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）①2022年8月18日，北京市不下雨；②在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在4℃時(shí)結(jié)冰；③從標(biāo)有1，2，3，4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡垼?號(hào)簽；④，則的值不小于0．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)各項(xiàng)的描述，判斷隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件，進(jìn)而確定隨機(jī)事件的個(gè)數(shù).【詳解】①2022年8月18日，北京市不下雨，隨機(jī)事件；②在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在4℃時(shí)結(jié)冰，不可能事件；③從標(biāo)有1，2，3，4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡垼?號(hào)簽，是隨機(jī)事件；④，則的值不小于0，必然事件；∴隨機(jī)事件有①、③.故選：B2．（2021·陜西渭南·高一期末）某工廠(chǎng)生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率是99.99%，這說(shuō)明（

）A．該廠(chǎng)生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中不合格的產(chǎn)品一定有1件B．該廠(chǎng)生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中合格的產(chǎn)品一定有99件C．該廠(chǎng)生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中沒(méi)有不合格產(chǎn)品D．該廠(chǎng)生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的可能性是99.99%【答案】D【分析】由概率的定義逐一分析即可【詳解】對(duì)于A：該廠(chǎng)生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中不合格的產(chǎn)品不一定有1件，可能是多件或者沒(méi)有，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：該廠(chǎng)生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中合格的產(chǎn)品不一定有99件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：該廠(chǎng)生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中可能有不合格產(chǎn)品，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：該廠(chǎng)生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的可能性是99.99%，故D正確；故選：D3．（2020·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高一期末）某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，下列事件與事件“至多一次中靶”互為對(duì)立的是（

）A．至少一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都沒(méi)有中靶【答案】B【分析】直接利用對(duì)立事件的定義判斷即可.【詳由已知條件得∵事件“至多一次中靶”包含事件兩次都未中靶和兩次只有一次中靶，∴事件“至多一次中靶”的對(duì)立事件為“兩次都中靶”，故選：.二、多選題4．（2021·福建三明·高一期末）從1至9這9個(gè)自然數(shù)中任取兩個(gè)，有如下隨機(jī)事件：A=“恰有一個(gè)偶數(shù)”，B=“恰有一個(gè)奇數(shù)”，C=“至少有一個(gè)是奇數(shù)”，D=“兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)”，E=“至多有一個(gè)奇數(shù)”.下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．，【答案】ABD【分析】根據(jù)事件的包含關(guān)系，互斥事件，對(duì)立事件，判斷選項(xiàng).【詳解】事件都指的是一奇一偶，故A正確；至少有一個(gè)奇數(shù)，指兩個(gè)數(shù)是一奇一偶，或是兩個(gè)奇數(shù)，所以，故B正確；至多有一個(gè)奇數(shù)指一奇一偶，或是兩偶，此時(shí)事件有公共事件，故C錯(cuò)誤；此時(shí)是對(duì)立事件，所以，.故選：ABD5．（2020·遼寧葫蘆島·高一期末）某籃球運(yùn)動(dòng)員在最近幾次參加的比賽中的投籃情況如下表：投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球的次數(shù)1005518記該籃球運(yùn)動(dòng)員在一次投籃中，投中兩分球?yàn)槭录嗀，投中三分球?yàn)槭录﨎，沒(méi)投中為事件C，用頻率估計(jì)概率的方法，得到的下述結(jié)論中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】求出事件A，B的頻率即得對(duì)應(yīng)概率，再用互斥事件的加法公式計(jì)算，然后逐一判斷得解.【詳解】依題意，，，顯然事件A，B互斥，，事件B，C互斥，則，于是得選項(xiàng)A，B，C都正確，選項(xiàng)D不正確.故選：ABC三、填空題6．（2020·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高一期末）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（標(biāo)記為Ⅰ號(hào)和Ⅱ號(hào)），則Ⅰ號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)等于Ⅱ號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)的概率為_(kāi)_____.【答案】【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【詳解】記Ⅰ號(hào)和Ⅱ號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)為，則所有的基本事件構(gòu)成的集合為：，該集合中共有36個(gè)基本事件，Ⅰ號(hào)和Ⅱ號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)相等時(shí)對(duì)應(yīng)的基本事件的集合為，記為為“Ⅰ號(hào)和Ⅱ號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)相等”，則，故答案為：.7．（2020·陜西·吳起高級(jí)中學(xué)高一期末）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（六個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），事件A為“正面朝上的點(diǎn)數(shù)為3”，事件B為“正面朝上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則________.【答案】【解析】分別求出事件發(fā)生的概率，再根據(jù)事件A與事件B互斥，由互斥事件概率關(guān)系，即可求解.【詳解】由題意可得，，事件A與事件B互斥，則.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查互斥事件并事件發(fā)生的概率，解題的關(guān)鍵判斷出事件間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.四、解答題8．（2022·寧夏·銀川二中高一期末）近年來(lái)，國(guó)家大力推動(dòng)職業(yè)教育發(fā)展，職業(yè)教育體系不斷完善，人才培養(yǎng)專(zhuān)業(yè)結(jié)構(gòu)更加符合市場(chǎng)需求.一批職業(yè)培訓(xùn)學(xué)校以市場(chǎng)為主導(dǎo)，積極參與職業(yè)教育的改革和創(chuàng)新.某職業(yè)培訓(xùn)學(xué)校共開(kāi)設(shè)了六個(gè)專(zhuān)業(yè)，根據(jù)前若干年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，學(xué)校統(tǒng)計(jì)了各專(zhuān)業(yè)每年的就業(yè)率（直接就業(yè)的學(xué)生人數(shù)與招生人數(shù)的比值）和每年各專(zhuān)業(yè)的招生人數(shù)，具體統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：專(zhuān)

