1、專題九 解三角形及其應(yīng)用一、單選題1設(shè)的內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，若，則的值為（ ）ABCD【答案】A【分析】直接運(yùn)用正弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】由正弦定理可知：，故選：A2AB6CD【答案】A【分析】由余弦定理可得，由正弦定理可得，解得和的值，再由即可得解【詳解】，.解得：，的面積為.故選：A.3已知的面積是（其中b，c為的邊長(zhǎng)），則的形狀為（ ）A等邊三角形B是直角三角形但不是等腰三角形C是等腰三角形但不是直角三角形D等腰直角三角形【答案】D【分析】利用三角形的面積公式化簡(jiǎn)已知條件，結(jié)合基本不等式判斷出三角形的形狀.【詳解】依題意的面積是，則，由于，所以，由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立

2、，所以，三角形是等腰直角三角形.故選：D4在中，內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，若，則（ ）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)條件，由正弦定理得，可令，再利用余弦定理求解.【詳解】由正弦定理：得又因?yàn)椋粤钏怨蔬x：D.5如圖是公元前約400年古希臘數(shù)學(xué)家泰特托斯用來(lái)構(gòu)造無(wú)理數(shù)，的圖形之一，此圖形中的余弦值是（ ）ABCD【答案】C【分析】在BCD中，利用余弦定理求出,再在BAD中，利用余弦定理求出的余弦值.【詳解】在ABC中，,在BCD中，在BAD中，.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解三角形需要三個(gè)條件，且至少有一個(gè)為邊，對(duì)于未知的元素可以放到其它三角形中去求解.6如圖，是半徑為1的圓周上的點(diǎn)，且，則圖中陰

3、影區(qū)域的面積為（ ）ABCD【答案】A【分析】設(shè)圓心為O，連接OA，OB，OC，BC，易得，在中，求得，然后在中，利用余弦定理結(jié)合，求得，然后由圖中陰影區(qū)域的面積為求解.【詳解】如圖所示：設(shè)圓心為O，連接OA，OB，OC，BC，因?yàn)椋裕谥校捎嘞叶ɡ淼茫驗(yàn)椋裕獾茫裕刃蜲BC的面積為：所以圖中陰影區(qū)域的面積為，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是由，分別求得，進(jìn)而求得而得解.7在中，內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，且，設(shè)是的中點(diǎn)，若，則面積的最大值是（ ）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)正弦定理、余弦定理、平面向量的加法的幾何意義，結(jié)合三角形的面積公式、重要不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】

4、所以，由余弦定理可知：，因此有，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以有，平方得：，因?yàn)椋裕蔬x：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：由是的中點(diǎn)得到是解題的關(guān)鍵.8在中，已知，的面積為2，則邊的長(zhǎng)有（ ）A最大值B最小值C最大值2D最小值2【答案】D【分析】設(shè)，則由已知條件可得，從而可得，再結(jié)合求得，由余弦定理可得，再結(jié)合基本不等式可得答案【詳解】解：設(shè)，因?yàn)椋裕驗(yàn)榈拿娣e為2，所以，即，所以，得，且，因?yàn)椋獾茫裕杂捎嘞叶ɡ淼茫裕驗(yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以，所以的最小值為2，無(wú)最大值，即的最小值為2，無(wú)最大值，故選：D9在中，角、的對(duì)邊分別為、，若，則角（ ）ABCD【答案】B【分析】由正弦定理結(jié)合已

5、知條件可得出，再利用余弦定理求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值.【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫裕捎嘞叶ɡ砜傻茫虼耍?故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解三角形的問(wèn)題中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問(wèn)題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要

6、用到三角形的內(nèi)角和定理.10已知內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，則形狀一定是（ ）A等腰直角三角形B等邊三角形C等腰三角形D直角三角形【答案】D【分析】由余弦定理化簡(jiǎn)可得，即可判斷.【詳解】，余弦定理可得，則，則，所以為直角三角形.故選：D.11的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c若, 則c等于（ ）A1BCD2【答案】D【分析】計(jì)算，再利用正弦定理計(jì)算得到答案.【詳解】由已知得，根據(jù)正弦定理： ，故.故選：D.12在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若ccosA+acosC=2，AC邊上的高為，則ABC的最大值為（ ）ABCD【答案】B【分析】由余弦定理可求得，再由等面積關(guān)系可得，利

