1、投資組合概論本章大綱認識投資組合多角化的內涵風險分散的極限投資組合的選擇CAPM與APT的啟示認識投資組合由一種以上的證券或資產構成的集合稱為投資組合 (Wi表示分配在各類資產Xi的資金數額百分比，Wi總和為1)例：老王將1,000萬元資金中的600萬元投資房地產、200萬元投資政府公債，另200萬元則進行股票投資買賣。投資組合的預期報酬率為所有個別資產預期報酬率的加權平均數投資組合的風險以標準差或變異數來衡量。投資組合的標準差，必須先求得總合變異數，再開根號才能得到標準差。投資組合的變異數裡除原先個別資產的變異數外，還多了一項共變數，即由多種資產構成的投資組合不但包含原先個別資產的風險（有權

2、數的調整），尚隱含個別資產間的相互影響所帶來的風險。 以兩種資產為例 共變數(Covariance)共變數(Covariance) - 兩個變數間同向或異向變動程度的”絕對”指標即席思考在金融商品數量快速增加的今日，若您有一筆錢要投資運用，您會選擇哪些商品來形成投資組合呢？為甚麼要選擇這些商品？試解釋之。請您將所挑選、設計出來的投資組合以公式5-1來加以表示。假設您知道這些資產的預期報酬率，您能求算出此投資組合之預期報酬率和標準差嗎？相關係數(Coefficient of Correlation)兩數量變數的相關係數，是衡量兩變數線性關係強度及方向的數值，定義如下： 兩變數分別為X及Y ，資料

3、配對為 (xi, yi) ,i = 1, 2, , n其平均數與標準差分別為 與 sX， 與 sY。則相關係數 r 定為相關係數(Coefficient of Correlation) 相關係數(Coefficient of Correlation)相關係數為正表示兩變數具正相聯性，相關係數為負表示兩變數具負相聯性。相關係數 r ，其數值必為 -1與1之間。r 接近 0表示兩變數的線性關係薄弱。兩變數的線性關係強度，隨著 r 由 0 移向 -1或 1 而增強。 r 接近 -1或 1 表示散佈圖的點呈近乎直線。 r 等於 -1或 1 表示散佈圖的點全在直線上。線性關係的不同強度之 r多角化的內涵

4、(1/3)相關係數為+1（完全正相關）組成投資組合之資產間相關係數為1時，增加資產數目僅會重新調整風險結構，並沒有降低總風險。投資組合的標準差可為個別資產標準差的加權平均數，即：表5-1 A與B完全正相關時，A、B及其投資組合D的風險與報酬多角化的內涵(2/3)相關係數為1（完全負相關）若證券間相關係數為1，此時風險在各種相關係數中為最小，風險分散效果可達最大，甚至可構成零風險的投資組合。投資組合的標準差為個別資產標準差乘以權重後的差額，即： 表5-2 A與B完全負相關時，A、B及其投資組合D的風險與報酬多角化的內涵(3/3)相關係數介於1時，相關係數愈小，風險分散效果愈大，故風險愈小。綜合各

5、種情形，可發現以增加投資標的、建構投資組合來降低投資所面臨的風險，稱之為多角化。表5-3 A、B兩資產報酬相關係數介於1時的風險狀況即席思考老吳分析汽車產業股價報酬率和電子產業股價報酬率的關係，發現兩者之間有極高的負相關；可是在最近大盤上的表現，兩者卻都跌得很慘，老吳也賠得一塌糊塗！這是甚麼原因呢？您能告訴老吳嗎？小黑昨天發現有兩種股票的報酬相關係數恰巧為-1，興沖沖地向老爸借了一大筆錢去搶購這些股票。您認為他能賺到無風險的利潤嗎？如果不行，那是甚麼原因呢？風險分散的極限(1/4)一個包含N項資產投資組合E之般式（為公式5-5的擴大）：風險分散的極限(2/4)權數相等假設下的投資組合變異數風險

6、分散之極限當一投資組合是由無窮多資產以等分之比例組成風險分散的極限(3/4)風險分散的極限將資產的數目增加到極限時，屬於個別資產的平均風險值已完全被分散掉，不過仍有部分的風險餘留下來，即平均共變數 的部分。殘留的風險將是所有資產必須共同面對的，通常將此無法透過多角化分散掉的風險稱為系統風險。 表5-5 加入相關係數不為+1的資產C後，投資組合D1的風險變化風險分散的極限(4/4)系統風險所有資產必須共同面對的風險，無法透過多角化加以分散，又稱為市場風險。如貨幣與財政政策對GNP的衝擊、通貨膨脹現象、國內政局不安等因素等。非系統風險可以在多角化過程中被分散掉的風險。如罷工、新產品開發、專利權、董

