“大腦里”的空間北京市昌平區(qū)馬池口中心小學(xué)

——圖形與幾何教學(xué)的探討1992年5月形成《九年義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》《九年義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》,從起草到定稿,歷時近6年,中間曾多次向全國各地教育部門的專家、教學(xué)研究人員和教師征求意見,并幾經(jīng)修改,1992年5月由全國中小學(xué)教材審定委員會審查通過。國家教育委員會決定,大綱于1993年秋季開始在全日制城鄉(xiāng)小學(xué)試行。2002年3月形成《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》

課改后幾何圖形教學(xué)的順序：立體平面立體

課改前幾何圖形教學(xué)順序：平面立體

幾何初步知識1、基本圖形的認(rèn)識和周長2、面積的計算3、體積的計算4、球體的初步認(rèn)識5、線與角的認(rèn)識和度量

空間與圖形1、圖形的認(rèn)識2、測量3、圖形與變換4、圖形與位置

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）1、圖形的認(rèn)識2、測量3、圖形的運(yùn)動4、圖形與位置

圖形與幾何圖形與幾何：這部分知識的核心要素是抓關(guān)系、找聯(lián)系、進(jìn)行圖形轉(zhuǎn)化，核心圖形是長方形和長方體。圖形的特征、特性是核心概念。圖形與幾何：點、線、面、體、平移、旋轉(zhuǎn)、對稱、確定位置、認(rèn)識方向等。這部分的內(nèi)容主要涉及現(xiàn)實世界中的物體、幾何體和平面圖形的形狀、大小、位置關(guān)系，它是人們更好地認(rèn)識和描述生活空間并進(jìn)行交流的重要工具。

空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動和變化；依據(jù)語言描述畫出圖形等。何謂幾何直觀？幾何直觀又叫圖形直觀案例：《打電話》如果你是老師，有件緊急的事情要通知給同學(xué)，用打電話的方式，每分鐘通知1人，給你4分鐘的時間，能使多少人收到通知？大膽地猜測一下。

空間觀念如何培養(yǎng)？

第一：通過對實物的觀察、操作認(rèn)識圖形。在觀察、操作中“認(rèn)識圖形”抽象出圖形特征，發(fā)展空間觀念。

課例1：認(rèn)識長、正方體（一年級上）（1）分別拿出長方體和正方體擺在講臺桌上讓學(xué)生觀察他們擺放的位置，教師分別轉(zhuǎn)動這兩個立體圖形，女生睜開眼睛觀察，男生閉上眼睛猜。（2）男生猜猜老師動了誰，說說想法，女生判斷。（3）提問：老師既動了長方體又動了正方體，為什么男生沒有感覺到動呢？（4）教師帶著學(xué)生按照順序數(shù)正方體有幾個面？長方體有幾個面？區(qū)分對比它們的異同點。第二：以“圖形的測量”為載體，滲透度量意識，體會測量的意義，認(rèn)識度量單位及其實際意義，并在具體問題中進(jìn)行恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用。課例3：長方形周長的計算1、你準(zhǔn)備怎么求這個長方形的周長？那你們就先測量然后再計算吧，測量時取整厘米數(shù)。2、合作、交流、匯報。3、你們真了不起，一個給照片貼金邊的問題，使我們知道求長方形的周長要測量出長和寬，然后再計算，而且我們還總結(jié)了計算長方形的方法。有了這個方法，我們還能解決其他問題。課例4：梯形的面積利用老師提供的標(biāo)有數(shù)據(jù)的兩個完全一樣的梯形學(xué)具，求出一個梯形的面積。2厘米5厘米3厘米3厘米2厘米5厘米3厘米3厘米課例4：梯形的面積這個梯形沒標(biāo)數(shù)據(jù)，怎么求它的面積？“測量”“量什么？”課例4：梯形的面積想象完全一樣的梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形。為什么只測量這三個數(shù)據(jù)就能計算出梯形的面積呢？《長方形的周長》、《梯形的面積》思索1：以圖形的特征為依托思索:2：以測量為線索思索3：在解決問題的過程當(dāng)中總結(jié)方法課改前：“同學(xué)們，我來介紹幾種常用的面積單位:平方厘米、平方分米、平方米”，然后一一作介紹。課例5(對比課例)面積和面積單位課改后：第三：通過“圖形的運(yùn)動”探索發(fā)現(xiàn)，體會研究圖形性質(zhì)的不同方法，發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力和空間觀念。