7、用余弦定理結(jié)合基本不等式得出，即可求得，再結(jié)合的范圍即可得出結(jié)論.【詳解】，由余弦定理可得，整理可得，又AC邊上的高為，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，即，即，則，故ABC的最大值為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查余弦定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是等面積關(guān)系得，由基本不等式得.二、多選題13已知的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，若滿足條件的有兩個(gè)，則的值可以是（ ）ABCD【答案】BC【分析】在中，由余弦定理建立起關(guān)于c的一元二次方程，利用這個(gè)方程有二不等的正根求出m的范圍即可得解.【詳解】在中，由余弦定理得：，即，依題意，關(guān)于c的一元二次方程有兩個(gè)不等的正根，所以，并且，而m0，則，取或，選項(xiàng)B，C符合條件

8、.故選：BC14在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，給出下列命題，其中正確的命題為（ ）A若，則；B若，則滿足條件的有兩個(gè)；C若，則是鈍角三角形；D存在角A，B，C，使得成立；【答案】ABC【分析】A.利用正弦定理判斷該選項(xiàng)正確；B. 由于，因此滿足條件的有兩個(gè)，所以該選項(xiàng)正確；C. 可以證明， 是鈍角三角形，所以該選項(xiàng)正確；D. 可以證明，所以該選項(xiàng)不正確.【詳解】A.若，由正弦定理可得：，則，所以該選項(xiàng)正確；B. 若，則，因此滿足條件的有兩個(gè)，所以該選項(xiàng)正確；C. 若，則，是鈍角三角形，所以該選項(xiàng)正確；D. 由于當(dāng)時(shí)，所以該選項(xiàng)不正確.故選：ABC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是

9、靈活利用和角的正切公式，只有靈活運(yùn)用該公式才能簡(jiǎn)潔高效地判斷后面兩個(gè)選項(xiàng)的真假.第II卷（非選擇題）三、解答題15從，這三個(gè)條件中，任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并解答.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，_，求的面積.(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分)【答案】答案見解析.【分析】先化簡(jiǎn)已知條件得，若選擇，結(jié)合余弦定理解出，利用面積公式計(jì)算即可；若選擇，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解出，結(jié)合正弦定理解出邊，再利用余弦定理解出邊，利用面積公式計(jì)算即可；若選擇，先利用余弦定理解出邊，再利用面積公式計(jì)算即可.【詳解】解：由正弦定理得，.，.，即，故.若選擇：由余弦定理得，整理得，即，解

10、得，；若選擇：根據(jù)題意得，解得，在中，由正弦定理得，即，解得，由余弦定理得，整理得，即，解得(舍去)，；若選擇：在中，由余弦定理得，即，化簡(jiǎn)為，解得(舍去)，.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：一般地，解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地根據(jù)已知條件判斷用哪個(gè)定理更合適. 如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時(shí)，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理.16已知銳角中，角，的對(duì)邊分別為，且滿足.（1）求角的大小；（2）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)得，進(jìn)而求得，即可求解；（2）由（1）得到，根據(jù)三角恒等變換的公式，化簡(jiǎn)，進(jìn)而得到，得到的范圍，

11、即可求解.【詳解】（1）在中，由，利用正弦定理得，所以，即，因?yàn)椋傻茫裕忠驗(yàn)椋?（2）由（1）知，可得，可得，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，且，所以，所以故的取值范圍為.17已知在中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，（1）求角C的大小；（2）若，求的值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理將轉(zhuǎn)化為，化簡(jiǎn)后結(jié)合余弦定理可得，從而可求出角C的大小；（2）由正弦定理將轉(zhuǎn)化為，再由可得，從而可求出的值，進(jìn)而可求得的值【詳解】（1）由正弦定理得，即，又；（2）由正弦定理得， ，即， 18函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期并求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值和最小值；（2）已知的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，

12、若，且，求的面積.【答案】（1），最大值為1，最小值為；（2）.【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式、正弦的二倍角公式、余弦誘導(dǎo)公式，結(jié)合輔助角公式、正弦型函數(shù)的最小正周期公式、單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合正弦定理、余弦定理、三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），函數(shù)的最小正周期；因?yàn)樗裕驗(yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以，所以函數(shù)的最大值為1，最小值為；（2），.，即，由正弦定理以及，可得，由余弦定理可得，可得，.19若是奇函數(shù)，求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；（）設(shè)，中，內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，.若，且的面積，求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（），；（）.【分析】（）根據(jù)

