PAGE長郡中學2008年高一實驗班選拔考試試卷注意：(1)試卷共有三大題16小題，滿分120分，考試時間80分鐘.(2)請把解答寫在答題卷的對應題次上,做在試題卷上無效.一、選擇題（本題有6小題，每小題5分，共30分）下面每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確選項前的字母填在答題卷中相應的格子內.1．在直角坐標系中，若一點的橫坐標與縱坐標互為相反數，則該點一定不在()(A)直線y=–x上(B)拋物線y=上(C)直線y=x上(D)雙曲線xy=1上2．以等速度行駛的城際列車，若將速度提高25%，則相同距離的行車時間可節省k%，那么k的值是()(A)35(B)30(C)25(D)203．若－1＜＜0，則一定是()第4題(A)最小，最大(B)最小，最大(C)最小，a最大(D)最小，最大4．如圖，將△ADE繞正方形ABCD的頂點A順時針旋轉90°，得△ABF，連結EF交AB于H，則下列結論錯誤的是（）(A)AE⊥AF（B）EF：AF=：1(C)AF2=FH·FE（D）FB：FC=HB：EC5．在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，且CD與BE相交于點F，已知△BDF的面積為10，△BCF的面積為20，△CEF的面積為16，則四邊形區域ADFE的面積等于（）(A)22(B)24(D)36(D)446．某醫院內科病房有護士15人，每2人一班，輪流值班，每8小時換班一次，某兩人同值一班后，到下次兩人再同班，最長需要的天數是（）（A）30（B）35（C）56（D）448二、填空題（本題有6個小題，每小題5分，共30分）7．若4sin2A–4sinAcosA+cos2A=0,則tanA=______(第9題)8．在某海防觀測站的正東方向12海浬處有A、B兩艘船相會之后，A船以每小時12海浬的速度往南航行，B船則以每小時3海浬的速度向北漂流.則經過小時后，觀測站及A、B兩船恰成一個直角三角形.9．如右圖，在坐標平面上，沿著兩條坐標軸擺著三個相同的長方形，其長、寬分別為4、2，則通過A,B,C三點的拋物線對應的函數關系式是.(第11題)10．桌面上有大小兩顆球，相互靠在一起。已知大球的半徑為20cm，小球半徑5cm,則這兩顆球分別與桌面相接觸的兩點之間的距離等于cm.11．物質A與物質B分別由點A(2,0)同時出發，沿正方形BCDE的周界做環繞運動，物質A按逆時針方向以l單位/秒等速運動，物質B按順時針方向，以2單位/秒等速運動，則兩個物質運動后的第11次相遇地點的坐標是.第12題12．設……為一群圓,其作法如下：是半徑為a的圓,在的圓內作四個相等的圓(如圖),每個圓和圓都內切,且相鄰的兩個圓均外切,再在每一個圓中,用同樣的方法作四個相等的圓,依此類推作出……,則(1)圓的半徑長等于 (用a表示)；(2)圓的半徑為 (k為正整數，用a表示，不必證明)三、解答題（本題有4個小題，共60分）解答應寫出文字說明，證明過程或推演步驟。第13題13.（本小題滿分12分）如圖，四邊形ABCD內接于圓O，且AD是圓O的直徑，DC與AB的延長線相交于E點，OC∥AB.(1)求證AD=AE；(2)若OC=AB=4，求△BCE的面積.（1）證1.∵AD是圓O的直徑，點C在圓O上，∴∠ACD=90，即AC⊥DE.又∵OC∥AE，O為AD中點∴AD=AE.證2∵O為AD中點，OC∥AE，∴2OC=AE，又∵AD是圓O的直徑，∴2OC=AD，∴AD=AE.（2）由條件得ABCO是平行四邊形，∴BC∥AD，又C為中點，∴AB=BE=4，∵AD=AE，∴BC=BE=4，連接BD，∵點B在圓O上，∴∠DBE=90，∴CE=BC=4，即BE=BC=CE=4，∴所求面積為4.4分14.（本題滿分14分）已知拋物線y=x2+2px+2p–2的頂點為M，(1)求證拋物線與x軸必有兩個不同交點；(2)設拋物線與x軸的交點分別為A，B，求實數p的值使△ABM面積達到最小.解：(1)∵⊿=4p2–8p+8=4(p–1)2+4>0,∴拋物線與x軸必有兩個不同交點.4分(2)設A(x1,0),B(x2,0),則|AB|2=|x2–x1|2=[(x1+x2)2–4x1x2]2=[4p2–8p+8]2=[4(p–1)2+4]2,∴|AB|=2.5分又設頂點M(a,b),由y=(x–p)2–(p–1)2–1.得b=–(p–1)2–1.當p=1時，|b|及|AB|均取最小，此時S△ABM=|AB||b|取最小值1.5分15（本小題滿分16分）某次足球邀請賽的記分規則及獎勵方案如下表：勝一場平一場負一場積分310獎勵（元/每人）15007000當比賽進行到12輪結束（每隊均要比賽12場）時，A隊共積19分。(1)試判斷A隊勝、平、負各幾場?(2)若每一場每名參賽隊員均得出場費500元，設A隊中一位參賽隊員所得的獎金與出場費的和為W（元），試求W的最大值.解：（1）設A隊勝x場，平y場，負z場，得，可得：4分依題意，知x≥0,y≥0,z≥0,且x、y、z均為整數，∴解得：≤x≤，∴x可取4、5、64分∴A隊勝、平、負的場數有三種情況：當x=4時，y=7,z=1；當x=5時，y=4,z=3；當x=6時，y=1,z=5.4分（2）∵W=（1500+500）x+(700+500)y+500z=–600x+19300當x=4時，W最大，W最大值=–60×4+19300=16900（元）答略.4分16（本小題滿分18分）已知：矩形ABCD，（字母順序如圖）的邊長AB=3，AD=2，將此矩形放在平面直角坐標系xOy中，使AB在x軸正半軸上，而矩形的其它兩個頂點在第一象限，且直線y=x－1經過這兩個頂點中的一個.（1）求出矩形的頂點A、B、C、D的坐標；（2）以AB為直徑作⊙M，經過A、B兩點的拋物線，y=ax2＋bx＋c的頂點是P點.①若點P位于⊙M外側且在矩形ABCD內部，求a的取值范圍；②過點C作⊙M的切線交AD于F點，當PF∥AB時，試判斷拋物線與y軸的交點Q是位于直線y=x－1的上方？還是下方？還是正好落在此直線上？并說明理由.解：(1)如圖，建立平面直有坐標系，∵矩形ABCD中，AB=3，AD=2，設A(m0)（m>0),則有B(m＋30)；C(m＋32),D(m2);若C點過y=x－1；則2=(m＋3)－1,m=－1與m＞0不合；∴C點不過y=x－1；若點D過y=x－1，則2=m－1,m=2,∴A(2,0),B(5,0)，C(5,2)，D(2,2)；5分（2）①∵⊙M以AB為直徑，∴M(3.50)，由于y=ax2＋bx＋c過A(2,0)和B(5,0)兩點，∴∴2分∴y=ax2－7ax＋10a(也可得：y=a(x－2)(x－5)=a(x2－7x＋10)=ax2－7ax＋10a)∴y=a(x－)2－a；∴拋物線頂點P(,－a)∵頂點同時在⊙M內和在矩形ABCD內部,∴＜－a＜2,∴－＜a＜–.3分②設切線CF與⊙M相切于Q，交AD于F，設AF=n,n＞0； ∵AD、BC、CF均為⊙M切線，∴CF=n＋2,DF=2－n;在RtDDCF中，∵DF2＋DC2=CF2；∴32＋(2－n)2=(n＋2)2,∴n=,∴F(2,)∴當PF∥AB時，P點縱坐標為；∴－a=，∴a=－;∴拋物線的解析式為：y=－x2＋x－53分拋物線與y軸的交點為Q（0，－5），又直線y=x－1與y軸交點（0，－1）；∴Q在直線y=x－1下方.3分高一實驗班選拔考試數學卷評分標準一、選擇題（本題有6小題，每小題5分，共30分）1．