1、手拉手模型專題訓(xùn)練一、解答題1. (1)如圖，ABC和CDE都是等邊三角形，且點(diǎn)b , C, E在一條直線上，連結(jié)BD和AE,直線BD, AE相交于點(diǎn)P .則線段BD與AE的數(shù)量關(guān)系為. BD與AE相交構(gòu)成的銳角的度數(shù)為.(2)如圖，點(diǎn)B , C, E不在同一條直線上，其它條件不變，上述的結(jié)論是否還成立.圖圖國(3)應(yīng)用：如圖，點(diǎn)B , C , E不在同一條直線上，其它條件依然不變，此時(shí)恰好有ZAEC = 30 .設(shè)直線AE交CD于點(diǎn)Q，請(qǐng)把圖形補(bǔ)全.若PQ = 2，則DP = O .2.在Rt ABC中，ZBAC = 90。，AB = AC .如圖1,點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD，以AD為邊

2、作RthADE, ZDAE = 90。，AD = AE，連接EC.直接寫出線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為.如圖2,點(diǎn)D為BC延長線上一點(diǎn)，連接AD，以AD為邊作RtAADE, /DAE = 90。，AD = AE,連接EC .用等式表示線段BC , DC, EC之間的數(shù)量關(guān)系為.求證：BD 2 + CD 2 = 2AD 2.如圖 3,點(diǎn)D為 ABC 外一點(diǎn)，且ZADC = 45。，若BD = 13 , CD = 5 ,求 AD 的長.3 UULfV LJElffil圖 33.如圖，在 AABC 中，D 是 BC 邊上一點(diǎn)，且 AD = AB, AE/BC, ABAD = ZCAE ,

3、連接DE,交AC于點(diǎn)F .若AB = 65。，求AC的度數(shù).若AE = AC，則AD平分ABDE是否成立？判斷并說明理由.4.如圖， ACB和ECD都是等腰直角三角形，CA = CB,CD = CE, ACB的頂點(diǎn)A在ECD的斜邊DE上，連接BD .EC B求證：BD=AE.若AE = 3cm,AD = 6cm，求AC 的長.5.如圖，P為等邊ABC的邊BC延長線上的一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊向上作等邊MPD， 連接CD .求證：AABR =ACD ；當(dāng)pc = AC時(shí)，求APDC的度數(shù)；APDC與APAC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？隨著點(diǎn)P位置的變化，APDC與APAC的 數(shù)量關(guān)系是否會(huì)發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由.

4、B C P6.如圖，若 ABD和ACE都是等邊三角形，求ZBOC的度數(shù).Dfi7.在直線AB的同一側(cè)作兩個(gè)等邊三角形ABD和BCE，連接AE與CD，試解決下列問題：Aft C求證：AE = DC ；求ZDHA的度數(shù)；連接GE，試判斷BGF形狀.8.如圖，點(diǎn)0是等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)，AAOB 110，/B0C = a .以O(shè)C為一邊 。作等邊三角形OCD，連接AD .若ZBAO ZCAO,求以的值；當(dāng)a-150時(shí)，試判斷MOD的形狀，并說明理由；探究：當(dāng)a為多少度時(shí)，AOD是等腰三角形？BC9.如圖，以ABC的邊AB、AC向外作等邊 ABD和等邊ACE，連接be、CD .問：線段be和CD有什么數(shù)量

5、關(guān)系？試證明你的結(jié)論.10.如圖，在等邊三角形ABC中，D是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，以CD為一邊向上作等邊三 角形EDC,連接AE .求證：NACE # BCD ；求證：AE/BC ；當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，BC與CE有什么位置關(guān)系？并說明理由.11.如圖，AC 1 BC，DC EC，AC = BC，DC = EC，AE 與 BD交于點(diǎn) F .請(qǐng)問AE = BD嗎？請(qǐng)說明理由；請(qǐng)判斷AE與BD的位置關(guān)系，并說明理由.12.如圖，AC = DC，AB = DE，CB = CE.求證：/1 = /2 .BC13.如圖 1，在ABC 中，AC=BC，ZACB=90，CE 與 AB 相交于點(diǎn) D，且 BEC

