1、第一節 布洛赫定理5.1.1 布洛赫定理5.1.3 布里淵區5.1.2 波矢的取值和范圍本節主要內容:5.1 布洛赫定理5.1.1 布洛赫定理1.晶格的周期性勢場 (3)理想晶體中原子排列具有周期性，晶體內部的勢場具有周期性； (1)在晶體中每點勢能為各個原子實在該點所產生的勢能之和； (2)每一點勢能主要決定于與核較近的幾個原子實(因為勢能與距離成反比)； (4)電子的影響：電子均勻分布于晶體中，其作用相當于在晶格勢場中附加了一個均勻的勢場，而不影響晶體勢場的周期性。 在一個具有晶格周期性的勢場中運動的電子的波函數的基本特點？當勢場具有晶格周期性時，波動方程的解具有如下性質： 周期場中運動的

2、電子的能量E（K）和波函數必須滿足定態的薛定諤方程其中 為任意格點的位矢。其中 為電子波矢， 是格矢。2. 布洛赫定理的物理意義一個具有晶格周期性的勢場中運動的電子的波函數為：一個自由電子的波函數 與一個具有晶體結構周期性函數 的乘積。是按照晶格周期a調幅的行波；在物理上反應了晶體中的電子既有共有化的傾向，又受到晶體結構周期性排列的限制；只有當 等于常數時，在周期場中運動的電子波函數才變為自由電子的波函數；布洛赫函數是比自由電子波函數更接近真實情況的波函數。 在晶格周期性勢場中運動的電子的波函數是按晶格周期調幅的平面波。具有此形式的波函數稱為布洛赫波函數。3.證明布洛赫定理(1)引入平移對稱算

3、符(2)說明:(3)根據布洛赫定理波函數寫成如下形式： 由于晶格的周期性，晶體中的等效勢場V（r）具有晶格的周期性。在直角坐標系中則哈密頓函數也為晶格的周期性函數為了根據哈密頓函數具有晶格的平移對稱性研究波函數的特點，引入平移對稱操作算符任意一個函數f（r）經過平移算符作用后變為現將平移對稱操作算符作用在薛定諤方程左邊 由于對易的算符有共同的本征函數，所以如果波函數 是 的本征函數，那么 也一定是算符 的本征函數。對應的本征值的特點是什么？由本征值（Rn）必須滿足等式根據平移特點可以得到即設晶體在a1、 a2、a3三個方向各有個N1、N2、N3個原胞，由周期性邊界條件得到由上式可以得出解為令k

4、a1，代入l為整數取滿足上式，得到同理可以得到令由晶體中電子波函數滿足的方程是可以得到 具有波矢的意義當波矢K增加個倒格矢平面波也滿足晶體中電子的波函數所滿足的方程。所以，電子的波函數為平面波的線性疊加結論：晶體中電子的波函數是按晶格周期調幅的平面波。 可以認為電子在整個晶體中自由運動。布洛赫函數的平面波因子描述晶體中電子的共有化運動，而周期函數的因子描述電子在原胞中運動，這取決于原胞中電子的勢場。由周期性邊界條件5.1.2 的取值和范圍（其中lj為任意整數)，只能取一些分立的值?？梢宰C明是倒格矢。態和態是同一電子態，而同一電子態對應同一故 。個能量， 為使本征函數和本征值一一對應，即使電子的

5、波矢與本征值 一一對應起來，必須把波矢 的值限制在一個倒格子原胞區間內，通常?。?在簡約布里淵區內，電子的波矢數目等于晶體的原胞數目N=N1N2N3。在波矢空間內，由于N的數目很大，波矢點的分布是準連續的。一個波矢對應的體積為：一個波矢代表點對應的體積為：電子的波矢密度為： 下面我們證明證明：根據布洛赫定理 例1：一維周期場中電子的波函數 應當滿足布洛赫定理，若晶格常量為a，電子波函數為 , f為某一確定函數，試求電子在這些狀態的波矢。 解：據布洛赫定理，在周期性勢場中運動的波函數具有以下特點：令m-n=l，據布洛赫定理，即在簡約布里淵區中，即1. 布里淵區定義 在倒格空間中以任意一個倒格點為

6、原點，做原點和其他所有倒格點連線的中垂面(或中垂線)，這些中垂面(或中垂線)將倒格空間分割成許多區域，這些區域稱為布里淵區。5.1.3 布里淵區 第一布里淵區(簡約布里淵區)：圍繞原點的最小閉合區域；取對于已知的晶體結構，如何畫布里淵區呢? 第n+1布里淵區：從原點出發經過n個中垂面(或中垂線)才能到達的區域(n為正整數)。2.布里淵區作圖法晶體結構布拉維晶格倒格點排列 中垂面(中垂線)區分布里淵區倒格基矢正格基矢 例2：下圖是一個二維晶體結構圖，畫出它的第一、第二、第三布里淵區。第一布里淵區第三布里淵區第二布里淵區布里淵區的面積=倒格原胞的面積 高序號布里淵區的各個分散的碎片平移一個或幾個倒

7、格矢進入簡約布里淵區，形成布里淵區的簡約區圖。第一區第二區第三區布里淵區的簡約區圖布里淵區的擴展區圖第一區第二區第三區第四區第五區第六區第七區第八區第九區第十區二維正方晶格的布里淵區的簡約區圖倒格仍為矩形。 例3：畫出下面二維矩形格子的第一和第二布里淵區的擴展區圖和簡約區圖，設矩形邊長分別為 。解:第一區第二區例4：畫出面心立方第一布里淵區。設面心立方晶格常量為a。解：面心立方正格基矢：倒格基矢:面心立方的倒格是邊長為4/a體心立方。倒格基矢：已知體心立方正格基矢:XLK例5：畫出體心立方第一布里淵區。設體心立方晶格常量為a。解：正格基矢：倒格基矢：體心立方倒格是邊長為 4/a的面心立方。已知面心立方正格基矢：HPN正方形正格簡約布里淵區形狀面心立方正方形十四面體(截角八面體)體心立方十二面體簡約布里淵區體積(面積)布里淵區的形狀由晶體結構的布拉維晶格決定；布里淵區的體積(或面