1、第8章 能量方法8-1 外力功與桿件的變形能 一、外力功與彈性應變能1.外力功W 在彈性體受力變形過程中，外力在沿其作 用方向的位移上做的功。2.彈性應變能（Dlastic strain energy）或彈性變形能（Dlastic deformation energy）U彈性體伴隨彈性變形積蓄了能量，從而具有對外界作功的潛在能力，通常把這種形式的能量稱為彈性應變能。三、能量方法 利用上述功和能的概念來求解變形固體的位移、變形和內力等的方法，統稱為能量法。能量法的應用很廣泛，它不僅適用于線性彈件問題，而且還適用于非線性彈性體。它也是用有限元法求解固體力學問題的重要基礎。二、功能原理（Princi

2、ple for work and energy） 在彈性體受力變形過程中，不考慮動力效應，能量損耗，則外力所作的功，就全部轉換為彈性體內部積蓄的應變能，其表達式如下：U=W四、 桿件的應變能1.比能2.應變能(1)微應變能du=udV(2)應變能（一）、拉壓桿的應變能應變能是一種體積分布能量。全桿的應變能，等于所有桿段應變能之和或者等于所有微段應變能之和。(3)等截面且軸力為常數的桿段的應變能(4)分段等截面且各段軸力為常 數的桿的應變能例求u，U。注：應變能(比能)的計算一般不能用疊加原理。(二)、剪切變形應變能和比能如圖示的純剪切單元體，其應變能和比能是：單元體微元功等于微變形能微比能剪切

3、比能剪切應變能(三)、圓軸扭轉應變能例： 求圖示扭轉圓軸的應變能。解：軸的兩段扭矩均為常量，易于求出該扭轉圓軸的應變能如下：(四)、平面彎曲時的應變能 推導廣義胡克定律時已指出：正應力不會引起剪應變；剪應力也不會引起線應變。可知，正應力不會在剪應變上做功；剪應力不會在線應變上做功。故，梁內任意一點的比能等于正應力對應的比能與剪應力對應的比能之和。梁的應變能k與截面形狀有關的剪應力不均勻分布修正系數。如截面為矩形k=1.2，圓形k=10/9，薄壁圓環形k=2，共字型k=A/AW。梁的應變能實踐和記算表明：對于高跨比較小的梁，剪應力影響項較小，一般可以略去。梁彎曲變形時的應變能可用下式計算。(五)

4、、組合變形時的應變能根據實際情況，求出橫截面上任一點的正應力及剪應力。比能：應變能：組合變形時的應變能最后一項是關于 z 的對稱積分，結果為零。組合變形時的應變能當不考慮彎曲剪切影響時，有可見，當軸y為對稱軸,即組合變形中的彎曲變形為對稱彎曲時，組合變形時的應變能等于與截面上各獨立內力對應的基本變形應變能的總和。注：(1)桿件應變能的取值與加載次序無關； (2)應變能都是內力(荷載)的二次函數，因此，一般不能 用力的獨立作用原理進行疊加計算。 (3)在荷載產生的內力或位移屬于不同類型時，可以疊加。例：試用下述三種方式，計算圖示簡支梁的應變能。(1)同時由零開始逐漸加載至P、M；(2)先加載至P

5、，再加載至M；(3)先加載至M，再加載至P。應變能只與荷載的最終值有關，而與加載的中間過程或加載的先后次序無關。 利用功能原理計算位移U=W由功能原理當結構上只作用一個作功的廣義荷載P時，利用功能原理，可方便地求得與P對應的廣義位移d。d= 2 U /P例：82、卡氏定理若彈性體上作用有n個已知的廣義力P1、P2、P3、Pn，在其共同作用下，每個廣義力作用點沿各自廣義力方向上的廣義位移分別為D1、D2、D3、Dn 。則彈性體由廣義力表示的變形能U 對某個廣義力Pi的偏導數，等于與Pi相應的廣義位移 Di 。證明彈性體的應變能只與荷載的最終值有關，而與加載的中間過程或加載的先后次序無關。于是，總