業(yè)機(jī)電維修車(chē)內(nèi)美容衣物翻新美容美發(fā)泛藝術(shù)類(lèi)電腦技術(shù)招生人數(shù)就業(yè)率(1)從該校已畢業(yè)的學(xué)生中隨機(jī)抽取人，求該生是“衣物翻新”專(zhuān)業(yè)且直接就業(yè)的概率；(2)為適應(yīng)市場(chǎng)對(duì)人才需求的變化，該校決定從明年起，將“電腦技術(shù)”專(zhuān)業(yè)的招生人數(shù)減少人，將“機(jī)電維修”專(zhuān)業(yè)的招生人數(shù)增加人，假設(shè)“電腦技術(shù)”專(zhuān)業(yè)的直接就業(yè)人數(shù)不變，“機(jī)電維修”專(zhuān)業(yè)的就業(yè)率不變，其他專(zhuān)業(yè)的招生人數(shù)和就業(yè)率都不變，要使招生人數(shù)調(diào)整后全校整體的就業(yè)率比往年提高個(gè)百分點(diǎn)，求的值．【答案】(1)0.08(2)120【分析】理解題意，根據(jù)數(shù)據(jù)列式求解(1)由題意，該校往年每年的招生人數(shù)為，“衣物翻新”專(zhuān)業(yè)直接就業(yè)的學(xué)生人數(shù)為，所以所求的概率為．(2)由表格中的數(shù)據(jù)，可得往年各專(zhuān)業(yè)直接就業(yè)的人數(shù)分別為，，，，，，往年全校整體的就業(yè)率為，招生人數(shù)調(diào)整后全校整體的就業(yè)率為，解得題型二：事件的相互獨(dú)立性一、單選題1．（2021·湖南·寧鄉(xiāng)市教育研究中心高一期末）某大學(xué)的“籃球”“無(wú)人機(jī)”“戲劇”三個(gè)社團(tuán)考核挑選新社員，已知大一某新生對(duì)這三個(gè)社團(tuán)都很感興趣，決定三個(gè)考核都參加，假設(shè)他通過(guò)“籃球”“無(wú)人機(jī)”“戲劇”三個(gè)社團(tuán)考核的概率依次為、、，且他通過(guò)每個(gè)考核相互獨(dú)立，若三個(gè)社團(tuán)考核他都能通過(guò)的概率為，至少通過(guò)一個(gè)社團(tuán)考核的概率為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式和對(duì)立事件的概率計(jì)算公式，列出方程組，即可求得的值.【詳解】因?yàn)槿齻€(gè)社團(tuán)考核他都能通過(guò)的概率為，至少通過(guò)一個(gè)社團(tuán)考核的概率為，所以，即，解得.故選:D.2．（2022·河南南陽(yáng)·高一期末）在試驗(yàn)“甲射擊三次，觀察中靶的情況”中，事件A表示隨機(jī)事件“至少中靶1次”，事件B表示隨機(jī)事件“正好中靶2次”，事件C表示隨機(jī)事件“至多中靶2次”，事件D表示隨機(jī)事件“全部脫靶”，則（）A．A與C是互斥事件 B．B與C是互斥事件C．A與D是對(duì)立事件 D．B與D是對(duì)立事件【答案】C【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的定義即可求解.【詳解】解：因?yàn)锳與C，B與C可能同時(shí)發(fā)生，故選項(xiàng)A、B不正確；B與D不可能同時(shí)發(fā)生，但B與D不是事件的所有結(jié)果，故選項(xiàng)D不正確；A與D不可能同時(shí)發(fā)生，且A與D為事件的所有結(jié)果，故選項(xiàng)C正確．故選：C.二、多選題3．（2022·貴州·遵義四中高一期末）已知事件，且，，則（