D2．D3．A4．C5．D6．B二、填空題（本題有6個小題，每小題5分，共30分）7．.8．2.9．y=–x2–x+.10．20.11．(–,–2).12．(1)圓的半徑 ；(2)圓的半徑(–1)n–1a.長郡中學2009理科實驗班招生考試數學試卷滿分：100時量：70min一、選擇題（本題有8小題，每小題4分，共32分）1．函數y＝圖象的大致形狀是（）ABCD2．小明隨機地在如圖所示的正三角形及其內部區域投針，則針扎到其內切圓(陰影)區域的概率為（）A、B、C、D、3．滿足不等式的最大整數n等于（）（A）8（B）9（C）10（D）114．甲、乙兩車分別從A，B兩車站同時開出相向而行，相遇后甲駛1小時到達B站，乙再駛4小時到達A站.那么，甲車速是乙車速的（（A）4倍（B）3倍（C）2倍（D）1.5倍5．圖中的矩形被分成四部分，其中三部分面積分別為2，3，4，那么，陰影三角形的面積為（）（A）5（B）6（C）7（D）86．如圖，AB，CD分別是⊙O的直徑和弦，AD，BC相交于點E，∠AEC=，則△CDE與△ABE的面積比為（）（A）cos（B）sin（C）cos2（D）sin27．兩杯等量的液體，一杯是咖啡，一杯是奶油.舀一勺奶油到咖啡杯里，攪勻后舀一勺混合液注入到奶油杯里.這時，設咖啡杯里的奶油量為a，奶油杯里的咖啡量為b，那么a和b的大小為（）（A）（B）（C）（D）與勺子大小有關8．設A，B，C是三角形的三個內角，滿足，這個三角形是（）（A）銳角三角形（B）鈍角三角形（C）直角三角形（D）都有可能二、填空題（本題有6小題，每小題5分，共30分）9．用數字1，2，3，4，5，6，7，8不重復地填寫在下面連等式的方框中，使這個連等式成立：1＋□＋□=9＋□＋□=8＋□＋□=6＋□＋□10．如圖，正三角形與正六邊形的邊長分別為2和1，正六邊形的頂點O是正三角形的中心，則四邊形OABC的面積等于______.11．計算：=________.12．五支籃球隊舉行單循壞賽（就是每兩隊必須比賽1場，并且只比賽一場），當賽程進行到某天時，A隊已賽了4場，B隊已賽了3場，C隊已賽了2場，D隊已賽了1場，那么到這天為止一共已經賽了__場，E隊比賽了___場.13．已知∠AOB=30°,C是射線OB上的一點，且OC=4，若以C為圓心，半徑為r的圓與射線OA有兩個不同的交點，則r的取值范圍是_____________（第14題）14．如圖，△ABC為等腰直角三角形，若（第14題）AD=AC，CE=BC，則∠1__∠2（填“>”、“<”或“=”）三．解答題（共38分）15.（１２分）今年長沙市籌備60周年國慶，園林部門決定利用現有的3490盆甲種花卉和2950盆乙種花卉搭配兩種園藝造型共50個擺放在五一大道兩側，已知搭配一個種造型需甲種花卉80盆，乙種花卉40盆，搭配一個種造型需甲種花卉50盆，乙種花卉90盆．（1）某校九年級（1）班課外活動小組承接了這個園藝造型搭配方案的設計，問符合題意的搭配方案有幾種？請你幫助設計出來．（2）若搭配一個種造型的成本是800元，搭配一個種造型的成本是960元，試說明（1）中哪種方案成本最低？最低成本是多少元？１６．（１２分）如圖，是的內接三角形，，為中上一點，延長至點，使．ＣＥＡＯＣＥＡＯＤＢ（2）若，求證：．１７．（１４分）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．點P從點B出發沿折線段BA-AD-DC以每秒5個單位長的速度向點C勻速運動；點Q從點C出發沿線段CB方向以每秒3個單位長的速度勻速運動，過點Q向上作射線QK⊥BC，交折線段CD-DA-AB于點E．點P、Q同時開始運動，當點P與點C重合時停止運動，點Q也隨之停止．設點P、Q運動的時間是t秒（t＞0）．（1）當點P到達終點C時，求t的值，并指出此時BQ的長；（2）當點P運動到AD上時，t為何值能使PQ∥DC

？（3）設射線QK掃過梯形ABCD的面積為S，分別求出點E運動到CD、DA上時，S與t的函數關系式；（不必寫出t的取值范圍）DEKPQCBA（DEKPQCBA參考答案選擇題DCDCCCCB9．1＋8＋6=9＋5＋1=8＋3＋4=6＋7＋210．11．12．6場，2場13．14．＝1５．（１）解：設搭配種造型個，則種造型為個，依題意，得：，解這個不等式組，得：，是整數，可取，可設計三種搭配方案：①種園藝造型個種園藝造型個②種園藝造型個種園藝造型個③種園藝造型個種園藝造型個．（2）應選擇方案③，成本最低，最低成本為元１６．證明：（1）在中，．在中，．，（同弧上的圓周角相等），．．．在和中，．．（2）若．．，又１７．解：（1）t

=（50＋75＋50）÷5=35（秒）時，點P到達終點C．FGDEKPQCBA圖9HQKFGDEKPQCBA圖9HQKCHDEPBA圖8（2）如圖8，若PQ∥DC，又AD∥BC，則四邊形PQCD為平行四邊形，從而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t得50＋75－5t=3t，解得t=．經檢驗，當t=時，有PQ∥DC．（3）①當點E在CD上運動時，如圖9．分別過點A、D作AF⊥BC于點F，DH⊥BC于點H，則四邊形ADHF為矩形，且△ABF≌△DCH，從而FH=AD=75，于是BF=CH=30．∴DH=AF=40．又QC=3t，從而QE=QC·tanC=3t·=4t．∴S=S⊿QCE

=QE·QC=6t2； ②∴S=S梯形QCDE

=(ED＋QC)DH=120t－600． （4）△PQE能成為直角三角形． 長郡中學2010理科實驗班招生考試數學模擬試卷一．選擇題：（每個題目只有一個正確答案，每題4分，共32分）1.已知，則的值等于。2．計算：20062006×2007+20072007×20082006×200720072007×20082008=。（第4題）ABCD3．函數，當x（第4題）ABCDy有最小值，最小值等于．4．如圖，△ABC中，∠A的平分線交BC于D，若AB=6cm，AC=4cm，∠A=60°，則AD的長為cm．5．甲上岳麓山晨練，乙則沿著同一條路線下山，他們同時出發，相遇后甲再上走16分鐘，乙再下走9分鐘，各自到達對方的出發地.那么甲上山和乙下山的速度之比等于6．如果關于x的方程有一個小于1的正數根，那么實數a的取值范圍是.7．實數x、y滿足x2－2x－4y＝5，記t＝x－2y，則t的取值范圍為___________________．8．兩個任意大小的正方形，都可以適當剪開，拼成一個較大的正方形，如用兩個邊長分別為a，b的正方形拼成一個大正方形.圖中Rt△ABC的斜邊AB的長等于（用a，b的代數式表示）.第8題第8題二．選擇題：（每小題4分，本題滿分32分）9．．