傅里葉變換基本性質及應用研究報告摘要：作為物理學專業必備的數學物理方法之一和工程類的重要分析手段，傅里葉變換不僅在求解數學物理方程和信號分析中發揮著極為重要的作用，而且與量子力學中的表象變換有一定的關聯性，對后續的量子力學、信號與系統等課程教學有較大影響．在教學過程中，傅里葉變換往往是積分變換法部分的教學切入點．傅里葉變換擁有良好的基本性質，這是決定其重要性和廣泛應用的關鍵因素之一．因此傅里葉變換的基本性質是教學中的重點內容．當前的教材在介紹傅里葉變換的基本性質時，都是基于基本的數學證明，而缺乏深入的物理剖析．如果站在數學物理學科方法論的角度考慮，筆者覺得非常有必要進行這方面的教學研究，同時這對于學生掌握并靈活應用傅里葉變換、學好物理學也非常有益．關鍵詞傅里葉變換；基本定理；應用1傅里葉變換的數學形式在進行性質的詮釋之前有必要給出傅里葉積分及傅里葉變換，傅里葉積分表述為（1）其中（2）為了便于分析，下面將從振動的角度出發，首先給出上述表達式的物理對應．如果把式（1）中的變量x和k分別視為時間和頻率的話，則可以視為振動信號，而傅里葉積分式（1）代表振動的分解，即將復雜運動分解為簡諧振動的線性疊加，而傅里葉變換式（2）代表分解式（1）中各簡諧振動前的系數，稱為頻譜．．由于這里側重于對傅里葉變換基本性質的物理理解而非嚴格的數學證明，為了能從振動的角度更容易理解問題，將分解系數（頻譜）稱為“權數”，從而傅里葉變換式（2）代表分解式（1）中各簡諧振動的權數．同時為了方便，在下文中我們將分解式（1）中的各簡諧振動稱為的各分振動．下面基于以上物理對應對傅里葉變換的5個基本性質進行物理詮釋.2傅里葉變換基本性質線性性質兩函數之和的傅里葉變換等于各自變換之和.數學描述是:若函數和的傅里葉變換和都存在和為任意常系數,使得.物理學詮釋：基于1節中的物理對應,線性定理式（3）變得易于理解：代表振動的線性組合，考慮到振動分解式（1）的思想，所對應的分振動權數必是和分振動權數和的線性組合，從而上式成立．平移性質若函數存在傅里葉變換,則對任意實數,函數存在傅里葉變換,且.物理學詮釋：采用1節中的物理對應，當給乘以時，引起相位的增加，即各簡諧分振動的相位較之多出了，從而引起的權數分布較之的權數分布發生了平移（若頻率則藍移，若頻率則紅移），平移的頻率量為，.微分關系若函數當→時的極限為0,而其導函數的傅里葉變換存在,則有,即導函數的傅里葉變換等于原函數的傅里葉變換乘以因子,更一般地,若,且存在,則,即k階導數的傅里葉變換等于原函數的傅里葉變換乘以因子物理學詮釋：采用1節中的物理對應，傅里葉積分式（1）代表振動的分解，即將復雜運動分解為簡諧振動的線性疊加，當給求導時，各分振動均會因此而出現ik，從而分振動權數變為ik倍，即有，該性質亦可與量子力學中的動量算符建立一定的關聯，因此該性質的物理詮釋對學生理解后續量子力學課程中的動量算符很有好處．卷積特性若函數及都在上絕對可積,則卷積函數的傅里葉變換存在,且。卷積性質的逆形式為即兩個函數乘積的傅里葉逆變換等于它們各自的傅里葉逆變換的卷積.Parseval定理若函數可積且平方可積,其中是的傅里葉變換,則3應用周期信號的傅立葉變換,設周期信號為,其傅里葉變換由下式給出相應的傅里葉逆變換為由此可見,經過傅里葉變換,就將時域信號變成頻域信號,而經過傅里葉逆變換又將頻域信號轉變為原來的時域信號了.要對連續信號進行數值計算,應先將連續信號進行離散化處理.信號離散化處理是以采樣定理為根據的,即:對一個具有有限頻譜的連續信號,若最高頻率為,當采樣頻率滿足時,則此連續信號可以從此采樣值中還原.在實際應用中,由于考慮分析精度,一般取..采樣過程如圖1所示,連續信號在每間隔時間T就采用一個樣點值,采樣后的脈沖序列為為,,…,,T為脈沖周期.，經采樣后連續信號就變成了離散信號了.圖1連續信號經采樣變為離散信號信號的采樣過程可以看做是乘以函數,即運用傅里葉變換的，并注意到得到這就是離散傅里葉變換的表達式.但是這個式子并不能直接用來進行計算,因為要對無窮多個采樣的樣本值進行DFT運算,實際上是不可能的.電子計算機只能對有限數列進行計算處理,因此,我們取N個有限數列進行研究.若采樣時間間隔為T,整個數列為,則數列的帶寬,那么頻率為,且將此結果代入(4-19)式,便可得到,因為為離散值,將它記為,并互換n,K,于是DFT為離散傅里葉逆變換(IDFT)可以從(3-2)式獲得,其表達式為從上式可見,離散信號可以通過DFT和IDFT實現時域和頻域的相互轉換,這種轉換就為近代數字化頻譜分析和數字化波形的時間合成奠定了基礎.數字化處理方式與模擬處理方式相比較具有許多優點,如穩定性、抗干擾性、通用性、高精度和小型化等.但是,要使DFT符合實際應用,還必須解決“實時性”和“經濟型”的問題.FFT的出現,有效地解決了信號實時分析的問題,經濟性的問題也在不斷改進,特別是由于數字電路和大規模集成電路的發展,低價格、高性能的FFT處理機已經大量涌現在各種科學技術和工程技術中.4總結傅里葉變換是一種特殊的積分變換,它能將滿足一定條件的某個函數表示成正弦基函數的線性組合或者積分.在不同的研究領域,傅里葉變換具有多種不同的變體形式,如連續傅里葉變換和離散傅里葉變換.它通過對函數的分析來達到對復雜函數的深入理解和研究.在幾乎所有利用傅里葉變換表示和分析物理過程的領域里都可以傅里葉變換的實部與虛部之間或者幅度和相位之間在某些情況下存在在一定的關系.限于本文的局限性,只列舉了傅里葉變換在波動和熱傳導及頻譜信號方面應用.在傳統的平穩信號分析及處理中,很多理論研究和應用研究都將傅里葉變換當作最基本的經典工具來使用.但是傅里葉變換存在嚴重的缺點:用傅里葉變換的方法提取信號頻譜時,需要利用信號的全部時域信息,這是一種整體變換,缺少時域定位功能,小波變換的出現很好的解決了這一難題.參考文獻雷大軍,黃鐵鐵,姚敏,等.傅里葉變換教學方法探討[J].湘南學院學報,2015(2):75-77.范迪,高潔,祁亞萍,等.淺析幾種常用變換間關系助推信號與系統類課程教學[J].高教學刊,2018,No.86(14):112-114.姜恩華,楊一軍,竇德召,等.數字信號處理課程中的傅里葉變換教