2021-2022學年重慶市江津第五中學校高二下學期期中數學試題一、單選題1．下列導數運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用基本初等函數的導數和復合函數的導數，依次分析即得解【詳解】選項A，，錯誤；選項B，，正確；選項C，，錯誤；選項D，，錯誤故選：B2．曲線在處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出導函數，計算出為切線斜率，再求得，由點斜式寫出直線方程，并整理．【詳解】，，，故切線方程為，即.故選：A.3．從中任取個不同的數，事件“取到的個數之和為偶數”，事件“取到兩個數均為偶數”，則A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得和的值，然后利用條件概率計算公式，計算出所求的概率.【詳解】依題意,,故.故選B.【點睛】本小題主要考查條件概型的計算，考查運算求解能力，屬于基礎題.4．已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態分布，從中隨機取一件，其長度誤差落在區間（3,6）內的概率為（附：若隨機變量ξ服從正態分布，則，．）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%【答案】B【詳解】試題分析：由題意故選B．【解析】正態分布5．2020年12月1日，大連市開始實行生活垃圾分類管理.某單位有四個垃圾桶，分別是一個可回收物垃圾桶?一個有害垃圾桶?一個廚余垃圾桶?一個其它垃圾桶.因為場地限制，要將這四個垃圾桶擺放在三個固定角落，每個角落至少擺放一個，則不同的擺放方法共有(如果某兩個垃圾桶擺放在同一角落，它們的前后左右位置關系不作考慮)（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】C【解析】分析題意，得到有一個固定點放著兩個垃圾桶，先選出兩個垃圾桶，之后相當于三個元素分配到三個地方，最后利用分步乘法計數原理，求得結果.【詳解】根據題意，有四個垃圾桶放到三個固定角落，其中有一個角落放兩個垃圾桶，先選出兩個垃圾桶，有種選法，之后與另兩個垃圾桶分別放在三個不同的地方有種放法；所以不同的擺放方法共有種，故選：C.【點睛】思路點睛：該題考查的是有關排列組合綜合題，解題方法如下：（1）首先根據題意，分析出有兩個垃圾桶分到同一個地方，有種選法；（2）之后就相當于三個元素的一個全排；（3）利用分步乘法計數原理求得結果.6．已知變量，之間的線性回歸方程為，且變量，之間的一組相關數據如表所示，則下列說法錯誤的是（

）681012632A．變量，之間呈負相關關系 B．C．可以預測，當時， D．該回歸直線必過點【答案】B【解析】A.由回歸方程的x的系數判斷；B.將。代入回歸方程求得即可；C.將代入回歸直線方程判斷；D.根據回歸直線過點判斷.【詳解】A.由回歸方程知，所以變量，之間呈負相關關系，故正確；B.因為。則，所以，解得，故錯誤；C.當時，，故正確；D.由B知：，，所以回歸直線必過點，故正確；故選：B7．(+)(2-)5的展開式中33的系數為A．-80 B．-40 C．40 D．80【答案】C【詳解】，由展開式的通項公式可得：當時，展開式中的系數為；當時，展開式中的系數為，則的系數為.故選C.【名師點睛】（1）二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(求解時要注意二項式系數中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數，且n≥r，如常數項指數為零、有理項指數為整數等)；第二步是根據所求的指數，再求所求解的項.（2）求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數原理討論求解.8．若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：，∵函數在區間單調遞增，∴在區間上恒成立．∴，而在區間上單調遞減，∴．∴的取值范圍是．故選D．【解析】利用導數研究函數的單調性.二、多選題9．關于變量x，y的n個樣本點及其線性回歸方程．下列說法正確的有（

）A．相關系數r的絕對值|r|越接近0，表示x，y的線性相關程度越強B．相關指數的值越接近1，表示線性回歸方程擬合效果越好C．殘差平方和越大，表示線性回歸方程擬合效果越好D．若，則點一定在線性回歸方程上【答案】BD【解析】根據回歸分析的相關知識，逐一分析四個選項的正誤即可.相關系數的絕對值越接近0，線性相關度越弱.相關指數表示擬合效果的好壞，指數越大，擬合程度越好.殘差平方和越小，擬合程度越好.線性回歸方程一定過樣本中心點.【詳解】根據線性相關系數的意義可知，當的絕對值越接近于0時，兩個隨機變量線性相關性越弱，則A錯誤；用相關指數來刻畫回歸效果，越大，說明模型的擬合效果越好，則B正確；擬合效果的好壞是由殘差平方和來體現的，殘差平方和越大，擬合效果越差，則C錯誤；樣本中心點一定在回歸直線上，則D正確.故選：BD.10．設離散型隨機變量的分布列如下表：123450.10.20.3若離散型隨機變量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】先由可得，再由概率和為1得，從而可求出的值，再利用期望和方差公式求，即可，從而可得答案【詳解】由得，又由得，從而得，，故A選項錯誤，B選項正確；，故C選項正確；因為，所以，故D選項錯誤，故選：BC．11．一個口袋中有大小形狀完全相同的3個紅球和4個白球，從中取出2個球.下面幾個命題中正確的是（

