第三章排隊論排隊現象與排隊系統;排隊模型與系統參數;排隊系統時間參數分布規律;排隊系統的生滅過程與狀態轉移方程;排隊系統分析;單服務臺負指數分布模型多服務臺負指數分布模型排隊系統優化分析;11、排隊現象與排隊系統一、排隊現象到達顧客服務內容服務機構病人診斷/手術醫生/手術臺進港的貨船裝貨/卸貨碼頭泊位到港的飛機降落機場跑道電話撥號通話交換臺故障機器修理修理技工修理技工領取修配零件倉庫管理員上游河水入庫水閘管理員2（1）由于顧客到達和服務時間的隨機性，現實中的排隊現象幾乎不可避免；（2）排隊過程，通常是一個隨機過程，排隊論又稱“隨機服務系統理論”；3二、排隊系統（一）排隊服務過程排隊系統顧客源排隊結構顧客到來排隊規則服務規則顧客離去服務機構。。。4（二）排隊系統的要素及其特征1、排隊系統的要素：（1）顧客輸入過程；（2）排隊結構與排隊規則；（3）服務機構與服務規則；52、排隊系統不同要素的主要特征：（1）顧客輸入過程顧客源(總體)：有限/無限;顧客到達方式：逐個/逐批;(僅研究逐個情形)顧客到達間隔：隨機型/確定型;顧客前后到達是否獨立：相互獨立/相互關聯；輸入過程是否平穩：平穩/非平穩；(僅研究平穩性)顧客到達時刻i相繼到達間隔時間ti6（2）排隊結構與排隊規則顧客排隊方式：等待制/即時制(損失制);排隊系統容量：有限制/無限制;排隊隊列數目:單列/多列;是否中途退出:允許/禁止;是否列間轉移:允許/禁止;(僅研究禁止退出和轉移的情形)7（3）服務機構與服務規則服務臺(員)數目;單個/多個;服務臺(員)排列形式;并列/串列/混合;服務臺(員)服務方式;逐個/逐批;(研究逐個情形)服務時間分布;隨機型/確定型;服務時間分布是否平穩:平穩/非平穩;(研究平穩情形)112c…12c…12c…8服務臺(員)為顧客服務的順序:

a)先到先服務(FCFS);b)后到先服務(LCFS);c)隨機服務;d)優先服務;9排隊模型與系統參數一、排隊模型(一)排隊模型表示方法1、D.G.Kendall(1953)表示法

X/Y/Z——依據排隊系統3個主要特征：（1）X顧客到達間隔時間分布；（2）Y服務臺（員）服務時間分布；（3）Z服務臺（員）個數（單個或多個并列）；102、國際排隊論標準化會議(1971)表示法

X/Y/Z/A/B/C（1）A系統容量限制；（2）B顧客源（總體）數目；（3）C服務規則（FCFS，LCFS等）；——略去后三項，即指“X/Y/Z///FCFS”；——這里僅研究FCFS的情形；11(二)到達間隔和服務時間典型分布（1）泊松分布M；（2）負指數分布M；（3）k階愛爾朗分布Ek；（4）確定型分布D；（5）一般服務時間分布

G；——M/M/1，M/D/1，M/Ek/1；——M/M/c，M/M/c//m，——M/M/c/N/，。。。(三)排隊模型示例12二、系統參數(一)系統運行狀態參數1、系統狀態N(t)——指排隊系統在時刻t時的全部顧客數N(t)，包括“排隊顧客數”和“正被服務顧客數”；——系統狀態的可能值如下：（1）系統容量無限制，N(t)=0，1，2，…;(2)系統容量為N時,N(t)=0,1,2,…,N;(3)服務臺個數為c/損失制,N(t)=0,1,2,…,c;一般,系統狀態N(t)是隨機的。132、系統狀態概率：

(1)瞬態概率Pn(t)

——表示時刻系統狀態N(t)=n的概率;

(2)穩態概率Pn

——Pn=

Pn(t);——一般，排隊系統運行了一定長的時間后，系統狀態的概率分布不再隨時間

t變化，即初始時刻（t=0）系統狀態的概率分布(Pn(0)

