1、 第八章 非牛頓流體流動1 非牛頓流體的流變特性2 擬塑性流體在圓管中的層流運動3 賓漢流體在圓管中的層流運動4 粘彈性流體在圓管中的不穩定層流運動5 擬塑性流體在環空中的層流運動6 非牛頓流體在圓管中的湍流運動1高等流體力學 汪志明教授1 非牛頓流體的流變特性 任何流動問題的數學描述都建立在力學的一般性原理基礎上。這些原理都可以用平衡方程來描述。流體對機械作用的響應不僅依據于這些守恒律，而且取決于該種流體的特性，這種響應稱之為物質的應力應變關系（或以流變曲線的形式給出），而這種應力應變關系稱之為流體的本構方程或流變模式。盡管物質系統都遵守質量守恒方程、動量守恒方程和能量守恒方程，但現實的問題

2、是守恒方程的數目常少于未知數數目。 嚴格意義上，一種特定的本構方程只適用于一種假設的模型化的流體。因此本構關系的建立相當于定義一種假設的流體模型，即用一種近似的方法描述某一特定流體的流變行為。2高等流體力學 汪志明教授1 非牛頓流體的流變特性圖9.1 流體的流變曲線對比3高等流體力學 汪志明教授1.純粘性非牛頓流體 在雙對數坐標系中，擬塑性非牛頓流體的流動曲線斜率小于1，表觀粘度隨剪切速率增加而減?。幻浰苄苑桥ｎD流體的流動曲線斜率大于1，表觀粘度隨剪切速率增加而增大。 沒有一種具有簡單形式的本構方程足以描述不同的擬塑性非牛頓流體。在石油工程中被廣泛應用的在雙對數坐標系中流動曲線為一直線的冪律方

3、程僅適用于有限的剪切速率范圍，其經驗表達式為: 稠度系數、流動指數兩個系數均與溫度有關。1 非牛頓流體的流變特性無時間依存性的非牛頓流體4高等流體力學 汪志明教授1 非牛頓流體的流變特性圖9.2 原油的稠度系數和流動指數隨溫度的變化規律無時間依存性的非牛頓流體5高等流體力學 汪志明教授 。試確定該流體的流變參數。 1 非牛頓流體的流變特性例 9-1有一屬于假塑性流體的 鉆井液，用旋轉粘度計測得的流變性實驗數據如下：當剪切速率 時， ； ，解 假塑性流體的流變方程可寫為兩邊取自然對數可得 例題帶入已知數據6高等流體力學 汪志明教授 在柱坐標系中，冪律流體本構 關系的一種更為精確的表達式為： 顯然

4、其表觀粘度： 在被驗證的范圍內，冪律關系式和實驗數據吻合的很好，但在剪切速率非常低和非常高時，關系式的精度下降。擬塑性非牛頓流體的流動指數總是小于1，大多數原油、細黏土懸浮液、部分鉆井液和清洗液均呈現擬塑性非牛頓流體流動特性。 1 非牛頓流體的流變特性無時間依存性的非牛頓流體7高等流體力學 汪志明教授 賓漢塑性流體是指在剪切速率超過一有限值后才流動，并且隨后其應力應變關系呈現線性關系的一類非牛頓流體。石蠟、瀝青、某些鉆井液、漂浮在空中的灰塵懸浮液和下水道中排放的污液都屬于賓漢流體。賓漢流體的本構方程為: 冪律關系式同樣也可以用于描述脹塑性非牛頓流體，只要選擇不同的稠度系數和流動指數。脹塑性非牛

5、頓流體的流動指數總是大于1。不規則形狀固體顆粒懸浮于液體的稠流體就屬于這種流體，其脹塑性隨濃度迅速變化，濃度低時可能呈現擬塑性流動特性，濃度高時其可能呈現脹塑性非牛頓流體流動特性。 2.粘塑性非牛頓流體1 非牛頓流體的流變特性無時間依存性的非牛頓流體8高等流體力學 汪志明教授圖9.3 不同濃度條件下賓漢型鉆井液的流動曲線1 非牛頓流體的流變特性無時間依存性的非牛頓流體9高等流體力學 汪志明教授 另有三個模型綜合了賓漢模型和冪律模型，反映了低剪切速率下流體介于賓漢模型和冪律模型之間的特性：卡森模型，赫謝爾巴克利（Herschel-Bulkley）模型和羅伯遜史蒂夫（Robertson-Stiff

