1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù): :. 01 nnnuu 中中各各項(xiàng)項(xiàng)均均有有級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件: :.有有上上界界部部分分和和第第正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂nsn 任任意意項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù).非非減減部部分分和和第第nsn特點(diǎn)特點(diǎn): :證明證明, ,11 nkknnnusv , ,1部分和有上界部分和有上界的第的第即即nunn nvvv 21, ) i (1收收斂斂若若 nnv;1收收斂斂則則 nnu, )ii(1發(fā)散發(fā)散若若 nnu.1發(fā)散發(fā)散則則 nnv.收收斂斂 nnuuus21則則有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)均均為為正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)和和設(shè)設(shè), ,11n

2、nnnnnvuNnvu 一、比較判別法一、比較判別法發(fā)發(fā)大大發(fā)發(fā)小小收收；小小收收大大的斂散性，可設(shè)的斂散性，可設(shè)由前有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)由前有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù),.2 , 1 nvunn，) i (證明證明)ii(,1收收斂斂假假設(shè)設(shè) nnv,) i (1收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)知知?jiǎng)t則由由 nnu,1發(fā)發(fā)散散相相矛矛盾盾這這與與級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnu.1發(fā)發(fā)散散即即：級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnv, ) i (1收收斂斂若若 nnv;1收收斂斂則則 nnu, )ii(1發(fā)發(fā)散散若若 nnu.1發(fā)發(fā)散散則則 nnv則則有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)均均為為正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)和和設(shè)設(shè), ,11nnnnnnvuNnvu 一、比較判別法一、比較判別法發(fā)

3、發(fā)大大發(fā)發(fā)小小收收；小小收收大大：例例1.131211 1 1的收斂性的收斂性調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)判別判別 nnn解：解： 1)11ln(nn和級(jí)數(shù)和級(jí)數(shù) 11 nn調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，發(fā)散，級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 1)11ln(nn)0( ,)1ln( xxx,.)2 , 1( ,1)11ln( nnnii),(由由比比較較判判別別法法.1 1是是發(fā)發(fā)散散的的調(diào)調(diào)和和級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nn調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散的證法調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散的證法2:2: nnss2:因因?yàn)闉?)2121111211(nnnn)1211(n nnn212111 nn2 ,21 .,11snn其和為其和為收斂收斂假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)假設(shè)調(diào)和

4、級(jí)數(shù) )lim(2nnnss則則ss , 0 .11發(fā)散發(fā)散所以：調(diào)和級(jí)數(shù)所以：調(diào)和級(jí)數(shù) nn,210 得得.這是不可能的這是不可能的解解, 1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) p,11nnp .級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散 P,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) poyx)1(1 pxyp121 nn有有時(shí)時(shí) ,1 npppnns131211 nnppxdxxdx1211 npxdx11 ppppnpnn1413121111例例2 2 判別判別 p -p -級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) p p為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù).的收斂性的收斂性111 ppnn,11 nnpdxx發(fā)散發(fā)散 11 nnnpxp11111 ,111 p,有上界有上界ns.級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂 P 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂

5、收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù),1,1:11ppnpnppppnns131211 nnppxdxxdx1211 npxdx11)11(1111 pnp 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù),1,1:11ppnpnp例：例：重要參考級(jí)數(shù)重要參考級(jí)數(shù): : 幾何級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù), ,調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù),p-,p-級(jí)數(shù)級(jí)數(shù). .,11 nnn,11 nn121 p發(fā)散；發(fā)散；,112 nn123 p收斂；收斂；12 p收斂；收斂；解：解：nn21121 由由發(fā)散，發(fā)散，發(fā)散知級(jí)數(shù)發(fā)散知級(jí)數(shù)由級(jí)數(shù)由級(jí)數(shù) 11211nnnn.原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散.1211的的收收斂斂性性判判斷斷級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nn例例3 3知知斂法斂法

