1、精品文檔.正定矩陣的判定方法及正定矩陣 在三個不等式證明中的應用作者：袁亮（西安財經大學）摘 要: 本文從正定矩陣的的定義出發，給出了正定矩陣的若干判定定理及推論，并給出了正定矩陣在柯西、Holder、Minkowski三個不等式證明中的應用.關鍵詞: 正定矩陣，判定，不等式，應用Abstract: In this paper, we mainly introduce some decision theorem and inference based on the definition of positive definite matrices and give the application

2、 of positive definite matrices in the proving on Cauchy、Holder、and Minkowski inequality.Keywords: positive definite matrix, determine, inequality, application目 錄1 引言42 正定矩陣的判定方法42.1 定義判定 52.2 定理判定 62.3 正定矩陣的一些重要推論113 正定矩陣在三個不等式證明中的應用 153.1 證明柯西不等式 153.2 證明Holder不等式163.3 證明Minkowski不等式18結束語21參考文獻221

3、引言代數學是數學中的一個重要的分支，而正定矩陣又是高等代數中的重要部分特別是正定矩陣部分的應用很廣泛， n階實對稱正定矩陣在矩陣理論中，占有十分重要的地位它在物理學、概率論以及優化控制理論中都得到了重要的應用，而本文只提供解決正定矩陣判定問題的方法，并闡明它在數學分析中三個重要不等式證明中的應用.正定矩陣的一般形式是,設A是n階實對稱矩陣，若對任意，且，都有成立.本文從正定矩陣的定義，給出正定矩陣的判定定理，并給出正定矩陣的重要推論，這些重要推論對計算數學中的優化問題有著重要的作用，并在矩陣對策，經濟均衡，障礙問題的研究中具有很實用的價值.同時還介紹正定矩陣在三個不等式證明中的應用，其一是用正

4、定矩陣證明著名的柯西不等式，其二是用正定矩陣的性質給出Holder不等式的一個新的證明，其三是運用正定矩陣的兩個引理證明Minkowski不等式，這三個應用說明正定矩陣運用的廣泛性和有效性.以上這些正定矩陣的研究只局限在正定矩陣的理論分析方面，它的一些實際方面的應用還有待筆者和一些學者去探索挖掘.2 正定矩陣的判定方法2.1 定義判定設=,(其中C,i,j=1,2,，n), 的共軛轉置記為=定義1 對于實對稱矩陣=,（其中R,i,j=1,2,，n）若對于任意非零列向量，都有0,則稱是正定矩陣.定義2 對于復對稱矩陣=,（其中C,i,j=1,2,，n）若對于任意非零列向量，都有0,則稱是正定矩陣

5、例1 設A為m階實對稱矩陣且正定，B為mn實矩陣，為B的轉置矩陣，試證 為正定矩陣的充要條件是B的秩r（B）=n. 證 必要性 設為正定矩陣，則對任意的實n維列向量，有，即.于是，因此，只有零解，從而.充分性 因,即為實對稱矩陣.若秩，則線性方程組只有零解，從而對任意實n維向量有.又A為正定矩陣，所以對于，有,于是當時，.故為正定矩陣.例2 設 A 是 n 階正定矩陣，B 是 nm 實矩陣，B的秩為 m，證明 ：BAB 是正定矩陣.證 因為（BAB）=BAB=BAB,故 BAB 是實對稱矩陣，其次，由于秩 B=m，mn.故 BX=0 只有零解 ，因此，若任取非零實列向量 X 必有 BX0，因

6、A 是正定矩陣，故對任取的非零實列向量 X，必有X（BAB）X=(BX)A(BX)0.因此 BAB 是正定矩陣.注意 以上兩個例子，是運用正定矩陣的定義來證明的.還提供了利用實矩陣來構造正定矩陣的方法.具體是，若 A 不是方陣，也不對稱時，AA，AA是正定矩陣，若 A 是方陣，但不對稱，則 A+A是正定矩陣，同時，在證明的過程中，我們也看到了齊次線性方程組解的理論在正定二次型的理論中的應用.2.2 定理判定定理1 n階實對稱矩陣A正定，當且僅當實二次f(,)=的正慣性指數為n證 設實二次型f(,)經過非退化線性變換得+. （2.1）由于非退化實線性變換保持正定性不變，那么正定當且僅當（2.1）

7、是正定的，由定義3知（3.1）正定當且僅當0()，因此，正慣性指數為n. .定理2 實對角矩陣正定的充分必要條件是0，().證 由定理3.1得，實對稱矩陣正定當且僅當二次型f(,，)=+.的正慣性指數為n，因此，0（i=1,2,n,）例3 設A為n階實對稱矩陣，證明：秩（A）=n的充分必要條件為存在一個n階實矩陣B，使是正定矩陣.證 充分性（反證法）反設，則.于是是A的特征值，假設相應的特征向量為x，即,所以.所以，和是正定矩陣矛盾.必要性 因為，所以A的特征值全不為0.取B=A，則.它的特征值為全部為正，所以是正定矩陣.定義3 在實二次型的規范形中，正平方項的個數p稱為的正慣性指數，負平方項