7、監事成員、股權結構等。風險風險分散的極限隨著投資組合中資產數目的增加，非系統風險逐漸減少，系統風險則保持不變；直到非系統風險消除殆盡時，總風險將等於系統風險。投資組合中的資產數目總風險系統風險(Systematic Risk)或市場風險(Market Risk)非系統風險(Unsystematic Risk)或非市場風險(Nonmarket Risk)圖5-1 多角化與風險分散的極限即席思考小白在前陣子買了臺電、茂矽、華邦、南亞科技、力晶、茂德等資訊電子業的股票，雖然曾經小賺，但最近卻賠得抱頭鼠竄，小白直說風險哪有降低，財務理論根本騙人！事實真是如此嗎？您知道小白犯了甚麼錯誤嗎？投資組合的風險

8、投資組合的變異數裡除原先各別資產的變異數外，還多一項”共變數”，即由多種資產構成的投資組合不但含原先各別資產的風險(權數調整後)，亦包含各別資產間相互影響所產生之風險投資組合的風險投資組合的風險(投資組合的標準差)之決定因素為個別資產之風險及各資產間之相關性(共變數)，所以投資組合之標準差決定於各資產之標準差(si)與各資產間之相關係數(ri,j)。投資組合的風險與相關係數之關係假設只有兩項資產在一投資組合相關係數r=1時相關係數r=0時相關係數r=-1時多角化的內涵綜合以上三種情形的討論，可發現以增加投資標的、建構投資組合來降低投資所面臨的風險，稱之為多角化。相關係數為1（完全正相關）時，增

9、加資產數目，僅會重新調 整風險結構，無風險分散效果。相關係數為1（完全負相關）時此時風險在各種相關係數中為最小，風險分散效果可達最大，甚至可構成零風險的投資組合。相關係數介於1時，相關係數愈小，風險分散效果愈大，故風險愈小。A與B完全正相關，A、B及其投資組合D的風險與報酬16.7316.7316.73標準差9.009.009.00平均值30.0030.0030.00520.0020.0020.00410.0010.0010.003（10.00）（10.00）（10.00）2（5.00）（5.00）（5.00）1D預期報酬率B預期報酬率A預期報酬率年度預期報酬率年度+1.00A與B的相關係數值

10、-1.00A與B的相關係數值 0.0015.8115.81標準差10.0010.0010.00平均值10.00（10.00）30.00510.00 0.0020.00410.0010.0010.00310.0020.000.00210.0030.00（10.00）1D預期報酬率B預期報酬率A預期報酬率年度預期報酬率年度A與B完全負相關，A、B及其投資組合D的風險與報酬年度年度預期報酬率1資產A資產B資產B2組合D1組合D22（5）（10）15（7.5）5.00315（5）305.0022.504（10）15202.505.0052030（5）25.007.5063020（10）25.0010.

11、00平均值 10.00 10.00 10.0010.0010.00標準差 16.9616.96 16.96 14.477.29A與B的相關係數值0.46-0.63A、B兩資產報酬相關係數介於時的風險狀況加入相關係數不為+1的資產C後，投資組合D1的風險變化D1與C的相關係數值12.8416.9614.47標準差10.0010.0010.00平均值27.5030.0025.00510.00（5.00）25.00411.2520.002.50310.0015.005.002（8.75）（10.00）（7.5）1D1預期報酬率C預期報酬率D1預期報酬率年度預期報酬率年度0.33效率前緣與投資組合的選

12、擇投資人在特定資金水準下並使用自有資金，所有可供投資人選擇的投資組合為可行投資集合(Feasible Set)。理性之投資者會在以下兩種情況選擇最佳(optimal)投資組合相同風險下，選擇預期報酬率最高之投資組合相同預期投資報酬率下，選擇風險最低之投資組合理性投資者的選擇下，所選出之各最佳投資組合形成一可行投資集合的效率前緣(Efficient Frontier)在效率前緣上之任一投資組合皆為最佳投資組合，亦為最有效率之投資組合。效率前緣下方之投資組合，皆為無效率投資組合(Inefficient Portfolio)，理性投資者不會選擇效率前緣下方之任一投資組合。不同的投資人由於風險迴避程度

