第1頁（共1頁）2025年山東省淄博市張店區中考數學二模試卷一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題所給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確的選項填涂在答題紙的相應位置上）1．（4分）下列各數中，比﹣1小的數是（）A． B． C．0 D．2．（4分）下面四幅圖片分別是某些地方省市博物館或博物院的標志，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（4分）下列運算，正確的是（）A．xy2﹣xy＝y B．x2?x3＝x6 C．x6÷x2＝x3 D．（﹣2x）2＝4x24．（4分）將∠C＝90°，∠B＝60°的三角板ABC如圖放置．已知l1∥l2，∠1＝49°，則∠2等于（）A．78° B．79° C．80° D．81°5．（4分）小明對學校戲劇社20名成員進行年齡調查，結果如表所示，其中有部分數據被墨跡遮擋，能夠分析得出的是（）年齡（歲）11121314人數（名）65A．平均數 B．眾數 C．中位數 D．方差6．（4分）如圖，在矩形ABCD中，擺放著正方形ADFE和正方形EHGB（點G在BC上）正方形ADFE＝5，S正方形EHGB＝3，則陰影部分矩形RDCG的面積等于（）A．1 B．2 C．3 D．47．（4分）我國古代數學著作《算法統宗》中記載了這樣一道題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺，繩多一尺．繩長、井深各幾何？其大意為：用繩子測量井的深度，如果將繩子折成三等份，如果將繩子折成四等份，則一份繩長比井深多1尺，并深y尺，則下列所列方程組正確的是（）A． B． C． D．8．（4分）如圖，在矩形ABCD中，點M為邊BC的中點，連接DM，DN．若DM平分∠CDN，BN＝1，則DN的長為（）A．4 B． C．5 D．9．（4分）甲、乙兩人在筆直的公路上同起點、同終點、同方向勻速步行2400米，先到終點的人原地休息．已知甲先出發4分鐘，在整個步行過程中（米）與甲出發的時間t（分鐘）之間的函數關系如圖所示（）A．乙用12分鐘追上甲 B．甲步行的速度為60米/分鐘 C．乙步行的速度為80米/分鐘 D．乙到達終點時，甲離終點還有600米10．（4分）如圖，在⊙O中，C為半圓ACB上一點（AB為⊙O的直徑），BC，點E，BC上，連接EF，使點C恰好落在圓心O上．若已知AB＝10，tan∠BAC＝（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共計20分.不需寫出解答過程，請把最后結果直接填寫在答題卡相應位置上）11．（4分）2的算術平方根是．12．（4分）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，A，B兩點的坐標分別為（﹣3，2），（﹣1，4）（0，0）按順時針方向旋轉后得到線段A′B′．若點A的對應點A′的坐標為（2，3），則點B的對應點B′的坐標為．13．（4分）如果x﹣1是關于x的多項式x2+mx﹣2的一個因式，則常數m的值為．14．（4分）Rt△AOB和Rt△BOC為兩塊大小不同的含30°角的三角板，在平面直角坐標系內如圖所示擺放（點A在y軸的正半軸上），∠OAB＝∠OBC＝90°，反比例函數的圖象恰好經過點C．若SRt△AOB＝3，則k＝．15．（4分）如圖，有一菱形場地ABCD，小明給該場地設計了一種花卉種植方案：在對角線AC上取動點E，F（點E在點F的左邊），DF，BE，四條小路圍成的陰影BEDF區域用來種植某種花卉．已知AD＝25米，AC＝40米，為使種植該種花卉的費用最低，需陰影BEDF區域的面積最小米．三、解答題（本題共8小題，請把解答過程寫在答題紙上）16．解不等式組，請把解集在下面的數軸上表示出來，并求所有整數解的和．17．如圖1，△ABC和△DFE，點E，B，F，已知AB＝DF，AB∥DF（1）求證：△ABC≌△DFE；（2）如圖2，連接AE，CD，并說明理由．