13、奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合正弦型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（）根據(jù)輔助角公式，結(jié)合特殊角的正弦函數(shù)值、三角形面積公式、正弦定理、正弦型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（）由題意知，得，下面對(duì)進(jìn)行檢驗(yàn)：若，則，對(duì)任意都有，是奇函數(shù)，.又因?yàn)椋桑缘茫膯握{(diào)遞增區(qū)間為，.（）當(dāng)時(shí)，；得，由，的周長(zhǎng)為： 的周長(zhǎng)的取值范圍為.20在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知（I）求A；（）設(shè)D是線段的中點(diǎn)，若，求a【答案】（I）；（）【分析】（I）先由正弦定理，將所給條件化為，再由余弦定理，即可得出結(jié)果；（）根據(jù)題中條件，得到，推出，再由余弦定理得到，兩式聯(lián)立求出，進(jìn)而可求出.【詳解】（I）根據(jù)正弦定

14、理，由可得，即，由余弦定理可得，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以；（）因?yàn)镈是線段的中點(diǎn)，所以，則，所以，即，整理得；又，所以，解得或（舍），因此，所以【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解三角形中的邊長(zhǎng)或面積等問(wèn)題時(shí)，一般需要根據(jù)正弦定理，或余弦定理，將題中條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得出對(duì)應(yīng)的方程求解即可.21在中，角所對(duì)的邊分別為，已知.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先求出，然后由得到，然后結(jié)合平方關(guān)系可得答案；（2）首先求出，然后利用正弦定理求解即可.【詳解】（1）因?yàn)椋裕驗(yàn)樗裕矗匆驗(yàn)椋钥山獾茫?）因?yàn)椋?2的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）設(shè)，延長(zhǎng)到點(diǎn)

15、使，求的面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理可得，進(jìn)而得，從而得解；（2）根據(jù)正弦定理解得，再根據(jù)同角關(guān)系和，得，再由可得解.【詳解】（1）.由正弦定理，可得，可得：，可得：，化簡(jiǎn)可得：，.（2）由，可得，可得，所以，可得.23在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，（1）求A；（2）若，求的面積的最大值【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)題中條件的特點(diǎn)，將余弦轉(zhuǎn)化為正弦，利用正弦定理轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,b,c的式子，用余弦定理求解即可.（2）結(jié)合以及，題目求的是面積的最大值，想到求bc的最大值，利用余弦定理及基本不等式求解.【詳解】（1）由已知得：，由余弦定理得：（2）由

16、余弦定理得：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立面積最大值為.【點(diǎn)睛】（1）觀察式子的特點(diǎn)，對(duì)正弦、余弦定理的特點(diǎn)要比較熟練.（2）注意題目的問(wèn)題是面積的最大值，故聯(lián)想基本不等式，余弦定理等知識(shí)點(diǎn).24在中，角，的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件和利用正弦定理，化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而求得的大小.（2）由余弦定理得到，結(jié)合基本不等式，求得，利用面積公式，即可求解.【詳解】（1）由題意，在中，滿足，利用正弦定理得，即，即，可得，因?yàn)椋傻茫裕矗忠驗(yàn)椋?（2）在中，由余弦定理，可得，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的面積，所以面積的最大

17、值為.【點(diǎn)睛】對(duì)于解三角形問(wèn)題的常見解題策略：對(duì)于解三角形問(wèn)題，通常利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用正、余弦定理解三角形問(wèn)題是高考高頻考點(diǎn)，同時(shí)注意三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式在解題中的應(yīng)用.25在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求角A的大小；（2）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理求出，又，即可求出A；（2）由余弦定理及三角形內(nèi)角和定理把原文太轉(zhuǎn)化為求在上的范圍，利用三角函數(shù)即可求解.【詳解】（1）由，結(jié)合正弦定理可得：整理得：，即又，所以，又，故.（2）由余弦定理知：，再結(jié)合內(nèi)角和定理：從而又

18、因?yàn)椋剩瑥亩吹娜≈捣秶鸀?【點(diǎn)睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”；求最值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值.26已知的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，且.（1）若，求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)兩角差的正切公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式、正弦定理進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)正弦定理、兩角和的正弦公式，結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），則，又，.，.又，故.（2），即，則.，故.27在，的面積為，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的

