空間觀念學習材料與教學第1頁，課件共131頁，創作于2023年2月

10大核心素養數感符號意識空間觀念幾何直觀數據分析觀念運算能力推理能力應用意識創新意識模型思想第2頁，課件共131頁，創作于2023年2月第3頁，課件共131頁，創作于2023年2月空間觀念根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言的描述畫出圖形等。備注：“義務教育數學課程標準”2011版，北京師范大學出版社。第4頁，課件共131頁，創作于2023年2月空間觀念部分綜述傳統三大能力之一：空間想象能力；空間觀念與空間想象力的關系？空間想象能力是對幾何表象加工改造，創造新的形象。對學生來說，這種要求太高了，所以義務教育階段教學大綱中只提出培養學生的空間觀念。（曹才翰）第5頁，課件共131頁，創作于2023年2月空間觀念能由實物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀，進行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉化；能根據條件做出立體模型或畫出圖形；能從較復雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關系；能描述實物或幾何圖形的運動和變化；能采用適當的方式描述物體間的位置關系；能運用圖形形象地描述問題，利用直觀來進行思考。備注：“義務教育數學課程標準”（實驗稿），北京師范大學出版社。第6頁，課件共131頁，創作于2023年2月形成空間觀念需要基本內容與專項材料（1）圖形的認識；（2）圖形的測量：（3）圖形的運動變換；（4）圖形的方位：（1）圖形的轉換；（2）圖形的分解；（3）圖形的組合；（4）圖形的辨認；（5）圖形的概括；（6）圖形的推理；（7）圖形計數；（8）多連塊拼圖；（9）找隱蔽圖形；(10)圖形的展開和折疊；（張天孝，2012）原來8項，單列2項第7頁，課件共131頁，創作于2023年2月教學的過程，就像是帶著孩子爬樓梯的過程，只要有合適的階梯，學生終究是會到達終點的。觀念的形成需要合適的序列第8頁，課件共131頁，創作于2023年2月知識的序列編排就像人體基因排序一樣具有攻堅意義。我們堅信每一個孩子都會進步，只是需要尋找適合他的學習材料。不是零散的“拼盤”，是整體的“金字塔”。

課程不是拼盤，是金字塔第9頁，課件共131頁，創作于2023年2月重視不同的轉換：不同圖形之間的轉換不同維度之間的轉換1第10頁，課件共131頁，創作于2023年2月生活的經驗第11頁，課件共131頁，創作于2023年2月用長方形折出正方形，用正方形剪出一樣大的三角形等。圖形之間的轉換第12頁，課件共131頁，創作于2023年2月圖形之間的轉換平面圖形之間的轉換。轉換：圖形特征的再鞏固。第13頁，課件共131頁，創作于2023年2月來源：人教版配套五年級暑假作業思考題：一個梯形，如果上底增加4cm，就變成一個平行四邊形；如果上底減少3cm，就成了一個三角形，這時面積比原來減少了7.5平方厘米。原來這個梯形的面積是多少平方厘米？能力培養：不為考試，贏在考試。第14頁，課件共131頁，創作于2023年2月圖形的分解：添上一條線，變成了什么圖形？第15頁，課件共131頁，創作于2023年2月圖形面積的推導。第16頁，課件共131頁，創作于2023年2月S＝c×r÷2S＝（a＋b）h÷2S＝ah÷2S＝ahS＝ab圓形梯形三角形平行四邊形長方形圖形的概括：面積公式的概括第17頁，課件共131頁，創作于2023年2月圖形的組合：第18頁，課件共131頁，創作于2023年2月圖形的組合：第19頁，課件共131頁，創作于2023年2月英國：數學大師俱樂部第20頁，課件共131頁，創作于2023年2月數圖形下面圖形中有多少個三角形？下面圖形中有多少個平行四邊形？下面圖形中有多少個梯形？下面圖形中有多少種圖形，每種圖形各有多少個？（1982年，張德琇）第21頁，課件共131頁，創作于2023年2月補充與分享

BUCHONGYUFENXIANG關于圖形之間的轉換，您是否想起了相關的案例？第22頁，課件共131頁，創作于2023年2月從實物到圖形是抽象從圖形到實物要想象不同維度之間的轉換第23頁，課件共131頁，創作于2023年2月生活的經驗拍照：從三維到二維，從立體到平面。第24頁，課件共131頁，創作于2023年2月圖形之間的轉換一維、二維和三維之間的轉換。第25頁，課件共131頁，創作于2023年2月先在方格紙上畫上一條線段AB。準備畫出到直線AB的距離等于2厘米的點。時間只有30秒，先想好，再一起開始。準備好了嗎？挑戰題。動手畫一畫，看誰畫的點子多。如果到一個點距離等于2厘米的點呢？第26頁，課件共131頁，創作于2023年2月