6、）模型。 卡森模型是兩參數模型，在油漆、涂料、塑料等領域有所應用，在鉆井液中應用較少，其本構方程為：1 非牛頓流體的流變特性無時間依存性的非牛頓流體10高等流體力學 汪志明教授 在石油工程領域，大部分鉆井液和某些原油為帶屈服值的擬塑性非牛頓流體，即赫謝爾巴克利（Herschel-Bulkley）流體，其特點是與賓漢流體一樣具有屈服值，但當應力超過屈服值時其應力應變關系是非線性的。帶屈服值的擬塑性非牛頓流體的本構方程為:1 非牛頓流體的流變特性無時間依存性的非牛頓流體11高等流體力學 汪志明教授 不論是牛頓流體、擬塑性非牛頓流體，還是脹塑性非牛頓流體，它們對剪切應力的響應都是瞬時的，流變行為受系

7、統結構影響，平衡結構依賴于剪切速率。剪切速率改變，平衡結構無滯后地隨之變化，因此稱這種結構的變化為瞬時的、可逆的變化。 羅伯遜史蒂夫（Robertson-Stiff）模型和赫謝爾巴克利（Herschel-Bulkley） 模型同屬三參數模型。羅伯遜史蒂夫（Robertson-Stiff）模型將剪切力作為一個參數，其本構方程為：1 非牛頓流體的流變特性無時間依存性的非牛頓流體12高等流體力學 汪志明教授1.觸變性非牛頓流體 另一類廣泛存在的依時性非牛頓流體的流變特性對剪切速率變化的響應是滯后的，由于流體結構的變化極其緩慢，因此其變化過程不可逆。某些鉆井液和原油就屬于這類依時性非牛頓流體。 如果在

8、剪切速率恒定條件下，剪切應力隨剪切過程的進行而衰減，那么我們稱這種流體為觸變性非牛頓流體。 1 非牛頓流體的流變特性有時間依存性的非牛頓流體 穩定的剪切應力值與剪切速率的關系為： 式中 ，該關系式說明一種與時間無關的極限結構狀態是穩定的，它可以用于描述在管線中輸送幾公里后的原油的流變特性。 13高等流體力學 汪志明教授 在剪切速率恒定條件下，剪切應力隨剪切過程的進行而衰減的規律。隨剪切過程進行，剪切應力漸趨于某一穩定值，而其所需的時間隨剪切速率增大而增大。 圖9.5 在剪切速率恒定條件下，剪切應力隨剪切過程的衰減規律1 非牛頓流體的流變特性有時間依存性的非牛頓流體14高等流體力學 汪志明教授

9、原油的觸變性對相對較短的輸送管線，尤其是油田的地面集輸管線是很重要的。在眾多描述觸變性非牛頓流體的本構關系中，冪律型本構方程是最簡單的一種。基于大量的寬范圍實驗數據，波波克（Bobok）納瓦弟爾（Navratil）（1982）提出了一種相對簡單的流變方程描述觸變性原油，他將原油視為流變特性變化的擬塑性流體，剪切應力隨剪切速率和一個無因次結構參數而變化，即： 1 非牛頓流體的流變特性有時間依存性的非牛頓流體15高等流體力學 汪志明教授 假設觸變性流體的結構完全由依賴于剪切速率和剪切過程的結構參數確定，則方程的物理意義可以從由剪切速率、結構參數和剪切應力三參數正交坐標系中的剪切狀態曲面看出。任何剪

