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文檔簡介

1、定積分換元法 上一節我們建立了積分學兩類基本問題之間聯系微積分基本公式，利用這個公式計算定積分關鍵是求出不定積分，而換元法和分部積分法是求不定積分兩種基本辦法，假如能把這兩種辦法直接應用到定積分計算，相信定能使得定積分計算簡化，下面我們就來建立定積分換元積分公式和分部積分公式。第1頁第1頁先來看一個例子例1換元求不定積分令則故第2頁第2頁為去掉根號令則 當 x 從0連續地增長到4時，t 相應地從1連續地增長到3于是嘗試一下直接換元求定積分第3頁第3頁將上例普通化就得到定積分換元積分公式 由此可見，定積分也能夠象不定積分一樣進行換元，所不同是不定積分換元時要回代原積分變量，而對定積分則只需將其上

2、、下限換成新變量上、下限即可計算出定積分，而無須回代原積分變量第4頁第4頁一、換元公式第5頁第5頁證第6頁第6頁第7頁第7頁應用換元公式時應注意:（1）（2）第8頁第8頁計算解1由定積分幾何意義等于圓周第一象限部分面積解2 故o例2第9頁第9頁令解4令仍可得到上述結果解3第10頁第10頁解令 例3 計算第11頁第11頁定積分換元積分公式也能夠反過來使用為以便計將換元公式左、右兩邊對調同時把 x 換成 t ， t 換成 x這闡明可用 引入新變量但須注意如明確引入新變量，則必須換限如沒有明確引入新變量，而只是把整體視為新變量，則不必換限注第12頁第12頁例4 計算解第13頁第13頁例5 計算解原式

3、第14頁第14頁例6 計算解一令原式第15頁第15頁解二接解一對令則第16頁第16頁證第17頁第17頁即： 奇函數在對稱區間上積分等于0 偶函數在對稱區間上積分等于對稱 部分區間上積分兩倍 由定積分幾何意義，這個結論也是比較明顯第18頁第18頁例8 計算解原式偶函數奇函數四分之一單位圓面積第19頁第19頁第20頁第20頁（1）設（2）設證第21頁第21頁第22頁第22頁另證 將上式改寫為奇函數第23頁第23頁例10 設 f(x) 是以L為周期連續函數，證實證實與 a 值無關第24頁第24頁例11 設 f(x) 連續，常數 a 0 證實證實比較等式兩邊被積函數知，第25頁第25頁第26頁第26頁例12 設 f ( x ) 連續解第27頁第27頁第28頁第28頁第29頁第29頁定積分換元法幾種特殊積分、定積分幾種等式 二、小結第30頁第30頁思考題解令第31頁第31頁 思考題解答計算中第二步是錯誤.正確解法是第32頁第

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