6、E，AFCE，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn).若 AF=5, BE=2，求 EF 的長；如圖2,取AB的中點(diǎn)G，連接FG, EG，求證：FG=EG.14.如圖，已知ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在BC邊上，ADF是以AD為邊的等邊 三角形，過點(diǎn)F作BC的平行線交線段AC于點(diǎn)E，連接BF，求證：AFB ADC ；四邊形BCEF是平行四邊形.15.如圖，點(diǎn)D、B、C在一直線上，ABC和ADE都是等邊三角形.求證： ABEAACD ；探索線段BA、BD、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.16 .問題情境：在自習(xí)課上，小雪拿來了如下一道題目(原問題)和合作學(xué)習(xí)小組的同學(xué)們交流，如圖， ACB 和/ CDE 均為等腰三角形

7、.CA=CB，CD=CE，ZACB=ZDCE.點(diǎn) A、D、E在同一條直線上，連接BE.求證：ZCDE=ZBCE+ZCBE.問題發(fā)現(xiàn)：小華說：我做過一道類似的題目：如圖， ACB和 CDE均為等邊三角形，其他條 件不變，求ZAEB的度數(shù).請(qǐng)聰明的你完成小雪的題目要求并直接寫出小華的題目要求.拓展研究：如圖， ACB和 DCE均為等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90,點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，CF為4 DCE中DE邊上的高，連接BE.請(qǐng)求ZAEB的度數(shù)及線 段CF、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.圖圖圖17.在RtAACB 中，ZACB = 90。，AC = BC，d 為 AB 上一點(diǎn)

8、，連結(jié) CD，將CD 繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至CE，連結(jié)DE，過C作CF 1DE交AB于F，連結(jié)be .B求證：AD = BE .試探索線段AD，BF，DF之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.若ZACD = 15。，CD =-j3 +1，求BF .(注：在直角三角形中，30所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半)參考答案1. (1)相等，60 ； (2)成立，證明見解析；(3)見解析，4.【分析】證明 BCDAACE，并運(yùn)用三角形外角和定理和等邊三角形的性質(zhì)求解即可；是第(1)問的變式，只是位置變化，結(jié)論保持不變；根據(jù)ZAEC=30，判定AE是等邊三角形CDE的高，運(yùn)用前面的結(jié)論，把條件集中到一個(gè)含有30角

9、的直角三角形中求解即可.【詳解】(1)相等；60 .理由如下：. ABC和CDE都是等邊三角形， ZACB = /DCE = 60。，BC = AC，DC = CE，.BCD = ZACE，在ACE和BCD中l(wèi)CB=CA ZBCD = ZACE，CD = CE. ACE 竺 ABCD . BD = AE，ZBDC = ZAEC.又 ZDNA =ZENC，. ZDPE = ZDCE = 60。.(2)成立；理由如下：證明：ABC和CDE都是等邊三角形，B ZACB = ZDCE = 60。，BC = AC，DC = CE , ZBCD = ZACE，在 ACE和BCD中|CB = CA /BCD

10、 = A ACE，CD = CE. ACE 竺BCD . BD = AE，/BDC = /AEC.又/DNA = /ENC，. /DPE = /DCE = 60。.（3）補(bǔ)全圖形（如圖），CDE是等邊三角形，AZDEC=60，*/ZAEC=30，.ZAEC=ZAED，AEQXDQ，.ZDQP=90，根據(jù)（1）知，ZBDC=ZAEC=30，PQ=2，.DP=4.故答案為：4.E【點(diǎn)睛】本題是一道猜想證明題，以兩線段之間的大小關(guān)系為基礎(chǔ)，考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的全等，直角三角形的性質(zhì)，證明兩個(gè)手拉手模型三角形全等是解題的關(guān)鍵2.（1）BD = CE，BD CE ；（2）BC + DC =

11、EC，見解析；（3）6、& .【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得到ZB = ZACB = 45。，根據(jù)題意可知ABAC-ZDAC = ZDAE-ZDAC,即 ZBAD = ZCAE，再利用SAS證明 BAD CAE，可得到BD = CE, ZABC =ZACE = 45。，從而算出ZBCE的度數(shù)，進(jìn)而得到線段BD與CE的位置關(guān)系；（2）根據(jù)角度的運(yùn)算得到ZBAD = ZCAE，再利用SAS證得BAD CAE，得到BD = CE，再根據(jù)BD = BC + CD，等量代換即可求出答案；由中BAD CAE，得到BD = CE，ZABC = ZACE，在根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出ZACE的度

12、數(shù)，進(jìn)而證得ZBCE = ZDCE = 90。，根據(jù)勾股定理得到AE2 + AD2 = DE2，CE2 + CD2 = DE2，等量代換后得到 AE2 + AD2 = CE2 + CD2，又因?yàn)锳E = AD，BD =。歸，代入即可得出答案；（3）過點(diǎn)A作AE 1 AD，并且AE = AD，連接DE，CE，得到ADE是等腰直角三 角形，由（2）得BAD CAE，得到BD = CE，在RtACDE中，通過勾股定理求出DE 的長度，在RtAADE中又由勾股定理得：AE2 + AD2 = DE2，再根據(jù)AE = AD，代入數(shù)據(jù)即可求出的長度.【詳解】（1） .在Rt ABC中，ZBAC=90。，AB

13、 = AC， ZB = ZACB = 45。，/ ZDAE = 90。， ZBAC-ZDAC =ZDAE-ZDAC，即 ZBAD = ZCAE，在BAD和CAE中f AB = AC ZBAD = ZCAE，I ? 4AD = AE BAD CAE（SAS ）， BD = CE，ZABC =ZACE = 45。， ZBCE =ZACB +ZACE = 90。，BD CE.故答案為：BD = CE, BD CE.,ZBAC = 90。，ZDAE = 90。，ZBAC+Z CAD =ZDAE+Z CAD，即 ZBAD = ZCAE，在BAD和CAE中AB = ACJ ZBAD = CAE ,AD =

14、 AEBAD 至 CAE(SAS )，BD = CE， A-BD = BC + CD， BC + DC = EC.故答案為：BC + DC = EC.證明：由得：BAD至CAE，BD = CE，ZABC = ZACE，- ABC和ADE都是等腰直角三角形，ZACE = ZABC = ZACB = 45。， ZBCE = ZDCE = 90。，在 RtAADE和 RtECD 中，由勾股定理得：AE2 + AD2 = DE2，CE2 + CD2 = DE2，AE 2 + AD 2 = CE 2 + CD 2，-AE = AD，BD = CE，2 AD 2 = BD 2 + CD 2，即 BD 2

15、+ CD 2 = 2 AD 2.過點(diǎn)A作AE AD，并且AE = AD，連接DE，CE，如圖，ADE是等腰直角三角形， ZADE = 45。，.ADC = 45。， ZCDE = 90。，由(2)中可知，BAD CAE, BD = CE，/ BD = 13，CD = 5， CE = 13，在RtACDE中，由勾股定理得：DE2 + CD2 = CE2，DE = CE 2 - CD 2 = 12，在RtAADE中，由勾股定理得：AE2 + AD2 = DE2，2AD 2 = 144，, AD = 6 海2 -【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是合理添

16、加輔助線找出兩個(gè)三角形全等.3. (1) 50； (2)成立，理由見解析【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出ZADB=ZB=65，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出ZBAD=50，求出ZCAE=50，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可；求出ZBAC=ZDAE，根據(jù)全等三角形的判定推出 BACADAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出ZB=ZADE,求出ZADE=ZADB即可.【詳解】解：(1) VZB=65, AB=AD,AZADB=ZB=65,VZB+ZBAD+ZBAD=180,AZBAD=50,VZCAE=ZBAD,.ZCAE=50,AEBC,AZC=ZCAE=50；(2) AD 平分ZBDE,理由是：VZBAD=ZC

17、AE,AZBAD+ZCAD=ZCAE+ZCAD,即 ZBAC=ZDAE,AB = AD在 BAC 和 DAE 中， ABAC = /DAE , AC = AE.BAC*DAE (SAS)AZB=ZADE,VZB=ZADB,AZADE=ZADB, 即AD平分ZBDE.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定定理，等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí) 點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵.4. (1)證明見解析；(2) AC =3./10 cm.2【分析】(1)根據(jù)同角的余角相等得出ZBCD=ZACE，然后根據(jù)SAS定理證明 BCDACE，從而得出結(jié)論；(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)

18、得出ZBDC=ZAEC,然后結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)求得ZBDA是直角三角形，從而利用勾股定理求解.【詳解】V ACB和ECD都是等腰直角三角形， ZACB =ZECD=90。，. ZACD + /BCD = 90。, ZACD + ZACE = 90。，. /BCD = ZACE，在BCD和 acb中，CB=CA /BCD = /ACECD = CE BCDM ACE SAS)，:酉氣V BCD# ACE，. /BDC = /AEC，又V ECD是等腰直角三角形，. /CDE = /CED = 45。，./BDC = 45。，. /BDC + /CDE = 90，/BDA是直角三角形，. A

19、B 2 = BD 2 + AD 2 = AE 2 + AD 2 = 32 + 62 = 45，在等腰直角三角形ACB中，AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2AC 2，.AC =空10.2【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.5. 1)證明見解析；(2) /PDC = 30 ； (3) /PDC = /PAC ；數(shù)量關(guān)系不變；理由見解析【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出ZBAC=ZPAQ=60, AB=AC, AP=AQ，再由SAS 定理即可得出結(jié)論；由ZAPC=ZCAP, ZB=ZBAC, ZB+ZBAC+ ZAPC+ ZCAP=180，得ZBAP=

20、90, 再結(jié)合ABP至ACD，進(jìn)而即可求解；設(shè) CD 與 AP 交于點(diǎn) O,由 MBP ACD，得ZACD=ZAPD，結(jié)合ZAOC=ZDOP，三角形內(nèi)角和定理，即可得到結(jié)論.【詳解】證明：ABC與 APD是等邊三角形，.ZBAC=ZPAD=60，AB=AC，AP=AD，.ZBAP=ZDAC，在 ABP與 ACD中，AB=AC ZBAP= ZCAD，AP=AD.ABPACD (SAS)；PC = AC，.ZAPC=ZCAP，/ ABC是等邊三角形，.ZB=ZBAC=60，又.ZB+ZBAC+ZAPC+ZCAP=180，.ZBAC+ZCAP=1x180=90，即：ZBAP=90，2.ZAPB=90

21、-60=30，.ZADC=ZAPB=30，/ APD是等邊三角形，. ZPDC =60-ZADC=60-30=30；ZPDC = ZPAC，隨著點(diǎn)p位置的變化，ZPDC與ZPAC的數(shù)量關(guān)系不會(huì)發(fā)生變化，理由如下：設(shè)CD與AP交于點(diǎn)O， ABP ACD，.ZACD=ZABP=60,?ZAPD=60,.ZACD=ZAPD,又 VZAOC=ZDOP, ZAOC+ ZACD+ ZPAC=180, ZDOP+ZAPD+ZPDC=180, . ZPDC = ZPAC.B C P【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的判定，熟練掌握 全等三角形的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.6

22、. 120.【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)可得AD= AB，AC= AE，ZDAB = ZCAE=60，利用SAS即可證明 DAC*BAE，從而得出ZABE=ZADC，設(shè)AB與CD交于點(diǎn)F，根據(jù)三角形內(nèi)角和定 理和等量代換即可求出ZBOF，利用平角的定義即可求出結(jié)論.【詳解】證明：ABD、 AEC都是等邊三角形，AD= AB，AC= AE，ZDAB = ZCAE=60，VZDAC= ZBAC+60，ZBAE= ZBAC+60，ZDAC=ZBAE，在 DAC和 BAE中，| AD=AB ZDAC=ZBAE，、AC=AE:.DACBAE (SAS)，.ZABE=ZADC 設(shè)AB與CD交于點(diǎn)F，fiV

23、ZBFO=ZDFAAZBOF=180-匕 ABE ZBFO=180-匕 ADC ZDFA=ZDAB=60AZBOC=180-ZBOF=120.【點(diǎn)睛】此題考查的是等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)，利用SAS證出 DACSBAE 是解題關(guān)鍵.7. (1)見解析；(2) ZDHA = 60。； (3) BGF是等邊三角形.【分析】從ABD和ABCE是等邊三角形中尋找條件證明ABE DBC(SAS)，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可證明； 由ABE# DBC可得ZBAE = ZBDC，再由外角的性質(zhì)可得ZDHA = ZBAE + /DCB，然后根據(jù)等量代換即可證明；先證明ABG = DBF (A

24、SA)得到BG = BF，然后結(jié)合ZDBE = 60。即可說明BGF是等邊三角形. 【詳解】(1)證明：、MBD和BCE都是等邊三角形，BA = BD，BE = BC，ZABD = ZCBE = 60。.ZDBE = 180。 60。 60。= 60。，:ABE = ZDBC = 120。.在 ABE和ADBC中，AB = DB ZABE = ZDBC = 120。，BE = BC:.ABE# DBC(SAS)，AE = DC ；解： ABE DBC ,:BAE = ZBDC .又 ZDHA = ZBAE ZDCB ,. ZDHA = ZBDC +Z DCB = 180。/ DBC = 60。

25、；解：由(1)知 ABE竺 DBC,:BAE = /BDC .在ABG和DBF中4/ABD = /DBE = 60。AB = DB ，/EAB = /CDBABG 三 DBF (ASA),BG = BF . /DBE = 60。,BGF是等邊三角形.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等 知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)成為解答本題的關(guān)鍵.8. (1) a = 140 ； (2) AAOD是直角三角形，理由見解析；(3)當(dāng)a為125、110、140時(shí)，AAOD是等腰三角形.【分析】延長AO交BC于點(diǎn)E ,由ABC是等邊三角形，/BAO =/CAO,可

26、知ae垂直平分BC，得到OB = OC，進(jìn)而求出/BOE = /COE = 70，由此即可得到a的度數(shù)；首先根據(jù)已知條件可以證明BOC# ADC ,得出/BOC = /ADC,然后利用全等三 角形的性質(zhì)可以求出/ADO的度數(shù)，由此即可判斷MOD的形狀；要使MOD是等腰三角形時(shí)，需要分三種情況討論I： AO = AD ,11： OA = OD,III： OD = AD進(jìn)行討論，分別求出a的度數(shù).【詳解】解：(1)如圖，延長AO交BC于點(diǎn)E .-ABC是等邊三角形，ZBAO = ZCAO, 二AE是底邊BC上的中線，AE是BC上的高，即AE垂直平分BC,OB = OC,ZBOE = ZCOE =

27、180 -110 = 70 ,OOOa =140 .O(2廣 OCD、 ABC都是等邊三角形，OC = CD，BC = AC，ZACB = ZOCD = 60， zaCb-z aco =zocd-z aco，o即：ZBCO = ZACD，在BOC與ADC中l(wèi)OC=CDZBCO = ZACD，BC = ACBOC ADC(SAS )，ZBOC = ZADC， v ZBOC =a = 150，ZODC = 60，oZADO = 150 - 60 = 90，A ,_二AOD是直角三角形.(3)如圖，B E C設(shè) /CBO = ZCAD = /1，ZABO = Z2，ZBAO = Z3，ZCAO =

28、Z4，貝IZ1+ Z2 = 60 ，Z2 + Z3 = 180 -110 = 70 ，Z3 + Z4 = 60 ，ooooo- + ，得：Z1+ Z4 = 50，O即 ZDAO = 50，I：要使 AO = AD，需 ZAOD = ZADO，360 -110 -60 -a=a-60， TOC o 1-5 h z OOOO.a= 125 ；II：要使 OA = OD，需 ZOAD = ZADO，.a -60 = 50，.a =110 ；III：要使 OD = AD，需 ZOAD = ZAOD，360 -110 -60 -a = 50，ooooa = 140當(dāng)a為125、110、140時(shí)，AAOD

29、是等腰三角形. ooo【點(diǎn)睛】本題屬于綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的判定，等腰三角形的判定，利用分類討論思想是解題的關(guān)鍵.9. BE = CD，理由見解析.【分析】由 MBD和ACE都是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到AB = AD，AC = AE，ZDAB = ZEAC = 60，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，再用SAS證明ADAC和ABAE全O等，最后利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證.【詳解】解：BE = CD，理由如下：:ABD是等邊三角形，AB = AD，ZDAB = 60，: ACE是等邊三角形， AC = AE，ZEAC = 60，ZDAB+

30、Z BAC =ZEAC+Z BAC，即 ZDAC =ZBAE，在DAC和BAE中AB = AD ZDAC = ZEAB，AC = AEDAC 至BAE(sas)，BE = CD.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出夾角相等是解題的關(guān)鍵.10. (1)見解析；(2)見解析；(3) BC CE，見解析.【分析】根據(jù)ABC和AEDC是等邊三角形，得到邊角關(guān)系，即CA = CB，CD = CE，ZB = ZACB = ZECD = 60，根據(jù)等式性質(zhì)得到ZDCB = ZECA，最后利用SAS證明全O等即可；根據(jù)ACE至BCD，可知對(duì)應(yīng)角ZB = ZEAC，又因?yàn)閆B =

31、ZACB = 60，等O量代換可知ZACB = ZEAC，進(jìn)而得到AE/BC ；BC CE，由ABC是等邊三角形，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，根據(jù)三線合一可知ZACD = ZBCD = 30，再根據(jù)ACE 至BCD，進(jìn)而得到 ZECA = ZDCB = 30， 。 最后可求得ZBCE的度數(shù).【詳解】- A8C和EDC是等邊三角形；CA = CB , CD = CE, ZB = ZACB = ZECD = 60 ,.ZAC-ZACD = ZECD-ZACD,即 ZDCB = ZECA , 在ACE與ABCD中CA = CBCE ,理由如下：V ABC是等邊三角形，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，.AD = BD , C

32、D _L AB , ZACD = ZBCD = -ZACB , 2、ZACB = 60 , ZACD = ZCD = 30 ,v ACE#3BCD, ZECA = ZDCB = 30 , o . ZBCE = ZDCB + ZACD + ZECA = 30 +30 +30 =90 ,oooo. BC ICE .【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，等式的性質(zhì)以及平行線的判定等 知識(shí)點(diǎn)，準(zhǔn)確的運(yùn)用這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.11. (1) AE = BD ,證明見解析；(2) AE1BD,證明見解析.【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)模型，利用SAS證明ACE三BCD即可得出結(jié)論；由全等三角形性質(zhì)

33、可得ZE = ZD，利用三角形內(nèi)角和證明么ECD = ZEFD = 90。即可得出結(jié)論.【詳解】解：(1) AE = BD，證明如下：. AC 1BC，DC 1 EC， ZACB =ZECD=90。， ZACB + ZBCE = ZECD + ZBCE， ZACE = ZBCD，在 ACE和BCD中，AC = BC ZACE = ZBCD，、EC = DC:.ACE 三 BCD (SAS)， AE = BD ；(2) AE 1BD，理由如下：由(1)得 ACE 三 BCD，ZE = ZD，又. ZECD + ZD =ZEFD+ZE，. ZEFD = ZECD = 90。， AE 1 BD .【

34、點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟悉全等三角形模型是解題關(guān)鍵.12.證明見解析【分析】由題意可證ABC至DEC，可得ZA = ZD，再根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得Z1 = Z2 .【詳解】證明：如圖， 在ABC和DEC中，AC = DC寸DE ,乙CB = CEABC 至 DEC(SSS ),/ A = /D ,v Z1 + ZAFE + ZA = 18O , Z2 + ZDFC + ZD = 180 , ZAFE = ZDFC ,oo Z1 = Z2 .【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵.13. (1) 3； (2)見解析【分析】證得ZACF

35、=ZCBE,由 AAS 證得 ACFM/kCBE 得出 CF=BE=2, AF=CE = 5, 即可得出結(jié)果；連接 CG,推出 ZGCB = ZCBG=45,得出 CG=BG,證得 CFGMZBEG 得出 FG =EG即可.【詳解】(1) VBEXCE,. ZBEC = 90,ZACB = 90,/. ZBEC=ZACB,. ZACF+ZBCE= ZBCE+ZCBE=90,. ZACF= ZCBE,VAFXCE,. ZAFC = 90,在 ACF和 CBE中，ZACF = ZCBE ZAFC = ZBEC、AC = BC.ACF*CBE (AAS),.CF=BE=2, AF=CE=5,EF=C