，n》0）的影響將消失。14(二)系統運行指標參數

——評價排隊系統的優劣。1、隊長與排隊長

(1)隊長:系統中的顧客數（n）；期望值Ls=n*Pn

(2)排隊長:系統中排隊等待服務的顧客數;期望值Lq=

Lq=Ls-[正被服務的顧客數]152、截逗留申時間昨與等稿待時尤間(1成)逗留棵時間:——期指一桿個顧殲客在脾系統肥中的叼全部縮慧停留別時間；期望遙值，鵲記為Ws(2過)等待揚時間:——否指一閉個顧鼻客在湊系統叮中的孩排隊匹等待歷時間寧；期望像值，尼記為WqWs=Wq+E[服務豬時間勝]163、途其他際相關藥指標(1配)忙屯期:指從性顧客掠到達轟空閑猛服務泛機構賤起到罩服務機構提再次餅空閑無的時抄間長禽度；(2畢)忙溫期服專務量礦：指一徹個忙免期內尺系統運平均類完成服務座的顧剩客數錦；(3秧)損恥失率嫌:指顧居客到損達排賊隊系飾統，漏未接泄受服斧務而離坊去的既概率象；(4番)服更務強唐度：繁=姑/c畏；173、燥排趙隊系斬統時繳間參煮數分催布規罪律一、在顧客靠到達柴時間吼間隔爹分布(一丈)泊筋松流聾與泊局松分療布如果告顧客慰到達窯滿足禾如下鍛條件目,則佩稱為泊松擔流:(1慰)吧在不脫相互摟重疊護的時灘間區慨間內長，到倡達顧廢客數相互城獨立嗎(無后持效性怪).(2以)報對于伯充分涉小的武時間騰間隔活內，決到達1個烈顧客潮的概版率與t無關漠，僅模與時妻間間扇隔成正蝦比您(平穩呈性)：(3豬)細對于下充分惰小的笨時間慕間隔遠，2振個及榮以上顧鼻客到衡達的診概率年可忽欄略不固計榴(普通聾性)。18對泊職松流摔，在款時間t系統賴內有n個顧仍客的嫂概率亞服從辰如下尼泊松減分布E[狼N(彩t)庫]=t練;麥V策ar纖[厘N(鋸t)勢]=t畢;—婆—單位沒時間神平均報到達岡的顧喘客數跳；19若顧帝客到喉達間飯隔T的概哈率密書度為則稱T服從舉負指園數分無布，兇分布悉函數向如下召：若顧樓客流程是泊啄松流需時，撤顧客強到達涼的時愁間間甲隔顯然野服從雅上述阻負指咐數分紫布(WH螺Y)闊;E[營T]辣=1令/;經V嶼ar胖[誤T]糧=1后/2;[T的]=意1/(二條)泊葬松流悔到達滴間隔寄服從蹲負指借數分話布20二、惑顧客案服務友時間毒分布(一眉)負桿指數鞋分布(1患)芬對一答個顧恰客的穴服務盆時間Ts，等價犯于相慨鄰兩溪個顧辜客離開怨排隊誼系統太的時魚間間友隔。科若Ts服從豎負指肯數分通布，其概胸率密凍度和醋分布哄函數柏分別逼為則E[Ts]=測1/;閃V似ar好[Ts]=笑1/達2;[Ts]=登1/(2確)E[姥Ts]=擇1/安：每個議顧客梯的平役均(傅期望頁)服籌務時爬間；:單位晨時間腐服務優的顧迅客數包，平跑均(孔期望塞)服脫務率右；21(二帝)愛幟爾朗摩(Er暴la夸ng療)分布(1偵)響設v1,v2,…波,vk是k個相學互獨椒立的住隨機緒變量巴,服腫從相同山參數娘1/k的負潤指數攜分布域,則針:T=竊v1+v2+…僅+vk的概率抽密度淺為稱T服從k階愛勁爾朗盤分布愿。(2好)E[T]=至1/;貪V暮ar輔[T]=辛1/尋(k2殃)(3音)T的意零義之腸一:k個串棄聯服蠻務臺殊的總鍛服務兩時間解！224殺、排槍隊系穩統的爽生滅邊過程斗與狀言態轉奮移方仆程一、射排隊慘系統惰的生宇滅過災程(一斥)生火滅過得程的釀背景盜與定揭義設某但系統淚具有胞狀態丘集S=效{0裳,1漠,2道,…汁},或S=效{0湖,1粉,2壩,…道,k廣},N(浙t)表示凳系統牢在時極刻t們(t綠>=舉0)的狀縮慧態。若在N(滑t)誰=n的條炸件下收，隨憤機過嶄程{N(帳t)社,t羅>=似0}滿足以下雅條件賊:(1起)N(旁t+t)轉移停到“n+關1”的概纖率為n(t)乏;(2前)N(樸t+t)轉移仗到“n-識1”的概卷率為n(t)術;(3策)N(昂t+t)轉移絲式到透其他草狀態午“S-證{n仗+1附,n鵲-1艷}”的概率為o(t)(高階始無窮慌小)衫;則稱隨機懇過程盈{N(幣t)處,t釣>=表0}為生訴滅過威程。n吸，n琴，t(？)23(二令)生鎮滅過扇程狀膠態變劑化的棟性質(1版)在無螞窮小t內,雹系統納或生晚長1素個;西或滅恩亡1腿個;刷或既不生餃長又女不滅步亡（概率貴:1縱-n(t)環-n(t)裙）;(2致)系甲統生縮慧長一寇個的叮概率n(t)與t有關鑒，而教與t無關;與系皂統當姓前狀陪態n有關繞，而遠與以咐前的痛狀態兇無關禽；(3樣)系扔統滅遞亡一改個的確概率n(t)與t有關艘，而南與t無關;與系轟統當枯前狀霞態n有關玩，而錯與以逆前的界狀態維無關酷；——肯馬爾敏可夫鋸性質24(三喜)爬排隊畫系統沙的生聞滅過她程顧客紐奉到達豆——拾“生機”；顧客例離開己——乞“滅尸”顧客柿到達顧客叉離去n，n，(1檢)生衛滅過蠟程示歡意25若排婆隊系央統具守有下墳列性足質:(1瞧)吃顧客魚到達害為泊酬松流屋，時互間間斧隔服跪從參數為n的負齒指數弄分布肺;(2蚊)順顧客序服務功時間脾服從筋參數盾為n的負郵指數分疏布;則排警隊系壯統的裕隨機黑過程婦{N(贊t)臂,t香>=慚0}具有軌馬爾可軟夫性肆質,正為一個博生滅孫過程輛.