=mds

PB=ldsFx=0:

px

ds-xl

ds-yxmds+fx0.5lds

mds=0Fy=0:pyds-ym

ds-xylds+fy0.5

lds

mds=0px=lx+m

yx

py=my+lxy

(2-3)Problem1:stressesactingonanyplane

斜面上應力px

py2023/7/20彈性力學

第二章38Problem2:stressesactingonanyplane

斜面上主應力n

nprojectionofpx

pyonthenormalnwillgiven,projectionofpx

pyperpendiculartothenormalnwillgiven

px

py(px=lx+m

yx

py=my+lxy

)投影到法線方向為n

，投影到和法線垂直的方向為nn=lpx+m

py=l2x

+m2y+2lmxy

(2-4)

n=lpy

-mpx=lm(y-

x)+(l2-m2)xy

(2-5)2023/7/20彈性力學

第二章392.一點的主應力與應力主向（1）主應力

若某一斜面上，則該斜面上的正應力稱為該點一個主應力

；當時，有求解得：（2-6）——平面應力狀態主應力的計算公式2023/7/20彈性力學

第二章40Problem3:Principalstress主應力1=(x+y)/2+[(x-y

)/2]2+xy22=(x+y)/2-[(x-y

)/2]2+xy2tan(1,x)=(1-x)/xytan(2,x)=xy/(2-y)1+2=x+yinvariantofthestateofstress

應力的不變量主應力所在的平面——稱為主平面；主應力所在平面的法線方向——稱為應力主向；由式（2-6）易得：——

平面應力狀態應力第一不變量（2）應力主向

設σ1與x

軸的夾角為α1，

σ1與坐標軸正向的方向余弦為l1、m1，則

設σ2

與x軸的夾角為α2，

σ2與坐標軸正向的方向余弦為

l2、m2，則應力主向的計算公式：由得顯然有表明：σ1

與σ2

互相垂直。結論任一點P，一定存在兩互相垂直的主應力σ1、σ2。（3）σn

用主應力表示xyOpdxdydsPABn由σ1

與σ2

分別為最大和最小應力。2023/7/20彈性力學

第二章43由顯然，當時，τn為最大、最小值：由得，τmax、τmin

的方向與σ1（σ2）成45°。xyOdxdydsPABnpProblem4:Maximumandminimumshearingstress2023/7/20彈性力學

第二章44Problem4:Maximumandminimumshearingstress

最大最小剪應力max=(1-2)/2min=-(1-2)/2Theyareactingonplanesinclinedat45with1or

2最大與最小剪應力發生在與應力主向成45度的斜面上N=(1+2)/2

Thenormalstressesontheplanesofmaximumandminimumshearingstressesatapointareequalandtakethemeanvalueofthetwoprincipalstressesatthepoint.

在發生最大與最小剪應力的面上，剪應力的數值都等于兩個主應力的平均值。2023/7/20彈性力學

第二章452.2.已知X=q，

y=0，xy

=

-2q

求1

，2，a1解：1=(x+y)/2+((x-y)/2)2+xy

2=(x+y)/2-((x-y)/2)2+xy

tga

1=(1-

x)/xy∴分別代入后，得1=2.562q

2=-1.562qtga1=-0.781a1=-37.99o=-37o59`

2023/7/20彈性力學

第二章462.4Geometricalequations.Rigid-bodydisplacements一幾何方程，剛體位移幾何方程

剛體位移

2023/7/20彈性力學

第二章47linesegmentsPA,PB,PCTostudydeformationconditionatacertainpointP,weconsiderlinesegmentsPA,PB,PC

研究一點的變形，考慮通過P點的三個正向微段PA,PB,PCPA//x

PA=dx

PA----positivexdirectionPB//y

PB=dy

PB----positiveydirection

PC//z

PC=dz

PC----positivezdirection2023/7/20彈性力學

第二章48Normalstrain--achangeinlengthperunitlength

正應變--單位長度的長度改變x--changeinlengthperunitlengthofPAy--changeinlengthperunitlengthofPBz--changeinlengthperunitlengthofPCpositive(negative)forelongation(contraction)x--x向微段PA的相對伸縮y--y向微段PB的相對伸縮伸長為正z--z向微段PC的相對伸縮縮短為負2023/7/20彈性力學

第二章49Shearingstrain--thechangeofarightangle（radian)

