1、習題及解答（全）習題一drdrdvdv1-1r與r有無不一樣?dt和dt有無不一樣?dt和dt有無不一樣?其不一樣在哪里?試舉例說明解：（1）r是位移的模，r是位矢的模的增量，即rr21rr2r1；r，drdrds（2）dt是速度的模，即dtvdt.drdt不過速度在徑向上的重量.drdr?rrrrrr有dtdt?（式中?叫做單位矢），則dtdr式中dt就是速度徑向上的重量，dr與drdtdt不一樣如題1-1圖所示.題1-1圖dvadvdv(3)dtdt，dt是加速度a在切向上的重量.表示加速度的模，即有vv(表軌道節線方向單位矢），所以dvdvddtdtvdtdv式中dt就是加速度的切向重量

2、.dr?d?(與的運算較復雜，超出教材規定，故不予談論)dtdt1-2設質點的運動方程為x=x(t)，y=y(t)，在計算質點的速度和加速度時，有人先求x2y2drd2r出r，而后依據v=dt，及adt2而求得結果；又有人先計算速度和加速度的重量，再合成求得結果，即22d2x22y2dxdydv=dtdt及a=dt2dt2你以為兩種方法哪一種正確？為何？二者差異安在？解：后一種方法正確.因為速度與加速度都是矢量，在平面直角坐標系中，有rxiyj，vdrdxidyjdtdtdtad2rd2xd2ydt2dt2idt2j故它們的模即為22vvx2vy2dxdydtdtd2x2d2a222yaxay

3、dt2dt2而前一種方法的錯誤可能有兩點，其一是看法上的錯誤，即誤把速度、加速度定義作vdrad2rdtdt2dr與d2rdr其二，可能是將dtdt2誤作速度與加速度的模。在1-1題中已說明dt不是速度的模，d2r而不過速度在徑向上的重量，相同，dt2也不是加速度的模，它不過加速度在徑向重量中d2rd2a徑r的一部分dt2dt。也許概括性地說，前一種方法只考慮了位矢r在徑向（即量值）方面隨時間的變化率，而沒有考慮位矢r及速度v的方向隨間的變化率對速度、加速度的貢獻。1-3一質點在xOy平面上運動，運動方程為1x=3t+5,y=2t2+3t-4.式中t以s計，x,y以m計(1)以時間t為變量，寫

4、出質點位置矢量的表示式；(2)求出t=1s時刻和t2s時刻的位置矢量，計算這1秒內質點的位移；(3)計算t0s時刻到t4s時刻內的均勻速度；(4)求出質點速度矢量表示式，計算t4s時質點的速度；(5)計算t0s到t4s內質點的均勻加速度；(6)求出質點加速度矢量的表示式，計算t4s時質點的加速度(請把位置矢量、位移、均勻速度、瞬時速度、均勻加速度、瞬時加速度都表示成直角坐標系中的矢量式)解：（1）r(3t5)i(1t23t4)j2m(2)將t1,t2代入上式即有r18i0.5jmr211j4jmrr2r13j4.5jm(3)r05j4j,r417i16jvrr4r012i20j3i5jms1t

5、404vdr3i(t3)jms1dt則v43i7jms1(5)v03i3j,v43i7javv4v041jms2t44adv1jms2(6)dt這說明該點只有y方向的加速度，且為恒量。1-4在離水面高h米的岸上，有人用繩索拉船靠岸，船在離岸S處，如題1-4圖所示當人以v0(ms1)的速率收繩時，試求船運動的速度和加速度的大小圖1-4解：設人到船之間繩的長度為l，此時繩與水面成角，由圖可知l2h2s2將上式對時間t求導，得2ldl2sds題1-4圖dtdt依據速度的定義，并注意到l,s是隨t減少的，v繩dlv0,v船dsdtdtv船dsldllv0v0即dtsdtscosv船lv0(h2s2)1

6、/2v0或ss將v船再對t求導，即得船的加速度dv船sdlldsv0slv船adtdtv0v0dts2s2l22(ss)v0h2v02s2s31-5質點沿x軸運動，其加速度和位置的關系為a2+6x2，a的單位為ms2，x的單位為m.質點在x0處，速度為10ms1,試求質點在任何坐標處的速度值advdvdxvdv解：dtdxdtdx分別變量：dadx(26x2)dx1v22x2x3c兩邊積分得2由題知，x0時，v010,c50v2x3x25ms11-6已知一質點作直線運動，其加速度為a4+3tms2，開始運動時，x5m，v=0，求該質點在t10s時的速度和位置解：分別變量，得積分，得由題知，t0

7、,v0故又因為dx分別變量，積分得由題知t0,x0故x2t2所以t10s時adv43tdtdv(43t)dtv4t3t2c120,c10v4t3t22vdx4t3t2dt2(4t3t2)dt2x2t21t3c225,c251t352v104103102190ms12x10210211035705m2=2+3t31-7一質點沿半徑為1m的圓周運動，運動方程為，式中以弧度計，t以秒計，求：(1)t2s時，質點的切向和法向加速度；(2)當加速度的方向和半徑成45角時，其角位移是多少?d9t2,d18t解：dtdt(1)t2s時，aR118236ms2anR21(922)21296ms2tan45a1

8、(2)當加速度方向與半徑成45an角時，有即R2R亦即(9t2)218tt3223t32322.67rad則解得9于是角位移為91-8R的圓周按sv0t1bt2s為質點離圓周上某點的弧質點沿半徑為2的規律運動，式中長,v0，b都是常量，求：(1)t時刻質點的加速度；(2)t為何值時，加速度在數值上等于bvdsv0bt解：（1）dtadvbdtanv2(v0bt)2RRaa2an2b2(v0bt)4則R2加速度與半徑的夾角為arctana(v0Rbanbt)2由題意應有abb2(v0bt)4R2b2b2(v0bt)4,(v0bt)40即R2tv0b時，ab當1-9半徑為R的輪子，以勻速v0沿水平