18．定義：若分式M與分式N的差等于它們的積，即M﹣N＝M?N，則稱分式N是分式M的“和美分式”．（1）判斷分式是否為分式的“和美分式”；（2）小穎在求分式的“和美分式”時，用了以下方法：設的“和美分式”為A，則，所以，整理得，所以，．請你仿照小穎的方法，求分式的“和美分式”．19．齊風泱泱，淄水湯湯，幸福河湖潤澤百姓幸福生活，有孝婦河、齊盛湖、文昌湖、馬踏湖4個目的地選擇．為了解學生的參與情況，該校隨機抽取了部分學生的報名情況（每人選報一個目的地）（如圖）．請你根據圖中信息，解答下列問題：（1）本次抽樣調查的總人數為，請將條形統計圖補充完整；（2）扇形統計圖中“文昌湖”對應的圓心角為度，若該學校共有學生1000名，請估計參加“文昌湖游河湖研學”的學生有多少人？（3）研學活動有文藝類的“A：現場繪畫”和“B：情境寫作”及實踐類的“C：水質調研”和“D：植被調研”，共4項活動，為平衡活動方案，請用畫樹狀圖或列表法求出某班級剛好抽到一個文藝類活動和一個實踐類活動的概率．20．如圖，直線與雙曲線，B兩點，連接OA，過點A作AC⊥x軸于點C，交OB于點D（1）設點A的橫坐標為m，請直接寫出點B的坐標；（用含m，k的代數式表示）（2）在（1）的條件下，當m＝2時；（3）在（2）的條件下，請直接寫出關于x的不等式21．某校“綜合與實踐”活動小組在老師的指導下開展了項目式學習活動，下表是活動任務單．活動主題測算某景區山的高度測量工具皮尺，測角儀，水平儀器等模型抽象如圖，AM是山腳的水平線，大山高BD垂直于水平線AM于點D．測量過程與數據信息1．在山腳A處測出山頂B的仰角∠BAM＝45°；2．沿著山坡前進100m到達C處；3．在C處測出山頂B的仰角∠BCN＝50°，山坡的坡角∠CAM＝20°．（注：圖中所有點均在同一平面內）請根據表格中提供的信息，解決下列問題（結果保留整數）：（1）求坡面AC的水平距離和垂直距離；（2）求山的高度，即求線段BD的長．科學計算器按鍵順序計算結果（已取近似值）0.340.940.360.770.641.1922．【概念呈現】如圖1，在△ABC中，若∠A是鈍角，則稱△ABC為和諧三角形，∠B叫做△ABC的和諧角．【概念理解】（1）根據【概念呈現】中“和諧三角形”的概念，完成下列問題：①在如圖1的和諧三角形ABC中，若∠A＝110°，∠B是△ABC的和諧角；②若和諧三角形是等腰三角形時，則該和諧三角形的和諧角的度數為；【性質探究】（2）愛探索思考的小強根據【概念呈現】中“和諧三角形”的概念發現：在如圖1的和諧三角形ABC中，若∠A是鈍角，∠B是△ABC的和諧角的結論，請同樣愛探索思考的你證明小強的結論；【拓展應用】（3）如圖2，Rt△ABC是⊙O的內接三角形，∠ACB＝90°，BC＝6，點P是邊AB上一點，是否存在△ACP是和諧三角形？若存在，請直接寫出弦CD的長，請說明理由．23．如圖1，拋物線L：y＝ax2+2x+c與x軸相交于A，B（3，0）兩點，與y軸相交于C（0，3）點1交該拋物線于另一點E．（1）求該拋物線的表達式；（2）如圖2，當點E與點C重合時，在直線l1上方的拋物線上任意取一點D，連接DO，交直線l1于點P．設，當t取得最大值時，求點D的坐標及此時t的最大值；（3）如圖3，經過點B不同于l1的另一直線l2交該拋物線于另一點F．當E，F均為x軸上方拋物線上的兩點（點E在點F的左邊）時，直線l1，l2與y軸分別相交于點M，N．若OM?ON＝3，試探究是否存在定點Q在直線EF上，請求出定點Q的坐標；若不存在

