1、第三章 流體運動學(xué) 第第1 1節(jié)節(jié) 研究流體運動的兩種方法研究流體運動的兩種方法 第第2 2節(jié)節(jié) 流體運動學(xué)的基本概念流體運動學(xué)的基本概念 第第3 3節(jié)節(jié) 流體運行的連續(xù)方程流體運行的連續(xù)方程 第第4 4節(jié)節(jié) 相鄰點運動描述相鄰點運動描述流體微團(tuán)的運動分析流體微團(tuán)的運動分析研究內(nèi)容：研究內(nèi)容：流體運動的位移、速度、加速度和轉(zhuǎn)速等位移、速度、加速度和轉(zhuǎn)速等隨時間和空間坐標(biāo)隨時間和空間坐標(biāo)的變化規(guī)律，不涉及力的具體作用不涉及力的具體作用問題問題。但從中得出的結(jié)論，將作為流體動力學(xué)流體動力學(xué)的研究奠定基礎(chǔ)。3.1 3.1 研究流體運動的方法研究流體運動的方法1. 1. 運動要素：運動要素：表征流體運

2、動狀態(tài)的物理量，如位移，速度，加速度 一、基本概念一、基本概念2. 2. 運動要素之間的規(guī)律運動要素之間的規(guī)律 每一運動要素都隨空間與時間在變化；每一運動要素都隨空間與時間在變化； 各要素之間存在著本質(zhì)聯(lián)系。各要素之間存在著本質(zhì)聯(lián)系。3. 3. 場的概念場的概念：流體的運動是以空間坐標(biāo)和時間空間坐標(biāo)和時間為變量描述的，或者說流體運動空間的每一點、在某一個時刻，都對應(yīng)著描述流體運動狀態(tài)的參量有一個確定的值，即物理的場描述流體運動就是表達(dá)流動參數(shù)在空間不同位置上隨時間連續(xù)變化的規(guī)律。流動參數(shù)：表征流體運動的主要物理量統(tǒng)稱為流動參數(shù)：表征流體運動的主要物理量統(tǒng)稱為流體的流動參數(shù)。包括：流動速度流體的

3、流動參數(shù)。包括：流動速度V V、壓力、壓力P P 、位移位移(x,y,z)(x,y,z)、密度、動量、動能等。、密度、動量、動能等。 描述流體運動是從著眼于研究流體質(zhì)點的運動，還是著眼于研究流場空間點上流動參數(shù)的變化出發(fā)，可分為：拉格朗日（Lagrange）法和歐拉（Euler）法。4. 4. 場的描述方法場的描述方法 拉格朗日法拉格朗日法，研究的是流體中具體的各個質(zhì)點流動參數(shù)的變化規(guī)律，來獲得整個流體的運動規(guī)律。 歐拉法，歐拉法，它以考察流場中流體的不同質(zhì)點通過固它以考察流場中流體的不同質(zhì)點通過固定空間點的運動情況，來了解整個流動空間內(nèi)的流動定空間點的運動情況，來了解整個流動空間內(nèi)的流動情況

4、。它是基于情況。它是基于“流場流場”的概念的的概念的，又稱為又稱為“觀察點觀察點法法” ” 。 描述流體運動的兩種方法二、拉格朗日法（質(zhì)點跟蹤法）二、拉格朗日法（質(zhì)點跟蹤法）當(dāng)初始時刻t0某個質(zhì)點的初始位置（a,b,c）（各個質(zhì)點的a,b,c的值各不相同），經(jīng)過t后該質(zhì)點到達(dá)新的位置(x,y,z)。x=x(a,b,c,t) )()()(tcbazztcbayytcbaxx，1、對于某個確定的流體質(zhì)點，初始坐標(biāo)（、對于某個確定的流體質(zhì)點，初始坐標(biāo)（a，b，c）為常）為常數(shù)，與時間無關(guān)，數(shù)，與時間無關(guān)，t為變量為變量軌跡軌跡2、t為常數(shù)，（為常數(shù)，（a，b，c）為變數(shù)）為變數(shù)某一瞬時刻不同流體質(zhì)某

