第五章

測量誤差的基本知識第五章15-1測量誤差的概念5-2評定精度的標準5-3觀測值的算術平均值及改正值5-4觀測值的精度評定5-5誤差傳播定律5-6誤差傳播定律的應用5-7加權平均值及其中誤差5-1測量誤差的概念5-2評定精度的標準5-3觀測值的算術25-1測量誤差的概念一、測量誤差及其產生的原因二、測量誤差的分類與處理原則三、偶然誤差的特性

5-1測量誤差的概念3一、測量誤差產生的原因（一）測量誤差

當對某觀測量進行觀測，其觀測值與真值(客觀存在或理論值)之差，稱為測量誤差。用數學式子表達：△i=Li–X(i=1,2…n)L-----觀測值X----真值一、測量誤差產生的原因（一）測量誤差4（二）、誤差產生的原因從觀測過程進行分析儀器角度測量儀器的精密度觀測者角度觀測者感覺器官的鑒別能力外界條件溫度、濕度、大氣折光（二）、誤差產生的原因從觀測過程進行分析5二、測量誤差的分類與處理原則(一)測量誤差分類先作兩個前提假設①觀測條件相同.②對某一量進行一系列的直接觀測在此基礎上分析出現的誤差的數值、符號及變化規律。二、測量誤差的分類與處理原則(一)測量誤差分類先作兩個前提6系統誤差(Systematicerrors)誤差在大小、符號上表現出系統性，或者在觀測過程中按照一定的規律變化，或者為一常數。偶然誤差(randomerrors)如果誤差在大小和符號上都表現出偶然性，即從單個誤差看，該誤差的大小和符號沒有規律粗差(grosserror)觀測中的錯誤叫粗差例如：讀錯、記錯、算錯、瞄錯目標等。錯誤是觀測者疏大意造成的，觀測結果中不允許有錯誤。一旦發現，應及時更正或重測。系統誤差(Systematicerrors)7三、偶然誤差的特性

1.真誤差在相同的觀測條件下，獨立的觀測162個三角形的全部內角。真誤差=觀測值—真值三、偶然誤差的特性

1.真誤差在相同的觀測條件下，獨立的82.偶然誤差的特性例如：在相同的條件下，獨立地觀測了358個三角形全部內角，由于觀測結果中存在偶然誤差，三角形的三個內角觀測值之和不等于三角形內角和的理論值，它的差值我們稱為閉合差（真誤差）。

2.偶然誤差的特性9-24-21-18-15-12-9-6–30+3+6+9+12+15+18+21+24x=△圖5-1頻率直方圖-24-21-18-15-12-9-6–30+3+105-2評定精度的標準中誤差——在一定的觀測條件下，各個真誤差平方的平均數的平方根5-2評定精度的標準中誤差——在一定的觀測條件下，各個真誤差11二、相對誤差在某些測量工作中，對觀測值的精度僅用中誤差來衡量還不能正確反映觀測的質量。例如:用鋼卷尺量200米和40米兩段距離，量距的中誤差都是±2cm，但不能認為兩者的精度是相同的，因為量距的誤差與其長度有關。為此，用觀測值的中誤差與觀測值之比的形式來描述觀測的質量。即m/L來評定精度，通常稱此比值為相對中誤差。相對誤差：絕對誤差的絕對值與觀測值之比二、相對誤差在某些測量工作中，對觀測值的精度僅用中誤差來衡量12三、極限誤差應用：限差檢核含義：認為觀測誤差中的偶然誤差出現大于容許誤差的概率極小，如果發生，則認為非偶然因素造成，對于測量結果一般認為不合格根據：偶然誤差的特性(1)取極限誤差(容許誤差)：或：三、極限誤差應用：限差檢核含義：認為觀測誤差中的偶然誤差出現135-3觀測值的算術平均值及改正值一、算術平均值(最或是值）算術平均值(即接近最或是值）是一個重要的概念算術平均值的表達式：根據真值與觀測值、真誤差三者之間的關系得下式：根據偶然誤差的特點：

結論：當觀測次數無限增大時，觀測值的算術平均值趨近于該量的真值。但是，在實際工作中，不可能對某一量進行無限次的觀測，因此，就把有限個觀測值的算術平均值作為該量的最或是值。5-3觀測值的算術平均值及改正值一、算術平均值(最或是值）14二、觀測值的改正值算術平均值與觀測值之差稱為觀測值改正值用（v)表示等式相加得最小二乘原理（各個改正數的平方和為最小）二、觀測值的改正值算術平均值與觀測值之差稱為觀測值改正值用（15二、觀測值的改正數求待定值：令得此式和5-3-1式相同二、觀測值的改正數求待定值：此式和5-3-1式相同165-4觀測值的精度評定前面先作了兩個前提假設：①觀測條件相同②對某一量進行一系列的直接觀測在此基礎上分析出現的誤差的數值、符號及變化規律。

