甘肅省蘭州市第六十三中學2024-2025學年高一上學期期末數學試卷(含答案)一、選擇題要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖象開口向上，且頂點坐標為$(1,2)$，則下列哪個選項是正確的？A.$a>0,b>0,c>0$B.$a>0,b<0,c>0$C.$a<0,b>0,c<0$D.$a<0,b<0,c<0$2.在等差數列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，$a_4=9$，則該數列的公差$d$等于多少？A.1B.2C.3D.4二、填空題要求：在每小題空格內填上恰當的數字或字母。3.若$a,b,c$是等差數列中的三個連續項，且$a+b+c=12$，$a^2+b^2+c^2=36$，則$a+b+c$的值是____。4.已知函數$f(x)=\frac{1}{x}+2$，則$f(x)$的定義域為____。三、解答題要求：解答下列各題。5.（1）已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$S_5=50$，$S_8=80$，求該數列的首項$a_1$和公差$d$；（2）已知數列$\{b_n\}$的通項公式為$b_n=2n+1$，求證：$\{b_n\}$是等差數列，并求出該數列的公差。6.（1）若函數$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖象開口向上，且頂點坐標為$(1,2)$，求函數$f(x)$的解析式；（2）已知函數$g(x)=\frac{1}{x}+2$，求函數$g(x)$的值域。四、解答題要求：解答下列各題。7.（1）已知函數$f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}$，求函數$f(x)$的定義域；（2）若函數$y=x^2-2ax+a^2$的圖象開口向上，且頂點坐標為$(2,-1)$，求實數$a$的值。五、解答題要求：解答下列各題。8.（1）已知數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$S_n=3n^2-2n$，求該數列的首項$a_1$；（2）若數列$\{b_n\}$的通項公式為$b_n=3^n-2^n$，求證：$\{b_n\}$是等比數列，并求出該數列的首項和公比。六、解答題要求：解答下列各題。9.（1）已知函數$h(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求函數$h(x)$的值域；（2）若函數$p(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖象經過點$(1,3)$和$(3,5)$，求實數$a$，$b$，$c$的值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：由于函數的圖象開口向上，所以$a>0$。頂點坐標為$(1,2)$，根據頂點公式，$-\frac{b}{2a}=1$，所以$b=-2a$。因為頂點在圖象上，所以$f(1)=2$，代入函數得$a+b+c=2$，結合$b=-2a$，得到$a-2a+c=2$，即$c=2a+2$。由于$a>0$，所以$c>0$，且$b=-2a<0$，故選B。2.B解析：等差數列的公差$d=a_4-a_1=9-3=6$。二、填空題3.6解析：由等差數列的性質，$a+b+c=3d$，代入$a+b+c=12$，得$3d=12$，所以$d=4$。又因為$a+b+c=3d$，所以$a+b+c=12$，即$a+(a+d)+(a+2d)=12$，解得$a=2$，所以$a+b+c=6$。4.$\{x|x\neq0\}$解析：函數$f(x)=\frac{1}{x}+2$的定義域是所有使得分母不為零的$x$的集合，即$x$不能等于0。三、解答題5.（1）$a_1=5$，$d=5$解析：$S_5=\frac{5}{2}(2a_1+4d)=50$，$S_8=\frac{8}{2}(2a_1+7d)=80$，解這個方程組得$a_1=5$，$d=5$。（2）證明：$b_{n+1}-b_n=(2(n+1)+1)-(2n+1)=2$，所以$\{b_n\}$是等差數列，公差為2。6.（1）$f(x)=x^2-2x+1$解析：由于頂點坐標為$(1,2)$，代入頂點公式得$a=1$，$b=-2a=-2$，$c=a^2-b^2=1$，所以$f(x)=x^2-2x+1$。（2）值域為$(-\infty,3]$解析：函數$g(x)=\frac{1}{x}+2$在$x\neq0$時取值，當$x$接近0時，$\frac{1}{x}$的絕對值無限增大，所以$g(x)$可以取到任意大的正值；當$x$為正數時，$g(x)$隨著$x$的增大而減小，所以$g(x)$可以取到任意大的負值。因此，值域為$(-\infty,3]$。四、解答題7.（1）$\{x|x\geq2\text{或}x\leq1\}$解析：函數$f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}$的定義域是使得$x^2-4x+3\geq0$的$x$的集合。解不等式$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\geq0$，得$x\leq1$或$x\geq3$。（2）$a=1$，$b=-4$，$c=4$解析：由于頂點坐標為$(2,-1)$，代入頂點公式得$a=1$，$b=-2a=-2$，$c=a^2-b^2=1$。又因為函數經過點$(1,3)$和$(3,5)$，代入這些點得到兩個方程，解這個方程組得$a=1$，$b=-4$，$c=4$。五、解答題8.（1）$a_1=3$解析：$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，代入$S_n=3n^2-2n$，解得$a_1=3$。（2）證明：$b_{n+1}=3^{n+1}-2^{n+1}$，$b_n=3^n-2^n$，所以$b_{n+1}-b_n=3\cdot3^n-2\cdot2^n-(3^n-2^n)=2\cdot3^n-2^n$，這是一個常數，所以$\{b_n\}$是等比數列，首項$b_1=3$，公比$q=3$。六、解答題9.（1）$\{y|y\neq2\}$解析：函數$h(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$可以簡化為$h(x)=x+2$，因為$x^2-4$可以分解為$(x-2)(x+2)$。所以$h(x)$的定義域是所有使得$x-2\neq0$的$x$的集合，即$