7.4二項分布與超幾何分布

7.4.1二項分布

新課程標準新學法解讀

1.能運用二項分布解決一些實際

1理.解二項分布的推導過程.問題.

2掌.握二項分布的實際應用.

2借.助n次獨立重復試驗與二項分

布解題，提高數學運算的素養.

課前篇咱主學習固基礎

［筆記教材］

知識點1n重伯努利試驗(〃次獨立重復

試驗)

(1)H重伯努利試驗(〃次獨立重復試驗)

我們把只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗.

(2)我們將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試

驗稱為n重伯努利試驗(或n次獨立重復試驗).

(3)〃重伯努利試驗的特征

①同一個伯努利試驗重復做n次；

②各次試驗的結果相互_______.

答案：(3)②獨立

知識點2二項分布

(1)一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的

概率為p(O<p<l)，用X表示事件A發生的次數，則X的分布列為

P(X=k)=,k=0,1,2,…，n,如果隨機

變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，

記作X~8(〃，p).

(2)二項分布的均值和方差

①若隨機變量X服從參數為小p的二項分布，即X~3(〃，p),

則E(X)=；

②若隨機變量X?B(〃，p),則Q(X)=

答案：(DC馴(1-pyf

(2)①叩②秋(1-p)

［重點理解］

1.獨立重復試驗是相互獨立事件的特例.一般地，有“恰好發

生K次”“恰有K次發生”字眼的問題，求概率時，用〃次獨立重

復試驗概率公式計算更簡便.

2.使用公式時，一定要明確該公式中各量表示的意義：n為獨

立重復試驗的次數；p是在1次試驗中事件A發生的概率；1—p是在

1次試驗中事件A不發生的概率；k是在n次獨立重復試驗中事件A

發生的次數.

3.二項分布是兩點分布的一般形式，兩點分布是一種特殊的二

項分布，即的二項分布.

［自我排查］

1.(2021.廣西欽州高二期末)已知隨機變量。服從二項分布，/?

則尸(421)的值為(

答案：B解析：1)=P^=1)+P(^=2)+=3)=1-p(e

=0)=1—c§x^3=1.

故選B.

2.打靶時，某人每打10發可中靶8次，則他打100發子彈有4

發中靶的概率為()

A.Cfo()O.84XO.296B.0.84

C.0.84X0.296D.0.24X0.296

答案：A解析：由題意可知中靶的概率為0.8,故打100發子

彈有4發中靶的概率為GooO.84XO.296.故選A.

3.(2021?江蘇宿遷月考)隨機拋擲一枚質地均勻的硬幣5次，恰

好出現3次正面向上的概率為()

A4B微

-35

C5D8

答案：B解析：拋擲一枚質地均勻的硬幣1次，出現正面向上

的概率為:，

拋擲一枚質地均勻的硬幣5次，恰好出現3次正面向上的概率為

啕38H.

故選B.

4.已知隨機變量X服從二項分布，X?3(6,A則尸(X=2)等于

答案：斜解析：P(X=2)=Cj；)(i—g)4=黯.

課堂篇?重點難點要突破

研習1獨立重復試驗的概率

23

［典例1］甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是尋咤

假設每次射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響.

(1)求甲射擊3次，至少1次未擊中目標的概率；

(2)求兩人各射擊2次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標1

次的概率.

解：⑴記“甲射擊3次至少有1次未擊中目標”為事件4.由題

意知，射擊3次，相當于3次獨立重復試驗.

故P(Ai)=l—P(4】)=1—1寸=方

(2)記“甲射擊2次，恰有2次擊中目標”為事件4,“乙射擊2

次，恰有1次擊中目標”為事件史,則

2

P(A2)=C1X(D=1,

p(B2)=axg)x(i-1)=|,

由于甲、乙射擊相互獨立，

431

故P(A2B2)=gXg=g.

［巧歸納］

獨立重復試驗的概率求法的三個步驟

［練習1］某氣象站天氣預報的準確率為80%,計算(結果保留到

小數點后面第2位)：

(1)5次預報中恰有2次準確的概率；

(2)5次預報中至少有2次準確的概率；

(3)5次預報中恰有2次準確，且其中第3次預報準確的概率.

解：(1)記預報一次準確為事件A,則P(A)=0.8.

5次預報相當于5次獨立重復試驗，

2次準確的概率為P,=C^X0.82X0.23=0.0512yo.05,

因此5次預報中恰有2次準確的概率約為0.05.

(2)“5次預報中至少有2次準確”的對立事件為“5次預報全部

不準確或只有1次準確”，其概率為

P=CgX(0.2)5+CgX0.8X0.24=0.00672^0.01.

所以所求概率為P2=l—P=1—0.01=0.99.

所以5次預報中至少有2次準確的概率約為0.99.

(3)說明第1,2,4,5次中恰有1次準確.

所以所求概率為P3=aX0.8X0.23X0.8=0.02048七0.02,

所以5次預報中恰有2次準確，且其中第3次預報準確的概率約

為0.02.