若，則+…++…+的值是（）（A）1（B）0（C）-1（D）210．用橡皮筋把直徑為10cm的三根塑料管緊緊箍住，這條拉緊的橡皮筋的長度（精確到0.1等于（）（A）94.2cm（B）91.4cm（C）61.4cm（D）56.4cm11、李姐在超市買了4包酸奶和4包鮮奶，共付款a元，后來她退了2包酸奶，再買4包鮮奶，收銀員找還給她b元（0<b<a）.每包酸奶的價格是（）（A）元（B）元（C）元（D）元ADBC（第12題）KEFG12．定義：定點A與⊙O上的任意一點之間的距離的最小值稱為點A與⊙O之間的距離．現有一矩形ABCD如圖，AB=14cm，BC=12cm，⊙K與矩形的邊AB、BC、CD分別相切于點E、FADBC（第12題）KEFG（A）4cm（B）8cm（C）10cm（D）12cm13．國際象棋決賽在甲乙兩名選手之間進行，比賽規則是：共下10局棋，每局勝方得1分，負方得0分，平局則各得0.5分，誰的積分先達到5.5分便奪冠，不繼續比賽；若10局棋下完雙方積分相同，則繼續下，直到分出勝負為止.下完8局時，甲4勝1平.若以前8局棋取勝的頻率為各自取勝的概率，那么在后面的兩局棋中，甲奪冠的概率是（）（A）（B）（C）（D）14．若，則一次函數的圖象必定經過的象限是（）（A）第一、二象限（B）第一、二、三象限（C）第二、三、四象限（D）第三、四象限15、如圖，直線x＝1是二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象的對稱軸，則有（）（A）a＋b＋c＞0 （B）b＞a＋c（C）abc＜0 （D）c＞2b16．已知x、y、z是三個非負實數，滿足3x＋2y＋z＝5，x＋y－z＝2，若S＝2x＋y－z，則S的最大值與最小值的和為（）（A）5 （B）6 （C）7 （D）8三．解答題：（每題12分，滿分36分）17。通過實驗研究，專家們發現：初中生聽課的注意力指標數是隨老師講課時間的變化而變化的，講課開始時，學生的興趣激增，中間有一段時間，學生的興趣保持平穩的狀態，隨后開始分散。學生注意力指標數隨時間（分鐘）變化的函數圖象如圖所示（越大表示學生注意力越集中）：當時，圖象是拋物線的一部分；當和時，圖象是線段。（1）當時，求關于的函數關系式；（2）一道數學競賽題需要講解24分鐘，問老師能否經過適當安排使學生在聽這道題時，注意力的指標數都不低于36。18．如圖，點P是圓上一動點，弦AB=cm，PC是APB的平分線，BAC=30。（1）當PAC等于多少度時，四邊形PACB有最大面積？最大面積是多少？（2）當PA的長為多少時，四邊形PACB是梯形？說明你的理由。19．已知：如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB＝5厘米，BC＝a厘米，AC＝b厘米，a＞b，且a、b是方程的兩根，⑴求a和b的值；⑵△與△ABC開始時完全重合，然后讓△ABC固定不動，將△以1厘米/秒的速度沿BC所在的直線向左移動.ⅰ)設x秒后△與△ABC的重疊部分的面積為y平方厘米，求y與x之間的函數關系式,并寫出x的取值范圍；ⅱ)幾秒后重疊部分的面積等于平方厘米？數學試題2參考答案1、2、03、-2，24、5、3：46、7、8、9．C10、C11、D12、A13D14、A15、D16、A17解：（1）設當時，函數的解析式為由圖象知拋物線過三點解得當時，關于的函數關系式為（）6分（2）當時，當時，令，則由解得或（舍去）由解得12分在上課4分鐘后和分鐘前，學生注意力的指標數都超過3618．解：（1）平分由，求得為定值，當最大時，四邊形PACB面積最大此時PC應為圓的直徑四邊形PACB的最大面積為…6分（2）若四邊形PACB為梯形，則當時由（1）知PA=BC=1……8分當時，則在中，，此時PA為圓的直徑，由（1）知PA=2當PA=1或2時，四邊形PACB為梯形…………1219.解:(1)∵△ABC是Rt△且BC=a，AC=b，AB=5（a>b）又a、b是方程的兩根∴∴(a+b)2-2ab=25(m-1)2-2(m+4)=25推出(m-8)(m+4)=0………….得m1=8m2=-4經檢驗m=-4∴m=8∴x2-7x+12=0x1=3x2=4∴a=4，b=3(2)∵△以1厘米/秒的速度沿BC所在直線向左移動。∴x秒后BB′=x則B′C′=4-x∵C′M∥AC∴△BC′M∽△BCA∴∴∴即∴y=(0x4)當y=時=x1=3x2=5(不合舍去)∴經過3秒后重疊部分的面積等于平方厘米。2011年長郡中學理科實驗班招生考試數學試卷（初試）考生注意：本試卷全卷共28小題，分值100分，將答案寫在答題卡上，考試時間90分鐘。一、本大題共5小題，每小題2分，滿分10分。1.把拋物線向左平移1個單位，然后向上平移3個單位，則平移后拋物線的解析式為。2.函數中，自變量的取值范圍是。3.已知,則代數式的值為。4.若，，，…則的值為。（用含的代數式表示）5.如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥DC,BE∥AD,梯形ABCD的周長為26，DE=4，則△BEC的周長為。二、本大題共10小題，每小題3分，滿分30分。6.雙曲線、在第一象限的圖像如圖，，過上的任意一點，作軸的平行線交于，交軸于，若，則的解析式是。ABCD7.若能分解為兩個一次因式的積，則整數的值是___________ABCD8.若實數滿足，則的最小值是。9.如圖，邊長為1的正方形繞點A逆時針旋轉到正方形，則圖中陰影部分的面積為。10.一青蛙在如圖的正方形（每個小正方形的邊長為1）網格的格點（小正方形的頂點）上跳躍，青蛙每次所跳的最遠距離為，青蛙從點開始連續跳六次正好跳回到點，則所構成的封閉圖形的面積的最大值是。11.如圖，依次連結第一個正方形各邊的中點得到第二個正方形，再依次連結第二個正方形各邊的中點得到第三個正方形，按此方法繼續下去．若第一個正方形邊長為１，則第個正方形的面積是。…………1212.如圖，直線過正方形的頂點，點到直線的距離分別是1和2，則正方形的邊長是。12A13.如圖，小亮從點出發，沿直線前進10米后向左轉，再沿直線前進10米，又向左轉，……，照這樣走下去，他第一次回到出發地點時，一共走了米。A14.化簡的結果是。15.計算：+++…+。三、本大題共5小題，每小題4分，滿分20分。16.汽車從甲地開往乙地，每小時行千米，小時可以到達，如果每小時多行駛千米，那么可以提前達到的小時數是。17.已知關于的不等式組恰有3個整數解，則a的取值范圍是。18.已知。19.若△ABC的三條中線長為3、4、5，則S△ABC為____________．ABCEFO20.若直線與直線的交點坐標是（，），則的值是．ABCEFO四、本大題共8小題，每小題5分，滿分40分21.函數y＝的最小值是___________22.如圖，以Rt△ABC的斜邊BC為一邊在△ABC的同側作正方形BCEF，設正方形的中心為O，連結AO，如果AB=4，AO=，那么AC的長等于。23.設i=1,2,3,...,n,且0<<1,,則n的最小整數解為______。24.