）A．如果，那么,B．如果與互斥，那么,C．如果與相互獨(dú)立，那么，D．如果與相互獨(dú)立，那么,【答案】ABD【分析】根據(jù)互斥事件的加法公式、獨(dú)立事件的乘法公式以及對(duì)立事件的概率公式進(jìn)行計(jì)算可得答案.【詳解】對(duì)于A，如果，則，，故A正確；對(duì)于B，如果與互斥，則，，故B正確；對(duì)于C，如果與相互獨(dú)立，則，，故C不正確；對(duì)于D，如果與相互獨(dú)立，則，。故D正確故選：ABD三、解答題4．（2022·貴州·遵義市南白中學(xué)高一期末）某高校的入學(xué)面試中有3道難度相當(dāng)?shù)念}目，李明答對(duì)每道題的概率都是0.6，若每位面試者都有三次機(jī)會(huì)，一旦答對(duì)抽到的題目，則面試通過(guò)，否則就一直抽題到第三次為止.用Y表示答對(duì)題目，用N表示沒(méi)有答對(duì)的題目，假設(shè)對(duì)抽到的不同題目能否答對(duì)是獨(dú)立的，那么：(1)在圖的樹(shù)狀圖中填寫(xiě)樣本點(diǎn)，并寫(xiě)出樣本空間；(2)求李明最終通過(guò)面試的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)樹(shù)狀圖表示出樣本空間；（2）先計(jì)算李明未通過(guò)面試的概率，再由對(duì)立事件的計(jì)算公式求出通過(guò)面試的概率.(1)由題意，樣本空間為.樣本點(diǎn)的填寫(xiě)如圖所示，(2)可知李明未通過(guò)面試的概率為，所以李明通過(guò)面試的概率為5．（2022·廣西桂林·高一期末）為適應(yīng)新冠肺炎疫情長(zhǎng)期存在的新形勢(shì)，打好疫情防控的主動(dòng)仗，某學(xué)校大力普及科學(xué)防疫知識(shí)，現(xiàn)需要在2名女生?3名男生中任選2人擔(dān)任防疫宣講主持人，每位同學(xué)當(dāng)選的機(jī)會(huì)是相同的.(1)寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間，并求當(dāng)選的2名同學(xué)中恰有1名女生的概率；(2)求當(dāng)選的2名同學(xué)中至少有1名男生的概率.【答案】(1)樣本空間答案見(jiàn)解析，概率是(2)【分析】（1）將2名女生，3名男生分別用a，b；c，d，e表示，即可列出樣本空間，再根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得；（2）設(shè)事件“當(dāng)選的2名同學(xué)中至少有1名男生”，事件“當(dāng)選的2名同學(xué)中全部都是女生”，事件B，C為對(duì)立事件，利用古典概型的概率公式求出，最后根據(jù)對(duì)立事件的概率公式計(jì)算可得；(1)解：將2名女生，3名男生分別用a，b；c，d，e表示，則從5名同學(xué)中任選2名同學(xué)試驗(yàn)的樣本空間為，共有10個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)事件“當(dāng)選的2名同學(xué)中恰有1名女生”，則，樣本點(diǎn)有6個(gè)，∴.即當(dāng)選的2名同學(xué)中恰有1名女生的概率是(2)解：設(shè)事件“當(dāng)選的2名同學(xué)中至少有1名男生”，事件“當(dāng)選的2名同學(xué)中全部都是女生”，事件B，C為對(duì)立事件，因?yàn)椋啵?即當(dāng)達(dá)的2名同學(xué)中至少有1名男生的概率是.題型三：頻率與概率一、單選題1．（2021·河南·高一期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．在相同條件下，進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻率來(lái)估計(jì)概率B．?dāng)S一枚骰子次，“出現(xiàn)點(diǎn)”與“出現(xiàn)點(diǎn)”是對(duì)立事件C．甲?乙兩人對(duì)同一個(gè)靶各射擊一次，記事件“甲中靶”，“乙中靶”，則“恰有一人中靶”D．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若前次均正面向上，則第次正面向上的概率小于【答案】A【分析】根據(jù)頻率與概率、互斥與對(duì)立、并事件、概率等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，在相同條件下，進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻率來(lái)估計(jì)概率，A正確；對(duì)于B，擲一枚骰子次，“出現(xiàn)點(diǎn)”與“出現(xiàn)點(diǎn)”是互斥事件，但不是對(duì)立事件，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，“靶被擊中”，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，無(wú)論哪一次，正面向上的概率都等于，D錯(cuò)誤.故選：A.2．（2021·陜西咸陽(yáng)·高一期末）某種心臟手術(shù)成功率為0.9，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率.先利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生09之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，由于成功率是0.9，故我們用0表示手術(shù)不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手術(shù)成功，再以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生如下10組隨機(jī)數(shù)：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為（

）A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6【答案】B【分析】由題可知10組隨機(jī)數(shù)中表示“3例心臟手術(shù)全部成功”的有8組，即求.【詳解】由題意，10組隨機(jī)數(shù)：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心臟手術(shù)全部成功”的有：812,832,569,683,271,989,537,925,故8個(gè)，故估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為.故選：B.3．（2021·廣東·深圳中學(xué)高一期末）容量為100的樣本數(shù)據(jù)，按從小到大的順序分為8組，如下表：組號(hào)12345678頻數(shù)1013141513129第3組的頻數(shù)和頻率分別是（

）A．和14 B．14和 C．和24 D．24和【答案】B【分析】根據(jù)樣本容量和其它各組的頻數(shù)，即可求得答案.【詳解】由題意可得：第3組的頻數(shù)為，故第3組的頻率為，故選：B4．（2020·重慶九龍坡·高一期末）已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為40%，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中；5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：137