19、問(wèn)題中，并加以解答（如果選擇多個(gè)條件作答，則按所選的第一個(gè)條件給分）已知的內(nèi)角，所對(duì)的邊分別是，且_（1）求角的大小；（2）若且，求的面積【答案】條件選擇見解析（1）；（2）【分析】（1）分別選擇，根據(jù)正弦定理、余弦定理和三角恒等變換即可求出角；（2）運(yùn)用正弦定理求出，再根據(jù)三角形面積公式即可求出.【詳解】（1）若選條件，則，即，所以，又因?yàn)椋裕?）若選條件的面積為，則，即，所以，又因?yàn)椋裕?）若選條件，則，即，即，所以，又因?yàn)椋裕?）因?yàn)椋裕裕忠驗(yàn)椋裕拿娣e為【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：（1）在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系；（2）題中若出

20、現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理；（3）應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用；（4）解決三角形問(wèn)題時(shí)，注意角的限制范圍.28已知的三個(gè)內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，滿足（1）求；（2）若，角的角平分線交邊于點(diǎn)，求的長(zhǎng)【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理將邊化為角，即可化簡(jiǎn)得出答案.（2）利用角的余弦定理求出邊，根據(jù)為角的平分線可求出，再在中利用一個(gè)正弦定理即可求出答案.【詳解】（1）由正弦定理得，即故.（2）中，由余弦定理得，即.解得或（舍去）中，由是的角平分線，得，則.由正弦定理得，解得.【點(diǎn)睛】本題考查利用正余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.熟練掌握正余弦

21、定理及其使用是解本題的關(guān)鍵.本類題型常用結(jié)論：在三角形中有：,.29在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且2b-c=2acosC（1）求A；（2）若ABC的面積，求a的取值范圍【答案】（1）；（2）【分析】（1）由2b-c=2acosC，利用余弦定理化簡(jiǎn)得到b2+c2-a2=bc，然后利用余弦定理求解；（2）根據(jù)ABC的面積結(jié)合（1）求得bc，再利用余弦定理結(jié)合基本不等式求解.【詳解】（1）2b-c=2acosC，化簡(jiǎn)得b2+c2-a2=bc，由余弦定理知，（2）ABC的面積，即bc=16，由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=4時(shí)，等號(hào)成立，a4，故a的取值范圍為30若，求；（2）若，求的

22、值【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用三角形的面積比列方程，化簡(jiǎn)求得.（2）設(shè)，求得，利用余弦定理列方程，求得，從而求得.【詳解】（1）設(shè)邊上的高為h，而，.（2）設(shè)，則，在中，由余弦定理得：，.31在中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知（1）求角A；（2）若，求BC邊上的中線AD長(zhǎng)度的取值范圍【答案】（1）；（2）【分析】（1）由正弦定理化邊為角，化簡(jiǎn)可得，即可求出；（2）由余弦定理可得，結(jié)合基本不等式可求出，再由余弦定理可得，即可求出范圍.【詳解】（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻靡驗(yàn)椋裕矗矗从郑裕?）由（1）得，所以因?yàn)椋杂苫静坏仁娇傻茫裕试O(shè)，則，所

23、以，所以，所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查正余弦定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是化邊為角得出，由余弦定理結(jié)合基本不等式得出.32的內(nèi)角的對(duì)邊分別為且邊上的中線（1）求的值；（2）在；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.問(wèn)題：若_，則是否存在？若存在，請(qǐng)求出的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）；（2）答案見解析.【分析】（1）化簡(jiǎn)可得可求解；（2）利用結(jié)合余弦定理可得.選，由基本不等式得出，再由余弦定理可求出可判斷；選，余弦定理可得，即可求出面積；選余弦定理可得，即可求出面積.【詳解】解：（1）因?yàn)椋裕?）因?yàn)椋裕裕贿x當(dāng)時(shí)，當(dāng)