拋物線,交y軸于一點A(0,1),交x軸于M(),N,且,過點A的直線交x軸于點C,交拋物線于另一點B,且.若△CAN為等腰直角三角形,則拋物線的解析式為______。閱讀下面材料，完成第25—28題。0°—360°間的角的三角函數在初中，我們學習過銳角的正弦、余弦、正切和余切四種三角函數，即在圖1所示的直角三角形ABC，∠A是銳角，那么sinA=，cosA=，tanA=，cotA=α圖2orxα圖2orxyP(x、y)圖1為了研究需要，我們再從另一個角度來規定一個角的三角函數的意義：設有一個角α，我們以它的頂點作為原點，以它的始邊作為x軸的正半軸ox，建立直角坐標系（圖2），在角α的終邊上任取一點P，它的橫坐標是x，縱坐標是y，點P和原點（0，0）的距離為（r總是正的），然后把角α的三角函數規定為：sinα=，cosα=，tanα=，cotα=我們知道，圖1的四個比值的大小與角A的大小有關，而與直角三角形的大小無關，同樣圖2中四個比值的大小也僅與角α的大小有關，而與點P在角α的終邊位置無關.比較圖1與圖2，可以看出一個角的三角函數的意義的兩種規定實際上是一樣的，根據第二種定義回答下列問題，每題4分，共16分25．若27<α<36，則角α的三角函數值sinα、cosα、tanα、cotα，其中取正值的是26．若角α的終邊與直線y=2x重合，則sinα+cosα=27．若角α是鈍角，其終邊上一點P（x，），且cosα=，則tanα28．若≤α≤9，則sinα+cosα的取值范圍是長郡中學高一招生數學試題（2011年）(時間60分鐘滿分100分)一、選擇題：(本題有8小題,每小題5分,共40分。每小題只有一個符合題意的答案)1.下列四個圖形中，每個小正方形都標上了顏色。若要求一個正方體兩個相對面上的顏色都一樣，那么不可能是這一個正方體的展開圖的是（）黃黃紅黃紅綠綠黃紅綠紅綠黃綠紅紅綠黃黃綠紅黃紅黃綠A．B．C．D．2．某工廠第二季度的產值比第一季度的產值增長了x％，第三季度的產值又比第二季度的產值增長了x％，則第三季度的產值比第一季度的產值增長了（）A、2x％B、1+2x％C、（1+x％）x％D、（2+x％）x％3．甲從一個魚攤上買了三條魚，平均每條a元，又從另—個魚攤上買了兩條魚，平均每條b元，后來他又以每條元的價格把魚全部賣給了乙，結果發現賠了錢，原因是（）A、a>bB、a<bC、a=bD、與a和b的大小無關4．若D是△ABC的邊AB上的一點，∠ADC=∠BCA，AC=6，DB=5，△ABC的面積是S，則△BCD的面積是（）A、B、C、D、5．如圖，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，請按照圖中所標注的數據，計算圖中實線所圍成的圖形的面積S是（）A、50B、62C、65D、686．如圖，兩個標有數字的輪子可以分別繞輪子的中心旋轉，旋轉停止時，每個輪子上方的箭頭各指著輪子上的一個數字，若左圖輪子上方的箭頭指著的數字為a，右圖輪子上方的箭頭指著的數字為b，數對（a，b）所有可能的個數為n，其中a+b恰為偶數的不同數對的參數為m，則m/n等于（）A、B、C、D、7．如圖，甲、乙兩動點分別從正方形ABCD的頂點，A、C同時沿正方形的邊開始移動，甲點依順時針方向環行，乙點依逆時針方向環行，若乙的速度是甲的速度的4倍，則它們第2000次相遇在邊（）A、AB上B、BC上C、CD上D、DA上8．已知實數a滿足，那么的值是（）A、2005B、2006C、2007D、2008二、填空題：(本題有8小題,每小題5分,共40分。)9．小明同學買了一包彈球，其中是綠色的，是黃色的，余下的是藍色的。如果有12個藍色的彈球，那么，他總共買了（）個彈球10.已知點A（1，1）在平面直角坐標系中，在坐標軸上確定點P使△AOP為等腰三角形.則符合條件的點P共有（）個.11．不論m取任何實數，拋物線y=x2+2mx+m2+m-1的頂點都在一條直線上，則這條直線的函數解析式是（）．12．將紅、白、黃三種小球，裝入紅、白、黃三個盒子中，每個盒子中裝有相同顏色的小球．已知：（1）黃盒中的小球比黃球多；（2）紅盒中的小球與白球不一樣多；（3）白球比白盒中的球少．則紅、白、黃三個盒子中裝有小球的顏色依次是()．13．在梯形ABCD中，AB∥CD，AC．BD相交于點O，若AC=5，BD=12，中位線長為，△AOB的面積為S1，△COD的面積為S2，則=（）14．已知矩形A的邊長分別為a和b，如果總有另一矩形B，使得矩形B與矩形A的周長之比與面積之比都等于k，則k的最小值為（）15．已知x、y均為實數，且滿足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，則x4+x3y+x2y2+xy3+y4=（）16．如圖5，已知在圓O中，直徑MN=10，正方形ABCD的四個頂點分別在半徑OM，OP以及圓O上，并且∠POM=45°，則AB的長為（）三、解答題：(本題有2小題,每小題10分，滿分20分。)17．甲、乙兩班同時從學校A出發去距離學校75km的軍營B軍訓，甲班學生步行速度為4km/h，乙班學生步行速度為5km/h，學校有一輛汽車，該車空車速度為40km/h，載人時的速度為20km/h，且這輛汽車一次恰好只能載一個班的學生，現在要求兩個班的學生同時到達軍營，問他們至少需要多少時間才能到達？18．如圖，已知矩形ABCD，AD=2，DC=4，BN=2AM=2MN，P在CD上移動，AP與DM交于點E，PN交CM于點F，設四邊形MEPF的面積為S，求S的是大值.2011年雅禮中學自主招生考試數學試卷一、選擇題（共6小題，每小題5分，滿分30分）1．飛形棋中有一正方體骰子，六個面上分別寫有數字1、2、3、4、5、6，有三個人從不同的角度觀察的結果如圖所示．如果記6的對面的數字為a，2的對面的數字為b，那么a+b的為（） A．11 B．7 C．8 D．32．如圖是某條公共汽車線路收支差額y與乘客量x的圖象（收支差額=車票收入﹣支出費用）．由于目前本條線路虧損，公司有關人員提出兩條建議：建議（1）是不改變車票價格，減少支出費用；建議（2）是不改變支出費用，提高車票價格．下面給出四個圖象（如圖所示）則（） A．①反映了建議（2），③反映了建議（1） B．①反映了建議（1），③反映了建議（2） C．②反映了建議（1），④反映了建議（2） D．④反映了建議（1），②反映了建議（2）3．已知函數y=3﹣（x﹣m）（x﹣n），并且a，b是方程3﹣（x﹣m）（x﹣n）=0的兩個根，則實數m，n，a，b的大小關系可能是（） A．m＜n＜b＜a B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b4．記Sn=a1+a2+…+an，令，稱Tn為a1，a2，…，an這列數的“理想數”．已知a1，a2，…，a500的“理想數”為2004，那么8，a1，a2，…，a500的“理想數”為（） A．2004 B．2006 C．2008 D．20105．以半圓中的一條弦BC（非直徑）為對稱軸將弧BC折疊后與直徑AB交于點D，若，且AB=10，則CB的長為（） A． B． C． D．46．