966191

925

271

932

812

458

569

683431

257393

027

556

488

730

113

537

989據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為（

）A．0.40 B．0.30C．0.35 D．0.25【答案】D【詳解】試題分析：由題意知模擬三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下組隨機(jī)數(shù)，在組隨機(jī)數(shù)中表示三次投籃恰有兩次命中的有：137,271,932,812,393共5組隨機(jī)數(shù)，所以所求概率為，故選D．考點(diǎn)：古典概型及其概率的計(jì)算．二、多選題5．（2022·貴州·遵義市南白中學(xué)高一期末）豆瓣評(píng)分是將用戶(hù)評(píng)價(jià)的一到五星轉(zhuǎn)化為0～10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此類(lèi)推），以得分總和除以評(píng)分的用戶(hù)人數(shù)所得的數(shù)字.國(guó)慶愛(ài)國(guó)影片《長(zhǎng)津湖》的豆瓣評(píng)分情況如圖，假如參與評(píng)價(jià)的觀眾中有97.6%的評(píng)價(jià)不低于二星，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．m的值是32%B．隨機(jī)抽取100名觀眾，則一定有24人評(píng)價(jià)五星C．隨機(jī)抽取一名觀眾，其評(píng)價(jià)是三星或五星的概率約為0.56D．若從已作評(píng)價(jià)的觀眾中隨機(jī)抽取3人，則事件“至多1人評(píng)價(jià)五星”與事件“恰有2人評(píng)價(jià)五星”是互斥且不對(duì)立事件【答案】ACD【分析】對(duì)A選項(xiàng)，由題意參與評(píng)價(jià)的觀眾中有97.6%的評(píng)價(jià)不低于二星，則二星及以上的頻率加和為，即可求解；對(duì)B選項(xiàng)，由頻率只能推出可能有24人符合條件；對(duì)C選項(xiàng)，將評(píng)價(jià)為三星和五星的頻率加和即可；對(duì)D選項(xiàng)，“至多1人評(píng)價(jià)五星”即為無(wú)人評(píng)價(jià)或1人評(píng)價(jià)五星，依據(jù)互斥事件與對(duì)立事件定義判斷即可.【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，參與評(píng)價(jià)的觀眾中有97.6%的評(píng)價(jià)不低于二星，則，所以，故A正確；對(duì)B選項(xiàng)，隨機(jī)抽取100名觀眾，可能有人評(píng)價(jià)五星，但不是一定的，故B錯(cuò)誤；對(duì)C選項(xiàng)，由A選項(xiàng)，評(píng)價(jià)是三星或五星的概率約為，故C正確；對(duì)D選項(xiàng)，根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義可知，事件“至多1人評(píng)價(jià)五星”與事件“恰有2人評(píng)價(jià)五星”是互斥且不對(duì)立事件，故D正確；故選：ACD6．（2021·山東菏澤·高一期末）下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值B．做次隨機(jī)試驗(yàn)，事件發(fā)生次，則事件發(fā)生的頻率就是事件的概率C．頻率是不能脫離次試驗(yàn)的試驗(yàn)值，而概率是具有確定性的不依賴(lài)于試驗(yàn)次數(shù)的理論值D．任意事件發(fā)生的概率總滿(mǎn)足【答案】AC【分析】根據(jù)頻率和概率的定義可判斷.【詳解】根據(jù)頻率和概率的定義易得AC正確；對(duì)B，因?yàn)楦怕适穷l率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值，不能說(shuō)頻率就是概率，故B錯(cuò)誤；對(duì)D，任意事件發(fā)生的概率總滿(mǎn)足，故D錯(cuò)誤.故選：AC.一、單選題1．（2021·廣東·仲元中學(xué)高一期末）數(shù)學(xué)多選題A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)，在給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全都選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分.有選錯(cuò)的得0分.已知某道數(shù)學(xué)多選題正確答案為BCD，小明同學(xué)不會(huì)做這道題目，他隨機(jī)地填涂了1個(gè)，或2個(gè)，或3個(gè)選項(xiàng)，則他能得分的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用組合數(shù)求得隨機(jī)地填涂了1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)選項(xiàng)，每種可能性都是相同的，然后列舉計(jì)數(shù)能得分的涂法種數(shù)，求得所求概率.【詳解】解：隨機(jī)地填涂了1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)選項(xiàng)，共有種涂法，能得分的涂法為（BCD），（BC），（BD），（CD），B，C，D，共7種，故他能得分的概率為．故選：A.2．（2021·廣東江門(mén)·高一期末）高一年級(jí)某同學(xué)為了豐富自己的課外活動(dòng)，參加了學(xué)校“文學(xué)社”“詠春社”“音樂(lè)社”三個(gè)社團(tuán)的選拔，該同學(xué)能否成功進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)是相互獨(dú)立.假設(shè)該同學(xué)能夠進(jìn)入“文學(xué)社”“詠春社”“音樂(lè)社”三個(gè)社團(tuán)的概率分別為、、，該同學(xué)可以進(jìn)入兩個(gè)社團(tuán)的概率為，且三個(gè)社團(tuán)都進(jìn)不了的概率為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，列出關(guān)于，的方程，聯(lián)立求解即得.【詳解】依題意，該同學(xué)可以進(jìn)入兩個(gè)社團(tuán)的概率為，則，整理得，又三個(gè)社團(tuán)都進(jìn)不了的概率為，則，整理得，聯(lián)立與，解得，所以.故選：B3．（2021·湖南·常德市第二中學(xué)高一期末）現(xiàn)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球．事件“第一次取出的球的數(shù)字是3”，事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是6”，則（