6、變形能為略去高階微量，得卡氏定理的應用由得1. 拉壓桿件系統的位移計算 對于拉壓桿件系統，能夠寫出如下公式：2.圓軸扭轉時的位移計算3.平面彎曲梁的位移計算4.組合變形時的位移計算卡氏定理的應用說明（1）力和位移均有廣義性；（2）注意所求位移有無相應的廣義力，有則直接對它求偏 導，無則需要虛設一個相應的廣義力；（3）要注意所求位移相應的廣義力，是否與所求位移不對 應的其它荷載，具有相同的名稱。如果是，需要先將 與所求位移相應的廣義力換個名稱，以避免求偏導發 生概念上的錯誤；(4）在運算時，一般不要將體系的應變能求出來后再求偏 導數，應當先求偏導數再進行積分運算（簡稱“先求導 后積分”）；（5）

7、區分不同的荷載類型，分別應用有關公式，還需要 弄清楚，寫內力方程需要將桿件（或簡單結構）分為 幾段，來進行正確的描述（應變能的計算同樣需要分 為幾段來計算）。 (6)廣義力與廣義位移間的相應關系：一個力相應的位移為該力作用點沿力矢正向的線位移；一個力偶相應的位移為作用有該力偶的平面沿力偶轉向的角位移；一對力相應的位移為該對力兩作用點沿力矢正向的相對線位移；一對力偶相應的位移為作用有該對力偶的兩平面間沿力偶轉向的相對角位移。分別如圖a、b、c、d所示。例：8-4 功的互等定理和位移互等定理一、功的互等定理貝蒂瑞利互等定理由意大利的E.Betti于1872年和英國的Rayleigh于1873年分別

8、獨立提出。同一根梁，分別處于圖a和圖b的荷載作用狀態，圖中所示的位移有廣義力引起自己作用點的位移，也有一個另一力作用點的位移。功的互等定理功的互等定理：如果將上述兩種荷載同時作用在該梁上，如圖示，兩種荷載不同的施加次序，都將得出相同的應變能，于是有：功的互等定理如在某線彈性體上作用兩組廣義力，則第一組力在第二組力引起的廣義位移上所做的功等于第二組力在第一組力引起的廣義位移上所做的功。或 i 狀態的力在 k 狀態的位移上所做的功等于 k 狀態的力在 i 狀態的位移上所做的功。Wik=Wki或 Pi.Dik=Pk.Dki二、位移互等定理麥克斯韋位移互等定理由英國J.C.Maxwell于1864年提

9、出。由功的互等定理知：如果廣義力數值上相等，Pi=Pk則 Dik=Dki如在某線彈性體上作用兩個數值相等的廣義力Pi 和Pk ，則Pi單獨作用下引起Pk作用點沿Pk方向的廣義位移在數值上等于Pk單獨作用下引起Pi作用點沿Pi方向的廣義位移。8-5 余能與余能原理一、余能概念考察圖示非線性彈性材料的軸向拉桿，荷載伸長關系曲線和應力應變關系曲線。顯然，荷載與位移、應力與應變之間不再服從線性彈性關系。由于與具有相同的量綱。且余能概念注意：桿件的余能或余比能沒有明確的物理意義，但有明確的幾何意義，就是曲線上方的面積。即在和數 PD 下，W* 為 W 的余數。因此習慣上稱W*為余功。類似地有稱為余(應變

10、)能稱為余比能余能概念應變能通常表示為廣義位移的函數。余能通常表示為廣義力的函數。特殊情形：線彈性材料，P-D和s-e曲線為一斜直線，是矩形PD和se的對角線，故：即線彈性體的余能（或一點處的余比能）與應變能（或一點處的比能）相等。三、卡氏第二定理1.克羅蒂-恩蓋塞定理適用于線彈性體與非線彈性體由意大利工程師F.Crotti于1878年、德國工程師F.Engesser于1889年分別提出。若彈性體上作用有n個已知的廣義力P1、P2、P3、Pn，在其共同作用下，每個廣義力作用點沿各自廣義力方向上的廣義位移分別為D1、D2、D3、Dn 。則彈性體由廣義力表示的余能U* 對某個廣義力Pi的偏導數，等于與Pi相應的廣義位移 Di 。證明仿前。2、卡氏第一定理由意大利工程師A.Castiliano于1873年提出。若彈性體上作用有n個已知的廣義力P1、P2、P3、Pn，在其共同作用下，每個廣義力作用點沿各自廣義力方向上的廣義位移分別為D1、D2、D3、Dn 。則彈性體由廣義位移表示的應變能U對某個廣義位移Di的偏導數，等于與Di相應的廣義力Pi 。證明：適用于線彈性體與非線彈性體，求彈性體的