某汽車維修公司的維修點環形分布如圖．公司在年初分配給A、B、C、D四個維修點某種配件各50件．在使用前發現需將A、B、C、D四個維修點的這批配件分別調整為40、45、54、61件，但調整只能在相鄰維修點之間進行．那么要完成上述調整，最少的調動件次（n件配件從一個維修點調整到相鄰維修點的調動件次為n）為（） A．15 B．16 C．17 D．18二、填空題（共7小題，每小題6分，滿分42分）7．若[x]表示不超過x的最大整數（如等），則=_________．8．在△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點，AE=2CE，BD=2CD，AD、BE交于點F，若S△ABC=3，則四邊形DCEF的面積為_________．9．有紅、黃、藍三種顏色的旗幟各三面，在每種顏色的旗幟上分別標有號碼1、2、3，現任意抽取3面，它們的顏色與號碼均不相同的概率是_________．10．已知拋物線經過點A（4，0）．設點C（1，﹣3），請在拋物線的對稱軸上確定一點D，使得|AD﹣CD|的值最大，則D點的坐標為_________．11．三角形紙片內有100個點，連同三角形的頂點共103個點，其中任意三點都不共線．現以這些點為頂點作三角形，并把紙片剪成小三角形，則這樣的三角形的個數為_________．12．如圖，已知點（1，3）在函數的圖象上．正方形ABCD的邊BC在x軸上，點E是對角線BD的中點，函數的圖象又經過A、E兩點，則點E的橫坐標為_________．13．按下列程序進行運算（如圖）規定：程序運行到“判斷結果是否大于244”為一次運算．若x=5，則運算進行_________次才停止；若運算進行了5次才停止，則x的取值范圍是_________．三、解答題（共5小題，滿分72分）14．如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB=5厘米，BC=a厘米，AC=b厘米，a＞b，且a、b是方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的兩根，（1）求a和b的值；（2）若△A′B′C′與△ABC開始時完全重合，然后讓△ABC固定不動，將△A′B′C′沿BC所在的直線向左移動x厘米．①設△A′B′C′與△ABC有重疊部分，其面積為y平方厘米，求y與x之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍；②若重疊部分的面積等于平方厘米，求x的值．15．（2006?寧波）已知⊙O過點D（4，3），點H與點D關于y軸對稱，過H作⊙O的切線交y軸于點A（如圖1）．（1）求⊙O半徑；（2）sin∠HAO的值；（3）如圖2，設⊙O與y軸正半軸交點P，點E、F是線段OP上的動點（與P點不重合），連接并延長DE，DF交⊙O于點B，C，直線BC交y軸于點G，若△DEF是以EF為底的等腰三角形，試探索sin∠CGO的大小怎樣變化？請說明理由．16．青海玉樹發生7.1級強震，為使人民的生命財產損失降到最低，部隊官兵發揚了連續作戰的作風．剛回營地的兩個搶險分隊又接到救災命令：一分隊立即出發前往距營地30千米的A鎮，二分隊因疲勞可在營地休息a（0≤a≤3）小時再往A鎮參加救災．一分隊出發后得知，唯一通往A鎮的道路在離營地10千米處發生塌方，塌方地形復雜，必須由一分隊用1小時打通道路．已知一分隊的行進速度為b千米/時，二分隊的行進速度為（4+a）千米/時．（1）若二分隊在營地不休息，問要使二分隊在最短時間內趕到A鎮，一分隊的行進速度至少為多少千米/時？（2）若b=4千米/時，二分隊和一分隊同時趕到A鎮，二分隊應在營地休息幾小時？17．如圖1、2是兩個相似比為1：的等腰直角三角形，將兩個三角形如圖3放置，小直角三角形的斜邊與大直角三角形的一直角邊重合．（1）在圖3中，繞點D旋轉小直角三角形，使兩直角邊分別與AC、BC交于點E，F，如圖4．求證：AE2+BF2=EF2；（2）若在圖3中，繞點C旋轉小直角三角形，使它的斜邊和CD延長線分別與AB交于點E、F，如圖5，此時結論AE2+BF2=EF2是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（3）如圖6，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點，滿足△CEF的周長等于正方形ABCD的周長的一半，AE、AF分別與對角線BD交于M、N，試問線段BM、MN、DN能否構成三角形的三邊長？若能，指出三角形的形狀，并給出證明；若不能，請說明理由．18．定義：在平面內，我們把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量可以用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量．如以正方形ABCD的四個頂點中某一點為起點，另一個頂點為終點作向量，可以作出8個不同的向量：、、、、、、、（由于和是相等向量，因此只算一個）．（1）作兩個相鄰的正方形（如圖一）．以其中的一個頂點為起點，另一個頂點為終點作向量，可以作出不同向量的個數記為f（2），試求f（2）的值；（2）作n個相鄰的正方形（如圖二）“一字型”排開．以其中的一個頂點為起點，另一個頂點為終點作向量，可以作出不同向量的個數記為f（n），試求f（n）的值；（3）作2×3個相鄰的正方形（如圖三）排開．以其中的一個頂點為起點，另一個頂點為終點作向量，可以作出不同向量的個數記為f（2×3），試求f（2×3）的值；（4）作m×n個相鄰的正方形（如圖四）排開．以其中的一個頂點為起點，另一個頂點為終點作向量，可以作出不同向量的個數記為f（m×n），試求f（m×n）的值．2011年湖南省長沙市雅禮中學自主招生考試數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共6小題，每小題5分，滿分30分）1．飛形棋中有一正方體骰子，六個面上分別寫有數字1、2、3、4、5、6，有三個人從不同的角度觀察的結果如圖所示．如果記6的對面的數字為a，2的對面的數字為b，那么a+b的為（） A．11 B．7 C．8 D．3分析：由圖一和圖二可看出看出1的相對面是5；再由圖二和圖三可看出看出3的相對面是6，從而2的相對面是4．解答：解：從3個小立方體上的數可知，與寫有數字1的面相鄰的面上數字是2，3，4，6，所以數字1面對數字5，同理，立方體面上數字3對6．故立方體面上數字2對4．則a=3，b=4，那么a+b=3+4=7．故選B．2．如圖是某條公共汽車線路收支差額y與乘客量x的圖象（收支差額=車票收入﹣支出費用）．由于目前本條線路虧損，公司有關人員提出兩條建議：建議（1）是不改變車票價格，減少支出費用；建議（2）是不改變支出費用，提高車票價格．下面給出四個圖象（如圖所示）則（） A．①反映了建議（2），③反映了建議（1） B．①反映了建議（1），③反映了建議（2） C．②反映了建議（1），④反映了建議（2） D．