10、切條件的變化都遵循剪切狀態曲面上的一條曲線。 圖9.6 觸變性流體的剪切狀態1 非牛頓流體的流變特性有時間依存性的非牛頓流體16高等流體力學 汪志明教授 等剪切速率過程是不可逆的，它只能沿等剪切速率曲線朝結構參數減小的方向（即觸變結構破壞的方向）進行，因為結構破壞的速度遠快于結構重建的速度，因此我們可以認為等剪切速率過程是不可逆過程。 等剪切速率過程的另一個重要特征是它具有一條描述極限剪切應力值的穩定流動曲線。當剪切速率恒定時，剪切應力和結構參數都隨剪切過程的持續而降低，直至達到穩定的剪切應力值和結構參數值，即等剪切速率曲線不能穿過穩定流動曲線。1 非牛頓流體的流變特性有時間依存性的非牛頓流體

11、17高等流體力學 汪志明教授圖9.7 觸變性流體的流動曲線 實驗結果表明稠度系數隨結構參數而變，但流動指數不變。穩定流動曲面被等剪切速率曲線和等結構參數曲線從不同方向穿過，穿越點C的剪切速率值是評價等結構參數時任意一條流動曲線的稠度系數的重要參量。1 非牛頓流體的流變特性有時間依存性的非牛頓流體18高等流體力學 汪志明教授 等結構參數時任意一條流動曲線與穩定流動曲線相交于C點，顯然有下式成立： 沿等結構參數曲線，稠度系數和流動指數為常數，即當結構參數不變時，觸變性流體實際上呈現擬塑性流體的流變特征，即：當 時， 某一給定的剪切速率值處剪切應力可能小于穩定的剪切應力值。 當 時， 則流變過程是可

12、逆的，即不論何時改變剪切速率，測量得到的剪切應力都將落在曲線上。 1 非牛頓流體的流變特性有時間依存性的非牛頓流體帶入19高等流體力學 汪志明教授 當剪切速率增至某一更高值P點時，該P點瞬時獲得的剪切應力值將落在同樣一條流變曲線上，因為觸變性結構沒有變化。但從即刻起，觸變結構開始改變，剪切狀態將沿等剪切速率曲線達到穩定流動曲線C點，相應的結構破壞過程中剪切應力為：1 非牛頓流體的流變特性有時間依存性的非牛頓流體 當管徑增大或流量減小導致剪切速率減小時，剪切應力是穩定的，但小于穩定剪切應力值。當管徑減小或流量增大導致剪切速率增大時，剪切應力為結構破壞起始時的應力值其大小由（9.15）式確定。 2

13、0高等流體力學 汪志明教授2.振凝性非牛頓流體 假如流體在等剪切速率條件下剪切應力隨剪切時間而增大，那么我們稱之為振凝性流體。最常見的實例就是雞蛋白。盡管振凝性流體作為壓裂液是有用的，但與觸變性流體相比，振凝性流體不太常見。1 非牛頓流體的流變特性有時間依存性的非牛頓流體21高等流體力學 汪志明教授1 非牛頓流體的流變特性粘彈性非牛頓流體1. 爬桿現象圖9.8 威森貝格（Weissenberg）效應試驗 粘彈性流體是指剪切應力同時依賴于剪切速率和變形程度的非牛頓流體。既具有與時間有關的非牛頓流體的全部流變性質又具有部分彈性恢復效應的物料的性質。從某種意義上講，所有液體都具有粘彈性，尤其在很高的

14、剪切速率下流動的情況。 22高等流體力學 汪志明教授2. 擠出脹大現象圖9.9 擠出膨脹對比圖1 非牛頓流體的流變特性粘彈性非牛頓流體23高等流體力學 汪志明教授3. 同心套管軸向流動現象圖9.10 同心套管流動試驗圖1 非牛頓流體的流變特性粘彈性非牛頓流體24高等流體力學 汪志明教授4. 回彈現象 被拉長的彈簧突然松開時會立即縮回原來的長度，即回彈現象。牛頓流體只有粘性而無回彈現象。粘彈性流體有彈性和衰退記憶兩種效應。具備彈性使它區別于牛頓流體，有衰退記憶使它區別于彈性固體。5. 無管虹吸現象圖9.11 虹吸現象對比圖1 非牛頓流體的流變特性粘彈性非牛頓流體25高等流體力學 汪志明教授6.