）A．與相互獨(dú)立 B．與相互獨(dú)立C．與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立【答案】A【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義判斷．【詳解】解：根據(jù)題意得，，，，所以，，，，所以與相互獨(dú)立.故選：A4．（2021·江蘇蘇州·高一期末）我省高考從2021年開(kāi)始實(shí)行“”模式，“3”為全國(guó)統(tǒng)考科目語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，所有學(xué)生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史兩科中選擇一科；“2”為再選科目，考生可在化學(xué)、生物、思想政治、地理4個(gè)科目中選擇兩科.高一學(xué)生小明和小亮正準(zhǔn)備進(jìn)行選科，假如他們首選科目都是物理，再選科目選擇每個(gè)科目的可能性均相等，且選擇互不影響，則他們的選科完全相同的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用列舉法求出每人從化學(xué)、生物、思想政治、地理4個(gè)科目中選擇兩科的選法共有6種選法；由于兩人選科互不影響，所以?xún)扇诉x科的種類(lèi)共有種，再由古典概型概率公式即可得解.【詳解】每人從化學(xué)、生物、思想政治、地理4個(gè)科目中選擇兩科的選法共有：{化學(xué)，生物}，{化學(xué)，政治}，{化學(xué)，地理}，{生物，政治}，{生物，地理}，{政治，地理},共6種選法.由于兩人選科互不影響，所以?xún)扇诉x科的種類(lèi)共有種，其中兩人的選科完全相同的選法有6種，所以他們的選科完全相同的概率為故選：A5．（2021·湖北黃岡·高一期末）一個(gè)正方體有一個(gè)面為紅色，兩個(gè)面為綠色，三個(gè)面為黃色，另一個(gè)正方體有兩個(gè)面為紅色，兩個(gè)面為綠色，兩個(gè)面為黃色，同時(shí)擲這兩個(gè)正方體，兩個(gè)正方體朝上的面顏色不同的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】計(jì)算出兩個(gè)正方體朝上的面顏色相同的概率，結(jié)合對(duì)立事件的概率公式可求得結(jié)果.【詳解】記第一個(gè)正方體紅色的面記為，綠色的面為、，黃色的面為、、，第二個(gè)正方體紅色的面為、，綠色的面為、，黃色的面為、，同時(shí)擲這兩個(gè)正方體，兩個(gè)正方體面朝上的不同結(jié)果種數(shù)為，其中，事件“兩個(gè)正方體朝上的面顏色相同”所包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、，因此，兩個(gè)正方體朝上的面顏色不同的概率為.故選：C.6．（2021·河北保定·高一期末）《列子》中《歧路亡羊》的內(nèi)容為：楊子之鄰?fù)鲅?亡：丟失)，既率其黨，又請(qǐng)楊子之豎(豎：書(shū)童)追之.楊子曰：“嘻!亡一羊，何追者之眾？”鄰人曰：“多歧路(歧路：岔路口).”既反，問(wèn)：“獲羊乎？”曰：“亡之矣”﹒曰：“奚亡之？”曰：“歧路之中又有歧焉，吾不知所之，所以反也.”這是一篇古人楊子的鄰居尋羊的故事，寓意深刻，假定所有分岔口都有兩條新的歧路，且歧路等距離出現(xiàn)，丟失的這只羊在每個(gè)分岔口走兩條新歧路的可能性是相等的，當(dāng)羊走過(guò)5個(gè)岔路口后，楊子的鄰人動(dòng)員了7個(gè)人去找羊，則找到羊的可能性為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題可得規(guī)律為：第n個(gè)分岔口時(shí)，共有條歧路，當(dāng)羊走過(guò)n個(gè)分岔口后，找到羊的概率為，然后根據(jù)題中數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解.【詳解】當(dāng)?shù)降趎個(gè)分岔口時(shí)，共有條歧路，當(dāng)羊走過(guò)n個(gè)分岔口后，找到羊的概率為，當(dāng)時(shí)，每個(gè)人找到羊的概率為，故派出7個(gè)人去找羊，找到羊的概率為.故選：A.二、多選題7．（2022·遼寧丹東·高一期末）已知事件A，B相互獨(dú)立，且，，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】結(jié)合條件逐項(xiàng)分析即得.【詳解】∵事件A，B相互獨(dú)立，且，，∴，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D正確.故選：ACD.8．（2022·遼寧大連·高一期末）下列說(shuō)法不正確的是（

