1、三角形角平分線性質的引申及應用三角形角平分線的性質在初中數學中占有巫要地位，它是解決許多問題的橋梁與紐帶本文將此類問題歸納總結，供大家參考.一、內外角平分線的性質性質1由三角形的兩條內角平分線所組成的角等于90。與第三角一半的和.如圖1,在ABC中,乙ABC、Z.ACB的平分線交于點P，則乙P=90。+乙.4.角平分線交于點P.則乙P=90。-+乙兒證明因為BP、CP分別是乙ABC、EACH的平分線，所以乙1=+厶C,乙2=丄-乙MCP.2在中，LP=180-(乙1+乙2)=180。-斗(LABC+LXCH)=180。-*(180-Z.4)=90+丄乙4.2性質2由三角形兩條外角平分線所組成的

2、角等于90。與第三角一半的差.如圖2,在朋C中,乙磁、乙ACB的外證明因為RP、CP分別平分厶DRC、厶ECB,所以Z1=乙DBC,乙2=異ECB.在中，LP=180一(乙1+乙2)=180一丄(J)BC+乙ECP)2=180-(180-乙ABC+180-厶ACB)=180-y360-(/ABC+LACB)=+(ABC+LACB)=(180-LA)2=90-+乙兒性質3由三角形一個角的內角平分線和另一個角的外角平分線所組成的角等于第三角的一半.如圖3,在朋C中，厶ARC的平分線與厶ACB的外角平分線交于點P,則LP=初中數學教與學圖3證明因為PP平分乙ABC,CP平分乙.4CD,所以Z1=乙A

3、CD，乙2=斗乙ABC.乂因為乙1是PC的外角，所以Zl=ZP+乙2,得乙P=乙1一乙2=斗（AACD-乙ABC而LACD=LA+乙ABC,所以AA=LACD-乙ABC,所以LP=yZ-4.顯然，以上的證明經歷了較復雜的思維過程，如果把圖2、圖3融入圖1就會形成圖4.把這三種情況結合在一起觀察，因為一組鄰補角的角平分線互相垂直，因此在圖4中不難發現厶BDC與厶RPC互補；乙與厶RED互余.三者只要知其一，便知其三，甚至還可以發現其他一些規律.圖4二、性質的引申引申1如圖5,點卩是厶ABC個內角平分線BP與一個外角平分線CP的交點，則4P是，1PC的外角平分線.圖5引申2如圖6所示的圖形，像我們

4、常見的學習用品圓規.我們不妨把這樣圖形叫做“規形圖”.觀察如圖7的“規形圖”，若乙朋C、乙MC的平分線相交于點0,則LROD=y（Z.4+乙C）.引申3如圖8在紹字形”的四邊形ABCD中，厶ABC、厶ADC的平分線相交于點0,則ZH0D=+（Z.4+乙C）.證明由讀者自己完成.三、性質及引申的應用應用上面的結論能輕松地解答一些相關的比較復雜的問題.例1如圖9,在MBC中,Z_A=加。,Z-ABC和Z.ACD的平分線交于點出，得S；乙C和OCD的平分線交于點,得乙仏；乙碼油C和乙ACD的平分線交于點為20】5,則乙人2015=度圖9解析由性質3,不難發現其數量規律所以直接可得乙九鄧=掙.例2如圖

5、10.A-4/?C的外角LACD的平分線CP的內角乙ABC平分線交于點P,若厶BPC=40。，則ACAP=.解析此題直接運用引申1的結論，可以知道.4P是的一個外角平分線，再結合性質3的結論，知道LBAC=2厶BPC,乙CAP=y(180-ABAC)=+(180-2乙BPC)=50.例3如圖11,已知線段AH.CD相交于點0,連結AD、CB,我們把形如圖11的圖形稱之為“8字形”.如圖12,在圖11的條件下,乙DAB和乙BCD的平分線M和CP相交于點P,并且與CD.AB分別相交于點A/JV.試解答下列問題：(1)在圖11中，若Z.4+厶D=80。，則乙十乙C=;仔細觀察，在圖12中“8字形”的

6、個數:個；Q)在圖12中，若DAO=50。，厶OCB=40。，乙P=35。，試求乙D的度數；6)在圖12中，若設乙D=-r,ZZ?=y,其它條件不變，試求乙卩的度數.解析(1)根據三角形的內角和定理，易得ZZ?+ZC=180-100=80.如圖12,以點0為頂點的紹字形”有AAOD和AAO.M和COW,AAOD和COW,和加C；以點M為頂點的紹字形”有和厶CMP；以點N為頂點的“8字形”有MNP和厶BCN,共有4+1+1=6個；(2)因為AP.CP分另I是乙DAO、厶BCO的平分線，所以Z1=斗乙DAO=25,乙3=丄乙OCZ?=20.2由(1)，可知乙1+乙D=乙3+乙P,所以厶I)=乙3十乙P-乙1=20+35-25=30。.6)由引申3,易得厶p=丄(乙十乙)=丄&。+r).22例4觴13屆“希望杯”全國數學競賽題)如圖20,在四邊形朋C中，E、F分別是兩組對邊延長線的交點,EG、FG分別平分厶REC、厶DFC,若AADC=60。，乙ABC=80。，則乙EGF