(2砍)生子滅過襪程定寧義26二、革排隊訓系統仿的狀件態轉頸移方讀程(一析)遵排隊益系統話狀態低的概桑率及辯其分須布(1掘)瞬突態概砌率Pn(t碼)——度表示開時刻獲系統扶狀態N(違t)=n的概報率;(2穿)穩態蒸概率Pn——Pn=Pn(t禿);一般誓，穩鑰態概跪率Pn的分諸布，買是分啞析計殖算排隊牲系統掩運行頁優劣懇的基崇礎。27(二袋)似排隊奧系統斑狀態蒼概率鋼的微論分差厚分方音程推導珍過程言：P懼32持3——銳求解督可得領瞬態捉概率Pn(t鋸)28(三菜)璃排隊掘系統呈狀態保轉移宣方程——偶求解范可得啞穩態豬概率Pn令則——聰排隊易系統桶狀態凱轉移稱方程29(四蒜)光排隊踩系統節狀態冰轉移崗圖在任意狀態n達到穩態平衡的條件：產生該狀態的平均速率=該狀態轉變成其他狀態的平均速率（流入=流出）303132333435三、畏排資隊系醫統穩叔態概奧率Pn的求脫解3637對一營般排圣隊系往統，喬均有聰下式斥成立其中靜有效類到達肆率為四、校排雞隊系墓統性條能參元數的欄一般站關系——棉Li撒tt解le公式3839G/恭G/涉1和G/腰G/牛c隊列單位鐮時間λ個客厘戶到賽達，忠一個舒服務柜器單專位時英間能獵夠服蛾務μ個客天戶，朝客戶猶到達鎖時間起間隔限和服網務時甜間任腔意分酒布，1個或爆者c個服奶務器啦，無限趁等待死位。G/率G/謎1或者G/榜G/麗c。定義ρ>1：客陸戶不浩斷累洞積，駕越來股越多ρ<1：排惕隊系搖統達綱到平址穩態斑，系可統不熄隨時召間變臭化ρ=1：除越非客爽戶到梁達和健離開獎時間籮固定塌且匹源配，攔否則偏無穩其態。3940一些碼定義N(t)系統在時刻t的規模（隊長—系統中人數）Nq(t)隊列在時刻t的規模（隊列—隊列中等待數）Ns(t)時刻t正在接受服務的客戶數量pn(t)P[N(t)=n]pn穩態pn(t)，即limt→∞pn(t)L系統平均規模Lq隊列平均規模W客戶在系統內平均耗時Wq客戶在隊列中平均耗時4041Li裙tt悟le等式(L惰it職tl執e’太s艱la缸w)Li匹tt紹le等式丹（Li液tt污le勺’s熟f雜or徐mu范la）系統漂規模=客戶蘭達到巡壽率×客戶瞇在系免統中達消耗故時間“系榨統”攜可以淺是整丟個排霸隊系階統，純也可前以是許一個漏隊列對于廉隊列房誠，這個仗結果蠢適用紐奉于排陸隊模爺型，活與客傻戶到慣達模盾式和附服務侄模式阻無關菜！41單服涼務器G/邁G/追1排隊露系統客戶罰在系陳統時思間=排隊米時間+服務醋時間正在傻接受刊服務筋的客尚戶數同時成，服務曲器繁慢忙的微概率伐為pb=1票-p0=λ/μ（P0無顧而客概市率）42單服猾務器補，穩慶態下λ/μ不可咱能大卻于1。4243多服歲務器G/老G/撤c排隊食系統每臺抬服務雙器繁屆忙的穴概率除為pb=λ/cμ共c個服間務器美，平啦均λ/μ個客女戶接獵受服除務，時平均毀每個樣服務停器λ/cμ個客刷戶，奶或者辛單位前時間廣中λ/cμ服務豪器繁嗚忙λ/μ很重匹要。晉定義ρ=λ/μ為一謀個排叉隊系踐統的提交降負載（of輕fe閥re財d筋lo統ad）(服務岔強度)：服務船器完氏成一嘴個客拾戶服甲務的酒時間麗平均籠到達掛的客竊戶數拉量4344G/G/c排隊系統總結提交負載（服務強度）Little等式Little等式服務器繁忙概率接受服務的客戶數量G/G/1系統為空的概率44例：償某快意餐店都在高乞峰時櫻每小睡時到蔽達40位客州人，牙每個術客人龜平均滑在柜絨臺用5.灰5分鐘暴點餐傳。至城少需吉要設俯置多繪少個際柜臺舊？每小堵時到星達40位客隸人，群假設豪有c個柜導臺，凍則柜復臺繁丑忙概滴率λ/cμ=4篇0/鉆c×潑(6燭0/寺5.爐5)艦<1c>干40碌×5慰.5羅/6翻0，客壞人才臘不至兔于在季柜臺去累積c至少微為4454546例陪某公燙司安墓排接碧線員佛接聽誤顧客適電話某。由做于人楊手不午夠，錯顧客峽必須紛等待籍才能稠被接志聽。悉公司受希望握顧客赴平均量等待拿時間飾為75秒，焦估計套每分柿鐘打挨進3個客恐戶電喊話。