Ch1向量函數§1向量函數§2曲線概念§3空間曲線§1向量函數一．E3中實變向量函數二．向量函數極限、連續和微積分介紹三．慣用幾何條件解析判定式

給出一點集G,假如對于每一個點x，有一個確定向量和它對應，則在G上給定了一個向量函數，記作

一、向量函數概念注：一元向量函數二元向量函數幾何意義？

設r（t）是所給一元向量函數，a是常向量（即長度與方向都固定向量），假如對任意給定>0,都存在數>o,使得當時

成立，則我們說，當時，向量函數趨于極限。記作1向量函數極限看圖二．向量函數極限、連續和微積分介紹命題1若和是兩個一元向量函數，是一個實函數，而且當時這些函數值趨即向極限則有（1）兩個向量函數之和（差）極限等于極限之和（差）：（2）乘積（數量乘向量極限等于極限乘積）：（3）數量積極限等于極限數量積（4）向量積極限等于極限向量積命題1證實命題1證實標準上和數學分析中關于實函數所對應命題證實沒有什么分別。(1)當時由已知條件

有即（2）作出向量差由此得出當時由已知條件

及是常數有即（3）作出數量差由此得出因為任何兩個向量p、q數量積所以所以，假如趨于零（即），而趨于確定極限（此時有），那么不等式右邊趨向零。此時有因而當時由已知條件

知不等式（1.2）右邊第一項有同理于是得到即（4）作出向量差由此得出把這個結論應用到不等式（1.3）右邊，便有當因為兩個向量和向量積模所以。所以，假如，而趨于確定極限，則時，由已知條件可得到即2向量函數連續性給出一元向量函數r(t)，當時，若向量函數，則稱向量函數r(t)在點連續。

假如r(t)在區間每一點都連續，則稱r(t)在區間上是連續。利用命題1結果，我們能夠得到：利用極限定義，可把向量函數r(t)在連續表示為命題2假如和是在點連續向量函數，而是在點連續實函數，則向量函數，，和實函數也都在點連續（把命題中點改為區間時，命題也成立）。3向量函數微商

設r(t)是定義在區間上一個向量函數。設，假如極限存在，則稱在點是可微分，這個極限稱為在點微商(或導矢)，用或表示，即

假如在某個開區間每一點都有微商存在，則我們說在此區間內是可微或簡稱向量函數

是可微，它微商記為。命題3設分別是可微向量函數，是可微實函數，則都是可微，而且這些公式證實和數學分析中實函數對應公式證實相同,不過應該注意是向量向量積和混合積跟向量次序相關,不能把次序任意交換。作為例子，我們證實后面三個結果。由上面結果能夠得到向量函數微商仍為一個向量函數,假如函數也是連續和可微,則微商稱為二階微商。類似地能夠定義三階、四階等等微商。在區間上有直到k階連續微商函數稱為這區間上k次可微函數或類函數，連續函數也稱為類函數，無限可微函數記為類函數。解析函數記為類函數。所以每一個向量函數與三個有序實函數組{x(t),y(t),z(t)}一一對應。命題4假如向量函數在上是類函數，則向量函數所對應三個實函數在上是類函數。4向量函數泰勒（Taylor)公式英國數學家，18世紀早期英國牛頓學派最優異代表人物之一；限差分理論奠基人。

最主要著作是《正和反增量方法》(1715)

定理注：1、當時，我們就能夠把他展成泰勒級數即：2、假如，則上述泰勒級數時收斂。5向量函數積分向量函數積分定義和實函數情形相同，即：命題5

假如向量函數是區間[a,b]上連續函數，則積分：存在，而且a<b<c時有m是常數時有假如m是常向量，則有6等價分量行為f

連續f各個分量f1,f2,f3連續；f

可導f各個分量f1,f2,f3可導；f

可微f各個分量f1,f2,f3可微；f

可積f各個分量f1,f2,f3可積；fCkf各個分量f1,f2,f3Ck

,k=0,1,2,…,,；且f求各種極限、導數（或稱微商或導向量）、微分、高階導數、偏導數、定積分、不定積分等等運算結果，即為由各個分量作對應運算所求得結果而組成向量或向量函數．約定：今后不申明時總考慮fC3．例1

r

r(t)(cost,sint,0)，則例2

r

r(u,v)(cosu,sinu,v)，則

三．慣用幾何條件解析判定式以一元向量函數為例，對于其終點三種特殊幾何分布（想想是什么）列示出以下結果而且加以證實．定理設r(t)在開區間(a,b)內足夠階連續可微，則有充要條件以下：①r(t)const.r(t)?r

(t)0；②設r(t)處處非零,則r(t)∥e

const.

0r(t)r

(t)0

；③設r(t)r

(t)處處非零，則r(t)垂直于一個固定方向(r(t),r

(t),r

(t))0

．三．慣用幾何條件解析判定式注記1除了上述較為“直觀”證法之外，上述充要條件②有更“初等