④反映了建議（1），②反映了建議（2）分析：觀察函數圖象可知，函數的橫坐標表示乘客量，縱坐標表示收支差額，根據題意得；（1）不改變車票價格，減少支出費用，則收支差額變大，解答：解：∵建議（1）是不改變車票價格，減少支出費用；也就是y增大，車票價格不變，即平行于原圖象，∴①反映了建議（1），∵建議（2）是不改變支出費用，提高車票價格，也就是圖形增大傾斜度，提高價格，∴③反映了建議（2）．故選B．3．已知函數y=3﹣（x﹣m）（x﹣n），并且a，b是方程3﹣（x﹣m）（x﹣n）=0的兩個根，則實數m，n，a，b的大小關系可能是（） A．m＜n＜b＜a B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b分析：首先把方程化為一般形式，由于a，b是方程的解，根據根與系數的關系即可得到m，n，a，b之間的關系，然后對四者之間的大小關系進行討論即可判斷．解答：解：由3﹣（x﹣m）（x﹣n）=0變形得（x﹣m）（x﹣n）=3，∴x﹣m＞0x﹣n＞0或x﹣m＜0x﹣n＜0，∴x＞mx＞n或x＜mx＜n∵ab是方程的兩個根，將ab代入，得：a＞ma＞n，b＜mb＜n或a＜ma＜n，b＞mb＞n，綜合一下，只有D可能成立．故選D．4．記Sn=a1+a2+…+an，令，稱Tn為a1，a2，…，an這列數的“理想數”．已知a1，a2，…，a500的“理想數”為2004，那么8，a1，a2，…，a500的“理想數”為（） A．2004 B．2006 C．2008 D．2010分析：本題需先根據得出n×Tn=（S1+S2+…+Sn），再根據a1，a2，…，a500的“理想數”為2004，得出T500的值，再設出新的理想數為Tx，列出式子，把得數代入，即可求出結果．解答：解：∵∴n×Tn=（S1+S2+…+Sn）T500=2004設新的理想數為Tx501×Tx=8×501+500×T500Tx=（8×501+500×T500）÷501==8+500×4=2008故選C5．以半圓中的一條弦BC（非直徑）為對稱軸將弧BC折疊后與直徑AB交于點D，若，且AB=10，則CB的長為（） A． B． C． D．4分析：作AB關于直線CB的對稱線段A′B，交半圓于A′，連接AC、CA′，構造全等三角形，然后利用勾股定理、割線定理解答．解答：解：如圖，若，且AB=10，∴AD=4，BD=6，作AB關于直線BC的對稱線段A′B，交半圓于D′，連接AC、CA′，可得A、C、A′三點共線，AC=A′C，AD=A′D′=4，A′B=AB=10．而A′C?A′A=A′D′?A′B，即A′C?2A′C=4×10=40．則A′C2=20，又∵A′C2=A′B2﹣CB2，∴20=100﹣CB2，∴CB=4．故選A．6．某汽車維修公司的維修點環形分布如圖．公司在年初分配給A、B、C、D四個維修點某種配件各50件．在使用前發現需將A、B、C、D四個維修點的這批配件分別調整為40、45、54、61件，但調整只能在相鄰維修點之間進行．那么要完成上述調整，最少的調動件次（n件配件從一個維修點調整到相鄰維修點的調動件次為n）為（） A．15 B．16 C．17 D．18分析：現根據題意設未知數，再根據公司在年初分配給A、B、C、D四個維修點某種配件各50件，在使用前發現需將A、B、C、D四個維修點的這批配件分別調整為40，45，54，61件，但調整只能在相鄰維修點之間進行列方程組求解．解答：解：設A到B調x1件，B到C調x2件，C到D調x3件，D到A調x4件，這里若xi（i=1，2，3，4）為負數，則表明調動方向改變．則由題意得：，解得：，則調動總件數為|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=|x1|+|x1+5|+|x1+1|+|x1﹣10|，它的最小值為16．故選B．二、填空題（共7小題，每小題6分，滿分42分）7．若[x]表示不超過x的最大整數（如等），則=2000．分析：根據[x]表示不超過x的最大整數，[]=[]=[1+]=1，[]=[]=1，…[]=[]=1，從而得出答案．解答：解：∵[x]表示不超過x的最大整數，∴=[]+[]+…+[]，=[1+]+[1+]+…+[1+]，=1+1+…+1，=2000．故答案為：2000．8．在△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點，AE=2CE，BD=2CD，AD、BE交于點F，若S△ABC=3，則四邊形DCEF的面積為．分析：連接DE，根據相似三角形的判定定理得出△DCE∽△ABC，進而判斷出AB∥CD、△DEF∽△ABF，再根據相似三角形的性質即可進行解答．解答：解：連接DE，∵AE=2CE，BD=2CD，∴=，且夾角∠C為公共角，∴△DCE∽△ABC，∴∠CED=∠CAB，∴AB∥DE，則==，且∠EDA=∠BAD，∠BED=∠ABE，∴△DEF∽△ABF，∴==，∴設S△DEF=x，則S△AEF=S△BDF=3x，S△ABF=9x，∴x+3x+3x+9x=3﹣，解得：x=，∴S△DEF=，∴S△DEF+S△CDE=+=．故答案為：．9．有紅、黃、藍三種顏色的旗幟各三面，在每種顏色的旗幟上分別標有號碼1、2、3，現任意抽取3面，它們的顏色與號碼均不相同的概率是．分析：抽取3面旗，總共的情況計算思路為：第一面旗有9種，第二面有（9﹣1）即8種，第三面有（9﹣1﹣1）即7種，則總的情況有9乘以8乘以7等于504種；要求顏色和號碼都不同的情況計算思路為：第一面旗還是有9種情況；第二面旗的情況為：除去第一面已選的顏色外，還剩另外2種顏色本來是6種情況，但是第一面旗肯定能確定一個號碼，所以剩下的2種顏色中與第一面旗選的號碼必須不一樣，則選了第一面旗后，第二面旗的選擇就只有4種情況了；而第一面旗和第二面旗選定后，第三面旗就已經確定唯一了，即輪到第三面旗的時候就沒的選了，前面2面旗已經把顏色和號碼都定死了．解答：解：根據乘法公式可知：任意抽取3面旗，一共有9×8×7=504種情況，三面旗顏色與號碼都不一樣的情況一共有9×4×1=36種情況∴它們的顏色與號碼均不相同的概率是=．故答案為：．10．已知拋物線經過點A（4，0）．設點C（1，﹣3），請在拋物線的對稱軸上確定一點D，使得|AD﹣CD|的值最大，則D點的坐標為（2，﹣6）．分析：首先利用待定系數法求得拋物線的解析式，然后可求得拋物線的對稱軸方程x=2，又由作點C關于x=2的對稱點C′，直線AC′與x=2的交點即為D，求得直線AC′的解析式，即可求得答案．解答：解：∵拋物線經過點A（4，0），∴×42+4b=0，∴b=﹣2，∴拋物線的解析式為：y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2，∴拋物線的對稱軸為x=2，∵點C（1，﹣3），∴作點C關于x=2的對稱點C′（3，﹣3），直線AC′與x=2的交點即為D，因為任意取一點D都可以構成一個△ADC．而在三角形中，兩邊之差小于第三邊，即|AD﹣CD|＜AC．所以最大值就是在D是AC′延長線上的點的時候取到|AD﹣C′D|=AC′．