粉問需壩要多通少線驢路用料于保鈔持電曠話等亡待？λWq=Lq，Lq=3都×7群5/怎60遼=3耽.7軋5，需要4條線嫩路4647例句考慮牲一個M/掙G/獸1/圈K排隊普系統絲式，其編阻塞閃概率臟為pK=0珠.1，并捕且λ=μ=1，L=油5。計伯算λef妹f，W，Wq，p0和ρef花f。47生滅商過程揭（Bi族rt聲h-舞an披d-揮de途at象h孔pr適oc符es澇s）考慮吳一個枝群體唯（比電如，羅海島泳上的旨海鳥帝群）仇，群蔽體數邀量取賢決于逐兩種秩事件臘，出委生和程死亡形。當糞群體莊個數沫為n時，λn表示回此時犯的出光生率識，即隙在一貢小段問時間h，出魔生一個個體禿的概左率為λnh+急o(釘h)；μn表示假此時萌的死狐亡率妙，即藥在一饞小段搏時間h，死趁亡一個個體舍的概涌率為μnh+態o(異h)。這慎個群只體可弟以用淹一個奸生滅鴉過程襖來描兄述。4848定義維：考班慮一陵個連旋續參股數的辱離散蛙隨機羽過程{X粗(t息):撐t>疲0}，取劫值空燭間為{0鳳,1伶,2趁,.記..貼}。如包果X(吩t)坑=n，則剖稱這虛個隨思機過埋程描控述的督系統蔑在時才間t處于誦狀態En，n=陳0，1，2，..擊.。如油果出填生速微率{λn}和死逃亡速痛率{μn}滿足度以下慚條件抗，則福稱這系個隨縮慧機過鈔程為偷生滅在過程芽。狀態共轉移鵝只能En兔En+腹1，n=總0，1，2，..好.。如果平在時語間t系統匠位于苦狀態En，則然在一蜻小段紗時間[t犁,t露+h逢)發生狀態轉移EnEn+晶1的概越率是λnh+惕o(撓h)。如果偏在時某間t系統趙位于溝狀態En，則趨在一篩小段疑時間[t請,t材+h公)發生狀態轉移EnEn-甲1的概攀率是μnh+清o(攝h)。如果淚在時房誠間t系統加位于駐狀態En，則評在一母小段冷時間[t襪,t犯+h曲)發生亂其它跡轉移弟的概衫率o(垮h)。4949令Pn(t智)=弦P[芒X(彩t)輝=n葵]在時感間t+家h，系委統仍兵然在詢狀態En的概遷率Pn(t永+h壺)，有菌四種顧情況在時撤間t系統秘位于埋狀態En，[t墓,t抽+h沾)狀態殼沒有攜發生臟改變在時凈間t系統烏位于持狀態En-晃1，[t臺,t而+h療)發生脾一個攻出生韻事件在時尸間t系統棚位于梁狀態En+象1，[t夸,t寸+h沾)發生靠一個季死亡憑事件在時匪間t系統哀位于品上述悟狀態遮以外警的狀難態5050情況1發生娃的概銳率情況2發生胖的概倡率情況3發生猶的概憶率情況4發生悲的概向率綜合4種情懇況5151整理取h0對n≥1當n=抹0初始疤條件貢，t=伙0時，創系統醫位于埋狀態Ei，所有μn=0，稱輔為純獎生過億程，癥“人亡口爆款炸”如果抗純生令過程λn=λ，即獲為泊雕松過脆程所有λn=0，稱旁為純銹滅過毯程，判“種拳群消骨亡”5252穩態史生滅趴過程當t扇∞，系統禿狀態Pn(t左)不隨覽時間彼改變揉。稱欺這種錘狀態柴為穩欣態（St陰at托io屢na國ry或者st獅ea懲dy請-s們ta悲te）記時，穩玻態下穩態議下對其任意蠶一個忍狀態需，“染進入懼該狀押態的謀概率=退出叮該狀晶態的檔概率跳”5353對狀踩態0，對其補它任驗意一榨個狀凳態i，解線工性方寧程組騙可得豆穩態妖生滅線過程縫各狀宰態概廚率當有德無限乒個狀宴態，以生滅我過程頌的穩堪態解贏為生滅鞠過程畢有穩巧態解蔬的必他要和眠充分揀條件煩為5454例原一咐個單丈服務伴器排訓隊系薯統，于無等鞭待位歐。假混設客擁戶到懼達是趁一個早速率處為λ的泊媽松過忍程，專服務都器服穴務時惕間服泉從指歐數分喚布，千服務桐速率書為μ，即吵單位茅時間姥服務1/μ個客震戶。求解藥：沒華有等歲待位壺，系厘統只壘有兩躍個狀開態，霉“0”和“1”根據極生滅咸過程醫方程5555解微神分方零程穩態僵，t棚∞。直接浴求解吹穩態啄，用摘“流墾入=流出闖”計鈔算穩貞態狀椅態概摧率565657例偶考慮一伯個單日服務覽器的河生滅呢過程緒系統浸中。目系統統只能如夠容喪納3個客再戶，別到達衣速率(λ0λ1λ2)=醒(3率,2漿,1鋸)，服繳務（真死亡來）速效率為(μ1μ2μ3)=諷(1籠,2學,2癥)。計畏算穩翁態下兼各狀氧態概銷率，傭并計舍算有贊效到畫達速德率凝和候客戶澤等待戒時間W求解肆生滅驚過程(p刮0,師p1壞,p駁2,努p4爪)=稿(0鉛.1脅17婆64祝7,萬0限.3混52閥94銅1,懼0傅.3櫻52鄉豐94扔1,蜻0礦.1長76滿47拔1)57無限衛源的閘排隊毫系統假定顧客哀來源姜是無漏限的，顧客損到達酒間隔尖時間茂服從巡壽負指蒼數分搜布且進不同務的到貪達間侄隔時播間相乓互獨庫立，每個媽服務憂臺服寇務一毫個顧爆客的抱時間洞服從爽負指挎數分百布，服務疑臺的誰服務蓋時間壘相互訪獨立喜，服霜務時衛間與溉間隔沒時間單相互率獨立欲。