15、次級流現象圖9.12 牛頓流體次級流 圖9.13 粘彈性流體次級流 1 非牛頓流體的流變特性粘彈性非牛頓流體 盛有牛頓流體（如圖9.12）和粘彈性流體（如圖9.13）的燒杯中，旋轉緊貼在液面上的圓盤，產生的主流方向沿周向，且近圓盤處液層周向速度最大，越接近杯底液層流速越低，杯底處液層流速為零。圓盤旋轉引起的二次流方向如圖所示，兩燒杯中二次流方向相反。牛頓流體的次級流方向可用離心效應解釋，而粘彈性流體的二次流方向尚未得以解釋。其它運動狀態下，粘彈性物料也會產生不同于牛頓流體的次級流現象。26高等流體力學 汪志明教授 馬克斯韋爾（Maxwell）提出了一種描述粘彈性流體的最簡單的本構方程。他認為這

16、種粘彈性流體的剪切速率等于粘性剪切速率和彈性剪切速率之和： 當速度梯度由起始常數值突然降至零時，上述方程則為：1 非牛頓流體的流變特性粘彈性非牛頓流體27高等流體力學 汪志明教授圖9.14 粘彈性松弛圖1 非牛頓流體的流變特性粘彈性非牛頓流體28高等流體力學 汪志明教授 1963年懷特（White）和曼茲納（Metzner）提出了或許是最切合實際的描述粘彈性流體的本構方程，其張量形式為： 對一維穩定層流運動而言，懷特曼茲納（White-Metzner）本構方程即為：1 非牛頓流體的流變特性粘彈性非牛頓流體29高等流體力學 汪志明教授1 非牛頓流體的流變特性粘彈性非牛頓流體 流變儀測量結果和射流

17、膨脹現象證明了懷特曼茲納（White-Metzner）本構方程是正確的。圖9.15給出了法向應力差和剪切應力隨剪切速率變化的規律。有意義的是在低剪切速率時法向應力差和剪切應力相當，而在高剪切速率時，法向應力差高出剪切應力一個數量級。 圖9.15 法向應力差與剪切應力關系圖 30高等流體力學 汪志明教授 第八章 非牛頓流體流動1 非牛頓流體的流變特性2 擬塑性流體在圓管中的層流運動3 賓漢流體在圓管中的層流運動4 粘彈性流體在圓管中的不穩定層流運動5 擬塑性流體在環空中的層流運動6 非牛頓流體在圓管中的湍流運動31高等流體力學 汪志明教授 考察一個如圖所示的具有等截面積的傾斜直圓管。不可壓縮的擬

18、塑性流體在其中做一維的穩定層流運動 。圖9.16 擬塑性流體傾斜圓管流動在柱坐標下的微元體圖2 擬塑性流體在圓管中的層流運動32高等流體力學 汪志明教授2 擬塑性流體在圓管中的層流運動 再由擬塑性流體的本構方程知： 并考慮到管道中沿徑向速度是遞減的，因此切應力方向與流動方向相反，因此有：進一步整理動量方程可得：由動量方程：33高等流體力學 汪志明教授2 擬塑性流體在圓管中的層流運動 積分上式可得管道中擬塑性流體的速度分布為： 式中水力坡降為： 由壁面粘附條件（即壁面速度為零）可得積分常數為：34高等流體力學 汪志明教授2 擬塑性流體在圓管中的層流運動流量：最大流速： 若取平均速度為參考速度，則