9、線向前轉動：(1)證明輪緣上隨便點B的運動方程為xR(tsint)，yR(1cost)，式中v0/R是輪子轉動的角速度，當B與水平線接觸的瞬時開始計時此時B所在的位置為原點，輪子行進方向為x軸正方向；(2)求B點速度和加速度的重量表示式解：依題意作出以下列圖，由圖可知題1-9圖xv0t2Rsincos(1)22v0tRsinR(tRsint)2Rsinsin22R(1cos)R(1cost)(2)vxdxR(1cost)dtvydyRsint)dtaxR2sintdvxdtayR2costdvydt1-10以初速度v020ms1拋出一小球，拋出方向與水平面成幔60的夾角，求：(1)球軌道最高點

10、的曲率半徑R1；(2)落地處的曲率半徑R2(提示：利用曲率半徑與法向加速度之間的關系)解：設小球所作拋物線軌道如題1-10圖所示題1-10圖在最高點，v1vxv0cos60oan1g10ms2an1v12又1v12(20cos60)2110an110m(2)在落地點，v2v020ms1,而an2gcos60ov22(20)221080man2cos601-11飛輪半徑為0.4m，自靜止啟動，其角加速度為=0.2rads2，求t2s時邊沿上各點的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度解：當t2s時，t0.220.4rads1則vR0.40.40.16ms1anR20.4(0.4)20.064ms

11、2aR0.40.20.08ms2aan2a2(0.064)2(0.08)20.102ms21-12如題1-12圖，物體A以相對B的速度v2gy沿斜面滑動，y為縱坐標，開始時A在斜面頂端高為h處，B物體以u勻速向右運動，求A物滑到地面時的速度解：當滑至斜面底時，yh，則vA2gh,A物運動過程中又遇到B的牽扯運動影響，所以，A對地的速度為vA地uvA(u2ghcos)i(2ghsin)j題1-12圖1-13一船以速率v130kmh-1沿直線向東行駛，另一小艇在其前面以速率v240kmh-1沿直線向北行駛，問在船上看小艇的速度為何?在艇上看船的速度又為何?解：(1)大船看小艇，則有v21v2v1，

12、依題意作速度矢量圖如題1-13圖(a)題1-13圖由圖可知v21v12v2250kmh1arctanv1arctan336.87方向北偏西v24(2)小船看大船，則有v12v1v2，依題意作出速度矢量圖如題1-13圖(b)，同上法，得方向南偏東36.87ov1250kmh11-14當一輪船在雨中航行時，它的雨篷遮著篷的垂直投影后2m的甲板上，篷高4m但當輪船停航時，甲板上干濕兩部分的分界線卻在篷前3m，如雨滴的速度大小為8ms-1，求輪船的速率解：依題意作出矢量圖如題1-14所示題1-14圖v雨船v雨v船v雨v雨船v船由圖中比率關系可知v船v雨8ms1習題二2-1一細繩越過必定滑輪，繩的一邊懸

13、有一質量為m1的物體，另一邊穿在質量為m2的圓柱體的豎直細孔中，圓柱可沿繩索滑動今看到繩索從圓柱細孔中加速上升，柱體相關于繩子以勻加速度a下滑，求m1，m2相關于地面的加速度、繩的張力及柱體與繩索間的摩擦力(繩輕且不行伸長，滑輪的質量及輪與軸間的摩擦不計)解：因繩不行伸長，故滑輪兩邊繩索的加速度均為a1，其關于m2則為牽扯加速度，又知m2對繩索的相對加速度為a，故m2對地加速度，由圖(b)可知，為a2a1a又因繩的質量不計，所以圓柱體遇到的摩擦力f在數值上等于繩的張力T，由牛頓定律，有m1gTm1a1Tm2gm2a2聯立、式，得a1(m1m2)gm2am1m2a2(m1m2)gm1am1m2f

14、Tm1m2(2ga)m1m2談論(1)若a0，則a1a2表示柱體與繩之間無相對滑動(2)若a2g，則Tf0，表示柱體與繩之間無任何作用力，此時m1,m2均作自由落體運動題2-1圖2-2一個質量為P的質點，在圓滑的固定斜面（傾角為）上以初速度與斜面底邊的水平線AB平行，以下列圖，求這質點的運動軌道v0運動，v0的方向解:物體置于斜面上遇到重力mg，斜面支持力N.建立坐標：取v0方向為X軸，平行斜面與X軸垂直方向為Y軸.如圖2-2.題2-2圖X方向：Fx0 xv0tY方向：Fymgsinmayt0時y0vy0y1gsint2由、式消去t，得2y12gsinx22v02-3質量為16kg的質點在xO

15、y平面內運動，受一恒力作用，力的重量為fx6N，fy-7N，當t0時，xy0，vx-2ms-1，vy0求當t2s時質點的(1)位矢；(2)速度axfx63ms2解：m168ayfy7ms2m16(1)vxvvyv于是質點在2s時的速度x0axdt2325ms12084aydt77ms1y0220168v5i7jms1(2)48r(v0t1axt2)i1ayt2j21321(7)4j(224)i2821613i7jm482-4質點在流體中作直線運動，受與速度成正比的阻力kv(k為常數)作用，t=0時質點的k)t速度為v0，證明(1)(t時刻的速度為vv0em；(2)由0到t的時間內經過的距離為m