A而在野外實際測量工作中，許多未知量不能直接觀測而求其真值，需由觀測值間接求出。B當觀測條件不相同時，如何來研究測量誤差問題。C觀測量的真值往往不知道，因而真誤差△也就不知道，故不能用式直接求中誤差

5-4觀測值的精度評定前面先作了兩個前提假設：175-4觀測值的精度評定按觀測值的改正值計算中誤差以代替X代替根據中誤差的計算公式則有：按觀測值的改正值計算中誤差的公式5-4-1重要公式5-4觀測值的精度評定按觀測值的改正值計算中誤差5-4-1重185-5誤差傳播定律誤差傳播定律：一般函數的誤差計算公式，稱為誤差傳播定律，是誤差傳播的最普遍的形式。其他函數，如線性函數、和差函數、倍數函數等，都是一般函數的特殊情況。5-5誤差傳播定律195-6誤差傳播定律的應用一、距離測量的精度評定的指標有:設一尺段的量距中誤差:m=±0.007m單位長度的量距中誤差：距離D的量距中誤差為：往返差數的中誤差：允許誤差：相對誤差：5-6誤差傳播定律的應用一、距離測量的精度20二、角度測量的精度（一）水平角觀測的精度評定的精度指標有：設一測回方向觀測的中誤差：一測回水平角觀測的中誤差為：半測回水平角值的中誤差為：盤左、盤右水平角值之差的中誤差為：取兩倍中誤差為極限誤差，則為±34″。所以用DJ6經緯儀觀測水平角，盤左、盤右分別測得水平角之差允許值一般規定為±40″。二、角度測量的精度21（二）多邊形角度閉合差的規定評定的指標有：各角之和的中誤差：如果以兩倍中誤差為極限誤差，則允許的角度閉合差為：假設：水平角的測角中誤差，則三角形的角度閉和差的限差應為：（二）多邊形角度閉合差的規定22三、水準測量的精度（一）兩次測定高差時的誤差規定評定的指標有：設讀數的中誤差：m=±1mm，則一次測定高差的中誤差為：兩次測定高差之差的中誤差為：如果以兩倍中誤差為極限誤差，則為±4mm，另外，考慮到在水準測量中還有水準管氣泡置平誤差的影響，故一般規定：用DS3級水準儀，兩次測定高差之差不得超過±5mm。三、水準測量的精度23（二）水準路線的高差測定誤差評定的指標：單位長度的高差中誤差：m0m0決定于水準測量的等級。水準路線的高差中誤差：公式說明：一定等級的水準測量的高差中誤差與水準路線長度的平方根成正比。例如：設1km長的水準路線的高差中誤差m0=±10mm，則5km長的水準路線的高差中誤差（或高程測定中誤差）mH=±10mm=±22mm（二）水準路線的高差測定誤差24§5-7加權平均值及其中誤差

一、不等精度觀測及觀測值的權概念：1、不等精度觀測（前已述）2、權—測量中用來作“權衡輕重”。某一觀測值或觀測值的函數的精度越高（中誤差M越小），其權相應越大。測量誤差理論中，以P表示權，并定義權與中誤差的平方成正比：3、“單位權中誤差”權等于1的中誤差為“單位權中誤差”一般用m0表示，一般，取一次觀測、一測回、單位長度的測量誤差作為“單位權中誤差”m0。§5-7加權平均值及其中誤差

一、不等精度觀測及觀測值的權25一、不等精度觀測及觀測值的權

4、例如：水準測量取1km路線的高差測量中誤差m0作為單位權中誤差，則Lkm水準路線高程測定的中誤差為：5、水準路線高程測定的權定為：一、不等精度觀測及觀測值的權

4、例如：水準測量取1km路線26二、加權平均值

加權平均值的計算公式：二、加權平均值

加權平均值的計算公式：27三、加權平均值的中誤差

加權平均值的中誤差：

M0為單位權中誤差：加權平均值的權：即為觀測值的權之和：三、加權平均值的中誤差

加權平均值的中誤差：

28四、單位權中誤差的計算

在處理不等精度觀測的成果時，要根據單位權中誤差來計算觀測值的權和加權平均值的中誤差等。方法如下：用真誤差△i代替中誤差mi，得到在觀測量的真值已知的情況下用真誤差求單位權中誤差的公式：在觀測量的真值未知的情況下，用觀測值的加權平均值x代替真值X，用測量值的改正值vi代替真誤差△i，得到按不等精度觀測值的改正值計算單位權中誤差的公式：四、單位權中誤差的計算

在處理不等精度觀測的成果時，要根據單298G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%rkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgP9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+$qZnVkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!TiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4D1v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5Dw*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$mVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ80z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSg8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)30第五章