）A．如果是不放回地抽取，那么取出兩個紅球和取出兩個白球是對立事件B．如果是不放回地抽取，那么第2次取到紅球的概率一定小于第1次取到紅球的概率C．如果是有放回地抽取，那么取出1個紅球1個白球的概率是D．如果是有放回地抽取，那么在至少取出一個紅球的條件下，第2次取出紅球的概率是【答案】CD【分析】對于A，利用對立事件的概念判斷即可；對于B，分別計算出第2次取到紅球的概率和第1次取得紅球的概率進行比較即可；對于C，有放回地抽取，取出1個紅球1個白球包括第1次為紅球第2次為白球、第1次為白球第2次為紅球，然后求出概率；對于D，有放回地抽取，至少取出一個紅球的條件下，第2次取出紅球包括第1次紅球第2次白球、第1次白球第2次紅球、兩次都是紅球，從而可求得其概率【詳解】對于A，不放回地抽取兩個球，包括兩個都是紅球、兩個都是白球和一個紅球一個白球，共3種情況，所以取出兩個紅球和取出兩個白球不是對立事件，所以A錯誤；對于B，不放回地抽取，第2次取到紅球的概率為，第1次取得紅球的概率為，所以第2次取到紅球的概率等于第1次取到紅球的概率，所以B錯誤；對于C，有放回地抽取，取出1個紅球1個白球包括第1次為紅球第2次為白球、第1次為白球第2次為紅球，所以所求概率為，所以C正確，對于D，有放回地抽取，至少取出一個紅球的條件下，第2次取出紅球包括第1次紅球第2次白球、第1次白球第2次紅球、兩次都是紅球，所以所求概率為，所以D正確，故選：CD12．已知函數在上可導且，其導函數滿足，對于函數，下列結論正確的是（

）A．函數在上為增函數 B．是函數的極小值點C．函數必有2個零點 D．【答案】BD【解析】對函數求導，求出單調區間和極值，可判斷選項A，B；根據極小值的大小可得函數的零點個數，判斷選項C；利用在上為增函數，比較與的大小關系，判斷出選項D．【詳解】函數，則，當時，，故在上為增函數，A錯誤；當時，，故在單調遞減，故是函數g(x)的極小值點，B正確；若，則有兩個零點，若，則有一個零點，若，則沒有零點，故C錯誤；在上為增函數，則，即，化簡得，D正確；故選：BD【點睛】本題考查導數在單調性中的應用，考查函數的極值，考查函數的零點問題，考查利用單調性比較大小，屬于中檔題．三、填空題13．某學校派出4名學生和2名老師參加一個活動，活動結束后他們準備站成一排拍照留念，則2名老師相鄰的不同排法有___________種.（用數字作答）【答案】240【分析】利用捆綁法即得.【詳解】因為2名老師相鄰，把他們捆綁看作一個元素與4名學生排共有種排法，再排其內部順序又種，所以4名學生和2名老師站成一排拍照，2名老師相鄰的不同排法有種.故答案為：240.14．對正在橫行全球的“新冠病毒”，某科研團隊研發了一款新藥用于治療，為檢驗藥效，該團隊從“新冠”感染者中隨機抽取100名，檢測發現其中感染了“普通型毒株”，“德爾塔型毒株”、“其他型毒株”的人數占比為．對他們進行治療后，統計出該藥對“普通型毒株”、“德爾塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率分別為82%、60%、75%，那么你預估這款新藥對“新冠病毒”的總體有效率是________．【答案】74%【分析】根據題意，結合概率的計算公式，準確計算，即可求解.【詳解】由題意，感染了“普通型毒株”，“德爾塔型毒株”、“其他型毒株”的人數占比為且該藥對“普通型毒株”、“德爾塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率分別為82%、60%、75%，所以這款新藥對“新冠病毒”的總體有效率為.故答案為：.15．如圖是函數的導函數的圖像，給出下列命題：①-2是函數的極值點；②函數在處取最小值；③函數在處切線的斜率小于零；④函數在區間上單調遞增.則正確命題的序號是__________．【答案】①④【分析】根據導函數函數值的正負，即可求得的單調性和極值點.【詳解】根據導函數的圖象可得，當上，，在上，，故函數在上函數單調遞減，在和，函數單調遞增，所以是函數的極小值點，所以①正確；函數在上單調遞增，在處取不到函數的最小值，所以②不正確；由圖象可得，所以函數在處的切線的斜率大于零，所以③不正確；由圖象可得，當時，，所以函數在上單調遞增，所以④是正確的，綜上可知，①④是正確的.故答案為：①④.【點睛】本題考查導函數的圖象與原函數的關系，屬基礎題.四、雙空題16．設．若，則實數________，________．【答案】

