2021年湖南省株洲市高枧中學高二數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知定義在R上的可導函數f（x）的導函數f′（x），滿足f′（x）＜f（x），且f（x+2）=f（x﹣2），f（4）=1，則不等式f（x）＜ex的解集為（）A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．（4，+∞） D．（﹣2，+∞）參考答案：A【考點】6B：利用導數研究函數的單調性．【分析】可設函數g（x）=，求出導數，判斷g（x）的單調性，由f（x+2）=f（x﹣2），f（4）=1，可得f（0），g（0），原不等式轉化為g（x）＜g（0），由單調性，即可得到所求解集．【解答】解：可設函數g（x）=，g′（x）=，由f′（x）＜f（x），可得g′（x）＜0，即有g（x）在R上遞減，f（x+2）=f（x﹣2），f（4）=1，可得f（0）=f（4）=1，g（0）==1，由f（x）＜ex即為＜1，可得g（x）＜g（0），由g（x）在R上遞減，可得x＞0．則所求不等式的解集為（0，+∞）．故選：A．2.已知點P在曲線y=上，α為曲線在點P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是（）A．[0，） B． C． D．參考答案：D【考點】導數的幾何意義．【分析】利用導數在切點處的值是曲線的切線斜率，再根據斜率等于傾斜角的正切值求出角的范圍．【解答】解：因為y′===，∵，∴ex+e﹣x+2≥4，∴y′∈[﹣1，0）即tanα∈[﹣1，0），∵0≤α＜π∴≤α＜π故選：D．【點評】本題考查導數的幾何意義及直線的斜率等于傾斜角的正切值．3.函數的定義域是 （）A． B． C． D．參考答案：D4.關于的不等式的解集為，則復數所對應的點位于復平面內的象限為（

）．

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限參考答案：B略5.滿足f(x)＝f′(x)的函數是（

）A．

f(x)＝1－x

B．

f(x)＝x

C．

f(x)＝0

D．f(x)＝1

參考答案：C略6.古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1、3、6、10、15、…這樣的數稱為“三角形數”，而把1、4、9、16、25、…這樣的數稱為“正方形數”．從如圖中可以發現，任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形數”之和，下列等式中，符合這一規律的是（）A．16=3+13 B．25=9+16 C．36=10+26 D．49=21+28參考答案：D【考點】F1：歸納推理．【分析】題目中“三角形數”的規律為1、3、6、10、15、21…“正方形數”的規律為1、4、9、16、25…，根據題目已知條件：從圖中可以發現，任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形數”之和．可得出最后結果．【解答】解：這些三角形數的規律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，且正方形數是這串數中相鄰兩數之和，很容易看到：恰有21+28=49．故選D．7.法國數學家費馬觀察到，，，都是質數，于是他提出猜想：任何形如N*）的數都是質數，這就是著名的費馬猜想.半個世紀之后，善于發現的歐拉發現第5個費馬數不是質數，從而推翻了費馬猜想，這一案例說明

（

）

A．歸納推理，結果一定不正確

B．歸納推理，結果不一定正確

C．類比推理，結果一定不正確

C．類比推理，結果不一定正確參考答案：B略8.已知兩點M(-5,0)和N(5,0),若直線上存在點P,使|PM|-|PN|=6,則稱該直線為“B型直線”.給出下列直線:①y=x+1；②y=2；③；④y=2x+1,其中為“B型直線”的是(

)A.①③

B.①②

C.③④

D.①④參考答案：B9.設，則（

）A．

B.

C.D.

參考答案：C10.在極坐標系中，已知圓C經過點，圓心為直線與極軸的交點，則圓C的極坐標方程為A. B.C. D.參考答案：A【分析】求出圓C的圓心坐標為（2，0），由圓C經過點得到圓C過極點，由此能求出圓C的極坐標方程．【詳解】在中，令，得，所以圓C的圓心坐標為（2，0）.因為圓C經過點，所以圓C的半徑，于是圓C過極點，所以圓C的極坐標方程為.故選：A【點睛】本題考查圓的極坐標方程的求法，考查直角坐標方程、參數方程、極坐標方程的互化等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在樣本的頻率分布直方圖中，共有個小長方形，這個小長方形的面積由小到大構成等比數列，已知，且樣本容量為，則小長方形面積最大的一組的頻數為_______．參考答案：160略12.在三棱錐P—ABC中,,,,則兩直線PC與AB所成角的大小是______.參考答案：略13.已知橢圓C：，則其長軸長為___▲___；若F為橢圓C的右焦點，B為上頂點，P為橢圓C上位于第一象限內的動點，則四邊形OBPF的面積的最大值___▲___.參考答案：

(1).