）A．若A，B為兩個(gè)事件，則“A與B互斥”是“A與B相互對(duì)立”的必要不充分條件B．若A，B為兩個(gè)事件，則C．若事件A，B，C兩兩互斥，則D．若事件A，B滿(mǎn)足，則A與B相互對(duì)立【答案】BCD【分析】A.“A與B互斥”是“A與B相互對(duì)立”的必要不充分條件，所以該選項(xiàng)正確；B.,所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.舉反例說(shuō)明不一定成立，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.舉反例說(shuō)明A與B不對(duì)立，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】解：A.若A，B為兩個(gè)事件，“A與B互斥”則“A與B不一定相互對(duì)立”；“A與B相互對(duì)立”則“A與B互斥”，則“A與B互斥”是“A與B相互對(duì)立”的必要不充分條件，所以該選項(xiàng)正確；B.若A，B為兩個(gè)事件，則,所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.若事件A，B，C兩兩互斥，則不一定成立，如：擲骰子一次，記向上的點(diǎn)數(shù)為1，向上的點(diǎn)數(shù)為2，向上的點(diǎn)數(shù)為3，事件A，B，C兩兩互斥，則.所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.拋擲一枚均勻的骰子，所得的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率是，擲一枚硬幣，正面向上的概率是，滿(mǎn)足，但是A與B不對(duì)立，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BCD三、填空題9．（2021·湖南邵陽(yáng)·高一期末）甲、乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，已知各人能破譯的概率分別為，則密碼被成功破譯的概率_________．【答案】【分析】根據(jù)題意，由相互獨(dú)立事件概率的乘法公式可得密碼沒(méi)有被破譯的概率，進(jìn)而由對(duì)立事件的概率性質(zhì)分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，甲乙兩人能成功破譯的概率分別是，，則密碼沒(méi)有被破譯，即甲乙都沒(méi)有成功破譯密碼的概率，故該密碼被成功破譯的概率．故答案為：．10．（2020·廣東·高一期末）先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個(gè)面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為，，則的概率為_(kāi)_______.【答案】【分析】先計(jì)算先后拋擲兩枚骰子的所有結(jié)果，然后由得出，找出滿(mǎn)足的所有可能，從而求出概率.【詳解】先后拋擲兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)所有結(jié)果共種，滿(mǎn)足條件，即的有，，，共3種.所以概率為.故答案為：.11．（2021·廣東江門(mén)·高一期末）隨著經(jīng)濟(jì)發(fā)展，江門(mén)市居住環(huán)境進(jìn)一步改善，市民休閑活動(dòng)的公園越來(lái)越多，其中，最新打造的網(wǎng)紅公園有兒童公園、湖連潮頭中央公園、下沙公園.某個(gè)節(jié)假日，甲、乙、丙、丁四組家庭到這個(gè)網(wǎng)紅公園打卡，通過(guò)訪(fǎng)問(wèn)和意向篩查，最后將這四組家庭的意向匯總?cè)缦拢汗珗@兒童公園湖連潮頭中央公園下沙公園有意向的家族組甲、乙、丙甲、乙、丁乙、丙、丁若每組家庭只能從已登記的選擇意向中隨機(jī)選取一項(xiàng)，且每個(gè)公園至多有兩組家庭選擇，則甲、乙兩組家庭選擇同一個(gè)公園打卡的概率為_(kāi)_______.【答案】【分析】分以下三種情況枚舉所有情況即可，①選兒童公園和湖連潮頭中央公園，②選兒童公園和下沙公園，③選下沙公園和湖連潮頭中央公園，利用古典概型計(jì)算公式即可.【詳解】①選兒童公園和湖連潮頭中央公園時(shí)，有以下情況：甲丙、乙丁；乙丙、甲丁；②選兒童公園和下沙公園時(shí)，有以下情況：甲乙、丙丁；甲丙、乙丁；③選下沙公園和湖連潮頭中央公園時(shí)，有以下情況：甲乙、丙丁；甲丁、乙丙；④選3個(gè)公園時(shí)，有以下幾種情況：甲乙、丁、丙；甲丙、乙、丁；甲丙、丁、乙；乙丙、甲、丁；丙、甲乙、丁；乙、甲丁、丙；丙、甲丁、乙；乙、甲丁、丙；丙、甲丁、乙；甲、丁、乙丙；丙、甲、乙丁；甲、乙、丙丁；乙、甲、丙丁；共有18種選擇，其中甲、乙兩組家庭選擇同一個(gè)公園打卡的4種，則甲、乙兩組家庭選擇同一個(gè)公園打卡的概率為.故答案為：.12．（2021·云南昆明·高一期末）人類(lèi)的四種血型與基因類(lèi)型的對(duì)應(yīng)為：O型的基因類(lèi)型為ii，A型的基因類(lèi)型為ai或aa（假設(shè)ai、aa出現(xiàn)的概率相等），B型的基因類(lèi)型為bi或bb（假設(shè)bi、bb出現(xiàn)的概率相等），AB型的基因類(lèi)型為ab，其中a和b是顯性基因，i是隱性基因．一對(duì)夫妻的血型一個(gè)是A型，一個(gè)是B型，則他們的子女的血型是AB型的概率為_(kāi)___________．【答案】【分析】列舉出子女血型的基因類(lèi)型的可能結(jié)果，數(shù)出子女血型的基因類(lèi)型是的結(jié)果，進(jìn)而由古典概型計(jì)算公式可得概率.【詳解】依題意可得子女血型的基因類(lèi)型的可能結(jié)果為：，共16個(gè)，且每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性都相等，其中型的基因類(lèi)型有9個(gè)，所以，子女血型是的概率為.故答案為：.13．（2021·山東煙臺(tái)·高一期末）甲?