13、的差異，即使面對相同的效率前緣，也不一定會有相同的投資組合。圖5-2 所有可行投資集合與效率前緣預期報酬率（）投資組合的總風險()AIBFEDCJHG效率投資組合的選擇，在於風險相同下報酬最大，報酬相同下風險最小。再由不同的效率投資組合構成效率前緣。0投資組合預期投資報酬率Rp風險, pEfficient Set可行投資集合Feasible SetFeasible and Efficient PortfoliosPortfolio Risk-Return Plots for Different WeightsStandard Deviation of ReturnE(R)Rij = +1.00

14、12With two perfectly correlated assets, it is only possible to create a two asset portfolio with risk-return along a line between either single assetPortfolio Risk-Return Plots for Different WeightsStandard Deviation of ReturnE(R)Rij = 0.00Rij = +1.00fghijk12With uncorrelated assets it is possible t

15、o create a two asset portfolio with lower risk than either single assetPortfolio Risk-Return Plots for Different WeightsStandard Deviation of ReturnE(R)Rij = 0.00Rij = +1.00Rij = +0.50fghijk12With correlated assets it is possible to create a two asset portfolio between the first two curvesPortfolio

16、Risk-Return Plots for Different WeightsStandard Deviation of ReturnE(R)Rij = 0.00Rij = +1.00Rij = -0.50Rij = +0.50fghijk12 With negatively correlated assets it is possible to create a two asset portfolio with much lower risk than either single assetPortfolio Risk-Return Plots for Different WeightsSt

17、andard Deviation of ReturnE(R)Rij = 0.00Rij = +1.00Rij = -1.00Rij = +0.50fghijk12With perfectly negatively correlated assets it is possible to create a two asset portfolio with almost no riskRij = -0.50理性投資人會依自己的風險偏好（效用無異曲線），在效率前緣上選擇其最佳的投資組合。總風險(%)預期報酬率()效率前緣AIBFAIBFU1U2U3U1圖5-4 選擇投資組合I可滿足投資效率與效用極大的

18、條件0不同的投資人由於風險迴避程度的差異，即使面對相同的效率前緣，也不一定會有相同的投資組合。預期報酬率()總風險(%)效率前緣AIBFU甲U乙AIBF圖5-5 不同風險迴避程度的投資人，會選擇不同的投資組合0資本市場與無風險資產存在時的投資組合選擇資本市場理論是在下列情況成立下才能存在所有投資者對未來皆有相同之預期。所有投資者之投資期間皆相同，皆為單期。所有投資者可以無風險利率進行無限借貸。資本市場無交易成本存在無政府課稅所造成之報酬型態偏好。無通貨膨脹。任何投資者無法透過個別交易行為而影響市場。資本市場是均衡的。資本市場與無風險資產存在時的投資組合選擇效率前緣形成後，引入資本市場，投資者可

19、選擇投資具風險之投資組合或無風險資產，投資者亦可在此資本市場中以無風險利率無限借與貸。故投資者可以現有資金投資效率前緣上之任一有效率之具風險的投資組合或投資在無風險之資產(即以無風險利率貸款給資本市場)，或可以風險利率向資本市場借款並與自有資金全部投資在具風險之最佳投資組合。此具風險之投資組合與無風險資產已不同權重結合形成之投資組合可形成一直線稱為資本市場線 (Capital Market line, CML)。預期報酬率()總風險(%)原效率前緣MRXRfA2B2A1B1加入資本市場與無風險資產後，投資人可在更有效率的新效率前緣(RfMB2)選擇效用較高的投資組合。圖5-6 資本市場與無風險

20、資產存在時的投資組合選擇N2N1資本市場線Capital market Line (CML)有風險投資組合與無風險資產結合的投資組合RFRM資本市場線Capital market Line (CML)以無風險利率借款以無風險利率貸款即席思考如果僅從風險偏好來作投資決策，或許太狹隘了些，而您會考慮哪些風險以外的因素呢？當考慮了這些因素之後，本節的推論是否會有所改變呢？無風險資產可能存在嗎？您覺得哪些資產可能是無風險或接近無風險狀態的？試著列舉看看，並說明其之所以無風險的原因。資本市場線上之新投資組合資本市場線 (Capital Market line, CML)資本市場線 (Capital Ma