(2).由題意易得：長軸長為；四邊形OBPF的面積為三角形OBF與三角形BFP的面積和，三角形OBF的面積為定值，要使三角形BFP的面積最大，則P到直線BF的距離最大，設與直線BF平行的直線方程為y=﹣x+m，聯立，可得3x2﹣4mx+2m2﹣2=0．由△=16m2﹣4×3×（2m2﹣2）=0，解得m=．∵P為C上位于第一象限的動點，∴取m=，此時直線方程為y=﹣x+．則兩平行線x+y=1與x+y﹣的距離為d=.．∴三角形BFP的面積最大值為S=．∴四邊形OAPF（其中O為坐標原點）的面積的最大值是=．故答案為：．14.若△ABC的內角A、B、C的對邊分別是，且，則cosB等于

參考答案：15.已知橢圓上一動點P，與圓上一動點Q，及圓上一動點R,則的最大值為

;參考答案：616.若對|x|≤1的一切x，t+1>(t2－4)x恒成立，則t的取值范圍是_______________.參考答案：。解析：①若t2－4>0，即t<－2或t>2，則由>x(|x|≤1)恒成立，得,t+1>t2－4,t2－t－s<0解得，從而－2或2。②若t2－4=0，則t=2符合題意。③若t2－4<0，即－2，則由<x(|x|≤1)恒成立，得，t+1>－t2+4;t2+t－3>0，解得：t<或t>，從而。綜上所述，t的取值范圍是：17.（3x2+k）dx=10，則k=

．參考答案：1【考點】69：定積分的簡單應用．【分析】欲求k的值，只須求出函數3x2+k的定積分值即可，故先利用導數求出3x2+k的原函數，再結合積分定理即可求出用k表示的定積分．最后列出等式即可求得k值．【解答】解：∵∫02（3x2+k）dx=（x3+kx）|02=23+2k．由題意得：23+2k=10，∴k=1．故答案為：1．【點評】本小題主要考查直定積分的簡單應用、定積分、利用導數研究原函數等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常數，a∈R．（Ⅰ）當a=1時，研究f（x）的單調性與極值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求證：f（x）＞g（x）+；（Ⅲ）是否存在實數a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．參考答案：【考點】6E：利用導數求閉區間上函數的最值．【分析】（Ⅰ）求導函數，確定函數的單調性，從而可得函數f（x）的極小值；（Ⅱ）f（x）在（0，e]上的最小值為1，令h（x）=g（x））+，求導函數，確定函數的單調性與最大值，即可證得結論；（Ⅲ）假設存在實數a，使f（x）的最小值是3，求導函數，分類討論，確定函數的單調性，利用f（x）的最小值是3，即可求解．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=x﹣lnx，f′（x）=…∴當0＜x＜1時，f′（x）＜0，此時f（x）單調遞減當1＜x＜e時，f′（x）＞0，此時f（x）單調遞增

…∴f（x）的極小值為f（1）=1

…（Ⅱ）證明：∵f（x）的極小值為1，即f（x）在（0，e]上的最小值為1，∴f（x）＞0，f（x）min=1…令h（x）=g（x））+=+，，…當0＜x＜e時，h′（x）＞0，h（x）在（0，e]上單調遞增

…∴h（x）max=h（e）=＜=1=|f（x）|min

…∴在（1）的條件下，f（x）＞g（x）+；…（Ⅲ）解：假設存在實數a，使f（x）的最小值是3，f′（x）=①當a≤0時，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上單調遞減，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，∴a=（舍去），所以，此時f（x）無最小值．…②當0＜＜e時，f（x）在（0，）上單調遞減，在（，e]上單調遞增，f（x）min=f（）=1+lna=3，∴a=e2，滿足條件．…③當時，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上單調遞減，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，∴a=（舍去），所以，此時f（x）無最小值．…綜上，存在實數a=e2，使f（x）的最小值是3．…19.在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為（t為參數，），以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系.曲線C的極坐標方程為：.（1）求曲線C的直角坐標方程；（2）設直線l與曲線C相交于A，B兩點，當到直線l的距離最大時，求.參考答案：（1）；（2）16.【分析】（1）直接利用極坐標和直角坐標互化的公式求曲線的直角坐標方程；（2）設，當到直線的距離最大時，得到，故.再利用直線的參數方程的弦長公式求.【詳解】解：（1）曲線：，即：.∴曲線的標準方程為：.（2）設，當到直線的距離最大時，，故.∴的參數方程為（為參數），將直線的參數方程代入得：.∴，∴.【點睛】本題主要考查極坐標方程與直角方程坐標的互化，考查直線參數方程t的幾何意義的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.20.（選修4-4：坐標系與參數方程）已知直線的參數方程為（t為參數），以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，圓C的極坐標方程為.（1）求直線l的普通方程和圓C的直角坐標方程；（2）若點是直線l上的動點，過P作直線與圓C相切，切點分別為A、B，若使四邊形PACB的面積最小，求此時點P的坐標.參考答案：解：（1）直線的參數方程為（為參數），消去參數得直線的普通方程為.由，兩邊同乘得，，∴，∴圓的直角坐標方程為.（2）依題意，若使四邊