乙兩人打靶，已知甲的命中率為0.8，乙的命中率為0.7，若甲?乙分別向同一靶子射擊一次，則該靶子被擊中的概率為_(kāi)__________.【答案】0.94【分析】記甲的命中為事件，乙命中為事件，靶子被擊中為事件，利用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算．【詳解】記甲的命中為事件，乙命中為事件，靶子被擊中為事件，，相互獨(dú)立，所以．故答案為：．14．（2021·湖南·高一期末）我省高考實(shí)行3+1+2模式，高一學(xué)生A和B兩位同學(xué)的首選科目都是歷史，再選科目?jī)扇诉x擇每個(gè)科目的可能性均等，且他們的選擇互不影響，則他們選科至少有一科不同的概率為_(kāi)_________.【答案】【分析】利用列舉法求出每人從化學(xué)、生物、思想政治、地理4個(gè)科目中選擇兩科的選法共有6種選法．由于兩人選科互不影響，所以?xún)扇诉x科的種類(lèi)共有N=6×6=36種，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出她們的選科至少有一科不相同的概率.【詳解】每人從化學(xué)、生物、思想政治、地理4個(gè)科目中選擇兩科的選法共有:{化學(xué)，生物}，{化學(xué)，政治}，{化學(xué)，地理}，{生物，政治}，{生物，地理}，{政治，地理}共6種選法.由于兩人選科互不影響，所以?xún)扇诉x科的種類(lèi)共有N=6×6=36種，其中兩人的選科完全相同的選法有6種，所以她們的選科至少有一科不相同的概率故答案為：四、解答題15．（2022·貴州·遵義市南白中學(xué)高一期末）某中學(xué)有初中學(xué)生1800人，高中學(xué)生1200人，為了解全校學(xué)生本學(xué)期開(kāi)學(xué)以來(lái)（60天）的課外閱讀時(shí)間，學(xué)校采用分層抽樣方法，從中抽取100名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.將樣本中的“初中學(xué)生”和“高中學(xué)生”按學(xué)生的課外閱讀時(shí)間（單位：時(shí)）各分為5組[0，10）、[10，20）、[20，30）、[30，40）、[40，50]，得到頻率分布直方圖如圖所示.(1)估計(jì)全校學(xué)生中課外閱讀時(shí)間在[30，40）小時(shí)內(nèi)的總?cè)藬?shù)是多少；(2)從課外閱讀時(shí)間不足10小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求至少有2個(gè)初中生的概率；(3)國(guó)家規(guī)定，初中學(xué)生平均每人每天課外閱讀時(shí)間不少于半個(gè)小時(shí).若該校初中學(xué)生課外閱讀時(shí)間小于國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，則學(xué)校應(yīng)適當(dāng)增加課外閱讀時(shí)間，根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，該校是否需要增加初中學(xué)生的課外閱讀時(shí)間？并說(shuō)明理由.【答案】(1)720人(2)(3)需要增加，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由分層抽樣的特點(diǎn)可分別求得抽取的初中生、高中生人數(shù)，由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知初中生、高中生課外閱讀時(shí)間在，小時(shí)內(nèi)的頻率，然后由頻數(shù)樣本容量頻率可分別得初中生、高中生課外閱讀時(shí)間在，小時(shí)內(nèi)的樣本學(xué)生數(shù)，最后將兩者相加即可．（2）記“從閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，至少有2個(gè)初中生”為事件，由頻數(shù)樣本容量頻率組距頻率可分別得初中生、高中生中，閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)，然后用列舉法表示出隨機(jī)抽取3人的所有可能結(jié)果以及事件的結(jié)果，從而得．（3）同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作為代表來(lái)計(jì)算樣本中的所有初中生平均每天閱讀時(shí)間，并與30小時(shí)比較大小，若小于30小時(shí)，則需要增加，否則不需要增加．(1)由分層抽樣知，抽取的初中生有人，高中生有人．初中生中，課外閱讀時(shí)間在，小時(shí)內(nèi)的頻率為:，學(xué)生人數(shù)為人．高中生中，課外閱讀時(shí)間在，小時(shí)內(nèi)的頻率為:，學(xué)生人數(shù)約有人，全校學(xué)生中課外閱讀時(shí)間在，小時(shí)內(nèi)學(xué)生總?cè)藬?shù)為人．(2)記“從閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，至少有2個(gè)初中生”為事件，初中生中，閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為人，高中生中，閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為人．記這3名初中生為，，，這2名高中生為，，則從閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，所有可能結(jié)果共有10種，即，，，，，，，，，，而事件的結(jié)果有7種，它們是：，，，，，，，至少抽到2名初中生的概率為．(3)樣本中的所有初中生平均每天閱讀時(shí)間為:（小時(shí)），而（小時(shí)），，該校需要增加初中學(xué)生課外閱讀時(shí)間．16．（2022·浙江省開(kāi)化中學(xué)高一期末）已知甲、乙、丙三人獨(dú)自射擊，命中目標(biāo)的概率分別是、、．設(shè)各次射擊都相互獨(dú)立．