測量誤差的基本知識第五章315-1測量誤差的概念5-2評定精度的標準5-3觀測值的算術平均值及改正值5-4觀測值的精度評定5-5誤差傳播定律5-6誤差傳播定律的應用5-7加權平均值及其中誤差5-1測量誤差的概念5-2評定精度的標準5-3觀測值的算術325-1測量誤差的概念一、測量誤差及其產生的原因二、測量誤差的分類與處理原則三、偶然誤差的特性

5-1測量誤差的概念33一、測量誤差產生的原因（一）測量誤差

當對某觀測量進行觀測，其觀測值與真值(客觀存在或理論值)之差，稱為測量誤差。用數學式子表達：△i=Li–X(i=1,2…n)L-----觀測值X----真值一、測量誤差產生的原因（一）測量誤差34（二）、誤差產生的原因從觀測過程進行分析儀器角度測量儀器的精密度觀測者角度觀測者感覺器官的鑒別能力外界條件溫度、濕度、大氣折光（二）、誤差產生的原因從觀測過程進行分析35二、測量誤差的分類與處理原則(一)測量誤差分類先作兩個前提假設①觀測條件相同.②對某一量進行一系列的直接觀測在此基礎上分析出現的誤差的數值、符號及變化規律。二、測量誤差的分類與處理原則(一)測量誤差分類先作兩個前提36系統誤差(Systematicerrors)誤差在大小、符號上表現出系統性，或者在觀測過程中按照一定的規律變化，或者為一常數。偶然誤差(randomerrors)如果誤差在大小和符號上都表現出偶然性，即從單個誤差看，該誤差的大小和符號沒有規律粗差(grosserror)觀測中的錯誤叫粗差例如：讀錯、記錯、算錯、瞄錯目標等。錯誤是觀測者疏大意造成的，觀測結果中不允許有錯誤。一旦發現，應及時更正或重測。系統誤差(Systematicerrors)37三、偶然誤差的特性

1.真誤差在相同的觀測條件下，獨立的觀測162個三角形的全部內角。真誤差=觀測值—真值三、偶然誤差的特性

1.真誤差在相同的觀測條件下，獨立的382.偶然誤差的特性例如：在相同的條件下，獨立地觀測了358個三角形全部內角，由于觀測結果中存在偶然誤差，三角形的三個內角觀測值之和不等于三角形內角和的理論值，它的差值我們稱為閉合差（真誤差）。

2.偶然誤差的特性39-24-21-18-15-12-9-6–30+3+6+9+12+15+18+21+24x=△圖5-1頻率直方圖-24-21-18-15-12-9-6–30+3+405-2評定精度的標準中誤差——在一定的觀測條件下，各個真誤差平方的平均數的平方根5-2評定精度的標準中誤差——在一定的觀測條件下，各個真誤差41二、相對誤差在某些測量工作中，對觀測值的精度僅用中誤差來衡量還不能正確反映觀測的質量。例如:用鋼卷尺量200米和40米兩段距離，量距的中誤差都是±2cm，但不能認為兩者的精度是相同的，因為量距的誤差與其長度有關。為此，用觀測值的中誤差與觀測值之比的形式來描述觀測的質量。即m/L來評定精度，通常稱此比值為相對中誤差。相對誤差：絕對誤差的絕對值與觀測值之比二、相對誤差在某些測量工作中，對觀測值的精度僅用中誤差來衡量42三、極限誤差應用：限差檢核含義：認為觀測誤差中的偶然誤差出現大于容許誤差的概率極小，如果發生，則認為非偶然因素造成，對于測量結果一般認為不合格根據：偶然誤差的特性(1)取極限誤差(容許誤差)：或：三、極限誤差應用：限差檢核含義：認為觀測誤差中的偶然誤差出現435-3觀測值的算術平均值及改正值一、算術平均值(最或是值）算術平均值(即接近最或是值）是一個重要的概念算術平均值的表達式：根據真值與觀測值、真誤差三者之間的關系得下式：根據偶然誤差的特點：

結論：當觀測次數無限增大時，觀測值的算術平均值趨近于該量的真值。但是，在實際工作中，不可能對某一量進行無限次的觀測，因此，就把有限個觀測值的算術平均值作為該量的最或是值。5-3觀測值的算術平均值及改正值一、算術平均值(最或是值）44二、觀測值的改正值算術平均值與觀測值之差稱為觀測值改正值用（v)表示等式相加得最小二乘原理（各個改正數的平方和為最小）二、觀測值的改正值算術平均值與觀測值之差稱為觀測值改正值用（45二、觀測值的改正數求待定值：令得此式和5-3-1式相同二、觀測值的改正數求待定值：此式和5-3-1式相同465-4觀測值的精度評定前面先作了兩個前提假設：①觀測條件相同②對某一量進行一系列的直接觀測在此基礎上分析出現的誤差的數值、符號及變化規律。