2025年山東省淄博市張店區中考數學二模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案A．ADBCBCCDB一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題所給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確的選項填涂在答題紙的相應位置上）1．（4分）下列各數中，比﹣1小的數是（）A． B． C．0 D．【解答】解：A．＜﹣1；B．∵|，|﹣1|＝1，，∴＞﹣1；C．0＞﹣6；D．＞﹣8；故選：A．2．（4分）下面四幅圖片分別是某些地方省市博物館或博物院的標志，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：選項B、C、D的圖形不能找到一條直線，直線兩旁的部分能夠互相重合．選項A的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，所以是軸對稱圖形．故選：A．3．（4分）下列運算，正確的是（）A．xy2﹣xy＝y B．x2?x3＝x6 C．x6÷x2＝x3 D．（﹣2x）2＝4x2【解答】解：A．∵xy2，xy不是同類項，不能合并，故此選項不符合題意；B．∵x2?x7＝x5，∴此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；C．∵x6÷x5＝x4，∴此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；D．∵（﹣2x）8＝4x2，∴此選項的計算正確，故此選項符合題意；故選：D．4．（4分）將∠C＝90°，∠B＝60°的三角板ABC如圖放置．已知l1∥l2，∠1＝49°，則∠2等于（）A．78° B．79° C．80° D．81°【解答】解：如圖，∵l1∥l2，∴∠3＝∠2，∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∵∠1＝49°，∴∠4＝∠1+∠A＝79°，∴∠2＝79°，故選：B．5．（4分）小明對學校戲劇社20名成員進行年齡調查，結果如表所示，其中有部分數據被墨跡遮擋，能夠分析得出的是（）年齡（歲）11121314人數（名）65A．平均數 B．眾數 C．中位數 D．方差【解答】解：由題意知，13，則這組數據的中位數為＝12（歲），故選：C．6．（4分）如圖，在矩形ABCD中，擺放著正方形ADFE和正方形EHGB（點G在BC上）正方形ADFE＝5，S正方形EHGB＝3，則陰影部分矩形RDCG的面積等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：設正方形ADFE的邊長為a，正方形EHGB邊長為b，∵S正方形ADFE＝5，S正方形EHGB＝3，∴a5＝5，b2＝4，根據正方形和矩形的性質得：CD＝a+b，RD＝a﹣b，∴陰影部分矩形RDCG的面積為：CD?RD＝（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＝8．故選：B．7．（4分）我國古代數學著作《算法統宗》中記載了這樣一道題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺，繩多一尺．繩長、井深各幾何？其大意為：用繩子測量井的深度，如果將繩子折成三等份，如果將繩子折成四等份，則一份繩長比井深多1尺，并深y尺，則下列所列方程組正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：∵如果將繩子折成三等份，則一份繩長比井深多4尺，∴﹣y＝8；∵如果將繩子折成四等份，則一份繩長比井深多1尺，∴﹣y＝6．∴根據題意可列出方程組．故選：C．8．（4分）如圖，在矩形ABCD中，點M為邊BC的中點，連接DM，DN．若DM平分∠CDN，BN＝1，則DN的長為（）A．4 B． C．5 D．【解答】解：如圖，過點M作DH⊥DN于H，∵AN＝3，BN＝1，∴AB＝8＝DC，∵點M為邊BC的中點，∴CM＝BM，∵DM平分∠CDN，∴∠CDM＝∠NDM，又∵∠C＝∠DHM＝90°，DM＝DM，∴△DMC≌△DMH（AAS），∴HM＝CM，DC＝DH＝4，∴BM＝HM，又∵MN＝MN，∴Rt△MHN≌Rt△MBN（HL），∴BN＝HN＝1，∴DN＝DH+HN＝6，故選：C．9．（4分）甲、乙兩人在筆直的公路上同起點、同終點、同方向勻速步行2400米，先到終點的人原地休息．