19、無因次速度為：壁面切應力： 平均流速： 35高等流體力學 汪志明教授2 擬塑性流體在圓管中的層流運動 若流動指數取1，即牛頓流體，則由圖可知速度分布為我們所知的拋物面。隨流動指數由1逐漸增大（即脹塑性流體），速度分布變的越陡，逐漸趨于一條斜直線。 圖9.17 擬塑性流體流動的無因次速度分布圖36高等流體力學 汪志明教授2 擬塑性流體在圓管中的層流運動以平均流速表示的水頭損失： 若將上式寫成：則摩阻系數為： 對比牛頓流體運動方程中粘性應力的計算，我們可以給出擬塑性流體雷諾數的表達式： 另一種定義雷諾數的方法是參考牛頓流體：37高等流體力學 汪志明教授2 擬塑性流體在圓管中的層流運動圖9.18 摩

20、阻系數與雷諾數關系圖 圖中給出了不同流動指數下雷諾數與摩阻系數間的相互關系。當剪切速率很低時，采用冪律流體本構方程描述粘塑性流體是不合適的，因為管中心處速度梯度趨于零，由此計算出的管中心位置附近的各物理量精度不夠。同時由于管中心附近位置的剪切應力也趨于零，因此由此造成的能量耗散可以忽略不計，采用冪律流體本構方程計算出的摩擦系數和水頭損失也能滿足工程精度。 38高等流體力學 汪志明教授 第八章 非牛頓流體流動1 非牛頓流體的流變特性2 擬塑性流體在圓管中的層流運動3 賓漢流體在圓管中的層流運動4 粘彈性流體在圓管中的不穩定層流運動5 擬塑性流體在環空中的層流運動6 非牛頓流體在圓管中的湍流運動3

21、9高等流體力學 汪志明教授 由第二節可知，任何流體在圓管中的穩定層流運動均滿足同樣的動量方程，即 考慮到圓管中沿徑向流體速度遞減，因此賓漢流體的本構方程為：3 賓漢流體在圓管中的層流運動 由賓漢流體的流變曲線可知，流體必須克服其屈服應力才能運動，因此圓管中賓漢流體運動由兩部分組成：圓管中心附近的流體以均勻速度做剛體般的整體運動；圓管與勻速剛體流體間的環形空間中的流體做剪切流動。圓管中間均速剛體流體的半徑可由下式確定 ：40高等流體力學 汪志明教授 積分上述動量方程，我們就可得環形空間中賓漢流體的剪切流動的速度分布為： 進一步由壁面粘附條件可求得上式中的積分常數為： 所以概括起來，賓漢流體在圓管

22、中的穩定層流運動的速度分布為：3 賓漢流體在圓管中的層流運動 41高等流體力學 汪志明教授 若取圓管中牛頓流體穩定層流運動時的最大速度為參考速度，圖9.19給出了不同無因次屈服應力與壁面應力比值條件下，圓管中賓漢流體在等水力坡降條件下運動時無因次速度隨無因次徑向距離的變化規律。 從圖中可看出，隨屈服應力與壁面應力比值增大，圓管中均速運動的剛體半徑增大，而其速度隨之減小。圖9.19 賓漢流體的無因次速度與無因次距離關系圖3 賓漢流體在圓管中的層流運動 42高等流體力學 汪志明教授 圓管中賓漢流體的流量也由均速運動的剛體運動的流量和環形空間中剪切流動的流量兩部分組成，即： 相應地可計算出平均流速、

23、平均剪切速率為： 因此，水平圓管中賓漢流體的壓力降為： 考慮到以壓力降表示的平均剪切速率（賓漢方程）、壁面剪切應力分別為：3 賓漢流體在圓管中的層流運動 43高等流體力學 汪志明教授則求得摩阻系數為： 式中： 1952年赫得斯托羅姆（Hedstrom）運用無因次分析原理得出賓漢流體在圓管中穩定流動的摩阻系數是實際雷諾數和赫得斯托羅姆（Hedstrom）雷諾數的函數，即：3 賓漢流體在圓管中的層流運動 44高等流體力學 汪志明教授 圖中曲線告訴我們一個重要的結論：隨赫得斯托羅姆（Hedstrom）雷諾數增大，賓漢流體在圓管中由層流轉捩為湍流的臨界雷諾數要比牛頓流體在圓管中流動時的臨界雷諾數著實大