課例7:三角形回憶平行四邊形的高，引出三角形的高。1、出示平行四邊形；2、把平行四邊形分成兩個三角形；3、引出平行四邊形的高，并回憶畫法；4、猜這條線段是三角形的什么？5、示范畫三角形的高；6、學(xué)生畫三角形的高。ACB高底D吳正憲老師《平移與旋轉(zhuǎn)》一課：1、觀看游樂場中的活動場面；2、回憶生活中旋轉(zhuǎn)與平移的現(xiàn)象；3、呈現(xiàn)一幅以方格圖為背景的社區(qū)平面圖；4、想像兩個分別在不同位置的孩子如何到達(dá)學(xué)校，進(jìn)而讓學(xué)生在方格圖上畫一畫，數(shù)一數(shù)，進(jìn)一步探究旋轉(zhuǎn)與平移的特點。一方面，學(xué)生通過在方格圖上數(shù)出平移的格數(shù)，直觀地強(qiáng)化了對平移的感知；另一方面，在去學(xué)校的途中還有旋轉(zhuǎn)(轉(zhuǎn)方向再繼續(xù)平移)，平移和旋轉(zhuǎn)這兩個基本概念在同一情境中反復(fù)呈現(xiàn)，符合生活實際情況，學(xué)生在對比中進(jìn)—步感受平移和旋轉(zhuǎn)的特征，點燃了智慧的火花。

課例9：平移和旋轉(zhuǎn)第四、基于圖形的想象和圖形之間的轉(zhuǎn)換，發(fā)展空間觀念

課例10：觀察物體重視對學(xué)生思維能力的訓(xùn)練：教學(xué)設(shè)計當(dāng)中，教師不局限于使學(xué)生能正確辨認(rèn)從前面、側(cè)面、上面觀察到的立體模型的形狀，借助用正方體拼搭立體模型的活動，使學(xué)生體驗到“從不同的位置觀察立體模型所看到的形狀可能不同”這一觀點，而且重視對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，在觀察四個正方體組成的模型時，設(shè)計了“怎樣添加一個小正方體，使得到的立體圖形的形狀與添加前看到的一樣？”這一極具挑戰(zhàn)性的問題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“在同一個觀察角度，只要讓新添加的正方體遮擋住原來看到的一個面，或者被原來看到的一個面遮擋住，所看到的面形狀不會發(fā)生變化”這一規(guī)律，并使新舊知識間及時進(jìn)行建構(gòu)，為學(xué)生提供了開放的思維空間。“左一片，右一片，摸得著，看不見”的反思。“立體圖形展開圖”教學(xué)當(dāng)中，孩子可以折一折，通過操作找到結(jié)果；也可以不折，先想一想，我們提倡先想象，再動手驗證，這樣有利于發(fā)展學(xué)生的空間想象力，促進(jìn)空間觀念的形成讓學(xué)生操作的時候，它不是一個簡單的操作，首先得想象一下，可能會是什么樣子，然后再通過操作，去驗證自己的想法，而這個過程，學(xué)生參與這個想象，包括動手操作，包括把這個過程表現(xiàn)出來，是非常重要的。讓學(xué)生的這種想象也好，操作也好，實際上進(jìn)一步理解，我們講三維和兩維之間的這樣一種關(guān)系（對應(yīng)關(guān)系）認(rèn)識長方體、正方體和圓柱的展開圖能體現(xiàn)三維圖形與二維圖形之間相互轉(zhuǎn)換的具體要求，目標(biāo)是在圖形轉(zhuǎn)換中引導(dǎo)學(xué)生觀察、抽象、想象，發(fā)展空間觀念。教學(xué)中應(yīng)注重展開與折疊的操作過程，通過想象實現(xiàn)圖形之間的轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生記憶展開圖的數(shù)量或類型的做法是不可取的。長、正方體的表面積一個正方體的展開圖中，圖上標(biāo)出了“下”面和“后”面，那么A所在的面是正方體的什么面？A后下情境導(dǎo)入：認(rèn)識厘米