6、則由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審則由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審,.)2)(1(11的收斂性的收斂性判斷級(jí)數(shù)判斷級(jí)數(shù) nnn例例4 4解：解：21)2)(1(1nnn 由由收斂，收斂，級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 121nn.原級(jí)數(shù)收斂原級(jí)數(shù)收斂知知斂法斂法則由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審則由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審,1是正項(xiàng)級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)設(shè) nnu nnnuu1lim若若),(的的情情況況含含 ;, 1:級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂時(shí)時(shí)則則 ;,1級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散）時(shí)時(shí)（或或 優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn): : 不需求另尋參考級(jí)數(shù)不需求另尋參考級(jí)數(shù). ., 1失失效效時(shí)時(shí) 證明證明, 0 對(duì)對(duì),N , 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn ,1 nnuu有有),(1Nnuunn 即即,1是是正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)

7、設(shè)設(shè) nnu nnnuu1lim若若),(的的情情況況含含 ;, 1:級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂時(shí)時(shí)則則 ;,1級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí) ., 1失失效效時(shí)時(shí) nnnuu1lim,1時(shí)時(shí)若若 ,1時(shí)時(shí)若若 ,1 取取, 10 r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu右端對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)收斂右端對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)收斂,左左端端對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)也也收收斂斂從而可知從而可知, 原級(jí)數(shù)收斂原級(jí)數(shù)收斂;, 1 取取, 1 r使使, 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn ,1nnnuruu , 0lim nnu故原級(jí)數(shù)發(fā)散故原級(jí)數(shù)發(fā)散.),(1Nnuunn 即即.,類似可證類似可證時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 解解,2111 nnnu例例

8、5 5.21的的收收斂斂性性判判斷斷級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnnnnuu1lim .所以原級(jí)數(shù)收斂所以原級(jí)數(shù)收斂,2nnnu 211lim nnn21 nnnnn221lim1 1 解解,)!1(211 nunn例例6 6.!21的的收收斂斂性性判判斷斷級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnnnnuu1lim .所以原級(jí)數(shù)收斂所以原級(jí)數(shù)收斂,!2nunn 12lim nn0 !2)!1(2lim1nnnnn 1 解解例例7 7).0(1 rnrnn的的收收斂斂性性判判斷斷級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)nnnuu1lim .所以原級(jí)數(shù)發(fā)散所以原級(jí)數(shù)發(fā)散r 代入原級(jí)數(shù)得：代入原級(jí)數(shù)得：nnnnrrn1)1(lim ;, 10:級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂時(shí)時(shí)則則

9、 r;,1級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散）時(shí)時(shí)（或或 r, 1時(shí)時(shí) r 1nn，0lim nnu例例8 8.!5)2(.6421的的收收斂斂性性判判斷斷級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnn解解,)!1(5)22)(2(.64211 nnnunnnnnuu1lim .所所以以原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂,!5)2(.642nnunn )1(522lim nnn52 !5)2(.642)!1(5)22)(2(.642lim1nnnnnnnn 1 闡明：闡明：!)!2()2(.642nn 記記作作 !)!12()12(.531 nn記記作作 設(shè)設(shè)正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂, , 能能否否推推得得 12nnu收收斂斂? ?反反之之是

10、是否否成成立立? ? 由由正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂，可可以以推推得得 12nnu收收斂斂. 由比較審斂法知由比較審斂法知 收斂收斂. . 12nnu反之不成立反之不成立. .例如：例如： 121nn收斂收斂, 11nn發(fā)散發(fā)散.解解因因?yàn)闉?1nnu收收斂斂， , 0lim nnu所以所以, 0MuMunn 有有有有界界，即即存存在在因因此此,2nnuMu 則有則有 設(shè)設(shè)正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂, , 證證明明級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnnu收收斂斂. . 是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且證明證明 1nnnu),1(212nnunnu 由于由于 121nn收斂收斂,收斂，收斂， 1nnu也收斂也收斂 ， 12)1(21nnun因此因此收斂收斂 ， 12)1(nnun所以所以收斂收斂 . 1nnnu由比較判別法，知由比較判別法，知1.1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條