24、的多。圖9.20 摩阻系數同雷諾數的關系圖3 賓漢流體在圓管中的層流運動 45高等流體力學 汪志明教授 最適合計算賓漢流體在圓管中做穩定層流運動時壓力降的公式是賓漢（Buckingham）方程。首先設定某一個壓力降值，并在已知賓漢流體屈服值和粘度條件下逐步計算出圓管中的速度分布和平均剪切速率，這樣就得到一組壓力降和平均剪切速率，然后插值求得實際壓力降。當然也可以直接用牛頓烈佛遜法（Newton-Raphson）方法解四次一元方程賓漢方程。 對帶屈服值的擬塑性流體，其本構方程為： 將其代入動量方程，并考慮到沿徑向速度遞減的事實，則動量方程改為： 3 賓漢流體在圓管中的層流運動 46高等流體力學

25、汪志明教授 顯然，當流動指數取1時，上述的平均剪切速率公式就簡化為賓漢流體的賓漢（Buckingham）方程。由上式計算出的壓力降總是小于賓漢流體時的壓力降，為簡單起見，我們可以用賓漢（Buckingham）方程計算出帶屈服值的擬塑性流體在圓管中的壓力降，但計算值比實際值略高。利用壁面粘附條件（壁面速度為零），可進一步求得帶屈服值的擬塑性流體在圓管中做穩定層流運動時的速度分布和類似于賓漢（Buckingham）方程的平均剪切速率公式為：3 賓漢流體在圓管中的層流運動 47高等流體力學 汪志明教授 第八章 非牛頓流體流動1 非牛頓流體的流變特性2 擬塑性流體在圓管中的層流運動3 賓漢流體在圓管中

26、的層流運動4 粘彈性流體在圓管中的不穩定層流運動5 擬塑性流體在環空中的層流運動6 非牛頓流體在圓管中的湍流運動48高等流體力學 汪志明教授4 粘彈性流體在圓管中的不穩定層流運動 因為彈性力并未出現在等直徑圓管中粘彈性流體的穩定層流流動動量守恒方程中，因此其壓力損失僅受流體粘性影響，實驗數據也表明等直徑圓管內粘彈性流體的穩定層流流動的壓力損失不受流體影響，所以可以將等直徑圓管內粘彈性流體的穩定層流流動當作純粘性流體流動處理（牛頓流體或擬塑性流體）。但是，在快速振蕩流動中粘彈性流體作用特別重要。為此，我們下面考慮馬克斯韋爾（Maxwell）模型流體在圓管中做層流流動時流量與壓力降的關系。49高等

27、流體力學 汪志明教授 并考慮到軸對稱性，忽略質量力，則動量方程改為： 若取柱坐標系，并假定只有軸向速度，即： 當馬克斯韋爾（Maxwell）流體在圓管內作速度很小的層流流動時，其本構方程為： 將上述速度分量代入下列柱坐標系中的連續性方程和動量方程：4 粘彈性流體在圓管中的不穩定層流運動50高等流體力學 汪志明教授 若剪切應力、速度和壓力梯度等流動參數按下列關系式周期性變化。 將改寫后的本構方程代入動量方程，則有： 將改寫后的本構方程代入動量方程： 積分上式，并利用下列邊界條件：4 粘彈性流體在圓管中的不穩定層流運動51高等流體力學 汪志明教授 式中 為零階貝塞爾函數， 為貝塞爾方程的連續根。利

28、用速度分布求得流量為： 式中 為一階貝塞爾函數，若將貝塞爾函數按級數展開，并考慮到 ，則流量為：求解動量方程得：式中括弧內第一項為彈性項，第二項為慣性項。 4 粘彈性流體在圓管中的不穩定層流運動52高等流體力學 汪志明教授 第八章 非牛頓流體流動1 非牛頓流體的流變特性2 擬塑性流體在圓管中的層流運動3 賓漢流體在圓管中的層流運動4 粘彈性流體在圓管中的不穩定層流運動5 擬塑性流體在環空中的層流運動6 非牛頓流體在圓管中的湍流運動53高等流體力學 汪志明教授5 擬塑性流體在環空中的層流運動圖9.21 擬塑性流體在環空中流動 在鉆井和完井作業中，存在著鉆井泥漿或水泥漿在井壁與鉆桿的環形空間中的流