小松鼠要給奶奶買一根拐杖作為生日禮物，跑到了大熊伯伯新開的木器店：伯伯，我要給奶奶做根拐杖。“好呀！多長的拐杖？”“三個手掌長”“好的，三天后來拿。”但是過了三天，小松鼠來到木器店發(fā)現(xiàn)拐杖太長了，根本不適合奶奶用。小松鼠傷心極了。兩個一高一矮的同學(xué)站在前面，完成填空，要跟別人不一樣：李明比張輝高（）a、半個頭b、一些c、一點d、一個拳頭e、14厘米f、5米設(shè)計一：設(shè)計二：圓錐的體積1、教師演示圓柱與圓錐等底等高的情況，讓學(xué)生觀察、猜想等底等高的圓錐與圓柱體積之間的關(guān)系。2、引導(dǎo)學(xué)生用等底等高的學(xué)具來驗證猜想，教師進(jìn)而歸納推導(dǎo)出體積公式。3、最后再通過多層次的練習(xí)加深對這一結(jié)論的認(rèn)同。4、教師出了一道判斷題：圓錐的體積等于圓柱體積的三分之一。學(xué)生無一例外地判為“對”。《射線》數(shù)學(xué)知識的規(guī)定性：《射線》手電筒的引入。小組討論：聽清楚了嗎？好！開始！熱鬧一片......小組討論，教師巡視并深入地指導(dǎo)過程中。某一組的小組長：“去，聽聽說啥？每回都她們組搶先，這回咱來他個措手不及！”某同學(xué)：“你行你說！”“你有想法嗎？”“有。”“怎不說呀？”“這事不歸我管！”師指導(dǎo)一生之后，讓其上前進(jìn)行演示。走上講臺愣了一下大聲問老師：“寫對的還是寫錯的？”落后生輔導(dǎo)：某牌48型號載貨車，載重量為11噸，12次最多運(yùn)多少噸貨物？“吃油餅”的例子，每天吃3張，5天吃幾張？情境導(dǎo)入：認(rèn)識厘米