1．M／M／1／各系統設顧冷客流找是參放數為的最沫簡單廳流，是單踢位時乘間內平均集的顧糧客人狂數．追只有臣一個甚服務敘臺，戲服務爆一個渠顧客甘的服務時擔間服從黎參數礙為的負信指數魯分布已．平趟均服金務時萬間為記在服奪務臺蠻忙時妥，單皺位時佳間平鞭均服掀務58完的剝顧客榨數為稱為服欄務強坐度用N(朵t)表示枕在時潔刻t顧客崇在系桑統中老的數漢量(包括擾等待剛服務辜的和枯正在今接受邪服務邊的顧巷客)．證燙明系寬統組成壁生滅燥過程朵．由于躬顧客屠的到扁達是拜最簡聚單流撤，參嘩數故．在長臨度為的時鐮間內有一徹個顧恰客到扭達的毒概率爹為59沒有奧顧客蓬到達礎的概返率為到達2個或2個以周上顧灶客的射概率咸為在服務單臺忙態時(總認咱為只刑要系嗽統內痛有顧近客，凝服務淘員就尺得進告行服習務)，顧客叨接受皺服務敘完畢投離開蘿系統化的間歐隔時仔間為60獨立倡的、奸參數墊為的負抵指數須分布你．所慢以在系呈統忙寺時，漠輸出過損程為乓一最痛簡單捆流，參溪數為，于是爺當系蛛統忙日時，病在時間曲區間困內1個顧扁客被窩服務橋完的秋概率碗為沒有叨顧客勾被服貨務完老的概償率為兩個埋或兩個般以上叼顧客楚被服決務完批的概田率為且顧客枯數無您關，膜與微含小時好問區鼻間的刊起點抵無關亭．與系川統的對任金意給醫定的微小先增量假設先考印慮j＝i十1的情梢況，當時P{時間暑內恰棗好到籃達1個顧垃客而飯沒有糠顧客岔被服略務完嫁或恰灶好有k個顧煌客到煉達并華且k押-1個顧術客被吃服務驅完，61p{時間域內恰僑好到罪達1個顧臣客而追沒有搬顧客帝被服峰務完}十{時間鋪內到錫達k個顧馬客而染服務法完k塊-1個顧啦客，＝當i＝0時6263由以難上結痛果，弄可知是一籃生滅抹過程港，并仆且由生修滅過筆程求理平穩甘解公泡式，尊得由假穗設則從而冰平穩格分布黃為64服務攻臺空斬閑的烏概率昆，而是排辱隊系書統中嫩沒有近顧客袖的概縣率，可也就汽是恰好庭是服炸務臺迫忙的讓概率找。利用茶平穩就分布漿可以辱求統撓計平攻衡條讓件下肝的平均勉隊長L、平均恭等待檔隊長Lq、顧客娛的平遷均等絕待時疤間Wq平均所逗留絮時間W等．用N表示愛在統闖計平懇穩下覺系統荒的顧棵客數凳，平均社隊長L是N的數廣學期打望65用Nq表示腐在統科計平純衡時慰，排懷隊等杜待的癥顧客肺數，它較的數半學期傲望Lq＝E(橡Nq)就是叼在等袋待服碑務的踏平均顆顧客凳人數演．現在模來求平肢均等婦待時望間Wq，當一既個顧專客進咐入系惠統時書，系臺統中遷已有n個顧直客的心概率垂為pn，每命個顧將客的暑平均鉆服務傲時間為所以毯他平囑均等欲待時地間為因此66再求子顧客待的平均皇逗留秋時間(平均落等待圣時間妄再加訴上平枯均服壞務時寸間)W例7.擦2.廁1某火著車站剛的售鮮票處帖設有藍一個蝕窗口版．若黑購票策者是廢以最妖簡單浪流到騾達，轟平均棚每分強鐘到便達1人，吊假定雞售票跟時間迫服從儀負指怎數分擺布，熟平均永每分塌鐘可倡服務2人，聲試研層究售懲票窗事口前顧排隊合情況斯．解女由穩題設(人／均分)，(人／爹分)，67平均爭隊長(人)平均扒等待魔隊長人)平均涂等待敢時間(分)．平均勺逗留嚼時間(分)．超過5人的謠概率膏為顧客作不需證要等告待的腐概率際為等待晝的顧巷客人黨數68例7.綢2.條2在某綠工地咳卸貨托臺裝遮卸設訓備的勢設計芽方案贏中，巾有三覺個方秋案可洪供選壞擇，琴分別時記作際甲、壟乙、爬丙。銹目的豪是選取建使總娃費用胞最小敵的方忠案，有烤關費幟用(損失)如下美表所足示：方案每天久固定池費用每天脈可變晚操作宇費(元)每小土時平技均裝汁卸袋況數甲乙丙10旱013蠅025倉010極015案020爺010翠0020沙0060壘0069設貨車藝按最放簡單區流到只達，露平均牽每天(按10小時柔計算)到達15車，扁每車嗚平均都裝貨50渾0袋，卸貨程時間稼服從防負指覽數分享布．暖每輛禍車停店留1小時員的損等失為10元．于方游案解平均浪到達始率車／立小時揪，服務資率依賴由(7跟.2松.6屑)，1輛車疾在系造統內拘平均鳥停留纏時間搖為70每天步貨車悉在系叔統停誼留的是平均泄損失森費為W(平均座停留用時間)×鮮10棕×1臣5(總車緊輛)，每天溉的實猴際可犧變費介用(如燃皆料費裂等)為(可變忠操作才費／藝天)×設備距忙的密概率＝c×拳p羊(元／忍天)而所以叢每個商方案判的費考用綜禁合如王下表睡所示71從上渴表知方案且乙的席總費釣用最待省。例7.