8、的個數稱為的負慣性指數，它們的差稱為的符號差.定理3 實對稱矩陣是正定的充要條件矩陣的秩與符號差n定理4 實對稱矩陣是正定的充要條件是二次型f(, )=的系數矩陣的所有特征值都是正數，即大于零.證 由文獻1知，實對稱矩陣可對角化為其中，恰好是的特征值，則二次型的標準形為：+,而非退化實線性變換保持正定性不變，由f (,，)=+.正定得0()例4設A為實對稱矩陣，則當t充分大時，A+tE為正定矩陣.證 設A的特征值為，取，則的特征值全部大于零，因此當時，是正定矩陣.例5 設A為n階實對稱矩陣，且.證明：A正定.證 設是A的任一特征值，對應特征向量為，即，代入已知等式,有，因為，故滿足得，因A為實

9、對稱矩陣，其特征值一定為實數，故只有，即A的全部特征值就是，這就證明A是正定矩陣.定理5 實對稱矩陣正定當且僅當它與單位矩陣合同證 實正定二次型的規范形為+. (2.2.1)而（2.2.1）的系數矩陣為單位矩陣，非退化實線性變換保持正定性不變，而且新二次型的系數矩陣與原二次型的系數矩陣是合同的，故實對稱矩陣正定當且僅當它與單位矩陣合同定理6 實對稱矩陣是正定的充要條件是存在可逆矩陣使得=證 設為一正定矩陣，當切僅當與單位矩陣合同，因此，存在可逆矩陣，使得 =.定理7 實對稱矩陣正定的充分必要條件是矩陣的順序主子式全大于零證 必要性 實對稱矩陣正定，則二次型f(,)=是正定的，對于每一個k,1k

10、n,令（,，）=，我們來證是一個k元正定二次型，對于一組不全為零的數，有（，）=（，0，,0）0,因此，是一個k元正定二次型.由充要條件2得的矩陣行列式 0,（k=1,2,n）.充分性 對n作數學歸納法當n=1時，f()=,由條件0，顯然f()是正定的假定此論斷對n-1元二次型成立，下證n元的情形. 令= ，=，則 =.由的順序主子式全大于零可知的順序主子式全大于零，由假設是正定矩陣，有n-1階可逆矩陣 ，使得=,令=,則=.令=,則=.令=,=-,則有=.兩邊取行列式得 =,由條件 0 知 0. 由于 =.因此，A與單位矩陣合同. 由定理5得，是正定矩陣定理8 n階實對稱陣A為正定的充要條件

11、是存在對稱正定陣B，使A=B. 證 必要性 存在正交陣Q，使A=QO將 A 的第 n 列乘適當的倍數，分別加到第 1,2nl列上，再施同樣的行變化，可使 A 變成為,的形式即存在非退化的下三角矩陣T，使,再令因為A正定 ，故A作為A的n-1階順序主子式，也是正定的.對A做同樣處理，最終可得到.令 是非退化的下三角矩陣，且使A=OQ充分性 是顯然的定理10 A是正定矩陣的充要條件是存在正交向量組 使 A=.2.3 正定矩陣的一些重要推論對于實對稱正定矩陣除了上面的一些充要條件用于判定一個矩陣是否為正定矩陣外，還有很多重要推論，下面給出.推論1 正定矩陣的和仍是正定矩陣證 若與為同階正定矩陣，則對

12、于非零列向量=(,)0,必有0， 0,從而（+）=+ 0.所以+也是正定的.推論2 實正定矩陣的行列式大于零證 對=兩邊取行列式有 |=| |=0，因此，|A|0推論3 與正定矩陣合同的對稱矩陣一定是正定矩陣(事實上由合同的傳遞性及正定矩陣都與單位矩陣合同可知結論成立)推論4 正定矩陣的逆矩陣一定是正定矩陣證 由命題1.3得正定矩陣的逆矩陣一定是對稱矩陣，又因為正定矩陣與單位矩陣合同，所以存在可逆矩陣使得=,取逆矩陣得=,令=,則=.因此，與單位矩陣合同，所以是正定矩陣推論5 正定矩陣的任何順序主子式陣必為正定矩陣推論6 設A，B均為 n 階正定矩陣，且AB=BA，則AB 正定.證 因為AB=

