1、計算方法B上機實習報告 計算方法B上機實習報告1.對以下和式計算：，要求：(1)假設只需保存11個有效數(shù)字，該如何進行計算；(2)假設要保存30個有效數(shù)字，那么又將如何進行計算；問題分析： 在該題中S的每一項存在兩個相近的數(shù)相減的問題，因此為了防止有效數(shù)字損失，最好是改變運算順序，分別將正數(shù)和負數(shù)相加，然后再將其和相加。另外，sn中有多個負數(shù)相加，可以按照絕對值遞增的順序求和，以減少舍入誤差的影響。同時，為了防止大數(shù)吃小數(shù)的問題，此題先計算出保存目標有效數(shù)字所需要的迭代次數(shù)，然后采用倒序相加的方法實現(xiàn)。程序實現(xiàn)：clear;clc;m=input(請輸入要保存的有效數(shù)字位數(shù)：);s1=0;s2

2、=0;k=0;s=1;%判斷多需要的迭代次數(shù)while s=0.5*10-(m-1) s=4/(16k*(8*k+1)-(2/(16k*(8*k+4)+1/(16k*(8*k+5)+1/(16k*(8*k+6); k=k+1;end%正負數(shù)分別按照絕對值遞增的順序倒序相加for n=(k-1):-1:0 a1=4/(16n*(8*n+1); a2=2/(16n*(8*n+4); a3=1/(16n*(8*n+5); a4=1/(16n*(8*n+6); s1=a1+s1; s2=a4+a3+a2+s2;end S=s1-s2; S=vpa(S,m)運算結果：總結心得：在計算求和問題中，應特別注

3、意相近數(shù)相減的問題，這樣會造成有效數(shù)字災難性的損失。另外在兩個數(shù)量級相差較大的數(shù)字相加減時，較小數(shù)的有效數(shù)字會被喪失，因此要按照從小到大的順序相加。在上題計算中分別對正負相采用倒序相加，這樣就有效的防止了“大數(shù)吃小數(shù)的問題。2.某通信公司在一次施工中，需要在水面寬度為20米的河溝底部沿直線走向鋪設一條溝底光纜。在鋪設光纜之前需要對溝底的地形進行初步探測，從而估計所需光纜的長度，為工程預算提供依據(jù)。已探測到一組等分點位置的深度數(shù)據(jù)(單位:米)如下表所示：分點0123456深度分點78910111213深度分點14151617181920深度 (1)請用適宜的曲線擬合所測數(shù)據(jù)點；(2)預測所需光纜

4、長度的近似值，并作出鋪設河底光纜的曲線圖；問題分析：此題的主要目的是對測量數(shù)據(jù)進行擬合，同時對擬合曲線進行線積分即可得到河底光纜長度的近似值。由于數(shù)值點較多時，使用拉格朗日差值多項式會出現(xiàn)龍格現(xiàn)象。為了將所有的數(shù)據(jù)點都用上，采用分段差插法，此題使用三次樣條插值。算法思想：樣條函數(shù)在每個子區(qū)間上是三次多項式，它的二階導數(shù)必是一次多項式。假設用 記在 處的二階導數(shù)。那么在區(qū)間 上 式中 1對上式進行兩次積分得 2它的一階導數(shù)為 3滿足連續(xù)性條件，即 上式和3式得 4用差商記號，并記 4式可以寫成 方程組可以寫成如下形式 自然樣條插值條件為在估計河底光纜長度時使用第一類線積分程序實現(xiàn)：clear;c

5、lc;x=0:20;y=9.01 8.96 7.96 7.97 8.02 9.05 10.13 11.18 12.26 13.28 13.32 12.61 11.29 10.22 9.15 7.90 7.95 8.86 9.81 10.80 10.93;d=y;plot(x,y,k.,markersize,15)hold on%計算牛頓二階差商for k=1:2 for i=21:-1:(k+1) d(i)=(d(i)-d(i-1)/(x(i)-x(i-k); endend%假定d的邊界條件，采用自然三次樣條for i=2:20 d(i)=6*d(i+1);endd(1)=0;d(21)=0;

6、%追趕法求解帶狀矩陣的m值a=0.5*ones(1,21);b=2*ones(1,21);c=0.5*ones(1,21);a(1)=0;c(21)=0;u=ones(1,21);u(1)=b(1);r=c;yy(1)=d(1);%追的過程for k=2:21 l(k)=a(k)/u(k-1); u(k)=b(k)-l(k)*r(k-1); yy(k)=d(k)-l(k)*yy(k-1);end%趕的過程m(21)=yy(21)/u(21);for k=20:-1:1 m(k)=(yy(k)-r(k)*m(k+1)/u(k);end%利用插值點畫出擬合曲線k=1;nn=100;xx=linsp

7、ace(0,20,nn);l=0;for j=1:nn for i=2:20 if xx(j)=x(i) k=i; break; else k=i+1; end endh=1;xbar=x(k)-xx(j);xmao=xx(j)-x(k-1);s(j)=(m(k-1)*xbar3/6+m(k)*xmao3/6+(y(k-1)-m(k-1)*h2/6)*xbar+(y(k)-m(k)*h2/6)*xmao)/h;sp(j)=-m(k-1)*(x(k)-xx(j)2/(2*h)+m(k)*(xx(j)-x(k-1)2/(2*h)+(y(k)-y(k-1)/h-(m(k)-m(k-1)*h/6;l(

8、j+1)=(1+sp(j)2)0.5*(20/nn)+l(j);%利用第一類線積分求河底光纜的長度 end%繪圖plot(xx,s,r-,linewidth,1.5)griddisp(所需光纜長度為,num2str(l(nn+1),米)運行結果：總結心得：采用三次樣條插值對數(shù)據(jù)進行擬合時，可以有效防止龍格現(xiàn)象。在此題的計算中采用自然三次樣條函數(shù)的邊界條件。在解線性方程組時使用了追趕法求解帶狀矩陣，在求解三對角矩陣時追趕法計算速度快，是一種求解線性方程組的有效手段。在估計河底光纜長度時使用第一類線積分。此題計算中間變量非常多，在調試的過程中遇到了一些麻煩，這更加使我認識到在編程的過程中由不得一點

9、兒馬虎，在下面問題的處理中我變得更加小心。3.假定某天的氣溫變化記錄如下表所示，試用數(shù)據(jù)擬合的方法找出這一天的氣溫變化的規(guī)律;試計算這一天的平均氣溫,并試估計誤差。時刻0123456789101112平均氣溫15141414141516182020232528時刻131415161718192021222324平均氣溫313431292725242220181716問題分析：對一天的氣溫進行數(shù)據(jù)擬合，可以考慮使用最小二乘的二次函數(shù)、三次函數(shù)、四次函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)。問題的難度是求解各種擬合函數(shù)的系數(shù)。利用法方程求解最小二乘系數(shù)時，方程的解不夠穩(wěn)定，此題利用正交化方法。程序實現(xiàn)：clear;clc

10、;x=0:24;y=15 14 14 14 14 15 16 18 20 20 23 25 28 31 34 31 29 27 25 24 22 20 18 17 16;m=length(x);n=input(請輸入函數(shù)的次數(shù) );plot(x,y,k.,x,y,-)grid;hold on;n=n+1;G=zeros(m,n+1);G(:,n+1)=y;c=zeros(1,n);%建立c來存放q=0;f=0;b=zeros(1,m);%建立b用來存放%形成矩陣Gfor j=1:n for i=1:m G(i,j)=x(1,i)(j-1); endend%建立矩陣Qkfor k=1:n for

11、 i=k:m c(k)=G(i,k)2+c(k); end c(k)=-sign(G(k,k)*(c(k)0.5); w(k)=G(k,k)-c(k);%建立w來存放 for j=k+1:m w(j)=G(j,k); end b(k)=c(k)*w(k); %變換矩陣Gk-1到Gk G(k,k)=c(k); for j=k+1:n+1 q=0; for i=k:m q=w(i)*G(i,j)+q; end s=q/b(k); for i=k:m G(i,j)=s*w(i)+G(i,j); end endend%求解三角方程 Rx=h1a(n)=G(n,n+1)/G(n,n); for i=n-

12、1:(-1):1 for j=i+1:n f=G(i,j)*a(j)+f; end a(i)=(G(i,n+1)-f)/G(i,i); %ai存放各級系數(shù) f=0; end a%擬合后的回代過程 p=zeros(1,m); for j=1:m for i=1:n p(j)=p(j)+a(i)*x(j)(i-1); end end plot(x,p,r*,x,p,-); E2=0;%用E2來存放誤差%誤差求解for i=n+1:m E2=G(i,n+1)2+E2;endE2=E20.5;disp(誤差為);disp(E2);t=0for i=1:m t=t+p(i);endt=t/m; %平均溫

13、度disp(平均溫度為,num2str(t),) 運行結果：二次函數(shù)時，系數(shù)a1=8.3063,a2=2.6064,a3=-。誤差為，平均溫度為。函數(shù)形式為 三次函數(shù)時，系數(shù),誤差為，平均溫度為。函數(shù)形式 四次函數(shù)時，系數(shù)a1=16.7939,a2=-3.7050,a3=0.8909,a4=-0.0532,a5=0.0009,誤差為，平均溫度為。函數(shù)形式為 當為指數(shù)函數(shù)時，假定指數(shù)函數(shù)的形式為 。只需將y值求對數(shù)，其主體局部不變，求得的系數(shù)為a1=2.3835,a2=0.1251,a3=-0.0044,誤差為，平均溫度為。函數(shù)形式為 四種函數(shù)圖像的比照：紅色表示指數(shù)函數(shù)，綠色表示二次函數(shù)，青色

14、表示三次函數(shù)，紫色表示四次函數(shù)，藍色的折線表示數(shù)據(jù)點。總結心得：同上面的結果可以看出，隨著次數(shù)的增加誤差在逐漸減小，擬合曲線也更加接近數(shù)據(jù)點。因此，在使用最小二乘進行數(shù)據(jù)擬合時應盡量使用較高次數(shù)的擬合函數(shù)。通過比照圖像，可以發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)和指數(shù)型二次函數(shù)圖像比擬接近，那是因為指數(shù)型二次函數(shù)是對數(shù)據(jù)點求對數(shù)進行擬合的，因此二者比擬接近。給定的數(shù)據(jù)點在中間的位置時波動較大，造成了擬合曲線的誤差也較大，但并沒有影響到整體的規(guī)律。在進行最小二次編程中，使用正交化方法中間變量較多容易造成混亂，計算量也較大，但是比使用法方程方法更穩(wěn)定。此題在編程過程中有一定的適用性，只需要對數(shù)據(jù)點進行更改就可以擬合出給定次

15、數(shù)的多項式，為以后的數(shù)據(jù)擬合提供了方便。4.設計算法，求出非線性方程的所有根，并使誤差不超過。問題分析：此題采用牛頓迭代法計算方程根。可令 ，其迭代格式為要使牛頓迭代法收斂，那么必須尋找根的合理區(qū)間a,b,使得在該區(qū)間內,即有根。在選定的區(qū)間內函數(shù)的一二階導數(shù)、均不變號。選定一個初值，使 那么牛頓迭代法收斂。程序實現(xiàn)：clear;clc;%觀察根的大致位置a=-10:0.1:10;for i=1:201y(i)=6*a(i)5-45*a(i)2+20;endplot(a,y);grid;k=1;y(202)=0;%使用二分法來確定迭代初值for i=1:201 if y(i)*y(i+1)0 b(k)=a(i); k=k+1; continue endend x=b; n=length(x);%牛頓迭代法計算方程根dlt=1e-4;for i=1:n for j=1:100 X(i,j)=x(i)-(6*x(i)5-45*x(i)2+20)/(30*x(i)4-90*x(i); c=abs(X(i,j)-x(i); if cabs