16、v0k)tmx(k)1-e(v0(k)；(4)證明當tmk時速m；(3)停止運動前經過的距離為1度減至v0的e，式中m為質點的質量kvdv答:(1)adtm分別變量，得dvkdtvmvdvtkdt即v0v0mlnvktlnemv0ktvv0emxvdtv0emtdtmv0(1emt)tkk(2)0k(3)質點停止運動時速度為零，即t，xv0emktdtmv0故有0km(4)當t=k時，其速度為vv0e1即速度減至v0的e.kmv0e1v0mke2-5起落機內有兩物體，質量分別為m1，m2，且m22m1用細繩連接，越過滑輪,繩索1不行伸長，滑輪質量及全部摩擦都忽視不計，當起落機以勻加速a2g上升

17、時，求：(1)m1和m2相對起落機的加速度(2)在地面上察看m1，m2的加速度各為多少?解:分別以m1,m2為研究對象，其受力爭如圖(b)所示(1)設m2相對滑輪(即起落機)的加速度為a，則m2對地加速度a2aa；因繩不行伸長，故m1對滑輪的加速度亦為a，又m1在水平方向上沒有受牽扯運動的影響，所以m1在水平方向對地加速度亦為a，由牛頓定律，有m2gTm2(aa)Tm1a題2-5圖聯立，解得ag方向向下m2對地加速度為a2gaa方向向上2m1在水面方向有相對加速度，豎直方向有牽扯加速度，即a絕a相a牽a1a2a2g2g25g42arctanaarctan126.6oa2，左偏上2-6一質量為m

18、的質點以與地的仰角=30的初速v0從地面拋出，若忽視空氣阻力，求質點落地時相對拋射時的動量的增量解:依題意作出表示圖如題2-6圖題2-6圖在忽視空氣阻力狀況下，拋體落地瞬時的末速度大小與初速度大小相同，與軌道相切斜向下,而拋物線擁有對y軸對稱性，故末速度與x軸夾角亦為30o，則動量的增量為pmvmv0由矢量圖知，動量增量大小為mv0，方向豎直向下2-7一質量為m的小球從某一高度處水平拋出，落在水平桌面上發生彈性碰撞并在拋出1s，跳回到原高度，速度還是水平方向，速度大小也與拋出時相等求小球與桌面碰撞過程中，桌面恩賜小球的沖量的大小和方向并回答在碰撞過程中，小球的動量能否守恒?解:由題知，小球落地

19、時間為0.5s因小球為平拋運動，故小球落地的瞬時向下的速度大小為v1gt0.5g，小球上跳速度的大小亦為v20.5g設向上為y軸正向，則動量的增量pmv2mv1方向豎直向上，大小pmv2(mv1)mg碰撞過程中動量不守恒這是因為在碰撞過程中，小球遇到地面恩賜的沖力作用別的，碰撞前初動量方向斜向下，碰后末動量方向斜向上，這也說明動量不守恒2-8作用在質量為10kg的物體上的力為F(102t)iN，式中t的單位是s，(1)求4s后，這物體的動量和速度的變化，以及力恩賜物體的沖量(2)為了使這力的沖量為200Ns，該力應在這物體上作用多久，試就一本來靜止的物體和一個擁有初速度6jms-1的物體,回答

20、這兩個問題解:(1)若物體本來靜止，則p1t456kgms1iFdt(102t)idt00,沿x軸正向，v1p15.6ms1imI1p156kgms1i若物體本來擁有6ms1初速，則p0mv0,pm(v0tFdt)mv0t0m0Fdt于是tp2pp00Fdtp1,同理，v2v1,I2I1這說明，只要力函數不變，作用時間相同，則不管物體有無初動量，也不管初動量有多大，那么物體獲取的動量的增量(亦即沖量)就必定相同，這就是動量定理同上理，兩種狀況中的作用時間相同，即It2t)dt10tt2(100亦即t210t2000解得t10s，(t20s舍去)2-9一質量為m的質點在xOy平面上運動，其位置矢

21、量為racostibsintjt2求質點的動量及t0到時間內質點所受的合力的沖量和質點動量的改變量解:質點的動量為pmvm(asintibcostj)將tt20和分別代入上式，得p1mbj,p2mai,則動量的增量亦即質點所受外力的沖量為Ipp2p1m(aibj)2-10一顆子彈由槍口射出時速率為v0ms1，當子彈在槍筒內被加速時，它所受的合力為F=(abt)N(a,b為常數)，此中t以秒為單位：(1)假設子彈運轉到槍口處合力剛好為零，試計算子彈走完槍筒全長所需時間；(2)求子彈所受的沖量(3)求子彈的質量解:(1)由題意，子彈到槍口時，有atF(abt)0,得b子彈所受的沖量Itbt)dta

22、t1bt2(a02atb代入，得將a2I(3)由動量定理可求得子彈的質量2bmIa2v02bv02-11一炮彈質量為m，以速率v翱翔，其內部炸藥使此炮彈分裂為兩塊，爆炸后因為炸藥使彈片增添的動能為T，且一塊的質量為另一塊質量的k倍，如二者仍沿原方向翱翔，試證其速率分別為2kT2Tv+m,v-km證明:設一塊為m1，則另一塊為m2，m1km2及m1m2m于是得m1km,m2m1k1k又設m1的速度為v1,m2的速度為v2，則有T1m1v121m2v221mv2222mvm1v1m2v2聯立、解得v2(k1)vkv1將代入，并整理得2T(v1v)2kmv1v2T于是有km將其代入式，有2kTv2v