13、BA，故(AB)=BA=BA=AB， 所以AB為實對稱矩陣，又因為A 正定，所以實可逆矩陣P，使PAP=E.方法一 PABP=PAPPBP=PBP，而 B 正定，故 B 的特征值都大于零，所以 PABP 的特征值大于零，正定，AB是正定的.方法二 PAB(P)=PAPPB(P)=PB(P)，因為B 正定，故 PB(P)正定， PB(P)的特征值大于零，AB的特征值大于零，又因為AB實對稱，所以AB是正定的. 推論7 若A是正定矩陣，則A 也是正定的(其中A表示A的伴隨矩陣).證 因為A正定 ，故 A正定；A=A(0)，所以 A也正定.推論8 若A，B都是n階實對稱矩陣，且B是正定矩陣，則存在一

14、n階實可逆矩陣P使PAP與PBP同時為對角形.證 因為B是正定的，所以合同于E，即存在可逆陣U使UBU=E；且A是n階實對稱矩陣，則(UAU)=UAU.存在正交矩陣C使C(UAU)C=diag( ， ，),則.取P=UC，則P為所求 推論9 若 A 是實對稱的正定矩陣，則存在 a0，bO，c0，使 aE+A，E+bA.cEA 均是正定矩陣.證 若A的特征值為，1in，則 aE+A 的特征值為 a+ ，1in，所以存在 a 使 aE+A的特征值大于零，其余同理可證.推論10 已知 A 是 n 階正定矩陣，則A(k是正整數)也是正定矩陣.證 A與 A 的特征值有熟知的關系，故從特征值角度人手考慮根

15、據A正定，即知其特征值， 全正，由于 A 的全部特征值就是 也都為正這就知A是正定矩陣.例6 若 A 是 n 階正定矩陣，則 2.證 法一 A與2E都是n階實對稱正定矩陣，因此存在一n階實可逆矩陣 P 使.由推論9可知其中入 (i=l，2，n)為 A 的特征值且大于零所以 +2(i=l，2，n) 為 A+2E 的特征值，也是大于零的.所以=( +2)( +2)( +2) 2. 法二 因為 A 與 2E 都是 n 階實對稱正定矩陣，由推論10，有 +2.推論11 A為n階正定矩陣，B為2n階非零半正定矩陣，則+. 證 由題意可知，存在實可逆陣P，使PAP=E，且PBP=，（d 0）所以所以+.推

16、論12 若 A 是 n 階實對稱正定矩陣，則必有 a0，a0,a0.證 根據定義，對一切 XO 皆有 XAX0，故依次令X=e，e，就有(e)AeO,即 a0(e)Ae0,即 a0.3 正定矩陣在三個不等式證明中的應用3.1 證明柯西不等式如果有一個正定的矩陣，我們通常可以設計出一個柯西不等式進而我們就有必要知道如何用正定矩陣證明柯西不等式(1)柯西不等式在中學里，我們就熟悉了如下的一個不等式 這就是著名的柯西不等式如果我們將上述不等式用內積的形式來表示，則可將它寫成.(2)那如何用正定矩陣證明柯西不等式呢？如果有一個正定的矩陣，我們通常可以設計出一個柯西不等式進而我們就有必要知道正定矩陣與柯

17、西不等式的關系并應用正定矩陣證明柯西不等式.設A=(a )是一個n階正定矩陣，則對任何向量=(x，x，x )與=(Y，Y，y)，定義 . 則可以證明由上式定義的一定是n維向量間的內積反之，對于n維向量問的任意一種內積，一定存在一個n階正定矩陣A=(a)，使得對任何向量和，()可由(2)式來定義因此，給定了一個n階正定矩陣，在n維向量間就可由該矩陣定義一個內積，從而可得到相應的柯西不等式.例7 證明不等式對所有實數x，x，x和y，y，y均成立證 從不等式來看，可知它相當于 其中()是由矩陣A= .所定義的，但要證明是內積還需證明A是個正定矩陣經驗證該矩陣為正定矩陣從而可看出該不等式就是由A所確定

18、的內積所產生的柯西不等式，因此不等式成立.3.2 證明Holder不等式 設A為n階正定矩陣，xR，易知，本節將其推廣為更一般的形式，并以此為工具給出Holder不等式的一個新證明.定理 設A為n階正定陣，x，r，s為任意正整數，則.證 對任一，令a=,則有a0，令,易見在上有最小值,由于A正定，故存在正交陣P使，其中,為A的特征值，于是,由于,故,從而,于是,將a的表達式代入上式左端并整理得,由此即得,即.證畢下面我們 利用以上結果證明Holder不等式.Holder不等式 設，并且，則.證 由常規的極限過渡法，不妨設 且p，q為有理數；由知必存在正整數r，s，使得.令 , 經簡單運算得,于是由 得,即.3.3 證明Minkowski不等式引理1 設，都是階正定實對稱矩陣，p1且，則有. 引理2 設，（i=1，2,m）是nn階實對稱正定矩陣，0pn時，等式成立當且僅當；當