1、課程名稱（中文）：偏微分方程數值解專題課程名稱（英文）：Some topics on numerical solutions of partial differential equations一）課程目的和任務：有限差分方法是微分方程定解問題的最廣泛的數值方法之一， 其基本思想是用差商近似代替導數， 用有限個未知量的差分方程組的解作為微分方程定解問題的解。 本課程旨在介紹非線性拋物和橢圓型方程的有限差分方法的最新進展，并簡單介紹在實際模型問題中的應用。本課程是為計算數學專業二年級研究生開設的一門專業選修課程， 也可作為其它專業研究生的選修課程。 其主要目的是使學生了解不同非線性定解問題的有限差

2、分格式的構造方法，掌握有限差分方法的基本理論和一些數值分析技巧， 使他們對這一方法能夠有清晰和全面的了解，并能應用于實際問題的數值模擬和數值計算。 通過對本課程的學習， 進一步豐富微分方程定解問題的數值方法，掌握有限差分方法的最新進展，也為學習進一步的專業知識打下堅實的基礎。主要內容：本課程以非線性拋物型和橢圓型方程的定解問題為例，介紹有限差分格式的構造方法，同時介紹相應數值分析的基本方法和技巧，也簡單討論有限差分解的一些性質。所有內容基本都是本課題的最新研究進展。具體內容如下：第一章：非線性橢圓邊值問題的有限差分方法。本章主要介紹非線性橢圓邊值問題的差分解法，給出一些定性分析，包括解的存在唯

3、一性、收斂性和誤差估計， 同時介紹分析非線性差分方程組的上下解方法以及求解的單調迭代算法；第二章：非線性拋物初邊值問題的有限差分方法。本章主要介紹非線性拋物邊值問題的差分解法，包括一些定性分析，如解的存在唯一性、收斂性和誤差估計，同時介紹分析非線性差分方程組的上下解方法以及求解的單調迭代算法；第三章：依賴于時間數值解的漸近性。 本章著重介紹非線性拋物初邊值問題有限差分解的長時間漸近性，穩定性及在實際模型問題中的應用；第四章：非線性橢圓方程組的有限差分方法。 本章主要介紹非線性橢圓型方程組的有限差分解法，著重介紹分析非線性差分方程組的上下解方法以及求解的單調迭代算法。第五章：非線性拋物方程組的有

4、限差分方法。 本章主要介紹非線性拋物型方程組的有限差分解法， 介紹分析非線性差分方程組的上下解方法以及求解的單調迭代算法。除此之外，還介紹特別介紹有限差分解的長時間漸近性，穩定性及在實際模型問題中的應用。二）預備知識：數值代數、數值逼近、微分方程數值解、泛函分析。三）教材及參考書目：教材：自編講義，2012.參考書目： 1) C.V. Pao, Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations, Plenum Press, New York, 1992. 2) A. Berman, R. Plemmons, Nonnegative Matrix in the

5、 Mathematical Science, Academic Press, New York, 1979.四）講授大綱（中英文）第一章 非線性橢圓邊值問題的有限差分方法有限差分方程上下解方法單調迭代算法上下解的構造方法一些應用第二章 非線性拋物初邊值問題的有限差分方法有限差分方程上下解方法單調迭代算法上下解的構造方法一些應用第三章 依賴于時間數值解的漸近性有限差分解的單調性極大極小定常解的穩定性依賴于時間數值解的吸引子Logistic反應擴散方程一個熱傳導問題第四章 非線性橢圓方程組的有限差分方法有限差分方程組上下解方法單調迭代算法有限差分方程組的擬解上下解的構造方法一些應用第五章 非線性拋

6、物方程組的有限差分方法有限差分方程組上下解方法單調迭代算法有限差分方程組的擬解依賴于時間數值解的漸近性上下解的構造方法一些應用Chapter 1 Finite difference methods for nonlinear elliptic boundary value problemsFinite difference equationsThe method of upper and lower solutionsMonotone iterative algorithmsThe constructions of upper and lower solutionsApplicationsCh

7、apter 2 Finite difference methods for nonlinear parabolic initial-boundary value problemsFinite difference equationsThe method of upper and lower solutionsMonotone iterative algorithmsThe constructions of upper and lower solutionsApplicationsChapter 3 Asymptotic behavior of time-dependent solutionsM

8、onotone property of finite difference solutionsStabilty of maximal and minimal steady-state solutionsGlobal attractor of time-dependent solutionsLogistic reaction-diffusion equationsA heat-conduction problemChapter 4 Finite difference methods for nonlinear elliptic systemsFinite difference systemsTh

9、e method of upper and lower solutionsMonotone iterative algorithmsQuasi-solutions of finite difference systemsThe constructions of upper and lower solutionsApplicationsChapter 5 Finite difference methods for nonlinear parabolic systemsFinite difference systemsThe method of upper and lower solutionsMonotone iterative algorithmsQuasi-solutions of finite dif