(1)若甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)同一目標(biāo)各射擊一次，求目標(biāo)被命中的概率；(2)若甲、乙兩人各自對(duì)目標(biāo)射擊兩次，求四次射擊中恰有兩次命中目標(biāo)的概率．【答案】(1)(2)【詳解】解：（1）設(shè)甲命中目標(biāo)為事件A，乙命中目標(biāo)為事件B，丙命中目標(biāo)為事件C三人同時(shí)對(duì)同一目標(biāo)射擊，目標(biāo)被擊中為事件D可知，三人同時(shí)對(duì)同一目標(biāo)射擊，目標(biāo)不被擊中為事件有P()=1?P()又由已知∴∴三人同時(shí)對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行射擊，目標(biāo)被擊中的概率為（2）設(shè)“四次射擊中恰有兩次擊中目標(biāo)”為事件E則∴四次射擊中恰有兩次擊中目標(biāo)的概率為17．（2022·遼寧·高一期末）2020年某地爆發(fā)了新冠疫情，檢疫人員為某高風(fēng)險(xiǎn)小區(qū)居民進(jìn)行檢測(cè).(1)假設(shè)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，I，J這10人的檢測(cè)標(biāo)本中有1份呈陽(yáng)性，且這10人中恰有1人感染，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種最多只需做4次檢測(cè)，就能確定哪一位居民被感染的方案，并寫(xiě)出設(shè)計(jì)步驟；(2)已知A，B，C，D，E這5人是密切接觸者，要將這5人分成兩組，一組2人，另一組3人，分派到兩個(gè)酒店隔離，求A，B兩人在同一組的概率.【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2).【分析】(1)先把10份樣本平均分成兩組，檢測(cè)一次可確定有陽(yáng)性的一組，再將這組分成2份和3份的兩組即可.(2)根據(jù)給定條件列出所有可能結(jié)果，確定A，B兩人在同一組的結(jié)果數(shù)計(jì)算作答.(1)第一步，將10人的樣本隨機(jī)5份作為一組，剩余5份作為另一組，任取一組，若呈陽(yáng)性，則該組記為Ⅰ組；若呈陰性，則另一組記為Ⅰ組，第二步，將Ⅰ組的樣本隨機(jī)分為2組，2人一組記為Ⅱ組，3人一組記為Ⅲ組，第三步，將Ⅱ組樣本進(jìn)行檢驗(yàn)，若呈陽(yáng)性，再任取這兩人中的一人進(jìn)行檢驗(yàn)即可得知患病人員，因此，共檢測(cè)3次；若呈陰性，則陽(yáng)性樣本必在Ⅲ組內(nèi)，再逐一檢驗(yàn)，最多2次即可得知患病人員，因此，最多檢測(cè)4次，或者先將Ⅲ組樣本進(jìn)行檢驗(yàn)，若呈陽(yáng)性，再逐一檢驗(yàn)，最多2次即可得知患病人員，因此最多檢測(cè)4次；若呈陰性，則將Ⅱ組樣本任取一人檢驗(yàn)，即可得知患病人員，因此，共檢測(cè)3次，綜上所述，最多只需做4次檢測(cè).(2)將A，B，C，D，E按要求分成兩組，(AB，CDE)，(AC，BDE)，(AD，BCE)，(AE，BCD)，(BC，ADE)，(BD，ACE)，(BE，ACD)，(CD，ABE)，(CE，ABD)，(DE，ABC)，共有10種情況，其中A，B兩人在同一組的共有4種，所以A，B兩人在同一組的概率為.18．（2022·北京昌平·高一期末）近年來(lái)，手機(jī)逐漸改變了人們的生活方式，已經(jīng)成為了人們生活中的必需品，因此人們對(duì)手機(jī)性能的要求也越來(lái)越高.為了了解市場(chǎng)上某品牌的甲?乙兩種型號(hào)手機(jī)的性能，現(xiàn)從甲?乙兩種型號(hào)手機(jī)中各隨機(jī)抽取了6部手機(jī)進(jìn)行性能測(cè)評(píng)，得到的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)如下（單位：分）：甲型號(hào)手機(jī)908990889192乙型號(hào)手機(jī)889189938594假設(shè)所有手機(jī)性能評(píng)分相互獨(dú)立.(1)在甲型號(hào)手機(jī)樣本中，隨機(jī)抽取1部手機(jī)，求該手機(jī)性能評(píng)分不低于90分的概率；(2)在甲?乙兩種型號(hào)手機(jī)樣本中各抽取1部手機(jī)，求其中恰有1部手機(jī)性能評(píng)分不低于90分的概率；(3)試判斷甲型號(hào)手機(jī)樣本評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)的方差與乙型號(hào)手機(jī)樣本評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)的方差的大小（只需寫(xiě)出結(jié)論）【答案】(1)(2)(3)甲型號(hào)手機(jī)樣本評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)的方差小于乙型號(hào)手機(jī)樣本評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)的方差.【分析】（1）由于甲型號(hào)手機(jī)樣本中，得共有4部手機(jī)性能評(píng)分不低于90分，進(jìn)而得其概率；（2）由于甲型號(hào)的手機(jī)有4部評(píng)分不低于90分，乙型號(hào)的手機(jī)有3部評(píng)分不低于90分，進(jìn)而列舉基本事件，根據(jù)古典概型求解即可；（3）根據(jù)表中數(shù)據(jù)的分散程度，估計(jì)比較即可.(1)解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，甲型號(hào)手機(jī)樣本中，得共有4部手機(jī)性能評(píng)分不低于90分，所以隨機(jī)抽取1部手機(jī)，求該手機(jī)性能評(píng)分不低于90分的概率為(2)解：甲型號(hào)的手機(jī)有4部評(píng)分不低于90分，記為，另外兩部記為乙型號(hào)的手機(jī)有3部評(píng)分不低于90分，記為，