剪應變--直角的改變量(弧度)rxy--thechangeofarightangleAPBryz--thechangeofarightangleBPCrzx--thechangeofarightangleAPCpositive(negative)foradecrease(increase)oftherightanglerxy--直角APB的改變量

ryz--直角BPC的改變量

直角

變小為正rzx--直角APC的改變量直角

變大為負2023/7/20彈性力學

第二章502023/7/20彈性力學

第二章51

x--changeinlengthperunitlengthofPA

x--x向微段PA的相對伸縮

x=(A點x向位移-P點x向位移)/PA

=(u+u/x

dx-u)/dx=u/x

2023/7/20彈性力學

第二章52

y--changeinlengthperunitlengthofPB

y--y向微段PB的相對伸縮y=(B點y向位移-P點y向位移)/PB=(v+v/y

dy-v)/dy=v/y

2023/7/20彈性力學

第二章53

rxy--thechangeofarightangleAPB

rxy--直角APB的改變量

=(A點y向位移-P點y向位移)/PA=(v+v/x

dx-v)/dx

=v/x=(B點x向位移-P點x向位移)/PB=(u+u/y

dy-u)/dy=u/yrxy=+=u/y+v/x2023/7/20彈性力學

第二章54Notes注：規律x=u/x---x方向的位移u對x坐標求導u/x

為x方向線段的正應變x

。y=v/y---y方向的位移v

對y坐標求導v/y

為y方向線段的正應變y

。u/y--x方向的位移u

對y坐標求導為y方向線段的轉角。v/x--y方向的位移v

對x坐標求導為x方向線段的轉角。2023/7/20彈性力學

第二章55Rigid-bodydisplacements--displacementscorrespondingtozerostrains

剛體位移--應變為零時的位移x=u/x=0u=f1(y)y=v/y=0v=f2(x)

rxy=u/y+v/x=df1(y)/dy+df2(x)/dx=0

-df1(y)/dy=df2(x)/dx=-df1(y)/dy=f1(y)=-y+u0df2(x)/dx=f2(x)=x+v0

u=-y

+u0v=

x+v0

2023/7/20彈性力學

第二章56Physicalmeaningsofu0

v0

剛體位移中u0

v0

的物理意義。

u=-y

+u0v=

x+v0

u0--therigid-bodytranslationinthexdirectionx向剛體平動v0--therigid-bodytranslationintheydirectiony向剛體平動

--therigid-bodyrotationofthebodyaboutzaxis.繞z軸的剛體轉動2023/7/20彈性力學

第二章57

u=-y

+u0v=

x+v0

Assume:u0≠0,v0=0,=0,u(x,y)=u0,v(x,y)=0

u0

---therigid-bodytranslationinthexdirection.x向剛體平動Assume:u0=0,v0≠0,=0,u(x,y)=0,v(x,y)=v0

v0

---therigid-bodytranslationintheydirection.y向剛體平動Assume:u0=0,v0=0,≠0,u=-y

v=

x

---therigid-bodyrotationofthebodyaboutzaxis.繞z軸的剛體轉動2023/7/20彈性力學

第二章582023/7/20彈性力學

第二章59

2-5Physicalequations.物理方程

Hook’slaw虎克定律

--實驗得物理關系，本構關系

x=[x-(y+z)]/Erxy=xy/G

y=[y-(x+z)]/Erxz=xz/G(2-10)z=[z-(x+y)]/Erzy=zy/G

A.Physicalequations

forspatialproblems

A空間問題的物理方程2023/7/20彈性力學

第二章60E--themodulusofelasticityorYoung`smodulus

彈性模量楊氏模量--Poisson`sratio泊松比G--theshearmodulus剪切模量Theyareinterrelatedbytheequation。

EG的關系式

G=E/[2(1+)]2023/7/20彈性力學

第二章61B.Physicalequations

forplanestressproblems

B.平面應力問題的物理方程Substitutingz=0,zx=0andzy=0intoeq.(2-10),weobtain:

將z=0,zx=0和

zy=0代入方程(2-10)得：

x=[x-y]/E(2-11)

y=[y-x]/E

rxy=xy/Gz=-[x+y]/E

算板厚改變

itcanbeusedtofindthechangeofthicknessoftheplate.2023/7/20彈性力學

第二章62B.Physicalequations

forplanestressproblems

B.平面應力問題的物理方程x=[x-y]/E(2-12)

y=[y-x]/E

rxy=xy/Gx=E/(1-2)[x+y]

y=E/(1-2)[y+x]

xy=

G

rxy2023/7/20彈性力學

第二章63C.Physicalequations

forplanestrainproblems

C.平面應變問題的物理方程z=[z-x-y]/E=0----z=(x+y)