A而在野外實際測量工作中，許多未知量不能直接觀測而求其真值，需由觀測值間接求出。B當觀測條件不相同時，如何來研究測量誤差問題。C觀測量的真值往往不知道，因而真誤差△也就不知道，故不能用式直接求中誤差

5-4觀測值的精度評定前面先作了兩個前提假設：475-4觀測值的精度評定按觀測值的改正值計算中誤差以代替X代替根據中誤差的計算公式則有：按觀測值的改正值計算中誤差的公式5-4-1重要公式5-4觀測值的精度評定按觀測值的改正值計算中誤差5-4-1重485-5誤差傳播定律誤差傳播定律：一般函數的誤差計算公式，稱為誤差傳播定律，是誤差傳播的最普遍的形式。其他函數，如線性函數、和差函數、倍數函數等，都是一般函數的特殊情況。5-5誤差傳播定律495-6誤差傳播定律的應用一、距離測量的精度評定的指標有:設一尺段的量距中誤差:m=±0.007m單位長度的量距中誤差：距離D的量距中誤差為：往返差數的中誤差：允許誤差：相對誤差：5-6誤差傳播定律的應用一、距離測量的精度50二、角度測量的精度（一）水平角觀測的精度評定的精度指標有：設一測回方向觀測的中誤差：一測回水平角觀測的中誤差為：半測回水平角值的中誤差為：盤左、盤右水平角值之差的中誤差為：取兩倍中誤差為極限誤差，則為±34″。所以用DJ6經緯儀觀測水平角，盤左、盤右分別測得水平角之差允許值一般規定為±40″。二、角度測量的精度51（二）多邊形角度閉合差的規定評定的指標有：各角之和的中誤差：如果以兩倍中誤差為極限誤差，則允許的角度閉合差為：假設：水平角的測角中誤差，則三角形的角度閉和差的限差應為：（二）多邊形角度閉合差的規定52三、水準測量的精度（一）兩次測定高差時的誤差規定評定的指標有：設讀數的中誤差：m=±1mm，則一次測定高差的中誤差為：兩次測定高差之差的中誤差為：如果以兩倍中誤差為極限誤差，則為±4mm，另外，考慮到在水準測量中還有水準管氣泡置平誤差的影響，故一般規定：用DS3級水準儀，兩次測定高差之差不得超過±5mm。三、水準測量的精度53（二）水準路線的高差測定誤差評定的指標：單位長度的高差中誤差：m0m0決定于水準測量的等級。水準路線的高差中誤差：公式說明：一定等級的水準測量的高差中誤差與水準路線長度的平方根成正比。例如：設1km長的水準路線的高差中誤差m0=±10mm，則5km長的水準路線的高差中誤差（或高程測定中誤差）mH=±10mm=±22mm（二）水準路線的高差測定誤差54§5-7加權平均值及其中誤差

一、不等精度觀測及觀測值的權概念：1、不等精度觀測（前已述）2、權—測量中用來作“權衡輕重”。某一觀測值或觀測值的函數的精度越高（中誤差M越小），其權相應越大。測量誤差理論中，以P表示權，并定義權與中誤差的平方成正比：3、“單位權中誤差”權等于1的中誤差為“單位權中誤差”一般用m0表示，一般，取一次觀測、一測回、單位長度的測量誤差作為“單位權中誤差”m0。§5-7加權平均值及其中誤差

一、不等精度觀測及觀測值的權55一、不等精度觀測及觀測值的權

4、例如：水準測量取1km路線的高差測量中誤差m0作為單位權中誤差，則Lkm水準路線高程測定的中誤差為：5、水準路線高程測定的權定為：一、不等精度觀測及觀測值的權

4、例如：水準測量取1km路線56二、加權平均值

加權平均值的計算公式：二、加權平均值

加權平均值的計算公式：57三、加權平均值的中誤差

加權平均值的中誤差：

M0為單位權中誤差：加權平均值的權：即為觀測值的權之和：三、加權平均值的中誤差

加權平均值的中誤差：

58四、單位權中誤差的計算

在處理不等精度觀測的成果時，要根據單位權中誤差來計算觀測值的權和加權平均值的中誤差等。方法如下：用真誤差△i代替中誤差mi，得到在觀測量的真值已知的情況下用真誤差求單位權中誤差的公式：在觀測量的真值未知的情況下，用觀測值的加權平均值x代替真值X，用測量值的改正值vi代替真誤差△i，得到按不等精度觀測值的改正值計算單位權中誤差的公式：四、單位權中誤差的計算

在處理不等精度觀測的成果時，要根據單598G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%rkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgP9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+$qZnVkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjR