1、名師精編 優秀教案第一章 解斜三角形111 正弦定理（一）教學目標1學問與技能 : 通過對任意三角形邊長和角度關系的探究,把握正弦定理的內容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內角和定懂得斜三角形中的一類簡潔問題2. 過程與方法 : 讓同學從已有的幾何學問動身, 共同探究在任意三角形中,邊與其對角的關系,引導同學通過觀看,推導,比較,由特別到一般歸納出正弦定理,并進行定理基本應用 的實踐操作；3情態與價值：培育同學在方程思想指導下處懂得三角形問題的運算才能；培育同學合情 推理探究數學規律的數學思思想才能,通過三角形函數、正弦定理、 向量的數量積等學問間 的聯系來表達事物之間的普遍聯系與辯證統一

2、；（二）教學重、難點 重點：正弦定理的探究和證明及其基本應用；難點：正弦定理的推導即懂得（三）學法與教學用具學法：引導同學第一從直角三角形中揭示邊角關系：aAbBcC,接著就一般斜sinsinsin三角形進行探究,發覺也有這一關系；分別利用傳統證法和向量證法對正弦定理進行推導,讓同學發覺向量學問的簡捷,新奇；教學用具：直尺、投影儀、運算器（四）教學過程 1 創設情形 如圖 11-1 ,固定 ABC的邊 CB及 B,使邊 AC圍著頂點 C轉動； A 摸索：C的大小與它的對邊 AB的長度之間有怎樣的數量關系？明顯,邊 AB的長度隨著其對角C的大小的增大而增大；能否用一個等式把這種關系精確地表示出來

3、？ C B 2 探究爭論 圖 11-1在中學, 我們已學過如何解直角三角形,下面就第一來探討直角三角形中,角與邊的等式關系；如圖 11-2 ,在 Rt ABC中,設 BC=a,AC=b,AB=c, 依據銳角三角函數中正弦函數的定義,有 a c sin A,b c sin B,又 sin C 1 c c, A 就 sin a A sin b B sin c C c b c 從而在直角三角形 ABC中,sin a A sin b B sin c C C a B 圖 11-2 摸索：那么對于任意的三角形,以上關系式是否仍舊成立？（由同學爭論、分析）可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情形：如圖 11-3

4、 ,當名師精編優秀教案ABC是銳角三角形時,設邊AB上的高是 CD,依據任意角三角函數的定義,有 CD= sinBb sinA, 就aAbB, C 圖 11-3 sinsin同理可得cCbB, b a sinsin從而aAbBc sinC A c B sinsin 摸索：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題,這個問題；（證法二）：過點 A 作 j AC, C 由向量的加法可得 AB AC CB從而可以考慮用向量來爭論就jABjAC CB A B 同理,過點C作 j jABjAC jCBjj ABcos 900A0j CBcos 900CcsinAasina C ,即 sinAcsi

5、nCBC ,可得bBcsinsinC從而 類似可推出,當abcsinAsinBsinCABC是鈍角三角形時,以上關系式仍舊成立；（由同學課后自己推導）從上面的研探過程,可得以下定理 正弦定理： 在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等,即aAbBcCsinsinsin 懂得定理 （1）正弦定理說明同一三角形中,邊與其對角的正弦成正比,且比例系數為同一正數,即存在正數 k 使aksinA,bksinB ,cksinC ；CbBa, sinAcC（2）aAbcCa 等價于 sinAbBc, sinsinsinBsinsinsinsin從而知正弦定理的基本作用為：已知三角形的任意兩角及其一邊可以

6、求其他邊,如absinA B；sin已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值,如sinAasinB；b一般地,已知三角形的某些邊和角,求其他的邊和角的過程叫作解三角形 ；名師精編 優秀教案3 例題分析 例 1在ABC 中,已知A0 32.0,B0 81.8,a42.9cm,解三角形；解：依據三角形內角和定理,C0 180AB0 81.8 0 1800 32.0066.2 ；依據正弦定理,basinB42.9sin81.8080.1 cm ；sinAsin32.00依據正弦定理,casinC42.9sin66.2074.1 cm .sinAsin32.00評述：對于解三角形中的復

7、雜運算可使用運算器；例 2如圖,在 ABC 中, A 的平分線 AD 與邊 BC 相交于點 D,求證：BD DCABACA 證明：如圖在 ABD 和 CAD 中,由正弦定理,B C D C 得BDAB,DCACAC,sinsinsinsin1800sin兩式相除得BDABA DCAC五鞏固深化反饋爭論B 18001 已知 ABC 已知 A=600,B=300,a=3；求邊 b=（）D : 3D 2（2）已知 ABC 已知 A=450,B=750, b=8；求邊（）A 8 B 4 C 43 -3 D 83 -8 （3）正弦定理的內容是（4）已知 a+b=12 B=450 A=60 0就就就 a=-,b=- （5）已知在 ABC 中,三內角的正弦