23、m又，題述爆炸后，兩彈片仍沿原方向翱翔，故只好取v1v2kT,v2v2Tmkm證畢2-12設F合7i6jN(1)當一質點從原點運動到r3i4j16km時，求F所作的功(2)假如質點到r處時需0.6s，試求均勻功率(3)假如質點的質量為1kg，試求動能的變化解:(1)由題知，F合為恒力，A合Fr(7i6j)(3i4j16k)212445JPA4575w(2)t0.6(3)由動能定理，EkA45J2-13以鐵錘將一鐵釘擊入木板，設木板對鐵釘的阻力與鐵釘進入木板內的深度成正比，在鐵錘擊第一次時，能將小釘擊入木板內1cm，問擊第二次時能擊入多深，假設鐵錘兩次打擊鐵釘時的速度相同解:以木板上界面為坐標原

24、點，向內為y坐標正向，如題2-13圖，則鐵釘所受阻力為題2-13圖fky第一錘外力的功為A1A1fdy1kydykssfdy20式中f是鐵錘作用于釘上的力，f是木板作用于釘上的力，在dt0時，ff設第二錘外力的功為A2，則同理，有A2y2kydy1ky22k122由題意，有A2A1(1mv2)k22即1ky22kk222所以，y22于是釘子第二次能進入的深度為yy2y1210.414cm2-14設已知一質點(質量為m)在其守舊力場中位矢為r點的勢能為EP(r)k/rn,試求質點所受守舊力的大小和方向dE(r)nk解:F(r)drrn1方向與位矢r的方向相反，即指向力心2-15一根勁度系數為k1

25、的輕彈簧A的下端，掛一根勁度系數為k2的輕彈簧B，B的下端一重物C，C的質量為M，如題2-15圖求這一系統靜止時兩彈簧的伸長量之比和彈性勢能之比解:彈簧A、B及重物C受力如題2-15圖所示均衡時，有題2-15圖FAFBMg又FAk1x1FBk2x2所以靜止時兩彈簧伸長量之比為x1k2x2k1彈性勢能之比為EEp11k1x122k2p212k12k2x22-16(1)試計算月球和地球對m物體的引力相抵消的一點P，距月球表面的距離是多少?地球質量5.981024kg，地球中心到月球中心的距離3.84108m，月球質量7.351022kg，月球半徑1.74106m(2)假如一個1kg的物體在距月球和

26、地球均為無窮遠處的勢能為零，那么它在P點的勢能為多少?解:(1)設在距月球中心為r處F月引F地引，由萬有引力定律，有mM月mM地G2GRr2r經整理，得rM月RM地M月7.351022=5.9810247.3510223.4810838.32106m則P點處至月球表面的距離為hrr月(38.321.74)1063.66107m質量為1kg的物體在P點的引力勢能為EPM月M地GGrRr6.6710117.3510226.6710115.9810241073.8310738.43.831.28106J2-17由水平桌面、圓滑鉛直桿、不行伸長的輕繩、輕彈簧、理想滑輪以及質量為m1和m2的滑塊構成如題

27、2-17圖所示裝置，彈簧的勁度系數為k，自然長度等于水平距離BC，m2與桌面間的摩擦系數為，最先m1靜止于A點，ABBCh，繩已拉直，現令滑塊落下m1,求它著落到B處時的速率解:取B點為重力勢能零點，彈簧原長為彈性勢能零點，則由功能原理，有m2gh1(m1m2)v2m1gh1k(l)222式中l為彈簧在A點時比原長的伸長量，則lACBC(21)h聯立上述兩式，得2m1m2ghkh2221vm2m1題2-17圖2-18如題2-18圖所示，一物體質量為2kg，以初速度v03ms-1從斜面與斜面的摩擦力為8N，到達B點后壓縮彈簧20cm后停止，而后又被彈回，數和物體最后能回到的高度解:取木塊壓縮彈簧

28、至最弊端的位置為重力勢能零點，彈簧原優點為彈性勢能零點。則由功能原理，有點處下滑，它求彈簧的勁度系frs1kx21mv2mgssin37221mv2mgssin37frsk21kx22式中s4.80.25m，x0.2m，再代入相干數據，解得k1390Nm-1題2-18圖再次運用功能原理，求木塊彈回的高度ho12frsmgssin37kx代入相干數據，得s1.4m,則木塊彈回高度hssin37o0.84m題2-19圖2-19質量為M的大木塊擁有半徑為R的四分之一弧形槽，如題2-19圖所示質量為m的小立方體從曲面的頂端滑下，大木塊放在圓滑水平面上，二者都作無摩擦的運動，并且都從靜止開始，求小木塊離

29、開大木塊時的速度解:m從M上下滑的過程中，機械能守恒，以m，M，地球為系統，以最低點為重力勢能零點，則有mgR1mv21MV222又下滑過程，動量守恒，以m,M為系統則在m離開M瞬時，水平方向有mvMV0聯立，以上兩式，得2MgRvmM2-20一個小球與一質量相等的靜止小球發生非對心彈性碰撞，試證碰后兩小球的運動方向相互垂直證:兩小球碰撞過程中，機械能守恒，有1mv021mv121mv22222即v02v12v22題2-20圖(a)題2-20圖(b)又碰撞過程中，動量守恒，即有mv0mv1mv2亦即v0v1v2由可作出矢量三角形如圖(b)，又由式可知三矢量之間滿足勾股定理，且以v0為斜邊，故知

30、v1與v2是相互垂直的2-21一質量為m的質點位于(x1,y1)處，速度為vvxivyj,質點遇到一個沿x負方向的力f的作用，求相關于坐標原點的角動量以及作用于質點上的力的力矩解:由題知，質點的位矢為rx1iy1j作用在質點上的力為ffi所以，質點對原點的角動量為L0rmv(x1iy1i)m(vxivyj)(x1mvyy1mvx)k作用在質點上的力的力矩為M0rf(x1iy1j)(fi)y1fk2-22哈雷彗星繞太陽運動的軌道是一個橢圓它離太陽近來距離為r18.751010m時的速率是v15.46104ms-1，它離太陽最遠時的速率是v29.08102ms-1這時它離太解:陽的距離r2多少?(