24、且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立；由余弦定理，得到，所以解得與矛盾，此時(shí)不存在.選當(dāng)，則即，選當(dāng)，則即，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查數(shù)量積的運(yùn)算，考查余弦定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用結(jié)合余弦定理可得.33的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.（1）若，求；（2）當(dāng)A取得最大值時(shí)，求的面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理求得的值，由此求得的值.（2）利用余弦定理求得，結(jié)合基本不等式求得的最大值，由此求得此時(shí)的面積.【詳解】（1）由正弦定理，得，解得所以.（2）由余弦定理得.因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，則，則A的最大值為.此時(shí)，的面積.34已知的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，且（1）求；（

25、2）若，求的取值范圍【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理與余弦定理將題中所給條件化簡(jiǎn)整理，即可求出，從而可得角；（2）先由題中條件，得到，再由正弦定理將所求式子化為，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由條件與正弦定理可得，即，由余弦定理得，所以，即由得，（2）由可知，由正弦定理可知，又知，所以，所以，故的取值范圍為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解三角形中有關(guān)邊長(zhǎng)、角、面積的最值（范圍）問(wèn)題時(shí)，常利用正弦定理、余弦定理與三角形面積公式，建立，之間的等量關(guān)系與不等關(guān)系，然后利用函數(shù)或基本不等式求解.35如圖在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若（1）求角；（2）若在線段上存在一點(diǎn)，使得，

26、為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，求的面積【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理角化邊可得余弦定理形式，得到，由此求得，根據(jù)的范圍可求得結(jié)果；（2）由長(zhǎng)度關(guān)系可求得，從而得到，在中利用余弦定理可求得，由正弦定理求得；在中，利用正弦定理求得，由三角形面積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理知：，即，；（2）在中，在中，由余弦定理知：，由正弦定理知：，即，為銳角，在中，由正弦定理知：，即，的面積.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，解題關(guān)鍵是能夠?qū)⑺璧木€段放入三角形中，利用正余弦定理求得所需的線段長(zhǎng)度和角度.36在中，為邊上一點(diǎn)，且（1）求；（2）若，求【答案】（1）；（2）【分析】（1

27、）在中，由余弦定理，即可求.（2）在中，由正弦定理，即可求.【詳解】（1）在中，由余弦定理得：，（2）在中，由正弦定理得：，即，37的內(nèi)角、所對(duì)的邊分別為、.已知，.（1）若，求；（2）若，求的面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理求得的值，利用二倍角的余弦公式可求得的值；（2）利用余弦定理求出值，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出的值，再利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】（1）由正弦定理可得，所以，因此，；（2）由余弦定理可得，則為銳角，所以，因此，的面積為.38在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，（1）求B；（2）若，求的面積【答案】（1）；（2）【分析】（1）

28、利用正弦定理以及三角恒等變換公式變形可得，即，根據(jù)角的范圍可得結(jié)果；（2）由結(jié)合余弦定理可得，再根據(jù)三角形的面積公式可求出結(jié)果.【詳解】（1）由得由正弦定理得，即，在中，即，（2）由余弦定理得，即，又，即由（1）知，又，面積39若函數(shù)，的角，的對(duì)邊分別為，且.（1）當(dāng)取最大值時(shí)，判斷的形狀；（2）在中，為邊的中點(diǎn)，且，求的長(zhǎng).【答案】（1）是等邊三角形；（2）.【分析】（1）化簡(jiǎn)，由求得，根據(jù)正弦定理得到，從而判斷取最大值時(shí)，B的取值，從而判斷三角形形狀；（2）取邊的中點(diǎn)，在中，由余弦定理求得，從而在中由余弦定理求得.【詳解】解：因?yàn)樗杂傻茫驗(yàn)椋裕裕?）因?yàn)椋裕援?dāng)時(shí)，取最

29、大值，此時(shí)，所以，所以是等邊三角形；（2）解：取邊的中點(diǎn)，連接，則，且，在中，由余弦定理得解得，所以在中由余弦定理得【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，根據(jù)三角函數(shù)的最值情況來(lái)求得原表達(dá)式的最值，從而判斷三角形形狀；利用余弦定理解得三角形各邊長(zhǎng).40在中，內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，是1和的等差中項(xiàng)（1）求角；（2）若的平分線交于點(diǎn)，且，求的面積【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)是1和的等差中項(xiàng)得到，再利用正弦定理結(jié)合商數(shù)關(guān)系，兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)得到求解；（2）由和求得b，c的關(guān)系，再結(jié)合余弦定理求解即可.【詳解】（1）由已知得，在中，由正弦定理得，化簡(jiǎn)得，因?yàn)椋裕裕唬?

