1、代數幾何綜合題專項訓練例1（2016濱州）如圖，已知拋物線y= x2 x+2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C.（1）求點A，B，C的坐標；（2）點E是此拋物線上的點，點F是其對稱軸上的點，求以A，B，E，F為頂點的平行四邊形的面積；（3）此拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得ACM是等腰三角形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由解：（1）令y=0得 x2 x+2=0，x2+2x8=0，解得x=4或2，點A坐標（2，0），點B坐標（4，0），當x=0時，y=2，點C坐標（0，2）1（2016新疆）如圖，對稱軸為直線x= 的拋物線經過點A（6，0）和B（0，4）（1）求拋物線解析式及

2、頂點坐標；（2）設點E（x，y）是拋物線上一動點，且位于第一象限，四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形，求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數關系式；（3）當（2）中的平行四邊形OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形題組訓練（3）平行四邊形OEAF的面積為24時，平行四邊形OEAF不能為菱形，理由如下：當平行四邊形OEAF的面積為24時，即4x2+28x24=24，化簡，得x27x+12=0，解得x=3或4，當x=3時，EO=EA，平行四邊形OEAF為菱形當x=4時，EOEA，平行四邊形OEAF不為菱形平行四邊形OEAF的面積為24時，平行四邊形OEAF可能為菱形

3、2（2016上海）如圖，拋物線y=ax2+bx5（a0）經過點A（4，5），與x軸的負半軸交于點B，與y軸交于點C，且OC=5OB，拋物線的頂點為點D（1）求這條拋物線的表達式；（2）聯結AB、BC、CD、DA，求四邊形ABCD的面積；（3）如果點E在y軸的正半軸上，且BEO=ABC，求點E的坐標解：（1）拋物線y=ax2+bx5與y軸交于點C，C（0，5），OC=5OC=5OB，OB=1，又點B在x軸的負半軸上，B（1，0）拋物線經過點A（4，5）和點B（1，0）， ，解得 ，這條拋物線的表達式為y=x24x53（2016赤峰）在平面直角坐標系中，已知點A（2，0），B（2，0），C（3，5

4、）（1）求過點A，C的直線解析式和過點A，B，C的拋物線的解析式；（2）求過點A，B及拋物線的頂點D的P的圓心P的坐標；（3）在拋物線上是否存在點Q，使AQ與P相切，若存在請求出Q點坐標解：（1）A（2，0），B（2，0）；設二次函數的解析式為y=a（x2）（x+2），把C（3，5）代入得a=1；二次函數的解析式為：y=x24；設一次函數的解析式為：y=kx+b（k0）把A（2，0），C（3，5）代入得 ，解得 ，一次函數的解析式為：y=x+2；例2（2016廣東）如圖，BD是正方形ABCD的對角線，BC=2，邊BC在其所在的直線上平移，將通過平移得到的線段記為PQ，連接PA、QD，并過點Q作

5、QOBD，垂足為O，連接OA、OP（1）請直接寫出線段BC在平移過程中，四邊形APQD是什么四邊形？（2）請判斷OA、OP之間的數量關系和位置關系，并加以證明；（3）在平移變換過程中，設y=SOPB，BP=x（0 x2），求y與x之間的函數關系式，并求出y的最大值解：（1）四邊形APQD為平行四邊形；（2）OA=OP，OAOP，理由如下：四邊形ABCD是正方形，AB=BC=PQ，ABO=OBQ=45，OQBD，PQO=45，ABO=OBQ=PQO=45，OB=OQ，AOBOPQ（SAS），OA=OP，AOB=PQO，AOP=BOQ=90，OAOP；4（2016上海）如圖所示，梯形ABCD中，A

6、BDC，B=90，AD=15，AB=16，BC=12，點E是邊AB上的動點，點F是射線CD上一點，射線ED和射線AF交于點G，且AGE=DAB（1）求線段CD的長；（2）如果AEG是以EG為腰的等腰三角形，求線段AE的長；（3）如果點F在邊CD上（不與點C、D重合），設AE=x，DF=y，求y關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍解：（1）作DHAB于H，如圖1，易得四邊形BCDH為矩形，DH=BC=12，CD=BH，在RtADH中，AH= =9，BH=ABAH=169=7，CD=7；（2）EA=EG時，則AGE=GAE，AGE=DAB，GAE=DAB，G點與D點重合，即ED=EA，作EMAD

7、于M，如圖1，則AM= AD= ，MAE=HAD，RtAMERtAHD，AE：AD=AM：AH，即AE：15= ：9，解得AE= ；GA=GE時，則GAE=AEG，AGE=DAB，而AGE=ADG+DAG，DAB=GAE+DAG，GAE=ADG，AEG=ADG，AE=AD=15綜上所述，AEC是以EG為腰的等腰三角形時，線段AE的長為 或15；（3）作DHAB于H，如圖2，則AH=9HE=AEAH=x9，在RtHDE中，DE= ，AGE=DAB，AEG=DEA，EAGEDA，EG：AE=AE：ED，即EG：x=x： ，EG= ， DG=DEEG= ，DFAE，DGFEGA，DF：AE=DG：E

8、G，即y：x=（ ）： ，y= （9x ）5（2016南寧）已知四邊形ABCD是菱形，AB=4，ABC=60，EAF的兩邊分別與射線CB，DC相交于點E，F，且EAF=60（1）如圖1，當點E是線段CB的中點時，直接寫出線段AE，EF，AF之間的數量關系；（2）如圖2，當點E是線段CB上任意一點時（點E不與B、C重合），求證：BE=CF；（3）如圖3，當點E在線段CB的延長線上，且EAB=15時，求點F到BC的距離（1）解：結論AE=EF=AF理由：如圖1中，連接AC，四邊形ABCD是菱形，B=60，AB=BC=CD=AD，B=D=60，ABC，ADC是等邊三角形，BAC=DAC=60BE=EC，BAE=CAE=30，AEBC，EAF=60，CAF=DAF=30，AFCD，AE=AF（菱形的高相等），AEF是等邊三角形，AE=EF=AF（2）證明：如圖2中，BAC=EAF=60，BAE=CAE，又BA=AC，B=ACF，在BAE和CAF中，BAECAF，BE=CF（3）解：過點A作AGBC于點G，過點F作FHEC于點H，EAB=15，ABC=60，AEB=45，在RtAGB中，ABC=60AB=4，BG