Substitutingz=(x+y),zx=0andzy=0intoeq.(2-10),weobtain:將z=(x+y),zx=0和

zy=0代入方程(2-10)得：x=[x-/(1-)y](1-2)/Ey=[y-/(1-)x](1-2)/E

(2-13)

rxy=xy/G2023/7/20彈性力學

第二章64

E

E/(1-2)

/(1-)

G

G

PlanestressproblemPlanestrainproblem

平面應力問題平面應變問題

E(1+2)/(1+)2E

/(1+)

G

G

2023/7/20彈性力學

第二章652.已知平面問題的位移分量為

u(x,y)=c(x-5)y

v(x,y)=c[0.5(10-x)x-0.1y2]其中c是個常數。求以下物理量在點P(x=2.5,y=1)的值：

(1)應變分量

(2)應力分量，已知E=200000,μ=0.2.(3)PA(PA=dx,PA//x)的轉角

(4)PB(PB=dy,PB//y)的轉角2023/7/20彈性力學

第二章66u(x,y)=c(x-5)y

v(x,y)=c[0.5(10-x)x-0.1y2]x=2.5,y=1E=200000,μ=0.2.

x=u/x=cy=c

y=v/y=c(-0.2y)=-0.2c

rxy=u/y+v/x=c(x-5)+c(5-x)=0

PA的轉角=v/x=c(5-x)=2.5c

PB的轉角=u/y=c(x-5)=-2.5c

x=E/(1-2)[x+y]=E/(1-2)[c-0.22c]=Ec

y=E/(1-2)[y+x]=E/(1-2)[-0.2c+0.2c]=0

xy=

G

rxy=02023/7/20彈性力學

第二章672-6Boundaryconditions邊界條件Elasticityproblems:displacementboundaryproblems,stressboundaryproblems,mixedboundaryproblems彈性力學問題：位移邊界問題，應力邊界問題，混合邊界問題2023/7/20彈性力學

第二章68Displacementboundaryproblems

位移邊界問題Allthesurfacedisplacementsofthewholebodyarespecified。

物體全部邊界上所有位移分量均已知。Displacementboundarycondition:位移邊界條件

(u)s=u(s)(v)s=v(s)(2-14)inwhichus

vs---displacementcomponentsonthesurface.欲求的位移分量在邊界點的值。

uv--prescribedfunctionsofcoordinatesonthesurface.給定的邊界點的位移分量值2023/7/20彈性力學

第二章692023/7/20彈性力學

第二章70Stressboundaryproblems應力邊界問題Allthesurfaceforcesactingonthebodyareprescribed.

物體全部邊界上所有面力分量均已知。stressboundarycondition:應力邊界條件:

(lx+myx)s=fx(my+lxy)s=fy

(2-15)inwhich

x

y

xy---stresscomponentsonthesurface.欲求的應力分量在邊界點的值

fx

fy

-----prescribedfunctionsofcoordinatesonthesurface.給定的邊界點的面力分量值2023/7/20彈性力學

第二章71xyOdxdydsPABpxpyn斜面外法線n的關于坐標軸的方向余弦：

在邊界上取出一個三角形塊,AB為邊界。兩邊除以ds，可得：給定面力分量邊界——應力邊界式中取：可得：2023/7/20彈性力學

第二章72Stressboundaryconditionsonacoordinateplane

坐標面上的應力邊界條件(lx+myx)s=fx(my+lxy)s=fy(x)s=fx(xy)s=fy

(positivexplane正x面:l=1,m=0)(x)s=-fx(xy)s=-fy

(negativexplane負x面

:l=-1,m=0)(yx)s=fx

y)s=fy

(positiveyplane正y面

:l=0,m=1)(yx)s=-fx

y)s=-fy

(negativeyplane負y面

:l=0,m=-1)2023/7/20彈性力學

第二章73

y

y

fy(x)s=fx(xy)s=fy

(x)s=-fx(xy)s=-fy

xx(yx)s=fx(y)s=fy(yx)s=-fx(y)s=-fy

fx

fx

yfy2023/7/20彈性力學

第二章74

yy

(x)s=-fx(x)s=fx

fx

xx

fxx

fy

xy

xy

fy(xy)s=-fy(xy)s=fy

2023/7/20彈性力學

第二章75

fyyfx(y)s=fy(yx)s=fx

xxyyxx(y)s=-fy

yyx(yx)s=-fx

fy

fx2023/7/20彈性力學

第二章76（2-15）在邊界上是坐標的已知函數

應力邊界條件表達了物體邊界上各點的應力分量與面力分量間的關系。由于面力分量是給定的，因此，應力分量的絕對值等于面力分量的絕對值；而面力分量的方向就是應力分量的方向，并可按照應力分量的正負號規定來確定應力分量的正負號。2023/7/20彈性力學

第二章77Mixedboundaryproblems-1

混合邊界問題-1Someportionoftheboundaryisspecifiedwithknowndisplacementswhiletheotherportionissubjectedtoknownsurfaceforces.

