機械強度的可靠性設計第一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日東南大學-機械工程學院3—1引言

機械零件的習用強度計算法，是按工作狀態最大荷載進行靜強度計算，按非工作狀態最大載荷及特殊載荷（安裝載荷、運輸載荷及沖擊載荷等）進行靜強度驗算；對于受變載荷作用的零件，當應力變換循環次數足夠多時，按工作狀態正常載荷（等效載荷進行疲勞強度計算，一般采用許用應力法，

機械強度可靠性設計第二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日東南大學-機械工程學院其強度條件為：或

機械強度可靠性設計第三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日東南大學-機械工程學院這種計算方法的基本出發點是認為材料的極限應力（對靜強度計算：塑性材料為屈服極限；脆性材料為強度極限，對疲勞強度計算則為材料的疲勞極限），作用于零件上的載荷以及零件的截面尺寸都是確定量，認為保證強度的準則是，使零件危險截面上的最大計算應力小于或等于材料的許用應力，也即使零件的計算安全系數大于或等于預定的設計安全系數n。

機械強度可靠性設計第四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日東南大學-機械工程學院

實際上強度條件式中的各個量都不是確定量，而是服從于一定規律的隨機變量。作用于機械零件上的載荷的變化，實際上是一個隨機的過程，受許多因素的影響，具有離散型，不能預言其準確值，但卻呈現一定的規律。因此，從概率論與數理統計的觀點來研究強度問題，便成為發展強度理論及方法的一個重要途徑。機械強度可靠性設計第五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日東南大學-機械工程學院

本章應用機械強度計算的統計方法，討論機械零件強度的可靠性設計理論及方法，以便較精確更接近實際地解決有關機械的強度計算問題。機械強度可靠性設計第六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日東南大學-機械工程學院3—2強度概率計算法的基本理論

一、基本出發點強度概率計算法的基本出發點是，認為零件材料的強度c是服從于概率密度函數f(c)的隨機變量，而作用于零件危險截面上的工作應力s，使服從于概率密度函數g(s)的隨機變量。機械強度可靠性設計第七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日東南大學-機械工程學院

二、強度—應力關系對于按強度條件（3-1）或（3-2）設計出的屬于安全的零件或結構，具有如圖所示的幾種強度-應力關系。圖a所示為兩概率密度曲線不重疊，及最大可能的工作應力多要小于最小可能的極限應力。因此工作應力大于零件強度是不可能事件。即工作應力大于零件強度的概率為零。機械強度可靠性設計第八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日東南大學-機械工程學院

機械強度可靠性設計第九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日東南大學-機械工程學院

如用安全系數的概念來表達，則計算安全系數小于1的概率等于零，即機械強度可靠性設計具有這樣強度-應力關系的機械零件是安全的，不會發生強度破壞。

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圖b所示為兩概率密度曲線有相互重疊的部分。在此情況下，雖然工作應力的均值仍遠小于極限應力（強度）的平均值。但不能絕對保證工作應力在任何情況下都不大于極限應力。即工作應力大于零件強度的概率大于零，機械強度可靠性設計第十一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日東南大學-機械工程學院

機械強度可靠性設計第十二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日東南大學-機械工程學院以均值計算的安全系數是大于1的，但就總體來說，計算安全系數大于1的概率是小于1的。反過來說，<1的概率也不等于零，即機械強度可靠性設計或第十三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日東南大學-機械工程學院對于機械零件的疲勞強度，零件的承載能力將隨時間而衰減，強度-應力關系如圖c所示。在t=0時，f(c)與g(s)曲線不重疊或重疊區不大，隨著應力循環次數的增加，零件的承載能力下降，曲線重疊區逐漸增大，強度破壞概率增大，最終導致疲勞破壞。目前常用的安全系數，實質上就是以均值計算的安全系數，因此設計時原認為安全的零件，實際上不一定安全，其安全程度將隨f(c)與g(s)而變。機械強度可靠性設計第十四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日東南大學-機械工程學院