0.5

【分析】令，即可求出的值.再分別求出與展開式中的的系數，再求和即為的值.【詳解】令，則解得：.的第項系數為.所以展開式中的的系數為;的第項系數為.所以展開式中的的系數為;故答案為：；.【點睛】本題考查二項式定理.屬于基礎題.五、解答題17．已知函數在處取得極值.（1）求實數的值；（2）當時，求函數的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求導，根據極值的定義可以求出實數的值；（2）求導，求出時的極值，比較極值和之間的大小的關系，最后求出函數的最小值.【詳解】（1），函數在處取得極值，所以有；（2）由（1）可知：，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，故函數在處取得極大值，因此，，，故函數的最小值為.【點睛】本題考查了求閉區間上函數的最小值，考查了極值的定義，考查了數學運算能力.18．已知在的展開式中，第6項為常數項．（1）求；（2）求含的項的系數；（3）求展開式中所有的有理項．【答案】（1）；（2）；（3），，.【解析】（1）求出的展開式的通項為，當時，指數為零，可得；（2）將代入通項公式，令指數為，可得含的項的系數；（3）根據通項公式與題意得，求出的值，代入通項公式并化簡，可得展開式中所有的有理項．【詳解】（1）的展開式的通項為，因為第6項為常數項，所以時，有，解得．（2）令，得，所以含的項的系數為．（3）根據通項公式與題意得，令，則，即．，∴應為偶數．又，∴可取2，0，-2，即可取2，5，8．所以第3項，第6項與第9項為有理項，它們分別為，，，即，，．【點睛】關鍵點點睛：本題考查二項式展開式的應用，考查二項式展開式的通項公式以及某些特定的項，解決本題的關鍵點是求解展開式的有理項時，令，由以及，求出的值，進而得出的值，代入通項公式化簡可得有理項，考查了學生計算能力，屬于中檔題．19．甲、乙兩機床加工同一種零件，抽檢得到它們加工后的零件尺寸x（單位：cm）及個數y，如下表：零件尺寸x1.011.021.031.041.05零件個數y甲37893乙7444a由表中數據得y關于x的經驗回歸方程為，其中合格零件尺寸為．(1)求a的值(2)完成列聯表，并依據小概率值的獨立性檢驗，分析加工零件的質量與甲、乙機床是否有關．附：，α【答案】(1)；(2)列聯表見解析，認為加工零件的質量與甲、乙機床有關.【分析】（1）根據給定數表，求出樣本的中心點，再根據經驗回歸方程必過樣本中心點，列式計算作答.（2）完善列聯表，計算的觀測值，再與臨界值比對即可作答.【詳解】(1)依題意，，，由，得，解得，所以a的值為11．(2)由于合格零件尺寸為，所以甲、乙機床加工的合格與不合格零件的列聯表為：機床加工零件的質量合計合格零件數不合格零件數甲24630乙121830合計362460令零假設為：加工零件的質量與甲、乙機床無關，則，因此根據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，所以認為加工零件的質量與甲、乙機床有關．20．甲、乙去某公司應聘面試.該公司的面試方案為:應聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，按照答對題目的個數為標準進行篩選.已知6道備選題中應聘者甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；應聘者乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響.(1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數的分布列，并計算其數學期望;(2)請分析比較甲、乙兩人誰的面試通過的可能性較大?【答案】(1)甲、乙的分布列見解析；甲的數學期望2、乙的數學期望2；(2)甲通過面試的概率較大．【分析】（1）設出甲、乙正確完成面試題的數量分別為，，由于，，分別寫出分布列，再求期望值均為；（2）由于均值相等，可通過比較各自的方差.【詳解】（1）設為甲正確完成面試題的數量，為乙正確完成面試題的數量，依題意可得：，∴，，，∴X的分布列為：X123P∴．，∴，，，，∴Y的分布列為：Y0123P∴．（2），，∵，∴甲發揮的穩定性更強，則甲通過面試的概率較大．【點睛】本題考查超幾何分布和二項分布的應用、期望和方差的計算，考查數據處理能力，求解時注意概率計算的準確性.21．今年中國共產黨迎來了建黨100周年，為了銘記建黨歷史、緬懷革命先烈、增強愛國主義情懷，某區組織了黨史知識競賽活動.在最后一輪晉級比賽中，甲、乙、丙三所學校回答一道有關紅色革命根據地建立時間的問題，已知甲?；卮鹫_這道題的概率為，甲、丙兩所學校都回答正確這道題的概率是，乙、丙兩所學校都回答正確這道題的概率是.若各學校回答這道題是否正確是互不影響的.(1)若規定三個學校都需要回答這個問題，求甲、乙、丙三所學校中至少1所學?；卮鹫_這道題的概率；(2)若規定三所學校需要搶答這道題，已知甲校搶到答題機會的概率為，乙校搶到的概率為，丙校搶到的概率為，求這個問題回答正確的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）設甲、乙、丙3校答對這道題的概率分別為，，，利用獨立事件的概率公式結合題干條件列出方程，求解，，再利用對立事件的概率公式，即得解；（2）利用全概率公式結合題干條件，即得解【詳解】(1)記甲、乙、丙3校獨自答對這道題分別為事件，，，分別設甲、乙、丙3校答對這道題的概率分別為，，，由于每人回答問題正確與否是相互獨立的，因此，，是相互獨立事件由題意可知，，，解