21、rket line, CML)在無風險利率固定下，其斜率無法改變。投資者可隨自己之風險偏好，而調整風險資產與無風險資產之權重。資本市場線(CML)資本市場線之斜率為rp =rRF +SlopeInterceptp.rM - rRFM Risk measureThe CML Equation資本市場線上之新投資組合投資者可藉由結合無風險資產與原效率前緣上切點之投資組合形成一資本市場線(CML)，以提高投資效用。總風險(%)預期報酬率()原效率前緣MRXRfA2B2A1B1資本市場線 (CML)資本資產定價模式(Capital Asset Pricing Model, CAPM)在1960年代，由

22、Sharpe, Trenyor, and Mossin 提出CAPM之假設無風險利率借貸是允許且公平的證券具有無限分割之特性資訊取得無成本及延遲性無交易成本及稅負存在 (以上條件皆符合者稱為完全市場(Perfect Market)投資者是理性的投資者皆以標準差和預期報酬率來衡量其相同單一期間的投資績效投資者對於所有投資風險與報酬皆有相同之認知資本資產定價模式(Capital Asset Pricing Model, CAPM)資產之預期報酬率乃由風險因子所影響，風險因子可主要分成系統風險及非系統風險兩大類。非系統風險可藉由多角化來分散此風險，以達到投資效率，所以一位持有多角化效率投資組合的投資

23、者，以將分系統風險分散掉，只需觀察整體市場波動所造成之系統風險。所以每一投資者，在市場提供機會可多角化投資分散非系統風險的前提下，市場補償投資者之報酬率為投資所冒之系統風險。CAPM之內涵 -當證券市場達成均衡時，在一個已有效多角化並達成投資效率的投資組合中，個別資本資產的預期報酬率與所承擔的風險之間的關係。資本資產定價模式(Capital Asset Pricing Model, CAPM)由資本市場線(CML)闡述之投資組合預期報酬率與總風險之關係，而衍伸成單一資產報酬率與系統風險關係之証券市場線(Security Market line, SML)資本資產定價模式(Capital Ass

24、et Pricing Model, CAPM)CAPM所闡明的風險報酬關係如下：係數是市場報酬變動時，個別資產之預期報酬率同時發生變動的程度，也就是系統風險。風險溢酬風險溢酬(Risk Premium)由CAPM公式中，(RM-Rrf)為市場風險溢酬(Market Risk Premium)。市場風險溢酬表示証券市場為補償投資人承擔系統風險所提供之報酬，此溢酬可顯示市場風險迴避之程度；如市場風險溢酬越大，表示市場投資人對風險之趨避程度越高。風險溢酬bi(RM-Rrf)表示該資產在相當於bi程度之系統風險下，應提供較市場平均溢酬(RM-Rrf)較高或較低比例之額外溢酬圖5-8 CAPM的圖形化:

25、證券市場線證券的預期報酬率E(Ri)=Rf+(RmRf)(Rm Rf)0在CAPM成立前提下，非系統風險因多角化而分散，個別證券的報酬來自無風險報酬，以及用來衡量個別證券報酬。受系統風險影響的系統風險報酬。RfE(Ri)證券市場線(SML)在證券市場線(SML)上的任一點，分別代表不同系統風險下的個別證券所應得之報酬率，此報酬率稱為必要報酬率(Required Rate of Return)。若預期投資報酬率(Expected Rate of Return)不等於必要報酬率，兩者之利率差為超額報酬率(Excess Return)證券市場線(SML)SML .20 .40 .60 .801.20

26、 1.40 1.60 1.80-.40 -.20 .22 .20 .18 .16 .14 .12 Rm .10 .08 .06 .04 .02ABCDErM = 18%rM = 15%SML1原始証券市場線必要報酬率 (%)SML2風險趨避程度增加非系統風險,bi1815Rrf=81.0 RPM = 3%証券市場線變動之意義Rrf=10SML3零風險利率增加(通膨增加)CAPM之潛在問題 b 之穩定性SML之斜率-實證結果顯示SML之斜率比理論值低，故假設中市場不補償非系統風險是可質疑的市場投資組合假設中市場投資組合乃包含所有可交易資產，但現實生活中並無此指數套利訂價理論(Arbitrage