為了確定零件的實際安全程度，應先根據實驗及相應的理論分析，找出f(c)與g(s)，然后應用概率論及數理統計理論來計算零件破壞的概率，從而可以求得零件不破壞的概率，即零件的可靠度。機械強度可靠性設計第十五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日東南大學-機械工程學院

機械強度可靠性設計第十六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日東南大學-機械工程學院

三、零件強度破壞概率的計算對于圖b所示的強度-應力關系，當f(c)與g(s)已知時(關于f(c)與g(s)的確定方法將在3-3及3-4分別加以討論)，可以用下列兩種方法來計算零件破壞的概率：機械強度可靠性設計第十七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日東南大學-機械工程學院（一）概率密度函數聯合積分法零件破壞的概率為：p(c<s)，即當零件的強度c小于零件工作應力s時，零件發生強度破壞。圖3-2列出了強度破壞計算原理圖。從距原點為s的a-a線看起。曲線f(c)以下，a-a線以左（即變量c小于s時）的面積，表示零件的強度值小于s的概率，他按下式計算：機械強度可靠性設計第十八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日東南大學-機械工程學院

機械強度可靠性設計第十九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日東南大學-機械工程學院曲線g(s)下，位于s到s+ds之間的面積，他代表了工作應力s處于s～s+ds之間的概率，他的大小為g(s)ds。零件的強度和工作應力兩個隨機變量，一般是看做相互獨立的隨機變量。根據概率乘法定理：兩獨立事件同時發生的概率是兩孤立事件單獨發生的的概率的乘積，即P(AB)=P(A)P(B)機械強度可靠性設計第二十頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日東南大學-機械工程學院所以乘積F(s)g(s)ds即為對于確定的s時，零件中的工作應力剛剛大于強度值得概率。我們把應力s值在它一切可能值的范圍內進行積分，即得零件的破壞概率p(c<s)的近似值為：機械強度可靠性設計第二十一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日東南大學-機械工程學院應用此法必須先根據實驗及相應的理論分析，找出f(c)及g(s)，才能進行計算。有時所得公式難于積分，就采用近似的數值計算方法來求p(c<s)的近似值。機械強度可靠性設計第二十二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日東南大學-機械工程學院（二）強度差概率密度函數積分法令強度差Z＇=c—s(3-5)由于c和s均為隨機變量，所以強度差Z＇也為一隨機變量。零件破壞的概率很顯然等于隨機變量Z＇小于零的概率，即p(Z＇<0)。機械強度可靠性設計第二十三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日東南大學-機械工程學院從已求得的f(c)及g(s)可找到Z＇的概率密度函數p（Z＇）,從而可按下式求得零件的破壞概率為：機械強度可靠性設計第二十四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日東南大學-機械工程學院

根據概率論的研究，當c和s均為正態分布的隨機變量時，其差Z＇=c-s也為一正態分布的隨機變量，其數學期望及均方差分別為：機械強度可靠性設計第二十五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日東南大學-機械工程學院Z＇的概率密度函數p（Z＇）為：機械強度可靠性設計將式（3-8）帶入式（3-6），即可求得零件的破壞概率為：第二十六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日東南大學-機械工程學院為了計算方便，現作變量代換，令:機械強度可靠性設計則式（3-9）變為：

第二十七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日東南大學-機械工程學院為了便于實際使用，將式（3-12）的積分值制成數表（正態分布數值表），在計算式可直接查用。機械強度可靠性設計第二十八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日東南大學-機械工程學院

四、零件強度可靠度的計算

在求得了零件強度破壞的概率后，零件的強度可靠性以可靠度R來衡量，在正態分布條件下，R按下式計算：機械強度可靠性設計第二十九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期日東南大學-機械工程學院

例某螺栓中所受的應力為一正態分布的隨機變量，其數學期望=35kN/c,均方差=2.8kN/c。螺栓材料的疲勞極限亦為一正態分布的隨機變量，其數學期望=42kN/c，均方差=2.8kN/c。求該零件的破壞概率及強度可靠度。解：應用強度差概率密度函