把A，C′兩點坐標代入，得到過AC′的直線的解析式即可；設直線AC′的解析式為y=kx+b，∴，解得：，∴直線AC′的解析式為y=3x﹣12，當x=2時，y=﹣6，∴D點的坐標為（2，﹣6）．故答案為：（2，﹣6）．11．三角形紙片內有100個點，連同三角形的頂點共103個點，其中任意三點都不共線．現以這些點為頂點作三角形，并把紙片剪成小三角形，則這樣的三角形的個數為201．分析：根據題意可以得到當三角形紙片內有1個點時，有3個小三角形；當有2個點時，有5個小三角形；當n=3時，有7個三角形，因而若有n個點時，一定是有2n+1個三角形．解答：解：根據題意有這樣的三角形的個數為：2n+1=2×100+1=201，故答案為：201．12．如圖，已知點（1，3）在函數的圖象上．正方形ABCD的邊BC在x軸上，點E是對角線BD的中點，函數的圖象又經過A、E兩點，則點E的橫坐標為．分析：把已知點的坐標代入函數解析式即可求出k的值，把k的值代入得到函數的解析式，然后根據正方形的性質設出A和E的坐標，因為函數圖象過這兩點，把設出的兩點坐標代入到函數解析式中得到①和②，聯立即可求出a和b的值，得到E的坐標．解答：解：把（1，3）代入到y=得：k=3，所以函數解析式為y=，設A（a，b），根據圖象和題意可知，點E（a+，），因為y=的圖象經過A、E，所以分別把點A和E代入到函數解析式中得：ab=3①，（a+）=3②，由②得：+=3，把①代入得：+=3，即b2=6，解得b=±，因為A在第一象限，得到b＞0，所以b=，把b=代入①求得：a=，所以點E的橫坐標為a+=．故答案為：．13．按下列程序進行運算（如圖）規定：程序運行到“判斷結果是否大于244”為一次運算．若x=5，則運算進行4次才停止；若運算進行了5次才停止，則x的取值范圍是2＜x≤4．分析：把x=5代入代數式求值，與244比較，若大于244，就停止計算，若結果沒有大于244，重新計算直至大于244為止，根據運算順序得到第4次的運算結果和第5次的運算結果，讓第4次的運算結果小于244，第5次的運算結果大于244列出不等式求解即可．解答：解：（1）x=5．第一次：5×3﹣2=13第二次：13×3﹣2=37第三次：37×3﹣2=109第四次：109×3﹣2=325＞244→→→停止（2）第1次，結果是3x﹣2；第2次，結果是3×（3x﹣2）﹣2=9x﹣8；第3次，結果是3×（9x﹣8）﹣2=27x﹣26；第4次，結果是3×（27x﹣26）﹣2=81x﹣80；第5次，結果是3×（81x﹣80）﹣2=243x﹣242；∴由（1）式子得：x＞2，由（2）式子得：x≤42＜x≤4．即：5次停止的取值范圍是：2＜x≤4．故答案為：4；2＜x≤4．三、解答題（共5小題，滿分72分）14．如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB=5厘米，BC=a厘米，AC=b厘米，a＞b，且a、b是方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的兩根，（1）求a和b的值；（2）若△A′B′C′與△ABC開始時完全重合，然后讓△ABC固定不動，將△A′B′C′沿BC所在的直線向左移動x厘米．①設△A′B′C′與△ABC有重疊部分，其面積為y平方厘米，求y與x之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍；②若重疊部分的面積等于平方厘米，求x的值．分析：（1）首先根據一元二次方程根與系數的關系，得出用含m的式子表示a+b與ab的式子，然后由勾股定理得出一個關于m的方程，求出m的值，進而得出a和b的值；（2）①由于S△BCM=×BC′×CM，即y=x×CM．所以首先用含x的代數式表示CM，然后代入，即可求出y與x之間的函數關系式，并根據題意求出x的取值范圍；②把y=代入函數解析式，即可求出x的值．解答：解：（1）∵a、b是方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的兩根，∴a+b=m﹣1，ab=m+4，又∵a、b是直角△ABC的兩直角邊，∴a2+b2=c2=25，∴（m﹣1）2﹣2（m+4）=25，解得m1=8，m2=﹣4（舍去）．∴原方程為x2﹣7x+12=0，解得a=4，b=3．（2）①y與x之間的函數關系式為：y=（4﹣x）2，（0≤x≤4）．②代入=（4﹣x）2，得x1=3，x2=5（舍去）．∴x的值為3．15．（2006?寧波）已知⊙O過點D（4，3），點H與點D關于y軸對稱，過H作⊙O的切線交y軸于點A（如圖1）．（1）求⊙O半徑；（2）sin∠HAO的值；（3）如圖2，設⊙O與y軸正半軸交點P，點E、F是線段OP上的動點（與P點不重合），連接并延長DE，DF交⊙O于點B，C，直線BC交y軸于點G，若△DEF是以EF為底的等腰三角形，試探索sin∠CGO的大小怎樣變化？請說明理由．分析：（1）因為點D在圓上，根據點D的坐標利用勾股定理即可求得OD的長，即半徑；（2）連接HD交OA于Q，則HD⊥OA，連接OH，則OH⊥AH，根據同角的余角相等可得到∠HAO=∠OHQ，根據已知可求得sin∠OHQ的值，則sin∠HAO的值也就求得了；（3）設點D關于y軸的對稱點為H，連接HD交OP于Q，則HD⊥OP，根據角平分線的性質及垂徑定理可得到∠CGO=∠OHQ，則求得sin∠OHQ的值sin∠CGO也就求得了．解答：解：（1）點D（4，3）在⊙O上，∴⊙O的半徑r=OD=5；（1分）（2）如圖1，連接HD交OA于Q，則HD⊥OA，連接OH，則OH⊥AH，∴∠HAO=∠OHQ∴sin∠HAO=sin∠OHQ==；（3）連接DH交y軸于點Q，連接OH交BC于點T（如圖2）．∵D與H關于y軸對稱，∴DH⊥EF，又∵△DEF為等腰三角形，∴DH平分∠BDC，∴OT⊥BC，∴∠CGO=∠QHO，∴當E、F兩點在OP上運動時，sin∠CGO的值不變．16．青海玉樹發生7.1級強震，為使人民的生命財產損失降到最低，部隊官兵發揚了連續作戰的作風．剛回營地的兩個搶險分隊又接到救災命令：一分隊立即出發前往距營地30千米的A鎮，二分隊因疲勞可在營地休息a（0≤a≤3）小時再往A鎮參加救災．一分隊出發后得知，唯一通往A鎮的道路在離營地10千米處發生塌方，塌方地形復雜，必須由一分隊用1小時打通道路．已知一分隊的行進速度為b千米/時，二分隊的行進速度為（4+a）千米/時．（1）若二分隊在營地不休息，問要使二分隊在最短時間內趕到A鎮，一分隊的行進速度至少為多少千米/時？（2）若b=4千米/時，二分隊和一分隊同時趕到A鎮，二分隊應在營地休息幾小時？分析：（1）根據二分隊的行進速度為（4+a）千米/時與路程為10，得出二分隊到達塌方處（距離營地10KM）需要小時，又一分隊用1小時打通道路，所以一分隊需要至少（﹣1）小時（以前）到達塌方處，即可得出一分隊的行進速度；（2）根據要使二分隊和一分隊同時趕到A鎮，二分隊應在營地休息a小時，得出等式方程，進而分析得出符合要求的答案．