29、動，由于大多數鉆井泥漿屬于擬塑性流體或觸變擬塑性流體，因此研究環形空間中擬塑性流體流動規律的意義是顯而易見的。54高等流體力學 汪志明教授柱坐標系中的動量方程為: 下面我們來考察無限長的同心圓管間的環形空間中不可壓縮擬塑性流體自上而下的穩定層流運動。柱坐標系如9.21圖所示，流動方向與同心軸正向相同，因此速度分量為：5 擬塑性流體在環空中的層流運動55高等流體力學 汪志明教授5 擬塑性流體在環空中的層流運動56高等流體力學 汪志明教授這樣就可進一步求得積分常數為： 因此環形空間中擬塑性流體滿足的動量方程可改寫為： 將擬塑性流體的本構方程代入，并對上式積分一次可得： 考慮到速度分量的取值，因此動

30、量方程簡化為：考慮到最大流速處剪切速率為零，即：5 擬塑性流體在環空中的層流運動57高等流體力學 汪志明教授 與圓管中擬塑性流體運動時情況不同的是環形空間中存在兩個不同符號的剪切速率區域，一個是最大速度點與內壁面間區域，另一個是最大速度點與外壁面間區域。前者內剪切速率為正值，后者內剪切速率為負值，因此下面我們分兩個區域來考察擬塑性流體的流動規律。 首先考察剪切速率為正值的流動區域。我們注意到該區域內速度梯度大于零，任一點的半徑都小于最大流速處的半徑，因此該區域內的動量方程為：5 擬塑性流體在環空中的層流運動58高等流體力學 汪志明教授 考慮到上式右邊是單調函數，因此可以用線性插值函數來取代，即

31、： 利用內壁半徑值和最大流速處半徑值，即可求得上式中的待定常數： 所以積分動量方程，并考慮到利用內壁面粘附條件求得積分常數，因此最后求得的速度分布為： 5 擬塑性流體在環空中的層流運動59高等流體力學 汪志明教授 進一步利用外壁半徑值和最大流速處半徑值，即可求得上式中的待定常數： 同樣地，我們可用插值函數來取代上式右邊的單調函數，即： 其次考察剪切速率為負值的流動區域，該區域內速度梯度小于零，任一點的半徑都大于最大流速處的半徑，因此該區域內的動量方程為：5 擬塑性流體在環空中的層流運動60高等流體力學 汪志明教授 在上述兩個剪切流動區域的速度計算公式中，利用最大流速處的速度匹配條件可以解出最大

32、流速處的半徑，即： 所以積分動量方程，并考慮到利用外壁面粘附條件求得積分常數，因此最后求得的速度分布為：5 擬塑性流體在環空中的層流運動61高等流體力學 汪志明教授式中： 規律后，我們就很容易計算出通過圓管截面的流量是：5 擬塑性流體在環空中的層流運動62高等流體力學 汪志明教授 進一步可得平均流速、水力坡降和水頭損失分別為： 考慮到威斯巴赫（Weisbach）摩阻公式： 對于流體在非圓截面的管道中的運動，我們采用水力半徑的概念，因此環空截面的水力半徑為：因此可得摩阻系數和雷諾數為： 5 擬塑性流體在環空中的層流運動63高等流體力學 汪志明教授 第八章 非牛頓流體流動1 非牛頓流體的流變特性2 擬塑性流體在圓管中的層流運動3 賓漢流體在圓管中的層流運動4 粘彈性流體在圓管中的不穩定層流運動5 擬塑性流體在環空中的層流運動6 非牛頓流體在圓管中的湍流運動64高等流體力學 汪志明教授6 非牛頓流體在圓管中的湍流運動 對于任何非牛頓流體流動，當雷諾數超過臨界雷諾