27、Pricing Theory, APT)在1976年由Steven Ross所提出基本理念 個別證券的預期報酬率在市場均衡時事由無風險利率與風險溢酬所組成，並且預期報酬率會與多個因子”共同”存在線性關係，所以也被稱為多因子模型(Multi-factors model)ri = rRF + (r1 - rRF)b1 + (r2 - rRF)b2 + . + (rj - rRF)bj.套利訂價理論(Arbitrage Pricing Theory, APT)這多個因子可包括工業活動產值水準、通貨膨脹率、長短期利率差額、及高風險與低風險公司債報酬率之差額等因子，但在模型中，並無確切指定之因子。CAP

28、M與APT的啟示的概念CAPM的內涵證券市場線套利訂價理論的概念(1/2)市場投資組合包含證券市場上所有資產的投資組合，並以每個資產的總市值占市場總值的比例組成權數。 表示市場報酬變動時，個別資產之預期報酬率同時發生變動的程度，即投資該資產所必須承擔的系統風險。的概念(2/2)值等於1時，表示當市場的報酬變動1%，對應資產的報酬也會變動1%；當值大（小）於1時，市場報酬變動為1%，對應資產的報酬將有超過（少於）1%的反應。表5-7 的求算簡例CAPM的內涵當證券市場達成均衡時，在一個已有效多角化並達成投資效率的投資組合中，個別資本資產的預期報酬率與所承擔的風險之間的關係。CAPM所闡明的風險報

29、酬關係如下：說明在合理的均衡狀況下，個別證券的預期報酬只包括無風險報酬和對應於市場風險的風險溢酬。圖5-9 CAPM的圖形化：證券市場線證券市場線的內涵代表投資個別證券的必要報酬率證券市場線是證券市場供需運作的結果證券市場線變動的意義證券市場線套利訂價理論(1/2)套利訂價理論的基本理念個別證券的預期報酬率在市場 均衡時是由無風險利率與風險 溢酬所組成，並且預期報酬率 會與多個因子共同存在線 性關係。工業活動的產值水準通貨膨脹率長短期利率的差額高風險與低風險公司債報酬率的差額套利訂價理論(2/2)市場均衡必須透過反覆的套利行為來達成，而這將促使投資人不斷地尋找價值失真的證券來套利，直到所有的套

30、利機會都消失為止。 APT方程式：APT與CAPM的比較(1/2)兩者皆主張在市場達成均衡時，個別證券的預期報酬率可由無風險報酬率加上風險溢酬來決定之。CAPM純粹從市場投資組合的觀點來探討風險與報酬的關係，認為經濟體系中全面性的變動（即市場風險）才是影響個別證券預期報酬率的主要且唯一因素；APT認為不止一個經濟因子會對個別證券的報酬產生影響。 APT與CAPM的比較(2/2)CAPM使用上只能借助單一股價指數來評估市場風險及報酬；APT由於不需要市場投資組合（但亦可視為因子之），故只要設定數個有效的經濟因子加入模式中，配合實際資料進行統計運算，即可求出個別證券預期報酬率的估計式並作為預測之用

31、。APT不足之處在於未說明哪些因子攸關著證券的預期報酬率。即席思考CAPM與APT，您比較相信哪一個？請說出答案與理由。Fama-French 3-Factor ModelFama and French 提出三個因子:市場風險溢酬, rM-rRF.由小公司證券組成之投資組合報酬率(S)減去由大公司證券組成之投資組合報酬率(B)之利差。此利差為rSMB。高帳面對市值比率投資組合報酬率(H)減去低帳面對市值比率投資組合報酬率(L)之利差。此利差為rHML。ri = rRF + (rM - rRF)bi + (rSMB)ci + (rHMB)dibi = sensitivity of Stock i

32、 to the market return.cj = sensitivity of Stock i to the size factor.dj = sensitivity of Stock i to the book-to-market factor.Fama-French 3-Factor ModelKenneth R. French - Data LibraryCurrent Benchmark ReturnsCurrent Benchmark ReturnsSep.2005 Last 3Months Last 12Months Fama/French Benchmark FactorsRm-RfSMBHML0.81-0.650.484.031.080.8012.863.667.25Fama/French Benchmark PortfoliosSmall ValueSmall NeutralSmall Growth Big ValueBig NeutralBig Growth-0.290.920.831.981.53-0.094.546.435.476.083.563.5520.5720.9