5、一瞬時刻不同流體質(zhì)點的位置分布點的位置分布3、a，b，c為為Lagrange變數(shù)，不是變量，也不是空間坐標(biāo)變數(shù)，不是變量，也不是空間坐標(biāo)和時間和時間t的函數(shù)，它只是流體質(zhì)點的標(biāo)號的函數(shù)，它只是流體質(zhì)點的標(biāo)號 直觀性強(qiáng)、物理概念明確、可以描述各質(zhì)點的時直觀性強(qiáng)、物理概念明確、可以描述各質(zhì)點的時變過程變過程 數(shù)學(xué)求解較為困難，很難建立起流體運動軌跡的數(shù)學(xué)求解較為困難，很難建立起流體運動軌跡的數(shù)學(xué)方程。一般問題研究中很少采用數(shù)學(xué)方程。一般問題研究中很少采用 ：),(tzyxuu 三、三、 EulerEuler法（歐拉法）法（歐拉法） 以數(shù)學(xué)場論為基礎(chǔ)，著眼于流場中的某一固定的空間區(qū)域以數(shù)學(xué)場論為基礎(chǔ)

6、，著眼于流場中的某一固定的空間區(qū)域內(nèi)，任何時刻物理量在場上的分布規(guī)律。任意一個物理量內(nèi)，任何時刻物理量在場上的分布規(guī)律。任意一個物理量N N的速的速度場可以描述為：度場可以描述為： 由于空間觀察點（由于空間觀察點（x,y,zx,y,z）是固定的，當(dāng)某個質(zhì)點）是固定的，當(dāng)某個質(zhì)點從一個觀察點運動到另外一個觀察點時，質(zhì)點從一個觀察點運動到另外一個觀察點時，質(zhì)點位移位移是是時間時間t t的函數(shù)。故質(zhì)點中的（的函數(shù)。故質(zhì)點中的（x,y,z,tx,y,z,t）中的）中的x,y,zx,y,z不是不是獨立的變量，是時間的函數(shù)：獨立的變量，是時間的函數(shù)： 所以，速度場的描述式：所以，速度場的描述式：)()()

7、(tzztyytxx,t,t,t,t,t,t,t,t,ttzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx）（）（）（）（）（）（）（）（）（3. 在工程實際中，并不關(guān)心每一質(zhì)點的來龍去脈。在工程實際中，并不關(guān)心每一質(zhì)點的來龍去脈?；谏鲜鋈c原因，歐拉法在流體力學(xué)研究中廣泛被采用?；谏鲜鋈c原因，歐拉法在流體力學(xué)研究中廣泛被采用。歐拉法的優(yōu)越性：歐拉法的優(yōu)越性：1. 利用歐拉法得到的是場，便于采用場論這一數(shù)學(xué)工具利用歐拉法得到的是場，便于采用場論這一數(shù)學(xué)工具來研究。來研究。2. 采用歐拉法，加速度是一階導(dǎo)數(shù)；而拉格朗日法，加采用歐拉法，加速度是一階導(dǎo)數(shù)；而拉格朗日法，加速度是二階導(dǎo)數(shù)。所得的

8、運動微分方程，分別是一階速度是二階導(dǎo)數(shù)。所得的運動微分方程，分別是一階偏微分方程、和二階偏微分方程。在數(shù)學(xué)上一階偏微偏微分方程、和二階偏微分方程。在數(shù)學(xué)上一階偏微分方程比二階偏微分方程求解容易。分方程比二階偏微分方程求解容易。 拉格朗日法在研究爆炸現(xiàn)象以及計算流體力學(xué)的某拉格朗日法在研究爆炸現(xiàn)象以及計算流體力學(xué)的某些問題中方便。些問題中方便。 拉格朗日法拉格朗日法 歐拉法歐拉法同時描述所有質(zhì)點的瞬時參數(shù)同時描述所有質(zhì)點的瞬時參數(shù) 分別描述有限質(zhì)點的軌跡分別描述有限質(zhì)點的軌跡表達(dá)式復(fù)雜表達(dá)式復(fù)雜 表達(dá)式簡單表達(dá)式簡單不能直接反映參數(shù)的空間分布不能直接反映參數(shù)的空間分布 直接反映參數(shù)的空間分布直接

9、反映參數(shù)的空間分布不適合描述流體元的運動變形特性不適合描述流體元的運動變形特性 適合描述流體元的運動變形特性適合描述流體元的運動變形特性 拉格朗日觀點是重要的拉格朗日觀點是重要的 流體力學(xué)最常用的解析方法流體力學(xué)最常用的解析方法兩種方法的比較兩種方法的比較四、兩種描述的關(guān)系四、兩種描述的關(guān)系 3.2 3.2 基本概念基本概念流場的兩個特例流場的兩個特例 一、定常流動和非定常流動一、定常流動和非定常流動1. 1. 定常流動定常流動流動運動參量，不隨時間流動運動參量，不隨時間t t變化的流動變化的流動, ,只是空間坐標(biāo)的函數(shù)只是空間坐標(biāo)的函數(shù)),(),(),(zyxzyxppzyxvv特點：流場內(nèi)