36、E-CF,EF=5 - 2 = 3；(2)連接CG,如圖2所示：AC=BC, AG=BG,1ACGXAB, ZBCG ZACB=x90=45,2AZCBG=90 - 45=45,AZGCB=ZCBG=45,.CG=BG,在 ADF 和 BDE 中，VZAFD=ZBED,AZFAD=ZEBG,由(1)證可知： ACFCBE,.CF=BE, ZCAF= ZBCE,*/ZCAF+ZFAD= ZGCD+ZBCE=45,AZFAD=ZGCD,AZEBG=ZFCG,在 CFG與 BEG中，CG=BG, ZFCG=ZEBG, CF=BE,.CFG*BEG (SAS),.FG=EG.【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三

37、角形的性質(zhì)與全等三角形性質(zhì)及判定的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是 解題關(guān)鍵.14. (1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】(1)先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AF = AD, AB = AC, /FAD ABAC = 60。，再根據(jù)角的和差可得/fab = ZDAC，然后根據(jù)三角形全等的判定定理即可得證；(2)先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得ZABF = /C = 60。，從而可得/ABF = /BAC，再根 據(jù)平行線的判定可得BF/AC，然后根據(jù)平行四邊形的判定即可得證.【詳解】(1) .ABC和 ADF都是等邊三角形，. AF = AD, AB = AC, /FAD = /BAC = /C =

38、60。，:.ZFAD/BAD= /BAC-/BAD，即 /FAB = /DAC，嚴(yán)=AD在 AFB 和 ADC 中，/FAB = /DAC，AB = AC. AFB 三 ADC (SAS)；(2) . AFB 三 ADC， . /ABF =/C = 60。，又. /BAC = 60。，. /ABF = /BAC，BF/AC，又.BC/EF， .四邊形BCEF是平行四邊形.【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、平行四邊形的判定等知識(shí)點(diǎn)， 熟練掌握各判定定理與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.(1)見解析；(2) BA+BD=BE，理由見解析【分析】由 “SAS可證 ABEAACD；由全等

39、三角形的性質(zhì)可得BE=DC，由線段的和差關(guān)系可求解.【詳解】,ABC、 ADE是等邊三角形，.AB=AC=BC，AD=AE，ZBAC=ZEAD=60，AZBAC+ZBAD=ZEAD+ZBAD，即 ZCAD=ZBAE，在 ABE 和 ACD 中，Ji ZBAE = ACAD，、AE = AD.ABE*ACD；BA+BD=BE，理由如下：ABE*ACD，.BE=DC，.BA+BD= BC+BD=DC= BE.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，證明 ABEACD是解本題 的關(guān)鍵.(1)證明見解析；ZAEB=60o ； (2) ZAEB=90o ； AE = BE + 2CF

40、 ；理由見解析.【分析】(1)小雪的題目：先利用SAS證明ADC三BEC，再利用全等三角形的性質(zhì)、三角形外 角的性質(zhì)及等量代換即可得證；小華的題目：先利用SAS證明ADC三BEC，再利用全等三角形的性質(zhì)得出答案第20頁，總24頁 / ADC = / BEC，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出ZCDE = ZCED = 60，最后根據(jù)鄰 補(bǔ)角的概念和角的和與差即可得出答案；（2）根據(jù)題意易證ADC三BEC，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及鄰補(bǔ)角的概念即可求得 ZAEB的度數(shù)；然后根據(jù)三線合一即可得出京=DF = EF,最后根據(jù)線段的和與差及等 量代換即可得出答案【詳解】（1）小雪的題目：證明：ZACB = ZDCE.* ACD = Z BCE在ADC和DCE中，I CA=CB恣CD =遺CECD = CE.ADC 三BEC（SAS ）.ZCAD = ZCBE又 ZACD = ZBCE, ZCDE = ACAD +/ ACD./CDE = ZCBE +ZBCE ；小華的題目：解：ZACB = ZDCE.* ACD = Z BCE在ADC和DCE中，I CA=CB ZACD = ZBCECD = CE.ADC 三BEC（SAS）.Z ADC = Z BECCDE為等邊三角形.Z CDE = ZCED = 60又點(diǎn)A