31、太陽位于橢圓的一個焦點。哈雷彗星繞太陽運動時遇到太陽的引力即存心力的作用，)所以角動量守恒；又因為哈雷彗星在近期點及遠日點時的速度都與軌道半徑垂直，故有r1mv1r2mv2r2r1v18.7510105.461045.261012mv29.081022-23物體質量為3kg，t=0時位于r4im,vi6jms1，如一恒力f5jN作用在物體上,求3秒后，(1)物體動量的變化；(2)相對z軸角動量的變化pfdt315jkgms15jdt解:(1)0(2)解(一)xx0v0 xt437yv0yt1at263153225.5j223即r14i,r27i25.5jvxv0 x1vyv0yat653113

32、即v1i16j,v2i11jL1r1mv14i3(i6j)L2r2mv2(7i25.5j)3(iLL2L182.5kkgmdz解(二)Mdt72k11j)154.5k2s1LtdttF)dtM(r003t)i(6t1)5t2)j5jdt(40233t)kdt82.5kkgm2s15(40題2-24圖2-24平板中央開一小孔，質量為m的小球用細線系住，細線穿過小孔后掛一質量為M1的重物小球作勻速圓周運動，當半徑為r0時重物達到均衡今在M1的下方再掛一質量為M2的物體，如題2-24圖試問這時小球作勻速圓周運動的角速度和半徑r為多少?解:在只掛重物時M1，小球作圓周運動的向心力為M1g，即M1gmr

33、002掛上M2后，則有(M1M2)gmr2重力對圓心的力矩為零，故小球對圓心的角動量守恒即r0mv0rmvr020r2聯立、得0M1gmr02M1g(M1M2)3mr0M1rM1M2gM1r0mM1M22-25飛輪的質量m60kg，半徑R0.25m，繞其水平中心軸O轉動，轉速為900revmin-1現利用一制動的閘桿，在閘桿的一端加一豎直方向的制動力F，可使飛輪減速已知閘桿的尺寸如題2-25圖所示，閘瓦與飛輪之間的摩擦系數=0.4，飛輪的轉動慣量可按勻質圓盤計算試求：(1)設F100N，問可使飛輪在多長時間內停止轉動?在這段時間里飛輪轉了幾轉?(2)假如在2s內飛輪轉速減少一半，需加多大的力F

34、?解:(1)先作閘桿和飛輪的受力分析圖(如圖(b)圖中N、N是正壓力，Fr、Fr是摩擦力，Fx和Fy是桿在A點轉軸地方受支承力，R是輪的重力，P是輪在O軸地方受支承力題2-25圖（a）題2-25圖(b)桿處于靜止狀態，所以對A點的合力矩應為零，設閘瓦厚度不計，則有F(l1l2)Nl10Nl1l2Fl1對飛輪，按轉動定律有FrR/I，式中負號表示與角速度方向相反FrNNNFrNl1l2Fl1I1mR2,又2FrR2(l1l2)FImRl1以F100N等代入上式，得20.40(0.500.75)10040rads2600.250.503由此可算出自施加制動閘開始到飛輪停止轉動的時間為t090023

35、60407.06s這段時間內飛輪的角位移為0t1t290029140(9)2260423453.12rad可知在這段時間里，飛輪轉了53.1轉09002rads1t2s內減少一半，可知(2)60，要求飛輪轉速在0020152t2trads2用上邊式(1)所示的關系，可求出所需的制動力為FmRl12(l1l2)600.250.50150.40(0.500.75)2177N2-26固定在一起的兩個同軸均勻圓柱體可繞其圓滑的水平對稱軸OO轉動設大小圓柱體的半徑分別為R和r，質量分別為M和m繞在兩柱體上的細繩分別與物體m1和m2相連，m1和m2則掛在圓柱體的雙側，如題2-26圖所示設R0.20m,r0

36、.10m，m4kg，10kg，m1m22kg，且開始時m1，m2離地均為h2m求：(1)柱體轉動時的角加速度；雙側細繩的張力解:設a1,a2和分別為m1,m2和柱體的加速度及角加速度，方向如圖(如圖b)題2-26(a)圖題2-26(b)圖m1,m2和柱體的運動方程以下：T2m2gm2a2m1gT1m1a1T1RT2rI式中T1T1,T2T2,a2r,a1RI1MR21mr2而22由上式求得Rm1rm22gIm1R2m2r0.220.129.811100.20240.10220.20220.102226.13rads2(2)由式T2m2rm2g20.106.1329.820.8N由式T1m1gm

37、1R29.820.2.6.1317.1N2-27計算題2-27圖所示系統中物體的加速度設滑輪為質量均勻分布的圓柱體，其質量為M，半徑為r，在繩與輪緣的摩擦力作用下旋轉，忽視桌面與物體間的摩擦，設m150kg，m2200kg,M15kg,r0.1m解:分別以m1,m2滑輪為研究對象，受力爭如圖(b)所示對m1,m2運用牛頓定律，有m2gT2m2aT1m1a對滑輪運用轉動定律，有T2rT1r(1Mr2)2又，ar聯立以上4個方程，得m2g2009.87.6ms2aM15m1m2520022題2-27(a)圖題2-27(b)圖題2-28圖2-28如題2-28圖所示，一勻質細桿質量為m，長為l，可繞過