10、的速度、壓強(qiáng)、密度等參量只是坐標(biāo)的函數(shù)，而特點：流場內(nèi)的速度、壓強(qiáng)、密度等參量只是坐標(biāo)的函數(shù)，而 與時間無關(guān)，即具有時間不變性。也即：與時間無關(guān)，即具有時間不變性。也即：0.tTttptv2. 2. 非定常流動非定常流動流動參量，隨時間變化的流動。流動參量，隨時間變化的流動。特點：流場內(nèi)的速度、壓強(qiáng)、密度等參量不僅是坐特點：流場內(nèi)的速度、壓強(qiáng)、密度等參量不僅是坐標(biāo)的函數(shù)，而且還與時間有關(guān)。標(biāo)的函數(shù)，而且還與時間有關(guān)。0t（）即：即：),(),(),(tzyxtzyxpptzyxvv二、均勻流動與非均勻流動二、均勻流動與非均勻流動1. 1. 均勻流動均勻流動 流場中各流動參量與空間無關(guān)，也即流場

11、中流場中各流動參量與空間無關(guān)，也即流場中沿流程的每一個斷面上的相應(yīng)點的流速不變。位沿流程的每一個斷面上的相應(yīng)點的流速不變。位不變不變特點：流場內(nèi)的速度、壓強(qiáng)、密度等參量不特點：流場內(nèi)的速度、壓強(qiáng)、密度等參量不是坐標(biāo)的函數(shù)是坐標(biāo)的函數(shù)0.PPPzyxzuyuxu即：即：),(),(),(tzyxtzyxpptzyxvv?2. 2. 非均勻流動：如果均勻場中任何一個物理量非均勻流動：如果均勻場中任何一個物理量的分布不具有空間不變性，則為非均勻流動的分布不具有空間不變性，則為非均勻流動補充補充: :一維流動、二維流動和三維流動一維流動、二維流動和三維流動流動參量是幾個坐標(biāo)變量的函數(shù)，即為幾維流動參量

12、是幾個坐標(biāo)變量的函數(shù)，即為幾維流動。流動。一維流動一維流動二維流動二維流動三維流動三維流動1. 1. 定義定義實際流體力學(xué)問題均為三元流動。工程中一般實際流體力學(xué)問題均為三元流動。工程中一般根據(jù)具體情況加以簡化。根據(jù)具體情況加以簡化。),(zyxvv )(xvv ),(yxvv 運動中的流體質(zhì)點所具有的物理量運動中的流體質(zhì)點所具有的物理量N N( (速度、速度、壓強(qiáng)、密度、質(zhì)量、溫度、動量、動能等壓強(qiáng)、密度、質(zhì)量、溫度、動量、動能等) )對時間對時間的變化率，稱為物理量的變化率，稱為物理量N N的質(zhì)點導(dǎo)數(shù)。的質(zhì)點導(dǎo)數(shù)。三三 質(zhì)點導(dǎo)數(shù)質(zhì)點導(dǎo)數(shù) )()()(tcbazztcbayytcbaxx，

13、ttcbaztcbawwttcbaytcbavvttcbaxtcbauu)()()()()()(， 222222)()()()()()()()()(ttcbazttcbawtcbaaattcbayttcbavtcbaaattcbaxttcbautcbaaayyyyxx，流體質(zhì)點的流體質(zhì)點的運動方程運動方程拉格朗日法表示的質(zhì)點導(dǎo)數(shù)拉格朗日法表示的質(zhì)點導(dǎo)數(shù)uutudtud)(adtdzudtdyudtdxuzyx,矢量形式：矢量形式：),(tzyxuu kzjyixnabla其中哈密頓算子歐拉法表示的質(zhì)點導(dǎo)數(shù)歐拉法表示的質(zhì)點導(dǎo)數(shù)tudtduaxxxdtdzzudtdyyudtdxxuxxxadtd

14、zzudxdyyudtdxxutudtduadtdzzudtdyyudtdxxutudtduadtdzzudtdyyudtdxxutudtduazzzzzzyyyyyyxxxxxx當(dāng)?shù)丶铀俣犬?dāng)?shù)丶铀俣龋哼w移加速度遷移加速度第一部分：是由于某一空間點上流體質(zhì)點的速度隨時間的變第一部分：是由于某一空間點上流體質(zhì)點的速度隨時間的變化而產(chǎn)生的，稱為當(dāng)?shù)丶铀俣取６ǔ鲋写耸綖榛a(chǎn)生的，稱為當(dāng)?shù)丶铀俣取６ǔ鲋写耸綖?第二部分：是某一瞬時由于流體質(zhì)點的速度隨空間點的變第二部分：是某一瞬時由于流體質(zhì)點的速度隨空間點的變化而產(chǎn)生的，稱為遷移加速度。均勻場中該項為化而產(chǎn)生的，稱為遷移加速度。均勻場中該項為0.