已知甲先出發4分鐘，在整個步行過程中（米）與甲出發的時間t（分鐘）之間的函數關系如圖所示（）A．乙用12分鐘追上甲 B．甲步行的速度為60米/分鐘 C．乙步行的速度為80米/分鐘 D．乙到達終點時，甲離終點還有600米【解答】解：乙用16﹣4＝12（分鐘）追上甲，∴A正確，不符合題意；甲步行的速度為240÷4＝60（米/分鐘），∴B正確，不符合題意；設乙步行的速度為v米/分鐘，則12（v﹣60）＝240，解得v＝80，∴乙步行的速度為80米/分鐘，∴C正確，不符合題意；乙到達終點所用時間為2400÷80＝30（分鐘），此時甲離終點還有2400﹣60×（2+30）＝360（米），∴D不正確，符合題意．故選：D．10．（4分）如圖，在⊙O中，C為半圓ACB上一點（AB為⊙O的直徑），BC，點E，BC上，連接EF，使點C恰好落在圓心O上．若已知AB＝10，tan∠BAC＝（）A． B． C． D．【解答】解：連接OC，由題意知：C和O關于EF對稱，∴EF垂直平分OC，∵AB＝10，∴OC＝AB＝4，∴CH＝OC＝6.5，∵AB是圓的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠ECH+∠FCH＝∠CFH+∠FCH＝90°，∴∠ECH＝∠CFH，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ECH，∴tan∠ECH＝tan∠CFH＝tan∠BAC＝，∴＝＝，∴EH＝FH＝，∴EF＝EH+FH＝．故選：B．二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共計20分.不需寫出解答過程，請把最后結果直接填寫在答題卡相應位置上）11．（4分）2的算術平方根是．【解答】解：∵2的平方根是±，∴6的算術平方根是．故答案為：．12．（4分）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，A，B兩點的坐標分別為（﹣3，2），（﹣1，4）（0，0）按順時針方向旋轉后得到線段A′B′．若點A的對應點A′的坐標為（2，3），則點B的對應點B′的坐標為（4，1）．【解答】解：建立平面直角坐標系如圖所示，由題意可得，線段AB繞原點O（0，∴點B的對應點B′的坐標為（4，8）．故答案為：（4，1）．13．（4分）如果x﹣1是關于x的多項式x2+mx﹣2的一個因式，則常數m的值為1．【解答】解：設多項式x2+mx﹣2的另一個因式為（x+k），根據題意得：x6+mx﹣2＝（x﹣1）（x+k），解得k＝7，∴多項式x2+mx﹣2的另一個因式為（x+3），∵（x﹣1）（x+2）＝x7+x﹣2，∴m＝1．故答案為：3．14．（4分）Rt△AOB和Rt△BOC為兩塊大小不同的含30°角的三角板，在平面直角坐標系內如圖所示擺放（點A在y軸的正半軸上），∠OAB＝∠OBC＝90°，反比例函數的圖象恰好經過點C．若SRt△AOB＝3，則k＝8．【解答】解：如圖所示，作CD⊥AB交AB的延長線于點D，∵∠OAB＝∠OBC＝90°，∠AOB＝∠BOC＝30°，故設AB＝a，則AO＝，∵SRt△AOB＝3，即，∴，．∵∠ABO+∠DBC＝90°，∠ABO+∠AOB＝90°，∴∠DBC＝∠AOB，又∵∠OAB＝∠BDC＝90°，∴△ABO∽△DCB，∴，故BE＝＝a＝，故點C的坐標為（2a，），∴k＝2a×＝＝3．故答案為：8．15．（4分）如圖，有一菱形場地ABCD，小明給該場地設計了一種花卉種植方案：在對角線AC上取動點E，F（點E在點F的左邊），DF，BE，四條小路圍成的陰影BEDF區域用來種植某種花卉．已知AD＝25米，AC＝40米，為使種植該種花卉的費用最低，需陰影BEDF區域的面積最小（）米．