30、）由正弦定理得，又，即，由余弦定理得，所以，所以【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更適合，或是兩個(gè)定理都要用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到41已知的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，面積為，且（1）求角的大小；（2）若，求的面積【答案】（1）；（2）【分析】（1）由余弦定理及面積公式求出，利用正切求角C（2）利用余弦定理求出，套用面積公式求面積.【詳解】解：（1）由題意知，即，整理得，即，即又由，所以（2

31、），【點(diǎn)睛】在解三角形中，選擇用正弦定理或余弦定理，可以從兩方面思考：(1)從題目給出的條件，邊角關(guān)系來(lái)選擇；(2)從式子結(jié)構(gòu)來(lái)選擇42在中，角，所對(duì)的邊分別為，其外接圓半徑為，已知（1）求角；（2）若邊的長(zhǎng)是該邊上高的倍，求【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再利用余弦定理計(jì)算可得；（2）記邊上的高為，不妨設(shè)，即可求出，再利用余弦定理求出，在中，記，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出，最后根據(jù)，利用兩角和的余弦公式計(jì)算可得；【詳解】解：（1）由已知條件，所以，所以所以，由余弦定理可得，而，于是（2）記邊上的高為，不妨設(shè)，則，所以，由余弦定理得，在中，記，則，所以43如圖，是底部不可到

32、達(dá)的一個(gè)建筑物，為建筑物的最高點(diǎn)某學(xué)習(xí)小組準(zhǔn)備了三種工具：測(cè)角儀（可測(cè)量仰角與俯角）、米尺（可測(cè)量長(zhǎng)度)、量角器（可測(cè)量平面角度）（1）請(qǐng)你利用準(zhǔn)備好的工具（可不全使用），設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度的方法，并給出測(cè)量報(bào)告；注：測(cè)量報(bào)告中包括你使用的工具，測(cè)量方法的文字說(shuō)明與圖形說(shuō)明，所使用的字母和符號(hào)均需要解釋說(shuō)明，并給出你最后的計(jì)算公式（2）該學(xué)習(xí)小組利用你的測(cè)量方案進(jìn)行了實(shí)地測(cè)量，并將計(jì)算結(jié)果匯報(bào)給老師，發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果與該建筑物實(shí)際高度有誤差，請(qǐng)你針對(duì)誤差情況進(jìn)行說(shuō)明【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析【分析】（1）底部不可到達(dá)，因此可用解三角形思想求解，測(cè)量出相應(yīng)的線段長(zhǎng)和角度，然后由三

33、角形的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算我們選用解直角三角形，注意到測(cè)角儀的高度，構(gòu)建解析中的圖形，測(cè)量?jī)牲c(diǎn)處的仰角，長(zhǎng)，同時(shí)測(cè)得測(cè)角儀高度，然后解直角三角形可得（2）誤差產(chǎn)生的原因很多，如工具誤差，兩次測(cè)量時(shí)位置不完全一樣（每個(gè)數(shù)據(jù)都可能出現(xiàn)誤差）【詳解】（1）選用測(cè)角儀和米尺，如圖所示，選擇一條水平基線（如圖），使三點(diǎn)共線；在兩點(diǎn)用測(cè)角儀測(cè)得的仰角分別為，用米尺測(cè)量得，沒(méi)得測(cè)角儀的高為經(jīng)計(jì)算建筑物（或者寫成）（2）測(cè)量工具問(wèn)題；兩次測(cè)量時(shí)位置的間距差；用身高代替測(cè)角儀的高度【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解三角形的應(yīng)用，不可及測(cè)量問(wèn)題，可通過(guò)構(gòu)造三角形（最好是直角三角形），確定解此三角形所需要的元素，測(cè)了這些元素，

34、然后求解44在中，角，的對(duì)邊分別為，（1）求角的大小；（2）若，垂足為，且，求的最大值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)角的余弦定理化簡(jiǎn)原式，由此求解出的值，則的值可求；（2）根據(jù)三角形的面積公式可知，然后用表示出，再結(jié)合余弦定理以及基本不等式求解出的最大值.【詳解】（1）因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椋裕郧遥郧遥裕唬?）因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椋裕郑裕裕裕〉忍?hào)時(shí)，所以的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題第二問(wèn)的關(guān)鍵在于將三角形面積的兩種計(jì)算方法聯(lián)系在一起，將的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的最值問(wèn)題；本例中，除了可以利用正弦定理以及基本不等式求解的最大值，還可以通過(guò)余弦定理將化