物體一部分邊界上已知所有位移分量，因而具有位移邊界條件：us=u

vs=v

物體另一部分邊界上已知所有面力分量，因而具有應力邊界條件：

(lx+myx)s=fx(my+lxy)s=fy2023/7/20彈性力學

第二章78Mixedboundaryproblems-2

混合邊界問題-2Aboundaryisspecifiedwithaknowndisplacementinonedirectionandsubjectedtoknownsurfaceforceintheperpendiculardirection.

物體同一部分邊界上一個方向已知位移分量，因而具有位移邊界條件，另一正交方向已知應力分量，因而具有應力邊界條件2023/7/20彈性力學

第二章79

us=u=0(xy)s=fy=0

vs=v=0(x)s=fx=02023/7/20彈性力學

第二章80例1如圖所示，試寫出其邊界條件。xyahhq(1)(2)(3)(4)2023/7/20彈性力學

第二章81例2如圖所示，試寫出其邊界條件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB段（y=0）：代入邊界條件公式，有(2)BC段（x=l）：(3)AC段（y=xtan

β）:N2023/7/20彈性力學

第二章82例3圖示水壩，試寫出其邊界條件。左側面：由應力邊界條件公式，有右側面：2023/7/20彈性力學

第二章83例4圖示薄板，在y方向受均勻拉力作用，證明在板中間突出部分的尖點A處無應力存在。解：——平面應力問題，在AC、AB邊界上無面力作用。即AB邊界：由應力邊界條件公式，有（1）AC邊界：代入應力邊界條件公式，有（2）∵A點同處于AB和AC的邊界，∴滿足式（1）和（2），解得∴A點處無應力作用2023/7/20彈性力學

第二章84例5圖示楔形體，試寫出其邊界條件。上側：下側：右側2023/7/20彈性力學

第二章85圖示構件，試寫出其應力邊界條件。例6上側：下側：N2023/7/20彈性力學

第二章862-7Saint-venant`sprinciple-1圣維南原理Ifasystemofforcesactingonasmallportionofthesurfaceofanelasticbodyisreplacedbyanotherstaticallyequivalentsystemofforces

actingonthesameportionofthesurface,

theredistributionofloadingproducessubstantialchangesinthestressesonlyintheimmediateneighborhoodoftheloading,andthestressesareessentiallythesameinthepartsofthebodywhichareatlargedistancesincomparisonwiththelineardimensionofthesurfacewhichtheforcesarechanged.2023/7/20彈性力學

第二章872-7Saint-venant`sprinciple-1圣維南原理把物體一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力，那末，離面力變換處較近的地方的應力將有顯著變化，離面力變換處較遠的地方的應力將基本不變。

staticallyequivalentsystems靜力等效力系By“staticallyequivalentsystems”wemeanthatthetwosystemhavethesameresultantforceandthesameresultantmoment.靜力等效力系是指兩個力系的主矢量相同，對同一點的主矩相同。2023/7/20彈性力學

第二章882023/7/20彈性力學

第二章892-7Saint-venant`sprinciple-2圣維南原理Ifabalancedsystemofsurfaceforcesisappliedtoanysmallportionofabody,itwillinducesignificantstressesonlyintheneighborhoodofthesurfaceforces.

作用在物體小部分邊界上的平衡面力系僅在面力作用的附近產生顯著的應力。Abalancedforcesystemcanberegardedasthedifferencebetweentwostaticallyequivalentforcesystems.

靜力等效的兩個力系的差異是個平衡力系。2023/7/20彈性力學

第二章902023/7/20彈性力學

第二章91補:Mathematicalexpressionsforelasticityproblem(planestress)彈性力學平面應力問題的數學表述(2-2)（2-8）（平面應力問題）（2-12）位移：（2-14）應力：（2-15）1.平衡微分方程2.幾何方程3.物理方程4.邊界條件2023/7/20彈性力學

第二章922023/7/20彈性力學

第二章933.圣維南原理的應用(1)對復雜的力邊界，用靜力等效的分布面力代替。(2)有些位移邊界不易滿足時，也可用靜力等效的分布面力代替。注意事項：(1)必須滿足靜力等效條件；(2)只能在次要邊界上用圣維南原理，在主要邊界上不能使用。如：AB主要邊界P次要邊界2023/7/20彈性力學

第二章94例如，圖2－9中，由于h<<l，左右兩端為小邊界，在左右邊界上有一般分布的面力fx

、fy，嚴格滿足（2-15）式是非常困難的。在右端小邊界上，使應力的主矢量等于面力的主矢量，應力對某點的主矩等于面力對同一點的主矩（即數值相同，方向一致）。具體的表達式為：2023/7/20彈性力學

第二章952023/7/20彈性力學

第二章96如果給出單位寬度上面力的主矢量和主矩，如圖2－9所示的FN，FS,M，則在x=l的小邊界上，三個積分邊界條件成為：2023/7/20彈性力學

第二章97例7圖示矩形截面水壩，其右側受靜水壓力，頂部受集中力作用。試寫出水壩的應力邊界條件。左側面：代入應力邊界條件公式右側面：代入應力邊界條件公式，有上端面：為次要邊界，可由圣維南原理求解。y方向力等效：對O點的力矩等效：x方向力等效：注意：必須按正向假設！2023/7/20彈性力學

第二章982023/7/20彈性力學

第二章992023/7/20彈性力學

第二章100

Threewaysforthesolutionofanelasticityproblem:

彈性力學求解的三種方法1.solutionintermsofdisplacements--takethedisplacementcomponentsasthebasicunknownfunctions.

按位移求解--把位移作為基本未知函數2.solutionintermsofstresses--takethestresscomponentsasthebasicunknownfunctions.按應力求解--把應力作為基本未知函數2023/7/20彈性力學

第二章1013.solutionintermsofdisplacementsandstresses--takesomeofthedisplacementcomponentsandalsosomeofthestresscomponentsasthebasicunknownfunctions.

按應力和位移混合求解--同時把某些位移和某些應力作為基本未知函數2023/7/20彈性力學

第二章102（1）按位移求解（位移法、剛度法）以位移分量u、v為基本未知函數，將只包含位移分量的平衡方程和邊界條件都用u、v表示，并求出u、v，再由幾何方程求出形變分量，再由物理方程求出應力分量。（2）按應力求解（力法，柔度法）以應力分量

為基本未知函數，將所有方程都用應力分量表示，并求出應力分量，再由幾何方程、物理方程求出形變分量與位移。（3）混合求解以部分位移分量

和部分應力分量

為基本未知函數，將，并求出這些未知量，再求出其余未知量。2023/7/20彈性力學

第二章1032-8solutionofplaneproblemintermsofdisplacements

按位移求解平面問題

Elasticequations彈性方程Substitutingthestrainsexpressedbydisplacementsthroughgeometricalequationsintophysicalequationsinwhichthestressesareintheleftsidewhilethestrainsareintherightside,wegetelasticequations(2-17).

將用位移表示的應變（幾何方程）代入應力放左邊的物理方程，得用位移表示應力的關系式（彈性方程）(2-17)2023/7/20彈性力學

第二章104Elasticequations平面應力問題彈性方程x=u/x

y=v/y

rxy=u/y+v/x(2-8)x=E/(1-

2)(x+y)y=E/(1-

2)(y+x)

xy=

E/[2(1+)]rxy

(2-16)將幾何方程(2-8)代入應力放左邊的物理方程(2-16)，得彈性方程(2-17)x=E/(1-2)(u/x+

v/y

)

y=E/(1-2)(v/y

+u/x)(2-17)

xy=

E/[2(1+)](u/y+v/x)2023/7/20彈性力學

第二章105Differentialequationsofequilibriumexpressedbydisplacements--用位移表示的平衡微分方程Substitutingthestressesexpressedbydisplacementsthroughelasticequationsintodifferentialequationsofequilibriumexpressedbystresses,wegetanotherdifferentialequationsofequilibrium[p25.equations(2-18)],

expressedbydisplacements.

將用位移表示的應力(彈性方程)代入用應力表示的平衡微分方程，得用位移表示的平衡微分方程(p252-18)2023/7/20彈性力學

第二章106x/x+yx/y+fx=0y/y+xy/x+fy=0(2-2)x=E/(1-2)(u/x+v/y

)