38、一端O的水平軸自由轉動，桿于水平位置由靜止開始擺下求：初始時刻的角加速度；桿轉過角時的角速度.解:(1)由轉動定律，有mg1(1ml2)33g2l(2)由機械能守恒定律，有mglsin1(1ml2)2233gsinl題2-29圖2-29如題2-29圖所示，質量為M，長為l的均勻直棒，可繞垂直于棒一端的水平軸O無摩擦地轉動，它本來靜止在均衡位置上現有一質量為m的彈性小球飛來，正得虧棒的下端與棒垂直地相撞相撞后，使棒從均衡位置處搖動到最大角度30處設這碰撞為彈性碰撞，試計算小球初速v0的值；相撞時小球遇到多大的沖量?解:(1)設小球的初速度為v0，棒經小球碰撞后獲取的初角速度為，而小球的速度變為，

39、按題意，小球和棒作彈性碰撞，所以碰撞時依照角動量守恒定律和機械能守恒定律，可列式：mv0lImvl1mv021I21mv2222I1Ml2上兩式中3，碰撞過程極為短暫，可以為棒沒有明顯的角位移；碰撞后，棒從豎直位置上擺到最大角度30o，按機械能守恒定律可列式：1I2Mgl(1cos30)22由式得Mgl(1cos30)I123g3(1)l212由式vv0Iml由式v2v02I2m所以(v0I)2v0212求得mlmv0l(1I2)l(11M)2ml23m6(233mMgl12m(2)相碰時小球遇到的沖量為Fdtmvmvmv0由式求得Fdtmvmv0I1Mll36(23)Mgl6負號說明所受沖量

40、的方向與初速度方向相反題2-30圖2-30一個質量為M、半徑為R并以角速度轉動著的飛輪(可看作勻質圓盤)，在某一瞬時忽然有一片質量為m的碎片從輪的邊沿上飛出，見題2-30圖假設碎片離開飛輪時的瞬時速度方向正好豎直向上(1)問它能高升多少?(2)求余下部分的角速度、角動量和轉動動能解:(1)碎片離盤瞬時的線速度即是它上升的初速度v0R設碎片上高升度h時的速度為v，則有v2v022gh令v0，可求出上升最大高度為v02122HR2g2gI1MR2I1MR2mR2(2)圓盤的轉動慣量2，碎片拋出后圓盤的轉動慣量2，碎片脫離前，盤的角動量為I，碎片剛離開后，碎片與破盤之間的內力變為零，但內力不影響系統

41、的總角動量，碎片與破盤的總角動量應守恒，即IImv0R式中為破盤的角速度于是1MR2(1MR2mR2)mv0R22(1MR2mR2)(1MR2mR2)22得(角速度不變)圓盤余下部分的角動量為(1MR2mR2)2轉動動能為題2-31圖Ek1(1MR2mR2)2222-31一質量為m、半徑為R的自行車輪，假設質量均勻分布在輪緣上，可繞軸自由轉動另一質量為m0的子彈以速度v0射入輪緣(如題2-31圖所示方向)(1)開始時輪是靜止的，在質點打入后的角速度為何值?用m,m0和表示系統(包含輪和質點)最后動能和初始動能之比解:(1)射入的過程對O軸的角動量守恒Rsinm0v0(mm0)R2m0v0sin

42、(mm0)R1(mm0)R2m0v0sin2Ek2(mm0)Rm0sin2Ek012mm0(2)m0v02-12-32彈簧、定滑輪和物體的連接如題2-32圖所示，彈簧的勁度系數為；定滑輪2.0Nm的轉動慣量是0.5kgm2，半徑為0.30m，問當6.0kg質量的物體落下0.40m時，它的速率為多大?假設開始時物體靜止而彈簧無伸長解:以重物、滑輪、彈簧、地球為一系統，重物著落的過程中，機械能守恒，以最低點為重力勢能零點，彈簧原長為彈性勢能零點，則有mgh1mv21I21kh2222又v/Rv(2mghkh2)k2mR2I故有(26.09.80.42.00.42)0.326.00.320.52.0

43、ms1題2-32圖題2-33圖2-33空心圓環可繞豎直軸AC自由轉動，如題2-33圖所示，其轉動慣量為I0，環半徑為R，初始角速度為0質量為m的小球，本來靜置于A點，因為細小的干擾，小球向下滑動設圓環內壁是圓滑的，問小球滑到B點與C點時，小球相關于環的速率各為多少?解:(1)小球與圓環系統對豎直軸的角動量守恒，當小球滑至B點時，有I00(I0mR2)該系統在轉動過程中，機械能守恒，設小球相關于圓環的速率為vB，以B點為重力勢能零點，則有12mgR12)212I00(I0mR2mvB22聯立、兩式，得vBI002R22gRmR2I0(2)當小球滑至C點時，IcI0c0故由機械能守恒，有mg(2R

44、)1mvc22vc2gR請讀者求出上述兩種狀況下，小球對地速度習題三3-1慣性系S相對慣性系S以速度u運動當它們的坐標原點O與O重合時，t=t=0，發出一光波，往后兩慣性系的察看者察看該光波的波陣面形狀如何?用直角坐標系寫出各自察看的波陣面的方程解:因為時間和空間都是均勻的，依據光速不變原理，光訊號為球面波波陣面方程為：x2y2z2(ct)2x2y2z2(ct)2題3-1圖3-2設圖3-4中車廂上察看者測得前后門距離為2l試用洛侖茲變換計算地面上的察看者測到同一光信號到達前、后門的時間差解:(x1,t1)(l,l)設光訊號到達前門為事件1，在車廂(S)系時空坐標為c，在車站(S)系：t1(t1