研習2二項分布的分布列

［典例2］一名學生每天騎自行車上學，從家到學校的途中有5

個交通崗，假設他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概

率都是；

(1)求這名學生在途中遇到紅燈的次數^的分布列；

(2)求這名學生在首次遇到紅燈前或到達目的地停車前經過的路

口數〃的分布列.

思路點撥：(1)首先判斷/是否服從二項分布，再求分布列.(2)

注意“首次遇到”“或到達”的含義，并明確〃的取值，再求〃取各

值的概率.

解：(1片?B(5,I),。的分布列為尸e=Z)=C?m4|)5r,%=

0,1,2,3,4,5.

故《的分布列為

產(〃=5)=尸(5個均為綠燈)=(|卜

故〃的分布列為

4012345

12481632

P

392781243243

［巧歸納］

解決二項分布問題的兩個關注點

(1)對于公式產5=幻=%/(1—”一”=0,1,2一,〃)必須在滿足

“獨立重復試驗”時才能運用，否則不能應用該公式.

(2)判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關鍵有兩點：一是對

立性，即一次試驗中，事件發生與否兩者必有其一；二是重復性，即

試驗是獨立重復地進行了n次.

［練習2］甲、乙兩隊參加奧運知識競賽，每隊3人，每人回答

一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分.假設甲隊中每人答

對的概率均為2當乙隊中3人答對2的2概率1分別為余余/且各人回答

?JJJ乙

正確與否相互之間沒有影響.用4表示甲隊的總得分.

(1)求隨機變量4的分布列；

(2)用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用8

表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，求尸(A3).

解:(1)由題意知，小的可能取值為0,1,2,3,

且P(4=O)=C《1—1)=克

尸(曰)=斕1一|}=看

P("2)=C梆0一捐,

口"3)二&吩=藥

所以4的分布列為

00123

1248

p

279927

(2)用C表示“甲隊得2分乙隊得1分”這一事件，用。表示“甲

隊得3分乙隊得0分”這一事件，所以A8=CUQ,且C,D互斥.

又P(O=cg)010

-|T|x|x1+|x|x^+!x|x1]=34,

JJ\J4JJ4JJ4/

P(D)=C(|X|x|x1)=^.

由互斥事件的概率公式得

尸(A8)=尸(O+P(D)

10,43434

—34丁35—35-243.

課后篇?基礎達標延伸閱讀

1.某電子管正品率為3本次品率為1；，現對該批電子管進行測試,

設第4次首次測到正品，則PQ=3）=（）

31

X-22X-

c3

A.4B.4

33A1

cX-D-2X-

4J-4

47

答案：C解析：《=3表示第3次首次測到正品，說明前兩次都

沒有測到正品，故其概率是故選c.

2.（2021?湖北武漢高二期中）有8件產品，其中4件是次品，從

中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次數，則P（XW2）

=（）

43「13

A-8B14

C5D8

答案：D解析：因為是有放回地取產品，所以每次取產品取到

41

次品的概率為石=不

oZ

從中取3次，X為取得次品的次數，則X?43,

P(XW2)=P(X=2)+P(X=1)+P(X=0)=CgXx|+CiX

+cW3卜=/故選D.

3.（多選題）獨立重復試驗滿足的條件是（）

A.每次試驗之間是相互獨立的

B.每次試驗只有發生和不發生兩種情況

C.每次試驗中發生的機會是均等的

D.每次試驗發生的事件是互斥的

答案：ABC解析：由〃次獨立重復試驗的定義知選項A,B,

C正確.

4.(2021?福建漳州第五中學高一月考)已知兩名射擊運動員的射

擊水平：讓他們各向目標靶射擊10次，其中甲擊中目標7次，乙擊

中目標6次，若再讓甲、乙兩人各自向目標靶射擊3次，求：

(1)甲運動員恰好擊中目標2次的概率是多少？

(2)兩名運動員都恰好擊中目標2次的概率是多少？(結果保留兩

位有效數字)

解：由題意知這是3次獨立重復試驗.

(1)甲射擊一次擊中目標的概率為0.7,

則甲運動員恰好擊中目標2次的概率是C*X0.72X0.3=0.441,

(2)乙射擊一次擊中目標的概率為0.6,

則乙運動員恰好擊中目標2次的概率是dX0.62X0.4=0.432,

所以兩名運動員都恰好擊中目標2次的概率是

0.441X0.432^0.19.

課后自讀方案

［誤區警示］對獨立重復試驗理解有誤導致錯誤

［示例］某電視臺舉行奧運知識大賽，比賽分為初賽和決賽兩部

分，為了增加節目的趣味性，初賽采用選手選一題和答一題的方式進

行，每位選手最多有5次選題答題的機會，選手累計答題答對3題或

答錯3題即終止其初賽的比賽，答對3題直接進入決賽，答錯3題者

則被淘汰.已知選手甲答題的正確率為尋求選手甲可進入決賽的概

率.

2I

［錯解］由題意，選手甲答題的錯誤率為1