35、為角的形式并借助三角恒等變換的公式完成求解.45求的值；（2）若，且的面積，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用余弦定理化簡(jiǎn)已知條件，求得的值，求得的值，進(jìn)而求得的值.（2）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，得到，結(jié)合三角形的面積公式求得.【詳解】（1）因?yàn)椋?因?yàn)椋?所以.（2）因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫?因?yàn)榈拿娣e為，即，所以.所以.46在，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求出的值；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由問(wèn)題：在中，角，的對(duì)邊分別為，已知，_注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分【答案】答案不唯一，具體見解析【分析】若選，則由正弦

36、定理可得，化簡(jiǎn)后可求出角或，再由求出，然后由可求出的值；若選，則由正弦定理得，即可得，再利用余弦定理可求得，從而可求出角，再由求出，然后由可求出的值；若選，由結(jié)合輔助角公式和基本不等式可得，則可求出，而利用基本不等式時(shí)有，從而可得三角形為等邊三角形，與相矛盾，則可得問(wèn)題中的三角形不存在【詳解】選：因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫裕裕裕郑曰颍椿蛞驗(yàn)椋援?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此的值為或選：因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫驗(yàn)椋裕裕驗(yàn)椋砸驗(yàn)椋裕裕虼说闹颠x：因?yàn)椋裕驗(yàn)椋谑牵矗磺遥矗⒁獾剑虼耍矗谑菫榈冗吶切危虼伺c相矛盾，故不存在【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查正弦定理和

37、余弦定理的應(yīng)用，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，從而可求出角的值，再結(jié)合三角函數(shù)恒等變換公式求出的值，考查計(jì)算能力，屬于中檔題47已知在中，（1）求邊的長(zhǎng)；（2）設(shè)為邊上一點(diǎn)，且的面積為，求【答案】（1）5；（2）【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理，將角轉(zhuǎn)化為角，化簡(jiǎn)已知條件求得角，然后求得角，利用等腰三角形求得的長(zhǎng).（2）利用三角形面積列方程，求得的值，利用余弦定理求得的值，利用正弦定理求得的值.【詳解】解：（1）由及，得，整理得，即，又，所以所以，即，所以（2）由，解得在，有余弦定理得，所以，在中，由正弦定理得，即，所以48的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別

38、是a，b，c已知（1）求角C的大小；（2）若，求的值【答案】(1) ；(2)【分析】(1)將等式化簡(jiǎn)，再利用正弦定理及余弦定理，即可求出角；(2)利用正弦定理求出，再根據(jù)，可知，進(jìn)而可根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，求出，再利用兩角差的余弦公式可求得答案.【詳解】(1)由化簡(jiǎn)， 得，由正弦定理，得，由余弦定理得，又，所以.(2)因?yàn)椋杂烧叶ɡ恚茫驗(yàn)椋裕裕运浴军c(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題在利用同角三角函數(shù)求時(shí)，需要注意利用大邊對(duì)大角確定角的范圍.49在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，求：（1）的值；（2）的面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)，利用正弦定理轉(zhuǎn)化為求解；（2）結(jié)合，利用

39、余弦定理得到，然后利用三角形面積公式求解.【詳解】（1），由正弦定理得，因此，.（2）由余弦定理可得，即，的面積.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：有關(guān)三角形面積問(wèn)題的求解方法：(1)靈活運(yùn)用正、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化；(2)合理運(yùn)用三角函數(shù)公式，如同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和與差的正弦、余弦公式、二倍角公式等50如圖，在中，D為AC邊上一點(diǎn)且，.（1）若，求的面積；（2）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）在中，利用正弦定理求得，進(jìn)而通過(guò)二角和差公式求出，再通過(guò)面積公式得到答案；（2）由正弦定理求出、的表達(dá)式，求出的代數(shù)式，在運(yùn)用角的關(guān)系和范圍求的取值范圍.【詳解】（1），在中，解得：，；（2）在中，得：，在中，得：，整理得：，故的取值范圍為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”；求三角形面積的最大值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是利