小松鼠要給奶奶買一根拐杖作為生日禮物，跑到了大熊伯伯新開的木器店：伯伯，我要給奶奶做根拐杖。“好呀！多長的拐杖？”“三個手掌長”“好的，三天后來拿。”但是過了三天，小松鼠來到木器店發(fā)現(xiàn)拐杖太長了，根本不適合奶奶用。小松鼠傷心極了。兩個一高一矮的同學(xué)站在前面，完成填空，要跟別人不一樣：李明比張輝高（）a、半個頭b、一些c、一點d、一個拳頭e、14厘米f、5米擬人化的情景符合孩子口味，創(chuàng)設(shè)的情景制造了矛盾，引出課題，故事情節(jié)教育意義濃，真所謂潤物細(xì)無聲。圓錐的體積學(xué)生操作了是否意味著經(jīng)歷了？1、教師演示圓柱與圓錐等底等高的情況，讓學(xué)生觀察、猜想等底等高的圓錐與圓柱體積之間的關(guān)系。2、引導(dǎo)學(xué)生用等底等高的學(xué)具來驗證猜想，教師進(jìn)而歸納推導(dǎo)出體積公式。3、最后再通過多層次的練習(xí)加深對這一結(jié)論的認(rèn)同。4、教師出了一道判斷題：圓錐的體積等于圓柱體積的三分之一。學(xué)生無一例外地判為“對”。教師設(shè)計的操作活動看似有序，并順理成章地得出結(jié)論，但是在活動中學(xué)生只是單純地行為模仿，缺少仔細(xì)地觀察、判斷性地反思和深層次的思考，當(dāng)然，更談不上操作體驗和感悟。《射線》《射線》：手電筒的引入課題，生活當(dāng)中的抽象化。“數(shù)學(xué)化”與“生活化”射線是一個數(shù)學(xué)化的結(jié)果，是一個純抽象的數(shù)學(xué)概念，它是對某類生活現(xiàn)象的抽象，并且為了描述方便，人為地作了規(guī)定。數(shù)學(xué)概念還原到生活中去的時候，必須向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)知識是具有規(guī)定性的。小組討論：聽清楚了嗎？好！開始！熱鬧一片......小組討論，教師巡視并深入地指導(dǎo)過程中。某一組的小組長：“去，聽聽說啥？每回都她們組搶先，這回咱來他個措手不及！”某同學(xué)：“你行你說！”“你有想法嗎？”“有。”“怎不說呀？”“這事不歸我管！”師指導(dǎo)一生之后，讓其上前進(jìn)行演示。走上講臺愣了一下大聲問老師：“寫對的還是寫錯的？”落后生輔導(dǎo)：某牌48型號載貨車，載重量為11噸，12次最多運(yùn)多少噸貨物？“吃油餅”的例子，每天吃3張，5天吃幾張？從生活經(jīng)驗開始，養(yǎng)成了生活型生活習(xí)慣；而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須在此基礎(chǔ)之上培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。陳慧蓉老師《三角形三邊關(guān)系》引導(dǎo)孩子不停地思考：剪哪根、怎樣剪可以拼成三角形入手？反例驗證。得出結(jié)論，再讓孩子運(yùn)用結(jié)論判斷為什么（1厘米，12厘米，7厘米）、（3厘米，10厘米，7厘米）這兩組線段不能圍成三角形，接著引導(dǎo)孩子反思判斷過程想想有沒有只用一個算式就能判斷出三條線段能否圍成三角形的，最后進(jìn)行判斷三條線段能否圍成三角形的鞏固練習(xí)，用“兩點之間線段”最短來溝通新舊知識之間的聯(lián)系，把新知納入原有的知識體系中，最后老師對“猜想、舉例驗證、得出結(jié)論、應(yīng)用結(jié)論。猜想驗證得出結(jié)論應(yīng)用結(jié)論在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探討者，而在兒童的精神世界里，這種需要特別強(qiáng)烈。同課異構(gòu)課例：華應(yīng)龍老師《三角形三邊關(guān)系》不急著說結(jié)論，而是讓孩子邊做邊想，做美麗的思想者。讓學(xué)生親身經(jīng)歷，不僅用腦學(xué)習(xí)，要用心去體驗，培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力和創(chuàng)新精神。黃愛華《圓的周長》我總結(jié)黃老師三問法：一問：請同學(xué)們閉上眼睛想象，圓的周長展開后，會怎樣？二問：用滾動法、繩測法可以測出圓的周長，但有局限性，能不能探究出一種求圓的規(guī)律呢?三問：圓的周長到底和它的半徑有什么關(guān)系呢？（兩個球同時被甩動，形成兩個不同的圓）圓的周長（不同的教學(xué)活動決定不同的教學(xué)方式）方法1：大小不同的用硬紙剪的圓、直尺、彩帶等。把學(xué)生分成組，先測量每個圓的直徑和周長，再通過計算尋找圓周長和直徑的關(guān)系，進(jìn)而得出圓周長的計算公式。方法2：大小不同的圓（有用硬紙做的，有用軟布做的，有的直接畫在紙上沒有剪下來）、直尺、彩帶等。想辦法找出不同圓的周長。數(shù)學(xué)課堂的美全國著名教師張齊華老師執(zhí)教《圓的認(rèn)識》結(jié)課片段：看來，只要我們善于觀察，善于聯(lián)系，我們還能獲得更多有用的信息。現(xiàn)在讓我們重新回到現(xiàn)實生活中來。平靜的水面丟進(jìn)石子，蕩起的波紋為什么是一個個圓形？現(xiàn)在你能從數(shù)學(xué)角度解釋這一現(xiàn)象嗎？“我覺得石子擲下的地方就是圓心”“石子的力量向四周平均用力，就形成一個個圓。”“瞧!簡單的數(shù)學(xué)現(xiàn)象中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)規(guī)律，其實又何止大自然對圓情有獨鐘呢，在我們?nèi)祟惿钪械拿總€角落，圓扮演者重要角色，并成為美的使者和化身，一起欣賞拱橋、世界圓形建筑、景德鎮(zhèn)圓形瓷器等。“感覺怎樣？”生略“而這正是圓的魅力所在。西方數(shù)學(xué)哲學(xué)史上歷史有這樣一種說法：上帝按照數(shù)學(xué)原則創(chuàng)造這個世界的。對此，我一直無法理解，現(xiàn)在想來石子入水后渾然天成的圓形波紋，陽光下恣意綻放的向日葵，天體運(yùn)行時近似圓形的軌跡，遙遠(yuǎn)天際懸掛的那輪明月、艷陽等這所有的一切給予我們的不正是一種微妙的啟示嗎？至于古老的東方，圓在我們身上留下的痕跡既深刻又久遠(yuǎn)，中國人特別重視中秋、除夕佳節(jié)，中國人表達(dá)祝愿時用美滿、圓滿。這所有的一切和圓息息相關(guān)。”數(shù)形結(jié)合打開了人們的思維禁區(qū)，帶來了高科技。華羅庚：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”．?dāng)?shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透．著名特級教師劉德武老師《小數(shù)的意義》男63歲北京教育學(xué)院宣武分院二部小學(xué)教研室教研員，中學(xué)高級教師，北京市特級教師。劉老師長期從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和教研工作，他重視對學(xué)生學(xué)習(xí)心理的研究，提倡"在后退中前進(jìn)"和"跳出數(shù)學(xué)教數(shù)學(xué)"，逐步形成了"自然而不隨便，規(guī)范而不死板"的課堂教學(xué)風(fēng)格。他先后五次被評為北京市及宣武區(qū)先進(jìn)教師，1994年在宣武區(qū)教委隆重召開的"劉德武課堂教學(xué)特色研討會"上，被授予"第一批學(xué)科帶頭人"稱號。幾年來，劉老師在北京市和全國許多省市做公開課或?qū)W術(shù)講座百余節(jié)次，老師們普遍反映他的課新穎、獨特、富有哲理。劉老師非常重視對青年教師的培養(yǎng)，他的徒弟中有很多已鍛煉成長為市、區(qū)級優(yōu)秀教師、教學(xué)干部或教研員，其中劉延革老師代表北京市參加2001年全國課堂教學(xué)競賽，榮獲一等獎。寄語："弟子不必不如師"，弟子總不如師，是師的悲哀；師將不如弟子，是師的最大心愿。S數(shù)D的Y意Y義X小退休老教師劉德武和前鋒學(xué)校四年級3班的同學(xué)們（課件制作：登萊小學(xué)潘寧）（人教版四年級下冊）【意義】yìyì