15、 如教材圖如教材圖3-1，分析在，分析在h不變和改變情況下，不變和改變情況下，a段和段和b段段的流場及其加速度情況。的流場及其加速度情況。uutudtud)(a 煙火煙火 流星流星 跡線方程跡線方程 跡線是指某一質(zhì)點在某一時段內(nèi)的運動軌跡線。跡線是指某一質(zhì)點在某一時段內(nèi)的運動軌跡線。流體質(zhì)點在某一時段的運動軌跡稱為跡線。由運動流體質(zhì)點在某一時段的運動軌跡稱為跡線。由運動方程：方程：便可得到跡線的微分方程：便可得到跡線的微分方程：dtudzdtudydtudxzyxdtudzudyudxzyx 流線是指某一瞬時流場中一組假想的曲線，曲線流線是指某一瞬時流場中一組假想的曲線，曲線上每一點的切線都與

16、速度矢量相重合。與歐拉法對應(yīng)。上每一點的切線都與速度矢量相重合。與歐拉法對應(yīng)。2 2、流線（假想的曲線）、流線（假想的曲線）u21uu2133u6545u46u流線流線流線方程流線方程,xyzdxds dyds dzdsuuuuuu,yxzuuudxdydzdsudsudsuxyzdxdydzdsuuuu3. 3. 流線的性質(zhì)流線的性質(zhì)（1 1）定常流動時流線形狀不變（速度不隨時間）定常流動時流線形狀不變（速度不隨時間變化，則代表速度方向的流線形狀也與時間無變化，則代表速度方向的流線形狀也與時間無關(guān)），流線與跡線重合。關(guān)），流線與跡線重合。 非定常流動時流線形狀發(fā)生變化。非定常流動時流線形狀發(fā)

17、生變化。（2 2）流線是一條光滑的曲線，流線彼此不能相）流線是一條光滑的曲線，流線彼此不能相交，不可能突然轉(zhuǎn)折，但可以相切。交，不可能突然轉(zhuǎn)折，但可以相切。l 強(qiáng)調(diào)的是空間連續(xù)質(zhì)點而不是某單個質(zhì)點強(qiáng)調(diào)的是空間連續(xù)質(zhì)點而不是某單個質(zhì)點l 形成是在某一瞬間而不是一段連續(xù)時間內(nèi)形成是在某一瞬間而不是一段連續(xù)時間內(nèi)l 表示的是質(zhì)點的速度方向而不是空間位置連表示的是質(zhì)點的速度方向而不是空間位置連線線跡線跡線定義定義zyxuzuyuxddd(x,y,z(x,y,z為為t t的函數(shù)，的函數(shù)，t t為參數(shù)）為參數(shù)）質(zhì)點的運動軌跡質(zhì)點的運動軌跡某一瞬時，速度方向線某一瞬時，速度方向線研究方法研究方法微分方程微分

18、方程 流線流線 歐拉法歐拉法拉格朗日法拉格朗日法tzwtyvtxudddddd 例例 已知速度場已知速度場 。試求：。試求：流線方程及流線方程及 時的流線圖。時的流線圖。 0,zyxubtuau 解解 : :由流線的微分方程式由流線的微分方程式可得：可得： 其中其中t是參變量，積分得：是參變量，積分得： 或或 所得流線方程是直線方程，不同時刻所得流線方程是直線方程，不同時刻 的的流線圖是三組不同斜率的直線。流線圖是三組不同斜率的直線。(0,1,2)tttcbtxaybtyxcabtdyadx2, 1, 0tttxyzdxdydzdsuuuu求t=1時過（0,0）點的流線及t=0時位于（0,0）