一條線段長5厘米，以每秒10厘米的速度向右平移，3秒鐘后，線段掃過的部分的面積是多少？一維和二維之間的轉換第27頁，課件共131頁，創作于2023年2月在下列圖形中，哪兩條線段是相互平行的？哪兩條線段是相互垂直的？七巧板長方體二維和三維之間的轉換梯形第28頁，課件共131頁，創作于2023年2月觀察小棒猜三角形161210根據插在長方形袋子里的三根小棒，猜圍成的三角形。能圍成幾個不同的三角形？8第29頁，課件共131頁，創作于2023年2月觀察小棒猜三角形1616？根據插在長方形袋子里的三根小棒，猜圍成的三角形。68第30頁，課件共131頁，創作于2023年2月觀察小棒猜三角形168？根據插在長方形袋子里的三根小棒，猜圍成的三角形。6？怎樣能圍成三角形呢？8第31頁，課件共131頁，創作于2023年2月你想到了怎樣的長方形168第32頁，課件共131頁，創作于2023年2月你想到了怎樣的長方形168第33頁，課件共131頁，創作于2023年2月你想到了怎樣的長方形168第34頁，課件共131頁，創作于2023年2月你想到了怎樣的長方形16第35頁，課件共131頁，創作于2023年2月哪個長方體禮盒裝得多？1單位：cm1088610610810686序號1長寬高體積1086480第36頁，課件共131頁，創作于2023年2月哪個長方體禮盒裝得多？2單位：cm序號2長

寬

高

體積

20105100020101052010105第37頁，課件共131頁，創作于2023年2月158哪個長方體禮盒裝得多？3單位：cm155序號3長

寬

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體積

1585600第38頁，課件共131頁，創作于2023年2月哪個長方體禮盒裝得多？4單位：cm815815序號4長

寬

高

體積

158？第39頁，課件共131頁，創作于2023年2月二維和三維之間的轉換有一個三條邊分別為6cm、8cm、10cm的直角三角形，沿著其中一條邊所在直線旋轉，形成的立體圖形的體積是多少？第40頁，課件共131頁，創作于2023年2月二維和三維之間的轉換有一個長為6cm、寬為4cm的長方形，沿對角線分成了圖形A、圖形B，哪個大？如果整個圖形沿著寬邊所在直線旋轉，圖形A、圖形B旋轉而成的立體圖形體積哪個大？AB第41頁，課件共131頁，創作于2023年2月

碾路機；

二維和三維之間的轉換游泳池；第42頁，課件共131頁，創作于2023年2月

有一個長方體木塊，長10cm寬8cm高6cm，隨意的丟在地上，朝上的那個面的面積是多少？如果是一個棱長6厘米的正方體呢？

二維和三維之間的轉換第43頁，課件共131頁，創作于2023年2月四棵樹，怎樣栽，使得任兩棵樹之間距離相等?二維和三維之間的轉換第44頁，課件共131頁，創作于2023年2月觀點與啟示

GUANDIANYUQISHI學習開始的地方不一定在課堂？重視日常生活中圖形與圖形之間的轉換，這些基本的活動經驗積累為學校課堂數學學習是奠定基礎。轉換并不一定是在一個維度上？一維、二維和三維之間的相互轉換，恰是發展學生空間觀念的有益舉措。第45頁，課件共131頁，創作于2023年2月補充與分享

BUCHONGYUFENXIANG關于不同維度之間的轉換，您是否想起了相關的案例？第46頁，課件共131頁，創作于2023年2月倡導不同的操作：除了動腦想，還要動手做，動口說，動筆寫2第47頁，課件共131頁，創作于2023年2月陶行知教學做合一解放兒童的頭腦，使他們能想。解放兒童的雙手，使他們能干。解放兒童的眼睛，使他們能看。解放兒童的嘴，使他們能談。第48頁，課件共131頁，創作于2023年2月教學論應該考慮三個方面：人的天性、知識的本質和獲得知識的過程的性質。杰羅姆·布魯納認知心理理論玩是孩子的天性。第49頁，課件共131頁，創作于2023年2月為學生創造動手做的機會第50頁，課件共131頁，創作于2023年2月動手做數學第51頁，課件共131頁，創作于2023年2月動手做數學第52頁，課件共131頁，創作于2023年2月動手做數學第53頁，課件共131頁，創作于2023年2月圖形的組合：

七巧板拼平行四邊形第54頁，課件共131頁，創作于2023年2月圖形的組合：七巧板拼正方形第55頁，課件共131頁，創作于2023年2月生活中的七巧板數學老師家擺上一個，是否更能體現自己的學科氣質？第56頁，課件共131頁，創作于2023年2月用七巧板拼寓言《自相矛盾》第57頁，課件共131頁，創作于2023年2月數學E活動信息技術活動：四三第58頁，課件共131頁，創作于2023年2月這些圖形是怎樣形成的？圖形的辨認：第59頁，課件共131頁，創作于2023年2月畫蘋果：學生實踐活動第60頁，課件共131頁，創作于2023年2月畫蓮花：學生實踐活動第61頁，課件共131頁，創作于2023年2月補充與分享