[名]①表示什么②價值整數(shù)1整數(shù)1整數(shù)1整數(shù)1整數(shù)1整數(shù)1整數(shù)1認(rèn)識10整數(shù)1整數(shù)1整數(shù)1整數(shù)1整數(shù)1整數(shù)1整數(shù)1整數(shù)1整數(shù)1練習(xí)1.看圖說小數(shù)0.4的計數(shù)單位是（），它有（）個這樣的單位。再添上（）個這樣的單位就是1。0.1460.53里有（）個0.01，還可以說是由（）個0.1和（）個0.01組成的。5353練習(xí)1.看圖說小數(shù)

再添上（）就是1。0.10.010.0010.574是由5個（）、7個（）和4個（）組成的，0.426練習(xí)2.看要求寫小數(shù)一輛玩具汽車9角8分

，也就是（）元。0.98練習(xí)2.看要求寫小數(shù)小明身高1米2分米3厘米4毫米

，也就是（）米。1.234練習(xí)2.看要求寫小數(shù)一元錢可以買4個同樣的轉(zhuǎn)筆刀

，每個（）元。0.25練習(xí)3.選擇正確答案這個西瓜重2千克8克，也就是（）千克。A2.8B2.08C2.0082.008練習(xí)4.測量彩帶的長度當(dāng)測量或計算得不到整數(shù)的結(jié)果時，可以用小數(shù)表示。這也是學(xué)習(xí)和應(yīng)用小數(shù)的意義。練習(xí)5.數(shù)數(shù)以

0.1

為單位數(shù)以

0.01

為單位數(shù)SDYYX（意義）SDXZX（性質(zhì)）SDJJX（加減）SDCCX（乘除）SDYYX（應(yīng)用）我們的學(xué)生在陽光的照耀下、在雨露的滋養(yǎng)下，變了，變得敢想了、敢說了、敢向權(quán)威挑戰(zhàn)了。下圖是兩摞相同規(guī)格的羽毛球？一個羽毛球高多少厘米？街頭馬路中央立著一個平行四邊形的廣告牌，底12.5厘米，高比底矮5.8米。要給這個廣告牌涂漆，每平方米需要0.6千克油漆。問涂完這個廣告牌需要多少千克油漆？墻上貼著一個平行四邊形的廣告牌，底12.5厘米，高比底矮5.8米。要給這個廣告牌涂漆，每平方米需要0.6千