重2.宜3要購歐置計司算機幻玉，有齒兩種蹈方案彩．甲滔方案太是購乏進一愚大型茫計算壓機，于乙方號案是堂購置n臺小農型計以算機挪．每突臺小時型計些算機毫是大紙型計駁算機即處理陳能力維的1/腸n倍．葛設要獨求上鑒機的弟題從平齊均逗結留時蟻間、齒等待劫時間距看，返應該磁選擇推哪一汁個方仁案．目是痰參數叛為的最惰簡單嚴流，舉大型并計算椒機與緞小型企計算憐機計算題縣目的北時間事是負棕指數淋分布省，大扒型計出算機舅的參耀數是試解叨設按甲漂方案鉆，購甲大型粉計算垂機．平均粗等待至時間平均適逗留膝時間按乙憑方案在，購n臺小蓮型計歉算機閑，每迷臺小培計算四機的折題目72到達蝕率為服務壓率為平均浪等待蜻時間平均茄逗留牢時間所以閣只是抖從平乏均等慮待時它間，闖平均屑逗留刻時間陣考慮叛，應該購置協大型雁計算系機例7.鏡2.態4設船微到碼翠頭，擦在港決口停留厚單位禁時間截損失cI元，進港累船只槐是最臥簡單非流，偏參數橫為，裝辦卸時蔽間服獲從參狼數為的負五指數俘分布，服務售費用拒為是一最個正拍常數極．元，73求使整個坡系統揚總費兩用損齊失最更小的甲服務芒率解因為六平均抬隊長的損默失費為所以廚船在薪港口停留服務串費用嘴為因此總費激用為使F達到要最小烏，先戲求F的導存數求讓解出因為74最優扯服務穩率是當時平均險隊長L、平樸均等微待隊紹長Lq、平衫均逗噴留時該間W、平問均等賀待時感間Wq是排篩隊系痰統的民重要匆特征．這些愿指標儲反映男了排墊隊系司統的閉服務集質量接，是罰顧客史及排更隊系供統設寧計者賴關心奇的幾氣個指牧標．由(7叔.2慚.3步)到(7筑.2體.6俘)的公嚼式，跳得到饞這四嶺個指雪標之框間的確關系連．(7京.2醋.8苗)75這兩摟組關仿系式苗，可肅以作圈這樣奔直觀驅解釋脆：當柱系統峽內有借顧客介時，等平均款等待遇隊長Lq應該獸是平播均隊楚長L減1，當炸系統毯內沒扣有顧習客時累，平的均等禍待隊攤長Lq與平汗均隊翠長L相等，所批以單位捎時間垂內平樸均進翠入系礦統的稿顧客狂為個．每個繩顧客循在系Wq個顧付客在珍等待室服務線．統內策平均司逗留W單位飛時間孫．因察此系尺統內敏平均傳有W個顧棉客同樣劍理由扶，系犧統內徒平均同有(7丈.2還.8賺)式在扶更一流般的懷系統胡也成輔立，現通常炕稱為Li閘tt捎le公式2．M／M／1／k系統有些干系統筑容納龜顧客飾的數脂量是緞有限斬制的懶．例如友候診您室只充能容喘納k個就毒醫者打．第k十1個顧商客到獵來后宗，看偶到候介診室匹已經思坐滿廉了，留就自藥動離哭開，畜不參靜加排哨隊．76共有k個位已置可娘供進魯入系計統的斑顧客棵占用，一愧旦k個位遠置已忠被顧答客占術用(包括緣瑞等待制服務禽和接倚受服畏務的切顧客)，新皺到的胖顧客頂就自瓣動離歸開服閘務系咳統永皂不再誦回來拾．如弦果系項統中猾有空滑位置丟，新辱到的鍵顧客森就進母入系刻統排常隊等綠待服刊務，紹服務嘴完后奏離開愚系統溜．假定剖一個排隊童系統有一個憑服務陰臺，服務頁時間映是負碰指數分布雖，參矩數是顧客縮慧以最瘡簡單洲流到申達，陷參數國為系統磨中用N(脖t)表示井時刻t系統千中的面顧客孟數，系妖統的狀態臺集合為S＝{0，1，2，--千-k鋸}．與M／M／1／的證室明方寶法一樣，柴可以宜證明是個樸有限巨生滅煩過程房誠，且叫有77平均具隊長分兩不種情蟻況：78時，時，79平均信等待徑隊長pk是個楚重要按的量厚，它狡稱為臥損失辯概率霉，即當槽系統溪中有k個顧償客時卸，新濁到的丹顧客琴就不朱能進役入系堂統．單位斬時間躍平均宿損失沿的顧姐客數硬為單位埋時間球內平求均真銀正進蘆入系育統的剛顧客宴數為80由Li昏tt杠le公式啊，可仔以求周得平均盾逗留鮮時間叨、平于均等污待時鑼間81平均廉服務籮強度這是梨實際摸服務港強度趙，就敵是服墓務臺崗正在豎為顧吧客服念務的宅概率固．而不是畜服務客強度樸，因利為有陰一部堆分顧客倆失掉旁了。例7.步2.漿5一個源理發倆店只胡有一有個理虎發師須，有3個空耀椅供街等待勺理發溜的人項使用絮．設傘顧客戶以最孩簡單測流來靠到，縫平均徑每小坦時5人．扒理發權師的滿理發綿時間露服從具負指晨數分從布，供平均隆每小卷時6人.試求L，Lq，W，Wq．解＝5(人／是小時)，點＝6(人／昨小時)k＝4，82用公羞式(7甜.2詢.1所0)，(7曲.2封.1缺1)，(7摸.2久.1擋2)，(7拐.2僅.1約3)得到悄．83例7.憶2.乞6給定育一個M／M／1/漸k系統視，具腹有＝10(人／堪小時)，＝30難(人／酷小時)，k＝2．管臺理者斤想改博進服務約機構役．方案逢甲是搶增加烤等待進空間奮，使k＝3．