BUCHONGYUFENXIANG關于“動手做”，您是否想起了相關的案例？第62頁，課件共131頁，創作于2023年2月為學生提出動口說的要求第63頁，課件共131頁，創作于2023年2月在你的課堂上，是否也常有學生離開位置，用手指著說“這里……那里……這樣……那樣……第64頁，課件共131頁，創作于2023年2月圖形的面積推理：

紅色與綠色的面積哪個大？第65頁，課件共131頁，創作于2023年2月數立方體的個數

第66頁，課件共131頁，創作于2023年2月PISA樣題蘇森要搭建左圖所示的幾何體，需要多少個立方塊？那么搭建右圖所示的幾何體呢？利用小立方塊搭建右圖所示的幾何體，如果允許內部有空洞，而外表上看起來還是這樣的大立方體，至少需要多少個小立方體？.第67頁，課件共131頁，創作于2023年2月將邊長為3和4的兩個正方體的表面刷上紅色的漆，再將它分割成邊長為1的小正方體。探求滿足下面條件的小正方體的數量規律。（1）邊長為3的正方體，三面、兩面、一面有紅顏色的小正方體各有多少個？（2）邊長為4的正方體呢？邊長分別改為5和6，結果如何？你能發現什么規律？案例：分類計數第68頁，課件共131頁，創作于2023年2月推理的嚴謹：車輪為什么是圓的？第69頁，課件共131頁，創作于2023年2月兩個同樣的1元硬幣，一個硬幣A繞著另一個硬幣B旋轉1圈，硬幣A轉了幾圈？好玩的圓周長第70頁，課件共131頁，創作于2023年2月比較面積和距離：第71頁，課件共131頁，創作于2023年2月觀點與啟示

GUANDIANYUQISHI操作不一定用手？在數的過程中，除了實際的數，更有頭腦中的表象地數，切勿一味實物操作；有時遠距離的操作比近距離操作更有挑戰，因為需要學生更為精準地數學表達，這也是一種能力。第72頁，課件共131頁，創作于2023年2月觀點與啟示

GUANDIANYUQISHI結論不一定完全正確，但可能蘊含價值，教學需要多遵循兒童的“話語體系”；語言是思維的外衣，鼓勵學生表達，就是鼓勵學生縝密的思考。不只是停留在交流“結果是什么”，還要交流“為什么是這個結果”“得出結果的過程是什么”。第73頁，課件共131頁，創作于2023年2月動口說與動手做比默契。一個人先畫，再把畫的是什么告訴背靠背的同桌，同桌根據聽到的畫下來。比一比，兩幅畫的相似度。第74頁，課件共131頁，創作于2023年2月觀點與啟示

GUANDIANYUQISHI“蹲”下來傾聽孩子，不只是姿勢，更是兒童的邏輯；“孩子你多大”“題目可以女一點嗎”“請小心我的畫”“地球儀上為什么有灰？”第75頁，課件共131頁，創作于2023年2月偶爾請學生寫下思考的過程第76頁，課件共131頁，創作于2023年2月小學生解決數學問題的思維過程分析以及啟示；案例1：第77頁，課件共131頁，創作于2023年2月展示學生不同的解決問題的過程，教學組織時請學生寫下“想”的過程；案例：小學生解決數學問題的思維過程分析以及啟示（翁秀萍）；第78頁，課件共131頁，創作于2023年2月哪個圖形周長比較長？r=5dmd=5dm34第79頁，課件共131頁，創作于2023年2月哪個圖形周長比較長？r=5dm3第80頁，課件共131頁，創作于2023年2月哪個圖形周長比較長？r=5dm3第81頁，課件共131頁，創作于2023年2月哪個圖形周長比較長？d=5dm4第82頁，課件共131頁，創作于2023年2月哪個圖形周長比較長？34第83頁，課件共131頁，創作于2023年2月觀點與啟示