【解答】解：作△DEF的外接圓⊙G，連接DB、GE，過點G作GH⊥EF，設半徑為r，∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，，OA＝OC＝，＝∴OD＝，∵AC所在直線是菱形ABCD的對稱軸，∴△BEF≌△DEF，∠EDF＝∠EBF＝30°，∴陰影BEDF區域的面積＝7S△DEF，∴陰影BEDF區域的面積＝EF＝15EF，∴當EF最小時，陰影BEDF區域的面積最小，∵，∴∠EGF＝2∠EDF＝60°，∵EG＝FG，∴△EGF是等邊三角形，∴EF＝EG＝FG＝r，∵GH⊥EF，∴EH＝，∴，∵DG+GH≥OD，∴，∴，∴當時，陰影BEDF區域的面積最小，故答案為：（）．三、解答題（本題共8小題，請把解答過程寫在答題紙上）16．解不等式組，請把解集在下面的數軸上表示出來，并求所有整數解的和．【解答】解：，解不等式①，得x＜3，解不等式②，得x≥﹣2，所以，原不等式組的解集為﹣8≤x＜3，該不等式的解集在數軸上可表示為：，該不等式所有整數解的和為：﹣2+（﹣2）+0+1+8＝0．17．如圖1，△ABC和△DFE，點E，B，F，已知AB＝DF，AB∥DF（1）求證：△ABC≌△DFE；（2）如圖2，連接AE，CD，并說明理由．【解答】（1）證明：∵AB∥DF，∴∠ABC＝∠DFE，在△ABC和△DFE中，∴△ABC≌△DFE（ASA）；（2）解：四邊形AEDC是平行四邊形，理由如下：∵△ABC≌△DFE，∴AC＝ED，∠ACE＝∠DEC，∴AC∥ED，∴四邊形AEDC是平行四邊形．18．定義：若分式M與分式N的差等于它們的積，即M﹣N＝M?N，則稱分式N是分式M的“和美分式”．（1）判斷分式是否為分式的“和美分式”；（2）小穎在求分式的“和美分式”時，用了以下方法：設的“和美分式”為A，則，所以，整理得，所以，．請你仿照小穎的方法，求分式的“和美分式”．【解答】解：（1）分式是分式，理由如下：∵＝＝＝＝，∴分式是分式；（2）設的“和美分式”為A，∴，，，∴＝＝＝＝，∴的“和美分式”為．19．齊風泱泱，淄水湯湯，幸福河湖潤澤百姓幸福生活，有孝婦河、齊盛湖、文昌湖、馬踏湖4個目的地選擇．為了解學生的參與情況，該校隨機抽取了部分學生的報名情況（每人選報一個目的地）（如圖）．請你根據圖中信息，解答下列問題：（1）本次抽樣調查的總人數為20人，請將條形統計圖補充完整；（2）扇形統計圖中“文昌湖”對應的圓心角為126度，若該學校共有學生1000名，請估計參加“文昌湖游河湖研學”的學生有多少人？（3）研學活動有文藝類的“A：現場繪畫”和“B：情境寫作”及實踐類的“C：水質調研”和“D：植被調研”，共4項活動，為平衡活動方案，請用畫樹狀圖或列表法求出某班級剛好抽到一個文藝類活動和一個實踐類活動的概率．【解答】解：（1）本次抽樣調查的總人數為6÷30%＝20（人）．“馬踏湖”的人數為20×20%＝4（人）．補全條形統計圖如圖所示．故答案為：20人．（2）扇形統計圖中“文昌湖”對應的圓心角為360°×＝126°．估計參加“文昌湖游河湖研學”的學生約有1000×＝350（人）．故答案為：126．（3）列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）共有12種等可能的結果，其中某班級剛好抽到一個文藝類活動和一個實踐類活動的結果有：（A，（A，（B，（B，（C，（C，（D，（D，共8種，∴某班級剛好抽到一個文藝類活動和一個實踐類活動的概率為．20．如圖，直線與雙曲線，B兩點，連接OA，過點A作AC⊥x軸于點C，交OB于點D（1）設點A的橫坐標為m，請直接寫出點B的坐標；（用含m，k的代數式表示）（2）在（1）的條件下，當m＝2時；（3）在（2）的條件下，請直接寫出關于x的不等式【解答】解：（1）∵點A的橫坐標為m，AC⊥x軸于點C，∴D點的橫坐標為m，∵OD＝BD．∴點D為OB的中點，∴B的橫坐標為2m，∵B點在雙曲線上，∴；（2）∵直線與雙曲線，B兩點，∴將A的橫坐標m＝8代入和中，得，，將B的橫坐標2m＝2×3＝4代入和中，得，，解方程組，得，∴該雙曲線的表達為，該直線的表達為，解方程組得，，∴點A的坐標為（2，6），3），設該直線與x軸交于F，∴F（2，0），9），∴S△AOB＝S△EOF﹣S△AOE﹣S△BOF＝＝2，∴△AOB的面積為9；（3）由圖象知，關于x的不等式．