方案蜓乙是修將平均葛服務蕉率提剃高＝40(人／衣小時)．設服背務每蹤蝶個顧或客的平均著收益星不變忙．問束哪個近方案礦獲得威更大旦收益叔，當增加舍到每小迷時30人，垃又將袋有什仁么結嫩果?解泊由兔于服才務每專個顧夢客的鴿平均牧收益妹不變頭，因備此服堂務機拖構單位齒時間潔的收挖益與釋單位拳時間辣內實牛際進邪入系駐統的揭平均竟人數nk成正貸比(注意六，不陽考慮岡成本)．方案伸甲：k＝384方案庸乙：k＝2因此壟擴大墻等待視空間速收益歉更大廊．當增加停到30人／筆小時分時，這時攝方案薪甲有85而方觸案乙吧是把提高俱到＝40人／且小時＝30渠(人／產小時)時，提高闊服務先效益仔的收四益比擴大拴等待脈空間谷的收襖益大鋤．所以蘇當3．M／M／c／系統現在私來討臺論多要個服駁務臺劫情況蛛．假設所系統呀有c個服董務臺遇，顧客屑到達渣時，譽若有砌空閑貓的服六務臺耽便立士刻接而受服般務．宜若沒搞有空洞閑的在服務肉臺，妄則排且隊等瓣待，等到鍋有空女閑服縣務臺征時再梯接受男服務襪．與閑以前姨一樣貴，假憑設顧眉客以械最簡下單流翼到達肆，參則數為服務歇臺相眨互獨嶼立，埋服務足時間匪都服膝從參馬數為的負儲指86數分俱布．當系統緣瑞中顧噸客人漏數時，這些漠顧客憤都正孔在接蹄受服務甘，服銀務時末間服葉從參處數為的負指調數分招布．可圾以證抬明顧客球的輸繳出是賣參數替為n的最席簡單測流．如鞋果n＞c，那鋒么只有c個顧鹽客正憑在接而受服勝務．鋼其余洽在排尋隊，顧客吳的輸沙出服從靜參數尺為的最踢簡單智流．用N(止t)表示t時刻紋排隊網系統接內顧痰客人聚數與的推醉導方副法類燥似，腹可以球證明也是刑一個積生滅過程杠。87由(7護.1喚.3撈)得到88先計傲算平均挎等待阿隊長Lq，只有還系統趟的顧騾客數時，航才有n鑰-掩c個顧臣客在品排隊色等待唉服務飛。所以89平均訓忙的扎服務臘臺數鴿為90平均純逗留悄的顧敲客人循數為平均懂等待隆時間基為平均丘逗留把時間涂為91例7.摔2.攜7一個晨大型或露天番礦山威，考容慮建辯設礦催石卸跳礦場盆，是至建一滾個好披呢?還是爭建兩桿個好欄．估嗚計礦正車按失最簡破單流彩到達沿，平籠均每竿小時沸到達15輛，重卸車蒙時間華也服繁從負風指數限分布裝，平膛均卸犬車時棗間是3分鐘球，每綢輛卡若車售斥價8萬元黎，建冶設第塵二個朗卸礦孫場需修要投團資14萬元菜．解平均少服務立率弄＝20疤(輛／舞小時)平均董到達礎率動＝15辯(輛／叼小時)在卸陡礦場命停留寇的平點均礦純車數建兩做個卸躺礦場奏的情銷況：92p0因此解建兩多個卸漂礦場景可減樓少在問卸礦譜場停傾留的欣礦車豪數為裂：3一0.模87＝2.肌13輛．踩就是掘相當稠于平淚均增巷加2.分13輛礦具車運盒礦石削．而歡每輛俘卡車稼的價蠢格為8萬元滿，所足以相愈當于蔥增加2.困13明×8＝17屠.0怖4萬元左的設拋備。待建第溜二個笑卸礦沙場的趟投資忍為14萬元狠，所億以建敢兩個凈卸礦牢場是最合適凳的．例7.宵2.廈8有一趨個系統會，假綱定每受個顧薪客在系統掉停留喇單位苦時間耕的損儉失費純用為c1元，招每個謊服務濱設備乏單位遺時間暢的單茄位服太務率甚成本掀為c2元．購要求改建立認幾個妖服務役臺才馳能使兩系統摩單位儀時間搜平均夾總損旨失費聾用最槽小．解單位踐時間庫平均撫損失趕費為93要求殘使F達到迷最小邊的正桌整數森解c*通常嚼用邊振際分酸析法憤：找兆正整目數c*，使穗其滿鐘足由得到所以同樣迷，由得到94因此c*必須緒滿足糧不等臣式取c＝1，2，--境-，計差算L(沾c獨)蘆-L居(圓c+鎖1)之差浴，若落在之間啊，c*就是格最優敏解例7.減2.插9某公園司中巖心實扯驗室依為各上工廠猶服務俗．設壓做試牌驗的覺人數比按最腿簡單奮流到促來．肆平均禮每天48近(人次勵／天)，c1＝6(元)．作廉試驗幼時間麗服從臨負指速數分較布，朵平均趙服務龍率為＝25宏(人次盾／天)，c2＝4(元)．求醋最優逃試驗晨設備c*，使麥系統售總費念用為程最小椅．解悼＝48浮(人次存／天)＝25材(人次黨／天)95按M／M／c／計算p0，L(疤c)等(注意鑄以下大公式剩只對成立)將計淹算結街果列仙成下斃表96所以污取c*＝3，總煌費用寸最小戴。97有限葡源排析隊系項統對于暮顧客冤來源傅是個桿有限吩集合能的隨扇機服巡壽務系桌統．征如果乏一個脖顧客賺加入欠排隊灘系統倉，這循個有診限集口合的蕩元素困就少蹄一個莊．當批一個敲顧客臺接受恐服務唇結束楚，就鞠立刻貨回到踩這個刻有限概集合毛中去潑．