45、u2x1)(lu2l)l(1u)ccccc(x2,t2)(l,l)光信號到達后門為事件2，則在車廂(S)系坐標為c，在車站(S)系：t2(t2ux2)lu)c2c(1c于是t2t12lu2c也許t0,tt1t2,xx1x22lt(tux)(u2l)c2c23-3慣性系S相對另一慣性系S沿x軸作勻速直線運動，取兩坐標原點重合時刻作為計時起點在S系中測得兩事件的時空坐標分別為x1=6104m,t1=210-4s，以及x2=12104m,t2=110-4s已知在S系中測得該兩事件同時發生試問：(1)S系相對S系的速度是多少?(2)S系中測得的兩事件的空間間隔是多少?解:設(S)相對S的速度為v，t1

46、(t1vx1)(1)c2t2(t2v2x2)c由題意t2t10則t2t1v2(x2x1)cvc2t2t1c1.5108x2x12ms1故(2)由洛侖茲變換x1(x1vt1),x2(x2vt2)代入數值，x2x15.2104m3-4長度l0=1m的米尺靜止于S系中，與x軸的夾角=30，S系相對S系沿x軸運動，在S系中察看者測得米尺與x軸夾角為45試求：(1)S系和S系的相對運動速度.(2)S系中測得的米尺長度解:(1)米尺相對S靜止，它在x,y軸上的投影分別為：LxL0cos0.866m，LyL0sin0.5m米尺相對S沿x方向運動，設速度為v，對S系中的察看者測得米尺在x方向縮短，而y方向的長

47、度不變，即2LxLx1v2,LyLyLyLycLytanLxLxv2Lx1故c2把45及Lx,Ly代入1v20.5則得c20.866故v0.816cLLy0.707msin45(2)在S系中測得米尺長度為3-5一門寬為a，今有一固有長度l0(l0a)的水平細桿，在門外切近門的平面內沿其長度方向勻速運動若站在門外的察看者以為此桿的兩端可同時被拉進此門，則該桿相關于門的運動速率u最少為多少?解:ll01(u)2a時，可以為能被拉進門，門外察看者測得桿長為運動長度，c，當1al01(u)2則cuc1(a)2解得桿的運動速率最少為：l0題3-6圖3-6兩個慣性系中的察看者O和O以0.6c(c表示真空中

48、光速)的相對速度相互湊近，假如O測得二者的初始距離是20m，則O測得二者經過多少時間相遇?解:O測得相遇時間為ttL020v0.6cO測得的是固有時ttL012tv8.89108s，v0.6c，10.8，也許，O測得長度縮短，LL012L010.620.8L0,tL0.8L00.820vt8.89108s0.6c0.631083-7察看者甲乙分別靜止于兩個慣性參照系S和S中，甲測得在同一地點發生的兩事件的時間間隔為4s，而乙測得這兩個事件的時間間隔為5s求：S相關于S的運動速度乙測得這兩個事件發生的地點間的距離解:甲測得t4s,x0,乙測得t5s，坐標差為xx2x1t(tvx)t1tc2(v)

49、21(1)c1v2t4c2t5vc1(t)2c1(4)23c解出t551.8108ms1xxvt,t5x0(2)t,4xvt53c43c9108m45負號表示x2x103-8一宇航員要到離地球為5光年的星球去旅行假如宇航員希望把這行程縮短為3光年，則他所乘的火箭相關于地球的速度是多少?解:l3l012512,則3125v19c4c2553-9論證以下結論：在某個慣性系中有兩個事件同時發生在不一樣地點，在有相對運動的其余慣性系中，這兩個事件必定不一樣時證:設在S系A、B事件在a,b處同時發生，則xxbxa,ttAtB，在S系中測得ttBtAvx)(t2ct0,x0，t0即不一樣時發生3-10試證

50、明：假如兩個事件在某慣性系中是同一地點發生的，則對全部慣性系來說這兩個事件的時間間隔，只有在此慣性系中最短假如兩個事件在某慣性系中是同時發生的，則對全部慣性關系來說這兩個事件的空間間隔，只有在此慣性系中最短解:(1)假如在S系中，兩事件A、B在同一地點發生，則x0，在S系中，ttt，僅當v0時，等式建立，t最短(2)若在S系中同時發生，即t0，則在S系中，xxx，僅當v0時等式建立，S系中x最短3-11依據天文察看和計算，宇宙正在膨脹，太空中的天體都遠離我們而去假設地球上觀察到一顆脈沖星(發出周期無線電波的星)的脈沖周期為0.50s，且這顆星正沿察看方向以速度0.8c離我們而去問這顆星的固有周

51、期為多少?解:以脈沖星為S系，x0，固有周期t0.地球為S系，則有運動時t1t，這里t1不是地球上某點察看到的周期，而是以地球為參照系的兩異地鐘讀數之差還要考vt1慮因翱翔遠離信號的傳達時間，cttvt1vt1ctct(1v)c111(0.8c)20.6c0tt0.5v)(10.8c)(1則cc0.50.30.1666s11.8(10.8)0.6介子以速度v=0.998c3-126000m的高空大氣層中產生了一個飛向地球假設該介子在其自己靜止系中的壽命等于其均勻壽命210-6s試分別從下邊兩個角度，即地球上的觀測者和介子靜止系中察看者來判斷介子能否到達地球解:介子在其自己靜止系中的壽命t021

52、06s是固有(本征)時間，對地球察看者，因為時間膨脹效應，其壽命延伸了衰變前經歷的時間為tt03.16105s12v這段時間翱翔距離為dvt9470m因d6000m，故該介子能到達地球或在介子靜止系中，介子是靜止的地球則以速度v湊近介子，在t0時間內，地球接近的距離為dvt0599md06000m經洛侖茲縮短后的值為：d0d0v2379m12cd0，故介子能到達地球3-13設物體相對S系沿x軸正向以0.8c運動，假如S系相對S系沿x軸正向的速度也是0.8c，問物體相對S系的速度是多少?解:依據速度合成定理，u0.8c,vx0.8cvxvxu0.8c0.8cuvx0.8c0.98c0.8c1c2