GUANDIANYUQISHI有時我們過于期待結果，而忽視過程的豐富了；學生有很多精彩觀念的誕生就在思維的過程中；有時我們在低水平技能上投入多了，能否勻一點時間和空間到發展學生的高水平技能上來？好的口頭禪“請把你的想法寫下來”。第84頁，課件共131頁，創作于2023年2月強調不同的思考：讓學生從頭想，整體想，自然想。3第85頁，課件共131頁，創作于2023年2月從點到線、兩條線到三條線、四條線到四邊形？第86頁，課件共131頁，創作于2023年2月分類是不是沒有重復，也沒有遺漏了？第87頁，課件共131頁，創作于2023年2月四邊形的對邊關系ABCD第88頁，課件共131頁，創作于2023年2月四邊形家族四邊形梯形平行四邊形長方形正方形第89頁，課件共131頁，創作于2023年2月四邊形家族四邊形梯形平行四邊形長方形正方形菱形第90頁，課件共131頁，創作于2023年2月從一個正方形到二連方、三連方、四連方……？第91頁，課件共131頁，創作于2023年2月二連方三連方圖形的組合源自50年代美國多連塊第92頁，課件共131頁，創作于2023年2月圖形的組合從三連方到四連方是怎么構造成的？五連方；六連方。分別有幾個呢？第93頁，課件共131頁，創作于2023年2月五連方12種，大都能用字母表述形狀。第94頁，課件共131頁，創作于2023年2月六連方35個不同的六連方，能拼成正方體的有11種。第95頁，課件共131頁，創作于2023年2月從面積單位到長方形面積，再到平行四邊形、三角形、梯形、圓……面積與什么有關？什么關系？第96頁，課件共131頁，創作于2023年2月推理的嚴謹：平行四邊形的面積推導第97頁，課件共131頁，創作于2023年2月平行四邊形的面積推導一般的特殊的第98頁，課件共131頁，創作于2023年2月為了轉化成長方形，所以要沿著高剪。是不是不同形狀的平行四邊形都可以沿高剪呢？所以需要提出特殊的情況。為什么要介紹平移這種方法呢？（參見傅種孫數學教育文選，人民教育出版社）平行四邊形的面積第99頁，課件共131頁，創作于2023年2月看到屏幕上的語言，您想到了什么圖？現場體驗一個角；一個三角形。第100頁，課件共131頁，創作于2023年2月三角形中的直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形，哪一個最特殊？是不是所有三角形都能作高？銳角三角形一作高，是不是分成了兩個直角三角形？鈍角三角形呢？任何一個三角形一作高，就能把它轉化成2個直角三角形；如果知道直角三角形面積計算方法，是否可以說任何三角形的面積都會了？三角形中的直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形，哪一個最一般？《三角形的面積》推理思路第101頁，課件共131頁，創作于2023年2月S＝（1/2h）aS＝（1/2a）hS＝1/2（ah）三角形面積公式第102頁，課件共131頁，創作于2023年2月三角形的面積與什么有關？三角形的三條邊確定了，三角形的大小就確定了。知道3條邊，就能求面積嗎？《三角形的面積》推理思路海倫－秦九韶公式數學家秦九韶：三斜求積術（宋）三角形ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

第103頁，課件共131頁，創作于2023年2月從三角形到多邊形，從內角和到外角和……？第104頁，課件共131頁，創作于2023年2月三角形的內角和是180度？三角形的內角和是180，四邊形呢？為什么只學內角不學外角？三角形的外角和是360，四邊形呢？一般的多邊形呢？第105頁，課件共131頁，創作于2023年2月

三角形的外角和第106頁，課件共131頁，創作于2023年2月

六邊形的外角和第107頁，課件共131頁，創作于2023年2月正方形的面積是5平方厘米，兩個圓的面積是多少？第108頁，課件共131頁，創作于2023年2月△+△+△=5

△+△+△+△+△+△=？生：5除以3除不盡……花絮：整體想第109頁，課件共131頁，創作于2023年2月平移、旋轉和對稱第110頁，課件共131頁，創作于2023年2月觀點與啟示

GUANDIANYUQISHI順著學生的思路來想，自然地想，從頭想。妥善處理特殊的情況，如果連特殊的情況也滿足一般的規律，學生對發現的規律會更堅定。第111頁，課件共131頁，創作于2023年2月補充與分享

BUCHONGYUFENXIANG關于“從頭想、整體想、自然想”，您是否想起了相關的案例？第112頁，課件共131頁，創作于2023年2月嘗試不同的形態讓靜態圖形發生動態變化4第113頁，課件共131頁，創作于2023年2月每個小方格的邊長是1厘米。①小甲蟲C爬到什么位置時，成了AD的中點?②小甲蟲C在哪一段上爬行時，始終有AC＞CB?③如果線段AB上有兩只小甲蟲，它們分別爬到哪里時，與D點的距離相等。④根據小甲蟲C的運動情況，請你提出一個數學問題。

比較距離：第114頁，課件共131頁，創作于2023年2月先在方格紙上畫上一條線段AB。準備畫出到直線AB的距離等于2厘米的點。時間只有30秒，先想好，再一起開始。準備好了嗎？挑戰題。動手畫一畫，看誰畫的點子多。如果到一個點距離等于2厘米的點呢？第115頁，課件共131頁，創作于2023年2月三角形之間的關系第11