1、定義定義1 1維向量維向量設有設有n,2121 nnyyyxxx nnyxyxyx 2211),( 令令.),(的內積的內積與與稱為向量稱為向量 闡明闡明1 維向量的內積是維向量的內積是3維向量數量積維向量數量積的推行，但是沒有的推行，但是沒有3維向量直觀的幾何意義維向量直觀的幾何意義 4 nn.),( :, 2 T為為內積可用矩陣記號表示內積可用矩陣記號表示向量向量都是列都是列如果如果內積是向量的一種運算內積是向量的一種運算內積的運算性質內積的運算性質 :,為為實實數數維維向向量量為為其其中中 n);,(),()1( );,(),()2( );,(),(),()3( . 0),(0, 0),

2、()4( 時有時有且當且當定義定義2 2 非非負負性性. 1齊齊次次性性. 2三角不等式三角不等式. 3 . 范范數數或或長長度度的的維維向向量量為為稱稱 n向量的長度具有下述性質：向量的長度具有下述性質：; 0,0; 0,0 時時當當時時當當; . ;),(22221nxxx 正交的概念正交的概念 正交向量組的概念正交向量組的概念. ,0),( 與與稱稱向向量量時時當當 正交正交. , 0 ,與任何向量都正交與任何向量都正交則則若若由定義知由定義知 假設一非零向量組中的向量兩兩正交，那么稱該向假設一非零向量組中的向量兩兩正交，那么稱該向量組為正交向量組量組為正交向量組, 0021111 T由

3、由.01 從而有從而有. 02 r 同同理理可可得得.,21線性無關線性無關故故r 使使設有設有r ,21證明證明02211 r 得得左左乘乘上上式式兩兩端端以以,1aT0111 T 正交向量組的性質正交向量組的性質線性無關.線性無關., , , ,則則非零向量,非零向量,是一組兩兩正交的是一組兩兩正交的, , , ,維向量維向量若若定理定理rrn 2121 14 4 規范正交基規范正交基. ,)( , 3212121 的的一一個個標標準準正正交交基基是是則則稱稱向向量量兩兩兩兩正正交交且且都都是是單單位位如如果果的的一一個個基基是是向向量量空空間間維維向向量量設設定定義義VeeeeeeRVV

4、eeenrrnr .212100,212100,002121,0021214321 eeee例如例如.212100,212100,002121,0021214321 eeee . 4 , 3 , 2 , 1, 1),(. 4 , 3 , 2 , 1, 0),(jijieejijieejiji且且且且由由于于.,44321的的一一個個標標準準正正交交基基為為所所以以Reeee.1000,0100,0010,00014321 同理可知同理可知.4的一個標準正交基的一個標準正交基也為也為R1正交化，取正交化，取 ，11ab ,),(),(1112122bbbabab ,21的的一一個個基基為為向向量

5、量空空間間若若Vaaar5 5施密特正交化的方法施密特正交化的方法正正交交化化稱稱為為把把這這樣樣一一個個問問題題等等價價與與使使的的單單位位向向量量就就是是要要找找一一組組兩兩兩兩正正交交的的一一個個標標準準正正交交基基要要求求的的一一個個基基是是向向量量空空間間rrrrreeeeeeVV , , , , ,2121212121111122221111),(),(),(),(),(),( rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab.,111等等價價與與且且兩兩兩兩正正交交那那么么rrraabbbb2單位化，取單位化，取,222111rrrbbebbebbe .,21的一個標準正交基

6、的一個標準正交基為為那么那么Veeer222321113133),(),(),(),(bbbabbbbabab 例例 用施密特正交化方法，將向量組用施密特正交化方法，將向量組)1, 1 , 5 , 3(),4 , 0 , 1, 1(),1 , 1 , 1 , 1(321 aaa正交規范化正交規范化.解解 先正交化，先正交化， 1 , 1 , 1 , 111 ab1112122),(),(bbbabab 1 , 1 , 1 , 111114114 , 0 , 1, 1 3 , 1, 2, 0 取取.,11 稱稱為為的的過過程程向向量量組組構構造造出出正正交交上上述述由由線線性性無無關關向向量量組

7、組rrbbaa施密特正交化過程施密特正交化過程222321113133),(),(),(),(bbbabbbbabab 3 , 1, 2, 014141 , 1 , 1 , 1481, 1 , 5 , 3 0 , 2, 1 , 1 再單位化，再單位化， 143,141,142, 03 , 1, 2, 0141222bbe 0 ,62,61,610 , 2, 1 , 161333bbe得規范正交向量組如下得規范正交向量組如下 21,21,21,211 , 1 , 1 , 121111bbe證明證明EAAT E 定義定義4 4 . , 1正正交交矩矩陣陣為為稱稱則則即即滿滿足足階階方方陣陣若若AA

8、AEAAAnTT 定理定理 nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa212222111211212221212111 為正交矩陣的充要條件是為正交矩陣的充要條件是 的列向量都的列向量都是單位向量且兩兩正交是單位向量且兩兩正交AA EnTnTT ,2121EnTnTnTnnTTTTTT 2122212n12111 njijijiijjTi, 2 , 1, 0;, 1 當當當當 例例3 3 判別以下矩陣能否為正交陣判別以下矩陣能否為正交陣 ,1213121121312111 .9794949491989498912 解解 1213121121312111, 02131121211 所以它不是正交矩陣所以它不是正交矩陣調查矩陣的第一列和第二列，調查矩陣的第一列和第二列，由于由于 979494949198949891 979494949198949891T所以它是正交矩陣所以它是正交矩陣 100010001由于由于 97949494919894989121 1將一組基規范正交化的方法：將一組基規范正交化的方法： 先用施密特正交化方法將基正交化，然后再將先用施密特正交化方法將基正交