53、1c23-14飛船A以0.8c的速度相對地球向正東翱翔，飛船B以0.6c的速度相對地球向正西方向翱翔當兩飛船馬上相遇時A飛船在自己的天窗處相隔2s發射兩顆信號彈在B飛船的察看者測得兩顆信號彈相隔的時間間隔為多少?解:取B為S系，地球為S系，自西向東為x(x)軸正向，則A對S系的速度vx0.8c，S系對S系的速度為u0.6c，則A對S系(B船)的速度為vxvxu0.8c0.6c0.946cuvx10.481c2t2s，發射彈是從A的同一點發出，其時間間隔為固有時題3-14圖B中測得的時間間隔為：tt26.17svx210.946212c的速度相對地球向+x和-x方向翱翔試求由火3-15(1)火箭

54、A和B分別以0.8c和0.6c箭B測得A的速度(2)若火箭A相對地球以0.8c的速度向+y方向運動，火箭B的速度不變，求A相對B的速度解:(1)如圖a，取地球為S系，B為S系，則S相對S的速度u0.6c，火箭A相對S的速度vx0.8c，則A相對S(B)的速度為：vxvxu0.8c(0.6c)0.946cu(0.6c)(0.8c)11c2vxc2也許取A為S系，則u0.8c，B相對S系的速度vx0.6c，于是B相對A的速度為：vxu0.6c0.8c0.946cvxu(0.8c)(0.6c)1vx1c2c2(2)如圖b，取地球為S系，火箭B為S系，S系相對S系沿x方向運動，速度u0.6c，A對S系

55、的速度為,vx0,vy0.8c,由洛侖茲變換式A相對B的速度為：vxvxu0(0.6c)0.6cu101c2vxu212vyvyc10.62(0.8c)0.64c1uvxA相對B的速度大小為c2vvx2vy20.88c速度與x軸的夾角為tanvy1.07vx46.8題3-15圖3-16靜止在S系中的察看者測得一光子沿與x軸成60角的方向翱翔另一察看者靜止于S系，S系的x軸與x軸一致，并以0.6c的速度沿x方向運動試問S系中的察看者察看到的光子運動方向如何?解:S系中光子運動速度的重量為vxccos600.500cvycsin600.866c由速度變換公式，光子在S系中的速度重量為vxvxu0.

56、5c0.6cu0.6c0.143c1vx10.5cc2c21u2vy10.620.866cvyc2u2vx0.990c110.6c20.5cx軸的夾角cc光子運動方向與滿足tanvy0.692vx在第二象限為98.2在S系中，光子的運動速度為2vxvyc正是光速不變3-17(1)假如將電子由靜止加速到速率為0.1c，須對它作多少功?(2)假如將電子由速率為0.8c加速到0.9c，又須對它作多少功?解:(1)對電子作的功，等于電子動能的增量，得EkEkmc2m0c2m0c2(1)m0c2(11)1v2c29.11031(3108)2(11)10.124.121016J=2.57103eV(2)E

57、kEk2Ek1(m2c2m0c2)(m1c2m2c2m1c2m0c2(11v221c29.11031321016(110.925.141014J3.21105eVm0c2)1)v12c2)1)10.823-18子靜止質量是電子靜止質量的207倍，靜止時的均勻壽命0=210-6s，若它在實驗室參照系中的均勻壽命=710-6s，試問其質量是電子靜止質量的多少倍?解:設子靜止質量為m0，相對實驗室參照系的速度為vc，相應質量為m，電子靜0,即17止質量為m0e，因121220由質速關系，在實驗室參照系中質量為：mm0207m0e1212m20777252207故m0e123-19一物體的速度使其質量

58、增添了10%，試問此物體在運動方向上縮短了百分之幾?解:設靜止質量為m0，運動質量為m，mm00.10由題設m0m0m21由此二式得在運動方向上的長度和靜長分別為ll0ll0l0110.10121211.10l和l0，則相對縮短量為：112119.1%0.0911.103-20一電子在電場中從靜止開始加速，試問它應經過多大的電勢差才能使其質量增添0.4%?此時電子速度是多少?已知電子的靜止質量為9.110-31kgmE0.4解:由質能關系m0m0c2100E0.4m0c20.49.11031(3108)2/1001003.28103.281016J1.6101619eV103eV2.0所需電勢

59、差為2.0103伏特由質速公式有：12m0m0111mm0mm0.41.00411m01002(v)21(1)27.95103c1.004故電子速度為vc2.7107ms-13-21一正負電子對撞機可以把電子加速到動能EK2.8109eV這類電子速率比光速差多少?這樣的一個電子動量是多大?(與電子靜止質量相應的能量為E00.511106eV)Ekm0c2m0c21v2解:c2v21m0c2121Ek/m0c2m0c2所以cEk由上式，vc1(m0c2)2m0c2Ekc1(0.51106)2/(0.5111062.8109)22.9979245108ms-1cv2.997924580108ms-

60、12.99792451088ms-1由動量能量關系E2p2c2m02c4可得E2m02c4(Ekm0c2)2m02c4Ek22Ekm0c2pccc1(2.82101822.81090.511106)1.6210382/31081.491018kgms12343-22氫原子的同位素氘(1H)和氚(1H)在高溫條件下發生聚變反應，產生氦(2He)原子核和12341一此中子(0n)，并開釋出大批能量，其反應方程為1H+1H2He+0n已知氘核的靜止質量為2.0135原子質量單位(1原子質量單位1.60010-27kg)，氚核和氦核及中子的質量分別為3.0155，4.0015，1.00865原子質量單