這箱類排討隊系安統主虜要應最用在盛機器狂維修腦問題盯上，罷有限今集合仍是某撫單位瓶的機器器總賢數，療顧客飯是出蒙故障寨的機種器，罷服務譯臺是而維修務工。1．M／M／c／m／m系統工人桂就去焰維修腔，修耕好以案后，演繼續截運轉裳．如之果維翁修工籍都在替維修進機器擠，那腫么出僑故障絞的機巴器就恢停在痛那里棄等待列修理胞．進擱入系肌統的戒顧客騎是等湊待修端理和禽正在展維修盆的機站器．甚服務候臺是閥維修鑒工。用機蘋器及村維修雨工來聞代替羞顧客抬及服名務臺陰的名街稱．泥假定有c個維細修工酒共同讀看管臺機違器．芬機器刻出故通障后98同一練負指義數分矛布，鉛平均渠修復儉時間俯為設每奇臺機葡器的攀連續坡運轉傅時間慮服從斤同參黑數的慕負指盜數分菊布，每臺恥機器和平均祝運轉搜時間闊為這說塌明一逆臺機安器單芬位運忽轉時間攤內出夾故障幸的平鈔均次我數為維修偉工的騎維修般時間煙都服雨從用N(而t)表示t在系辛統的剩機器隨數(正在璃接受狡維修額和等虎待維栽修的專機器)．這褲時輸岡入與緒系統皆的狀條態有校關．注當系領統有n臺停照止運宣轉的櫻機器液時，雁正在運運轉生的機飾器數袍為m夕-普n，單題位時圣間內蛇平均碰出故攪障的菌次數絲式為(m鄉豐-搜n)輸出陡情況巨與M／M／c／相同吵，所倍以參圖數為99由生削滅過劫程求位平穩液解的舌公式金，不難教驗證仍為子一生甚滅過畢程，源其狀怠態空間為得到現在控來求查排隊圾系統既的幾僅個數保量指哈標10弊0平均儀發生卻故障螺的機星器數平均蝕等待符維修欣的機蜘器數平均同正在偷工作譯的維忠修工邀人數平均督運行件的機桶器數10米1這公致式是遺很容咐易理科解的域．所攀有的甚機器m分成虎三類講：正用在運悶行的a，正日在維孔修的c，等揮待維暖修的Lq在統纖計平際衡條寶件下秋單位棒時間踏發生務故障宣的平尋均次璃數為即單暮位時漂間平安均發貼生故劇障的蜜機器壟數等奧于正視在運餐行的索機器軟平均躺發生售故障碌次數.10喘2由Li刑tt雪le公式廳可得館機器渴的平均刊停工住時間和平均像等待維修伙時間分別猛為在實皆際應招用中川，看悄一個飯排隊悅系統娘的好館壞，頓往往蝕看它陳的機炮器停紫工造飾成的泉損失豆及工震人空老閑程監度等．荒所以粉下列皇指標裂是很斜有用丘的．工人逝操作拌效率p(延c)＝平均屬工作貓人數總工徹人數工人招損失野系數q(飯c)＝平均豬空閑規工人殿數總工刮人數10永3機器容利用仰率u(畫c)＝平均滅工作謀機器尺數總機堤器數機器童損失毛系數r(桃c)＝等待克維修霉機器軟數總機鋼器數例設有2個工恐人看杯管5臺自糾動機題，組悼成M／M／2／5／5系統滾，(次／株運轉口小時).求平青均停津止運圖轉機確器數L、平奔均等潛待修位理數Lq以及地每次惰出故糟障的查平均侍停止丟運轉萍時間W、平傭均等鬼待修禾理時姜間Wq.(次／恰小時)，解由(7籍.3沈.1置)，(7應.3留.2做)有10惑4由(7拌.3擁.3嚴)，(7病.3幟.4留)有由(7探.3怠.5遲)，(7略.3描.6慢)有W＝0.特28粉(小時)，Wq＝0.傳03雜(小時)看管6臺機堂器．琴方案仗二：3個工如人共云同看增管20臺機武器．身試比綢較兩橋個方冒案的聞優劣紋．例設某臺廠有飯自動岸車床個若干清臺，貍各臺矮的質住量是諒相同的，虎連續受運轉缸時間塵服從畫負指記數分搜布，蔽參數舉為，工掛人的皇技術也演差不才多，些排除匪故障湖的時倍間服慘從負騎指數余分布勉，參每數為設有兩態個方婚案．雜方案翼一：3個工草人獨染立地甲各自解方案鞭一．因鑄為是嘩分別你看管歪．可辛以各站自獨舞立分顧析，蒸是3個M／M／1／6系統收．由斷上面府的公繭式可捐求出10屑5方案鉗二．m＝20，c＝3，可求粗得機器摸損失翁系數衫、修喝理工雙人損財失系趴數都捧小于刷方案疼一，所以般方案向二較鉤好。事實畏上，錢對給借定的正整井數c，m在本奏節初規的假設槽下，頓我們撈能證奔明如傲下一梯般的員結論市：c個工倦人分溪別獨拌立地托各自娃看管m臺機抖器時密，修顯理工壇的損僑失系蒼數q(垮1)與機奪器損為失系奸數r(礙1)分別蠅大于c個工罵人共幫同看苦管fm臺機榜器的家相應菊量q(抖c)，r(降c)．這很個結芹果是首很直爽觀的靠，當c個工厚人獨辦自看10秘6管時示，工悟人A單獨尤看管m臺機邊器，喬某個后時候澤可能腫有多擔于1臺機蝴器發另生故捐障，弦他只飽能在1臺上僵排除己故障蜘，其植它的丟等待歇維修摧．但鐵可能括工人B看管m臺機腸器全亮處于幅正常拋運轉鎮狀態取．如攤果是意共同縮慧看管里。B就可矛以去針排除A看管押的等恢待維鐘修的焰機器屈，從邊而降符低損卷失系綢數．2．M／M/予c／m十N／m系統現在廢來考找慮有炊備用夏機器堅