解答：解：（1）根據塌方地形復雜，必須由一分隊用1小時打通道路一個小時后道路暢通，那么我們再看二分隊，二分隊到達塌方處（距離營地10KM）需要小時，那么在二分隊經過小時后到達塌方處的時候，一分隊必須清理好塌方，也就是說一分隊至少提前一小時到達塌方處（距離營地10KM）而一分隊只要保證比二分隊提前一個小時到達塌方處再利用一個小時打通塌方，那么當二分隊到達塌方處才不會影響時間，而后二分隊按照（4+a）千米/時的速度前行與一分隊無關，這樣就很好算了，路程10KM，二分隊速度：（a+4）KM每小時，那么二分隊到達塌方處需要小時，所以一分隊需要至少（﹣1）小時（以前）到達塌方處，這樣路程10KM，一分隊所用時間（﹣1）小時，一分隊的行進速度至少為=千米/時；當a=0時，一分隊的行進速度至少為千米/時；（2）要使二分隊和一分隊同時趕到A鎮，二分隊應在營地休息a小時．根據題意得：+1=+a，解得：a=（+9）/4或a=（不合題意舍去）這樣a=（+9）/4大于3，不符合題意．∴當二隊不休息，也就是=，解得：a=0，∴二分隊應在營地休息0小時．17．如圖1、2是兩個相似比為1：的等腰直角三角形，將兩個三角形如圖3放置，小直角三角形的斜邊與大直角三角形的一直角邊重合．（1）在圖3中，繞點D旋轉小直角三角形，使兩直角邊分別與AC、BC交于點E，F，如圖4．求證：AE2+BF2=EF2；（2）若在圖3中，繞點C旋轉小直角三角形，使它的斜邊和CD延長線分別與AB交于點E、F，如圖5，此時結論AE2+BF2=EF2是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（3）如圖6，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點，滿足△CEF的周長等于正方形ABCD的周長的一半，AE、AF分別與對角線BD交于M、N，試問線段BM、MN、DN能否構成三角形的三邊長？若能，指出三角形的形狀，并給出證明；若不能，請說明理由．分析：（1）連CD，由條件得到點D為AB的中點，則CD=AD，∠4=∠A=45°，易證△CDF≌△ADE，△CED≌△BFD，得到CF=AE，CE=BF，而CE2+CF2=EF2，因此得到結論．（2）把△CFB繞點C順時針旋轉90°，得到△CGA，根據旋轉的性質得到CF=CG，AG=BF，∠4=∠1，∠B=∠GAC=45°，易證△CGE≌△CFE，得到GE=EF，即可得到結論AE2+BF2=EF2仍然成立；（3）把△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABP，點N的對應點為Q，根據旋轉的性質得到∠4=∠2，∠1+∠3+∠4=90°，BP=DF，BQ=CN，AF=AP，又△CEF的周長等于正方形ABCD的周長的一半，得到EF=BE+DF，則EF=EP，證得△AMQ≌△AMN，得到MN=QM，易證得∠QBN=90°，于是有BQ2+BM2=QM2，從而得到BM2+DN2=MN2．解答：證明：（1）連CD，如圖4，∵兩個等腰直角三角形的相似比為1：，而小直角三角形的斜邊等于大直角三角形的直角邊，∴點D為AB的中點，∴CD=AD，∠4=∠A=45°，又∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠3=∠1，∴△CDF≌△ADE，∴CF=AE，同理可得△CED≌△BFD，∴CE=BF，而CE2+CF2=EF2，∴AE2+BF2=EF2；（2）結論AE2+BF2=EF2仍然成立．理由如下：把△CFB繞點C順時針旋轉90°，得到△CGA，如圖5∴CF=CG，AG=BF，∠4=∠1，∠B=∠GAC=45°，∴∠GAE=90°，而∠3=45°，∴∠2+∠4=90°﹣45°=45°，∴∠1+∠2=45°，∴△CGE≌△CFE，∴GE=EF，在Rt△AGE中，AE2+AG2=GE2，∴AE2+BF2=EF2；（3）線段BM、MN、DN能構成直角三角形的三邊長．理由如下：把△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABP，點N的對應點為Q，如圖∴∠4=∠2，∠1+∠3+∠4=90°，BP=DF，BQ=DN，AF=AP，∵△CEF的周長等于正方形ABCD的周長的一半，∴EF=BE+DF，∴EF=EP，∴△AEF≌△AEP，∴∠1=∠3+∠4，而AQ=AN，∴△AMQ≌△AMN，∴MN=QM，而∠ADN=∠QBA=45°，∠ABD=45°，∴∠QBN=90°，∴BQ2+BM2=QM2，∴BM2+DN2=MN2．點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角；也考查了三角形全等的判定與性質、等腰直角三角形的性質以及勾股定理的應用．18．定義：在平面內，我們把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量可以用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量．如以正方形ABCD的四個頂點中某一點為起點，另一個頂點為終點作向量，可以作出8個不同的向量：、、、、、、、（由于和是相等向量，因此只算一個）．（1）作兩個相鄰的正方形（如圖一）．以其中的一個頂點為起點，另一個頂點為終點作向量，可以作出不同向量的個數記為f（2），試求f（2）的值；（2）作n個相鄰的正方形（如圖二）“一字型”排開．以其中的一個頂點為起點，另一個頂點為終點作向量，可以作出不同向量的個數記為f（n），試求f（n）的值；（3）作2×3個相鄰的正方形（如圖三）排開．以其中的一個頂點為起點，另一個頂點為終點作向量，可以作出不同向量的個數記為f（2×3），試求f（2×3）的值；（4）作m×n個相鄰的正方形（如圖四）排開．以其中的一個頂點為起點，另一個頂點為終點作向量，可以作出不同向量的個數記為f（m×n），試求f（m×n）的值．分析：（1）根據圖形，即可求得f（2）的值；（2）首先求f（1），f（2），f（3），f（4），所以得到規律為：f（n）=6n+2；（3）根據圖形，即可求得f（2×3）的值；（4）先分析特殊情況，再求得規律：f（m×n）=2（m+n）+4mn．解答：解：（1）作兩個相鄰的正方形，以其中的一個頂點為起點，另一個頂點為終點作向量，可以作出不同向量的個數f（2）=14；（2）分別求出作兩個、三個、四個相鄰的正方形（如圖1）．以其中的一個頂點為起點，另一個頂點為終點作向量，可以作出不同的向量個數，找出規律，∵f（1）=6×1+2=8，f（2）=6×2+2=14，f（3）=6×3+2=20，f（4）=6×4+2=26，∴f（n）=6n+2；（3）f（2×3）=34；（4）∵f（2×2）=24，f（2×3）=34，f（2×4）=44，f（3×2）=34，f（3×3）=48，f（3×4）=62∴f（m×n）=2（m+n）+4mn．2012年雅禮中學理科實驗班招生試題數學（本卷原名：長沙市雅禮優生畢業測試卷）考生注意：本卷滿分120分，考試時間150分鐘。一、填空題（請將最后答