19、點的質(zhì)點軌跡。例 已知流體的速度分布為yu1xtu yyu1xtu yyxdduyuxtyyxd1dcyyxt22解：（1）將，帶入流線微分方程得t被看成常數(shù)，則積分上式得t=1時過（0,0）點的流線為022yyxyu1xtu ytuyuxdddyx（2）將帶入跡線微分方程得ttyyxdd1d解這個微分方程得跡的參數(shù)方程： 1)1 (ctyx222cty將t=0時刻，點（0,0）代入可得積分常數(shù)： 01c02c帶入上式并消去t可得跡線方程為：yyx2)1 ( 五五. .流管與流束流管與流束 過流斷面過流斷面在流束上作出與流線正交的橫斷面1注意：只有均勻流的過流斷面才是平面六六. .過流斷面、流

20、量過流斷面、流量AnAAvdAvdAnvvQ),cos(dAvsm /3AnAAmdAvdAnvvQ),cos(dAvAquv續(xù)：均勻流和非均勻流續(xù)：均勻流和非均勻流流場中同一條流線各空間點上的流速相同。流場中同一條流線各空間點上的流速相同。流場中同一條流線各空間點上的流速不相同。流場中同一條流線各空間點上的流速不相同。均勻流有如下特征均勻流有如下特征：（1 1）均勻流的過流斷面（有效截面）是平面，并）均勻流的過流斷面（有效截面）是平面，并且有效截面的形狀與尺寸沿流程不變；且有效截面的形狀與尺寸沿流程不變； （2 2）均勻流中同一流線上各點的流速相等，各有）均勻流中同一流線上各點的流速相等，各

21、有效截面上的流速分布相同，平均流速相同；效截面上的流速分布相同，平均流速相同；（3 3）均勻流有效截面上的流體動壓強(qiáng)分布規(guī)律與）均勻流有效截面上的流體動壓強(qiáng)分布規(guī)律與流體靜力學(xué)中流體靜壓強(qiáng)分布規(guī)律相同，也就是在流體靜力學(xué)中流體靜壓強(qiáng)分布規(guī)律相同，也就是在均勻流有效截面上同樣存在各點靜水頭等于常數(shù)的均勻流有效截面上同樣存在各點靜水頭等于常數(shù)的特征，即特征，即Cgpz 例例 已知速度場為已知速度場為 。試問：試問：(1)(1)t t2s2s時，在時，在(2(2，4)4)點加速度是多少點加速度是多少?(2)?(2)流動是流動是恒定流還是非恒定流？恒定流還是非恒定流？ 解解(1).(1).由歐拉法加速

22、度公式可得由歐拉法加速度公式可得(69(46 )yx tixuytj22()()4646.( 6 )() (4 )(46 )(166 )6.9.xxxxyxauuuutxyttttuyyxyxyxttx4, 2,2yxst2/4smax將代入(2).(2).因速度場隨時間變化，此流動是非恒定流?；蛴蓵r變因速度場隨時間變化，此流動是非恒定流?；蛴蓵r變導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 0)96()64(jyxixyjtuitutuyx222/2 . 7smaaayx22/6)95 . 1)(64(smtxy)6()96()9()64()96(ttxyttxyxyyuuxuutuayyyxyy故此流動為非恒定流動3.3 3

23、.3 流體運動的連續(xù)性方程流體運動的連續(xù)性方程一、系統(tǒng)與控制體1、系統(tǒng)：特定流體質(zhì)點組成的流體團(tuán)。例：水中的氣泡；空氣中漂 浮的微小水滴。2、控制體：相對于坐標(biāo)系 不動的空間體積?？刂企w的邊界為控制面。yxzdydzdx二、微分形式的連續(xù)性方程二、微分形式的連續(xù)性方程3.3 3.3 流體運動的連續(xù)性方程流體運動的連續(xù)性方程yxzdydzdx2dxx2dxx2dxxuu2dxxuu控制體流出的質(zhì)量： dzdydxxuudxxx22dzdydxxuudxxx 22dxdydzxudxdydzxudxdydzxuxxx單位時間內(nèi)由六個表面凈流出的質(zhì)量流量為：dxdydzzuyuxuzyx單位時間內(nèi)由于密度變化使控制體內(nèi)的流體質(zhì)量變量為dxdydzt 質(zhì)量守恒要求：質(zhì)量守恒要求：密度變化增加的質(zhì)量=凈流入的質(zhì)量dxdydzzuyuxudxdydztzyx連續(xù)方程（質(zhì)量守恒方程）：0zuyuxutzyx對于三元定常流動：0zuyuxuzyx對于不可壓縮的流體流動（ ）const0zuyuxuzyx例題：在三元不可壓縮流動中，已知例題：在三元不可壓縮流動中，已知ux= x2