21．某校“綜合與實踐”活動小組在老師的指導下開展了項目式學習活動，下表是活動任務單．活動主題測算某景區山的高度測量工具皮尺，測角儀，水平儀器等模型抽象如圖，AM是山腳的水平線，大山高BD垂直于水平線AM于點D．測量過程與數據信息1．在山腳A處測出山頂B的仰角∠BAM＝45°；2．沿著山坡前進100m到達C處；3．在C處測出山頂B的仰角∠BCN＝50°，山坡的坡角∠CAM＝20°．（注：圖中所有點均在同一平面內）請根據表格中提供的信息，解決下列問題（結果保留整數）：（1）求坡面AC的水平距離和垂直距離；（2）求山的高度，即求線段BD的長．科學計算器按鍵順序計算結果（已取近似值）0.340.940.360.770.641.19【解答】解：（1）如圖，過點C作CH⊥AM于點H，在Rt△ACH中，sin∠CAH＝，得CH＝AC?sin∠CAH＝100×sin20°≈100×0.34＝34（m），AH＝AC?cos∠CAH＝100×cos20°≈100×0.94＝94（m），答：坡面AC的水平距離和垂直距離分別是94m和34m；（2）設CN＝xm，由四邊形CHDN是矩形，得HD＝xm，∴AD＝AH+HD＝（94+x）m，BD＝BN+DN＝（BN+34）m，∵∠BAM＝45°，∴AD＝BD，∴94+x＝BN+34，在Rt△BCN中，tan∠BCN＝，得，BN＝CN?tan∠BCN＝x?tan50°≈6.19x，所以，94+x＝1.19x+34，解得，x≈316m，∴BD＝AD＝AH+DH≈94+316＝410（m），答：山的高度為410m．22．【概念呈現】如圖1，在△ABC中，若∠A是鈍角，則稱△ABC為和諧三角形，∠B叫做△ABC的和諧角．【概念理解】（1）根據【概念呈現】中“和諧三角形”的概念，完成下列問題：①在如圖1的和諧三角形ABC中，若∠A＝110°，∠B是△ABC的和諧角20°；②若和諧三角形是等腰三角形時，則該和諧三角形的和諧角的度數為30°；【性質探究】（2）愛探索思考的小強根據【概念呈現】中“和諧三角形”的概念發現：在如圖1的和諧三角形ABC中，若∠A是鈍角，∠B是△ABC的和諧角的結論，請同樣愛探索思考的你證明小強的結論；【拓展應用】（3）如圖2，Rt△ABC是⊙O的內接三角形，∠ACB＝90°，BC＝6，點P是邊AB上一點，是否存在△ACP是和諧三角形？若存在，請直接寫出弦CD的長，請說明理由．【解答】（1）解：①由題意得：∠A＝∠B+90°，∴∠B＝110°﹣90°＝20°．故答案為：20°；②由題意：∠A＝∠B+90°，∠B＝∠C，∴180°﹣2∠B＝∠B+90°，∴∠B＝30°．故答案為：30°；（2）證明：作DA⊥AB，交BC于點D，則：∠BAD＝90°，tanB＝．∵∠BAC是鈍角，∠B是△ABC的和諧角，∴∠BAC＝∠B+90°，∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝90°+∠CAD，∴∠B＝∠CAD，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴，∴．（3）解：存在△ACP是和諧三角形，或.理由：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∴．若△ACP是和諧三角形，則∠APC為鈍角，①當∠APC＝90°+∠CAP時，連接AD，作CF⊥AB，由（2）可知：，∵tan∠CAP＝．∴CP＝BC＝6，∴∠CPB＝∠B，∵∠D＝∠B，∠CPB＝∠APD，∴∠D＝∠APD，∴AP＝AD，∵CF⊥AB，∠ACB＝90°，∴si，cos∠BAC＝，∴CF＝AC＝，．在Rt△CFP中，由勾股定理，∴AD＝AP＝AF﹣PF＝，．∴∠D＝∠B，∠APD＝∠BPC，∴△ADP∽△CBP，∴，即：，∴，∴；②當∠APC＝90°+∠AC時，連接AD，BD，如圖，則：∠ACP＝∠ABD，∠ADB＝90°，∵∠APC＝∠BPD，∴∠BPD＝90°+∠PBD，即：△BDP為和諧三角形，∠PBD為