1、均值不等式數學被稱為均值不等式。 ·即調和平均數不超過幾何平均數，幾何調幾算方 ”。平均數不超過算術平均數，算術平均數不超過平方平均數，簡記為其中：，被稱為調和平均數。，被稱為幾何平均數。，被稱為算術平均數。，被稱為平方平均數。般形式設函數時），有 時， 。當 r 不等于 0 時）； （當r=0可以注意到， HnGnAnQn 僅是上述不等式的特殊情形，即特例對實數 a,b，有 （當且僅當 a=b 時取“ =號”），（當且僅 當 a=-b 時取 “ =號”） 對非負實數 a,b，有，即 對非負實數 a,b，有對實數 a,b ，有 對非負實數 a,b，有對實數 a,b ，有對實數 a,b

2、,c ，有 對非負數 a,b ，有對非負數 a,b,c ，有在幾個特例中，最著名的當屬算術 幾何均值不等式（ AM-GM 不等式）：當 n=2 時，上式即：當且僅當 時，等號成立。根據均值不等式的簡化，有一個簡單結論，即排序不等式基本形式： 排序不等式的證明 要證 只需證 根據基本不等式 只需證 原結論正確棣莫弗定理設兩個復數 （用三角形式表示） ，則： 復數乘方公式： .圓排列定義從 n 個不同元素中不重復地取出 m （ 1 mn）個元素在一個圓周上，叫做這 n 個不同 元素的圓排列。 如果一個 m-圓排列旋轉可以得到另一個 m-圓排列， 則認為這兩個圓排列相 同。計算公式n 個不同元素的

3、m- 圓排列個數 N 為：特別地，當 m=n 時， n 個不同元素作成的圓排列總數 N 為： 。費馬小定理費馬小定理 (Fermat Theory) 是數論中的一個重要定理，其內容為： 假如 p 是質數，且 (a,p)=1 ，那么 a(p- 1) 1( mod p )。即：假如 a 是整數， p 是質數，且 a,p 互質 (即兩者只 有一個公約數 1)，那么 a 的(p-1)次方除以 p 的余數恒等于 1。 組合恒等式組合數 C(k,n) 的定義：從 n 個不同元素中選取 k 個進行組合的個數。 基本的組合恒等式nC(k,n)=kC(k-1,n-1)C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k

4、-m,n-m) C(i,n)=2n (-1)i*C(i,n)=0C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n) (這個性質叫組合的【聚合性】)C(k,n)+C(k,n+1)+ +C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1) -C(k+1,n) C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+ +C(p -1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)=C(p,m+n) 韋達定理 逆定理如果兩數 和 滿足如下關系： += ， ·=，那么這兩個數 和 是方程的根。通過韋達定理的逆定理，可以利用兩數的和積關系構造一元二次方程。 5推廣定理韋達定理不僅可

5、以說明一元二次方程根與系數的關系，還可以推廣說明一元 n 次方程 根與系數的關系。定理：設 (i=1 、2、3、n)是方程：的 n 個根，記k 為整數)，則有：。 實系數方程虛根成對定理：無窮遞降法是證明方程無解的一種方法。其步驟為： 假設方程有解，并設 X 為最小的解。從 X 推出一個更小的解 Y 。從而與 X 的最小性相矛盾。所以，方程無解。又稱中國剩余定理，中國剩余定理給出了以下的一元線性同余方程組：有解的判定條件，并用構造法給出了在有解情況下解的具體形式。中國剩余定理說明： 假設整數 m1,m2, . ,mn 兩兩互質， 則對任意的整數： a1,a2, . ,an ，方程組 有解，并且

6、通解可以用如下方式構造得到：設是整數 m1,m2, . ,mn 的乘積，并設是除了 mi 以外的 n- 1 個整數的乘積。設 為 模 的數論倒數 ：方程組 的通解在模 的意義下，方程組 只有一個解同余公式也有許多我們常見的定律 ,比如相等律 ,結合律 ,交換律 ,傳遞律 .如下面的表示:1) a a(mod d)2) a b(mod d) b a(mod d)3) (a b(mod d),b c(mod d) a c(mod d) 如果 a x(mod d),b m(mod d),則4) a+b x+m (mod d )其中 ax (mod d) ， bm(mod d)5) a- bx-m (

7、mod d)其中 a x (mod d),b m (mod d)6) a*b x*m (mod d )其中 a x (mod d),b m (mod d)7) ab( mod d )則 a-b 整除 d歐拉函數 函數的值 通式： (x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4) .(1-1/pn), 其中 p1,p2 pn為 x的所有質因數， x是不為 0的整數。 (1)=1 (唯一和 1互質的數 (小于等于 1)就是 1 本身)。 (注意：每種質因數只一個。比如 12=2*2*3 那么( 12 ) =12* ( 1-1/2 ) *(1-1/3)=4若 n 是質數 p

8、 的 k 次冪， (n)=pk -p(k-1)=(p-1)p(k-1) ，因為除了 p 的倍數外，其他 數都跟 n 互質。設 n 為正整數，以 (n)表示不超過 n 且與 n 互 素的正整數的個數，稱為 n 的歐拉函數值，這里函數 ：NN ，n (n)稱為歐拉函數。歐拉函數是積性函數 若 m,n 互質， (mn)=(m) (n。) 特殊性質：當 n 為奇數時， (2n)= (n), 證明與上述類似。 若 n 為質數則 (n)=n-1 。格點 定義 數學上把在平面直角坐標系中橫縱坐標均為整數的點稱為格點 (lattice point) 或整點。 性質1、格點多邊形的面積必為整數或半整數(奇數的一

9、半)。2、格點關于格點的對稱點為格點。3、格點多邊形面積公式(坐標平面內頂點為格點的三角形稱為格點三角形，類似地也 有格點多邊形的概念。)設某格點多邊形內部有格點 a 個，格點多邊形的邊上有格點 b 個， 該格點多邊形面積為 S ，則根據皮克公式有 S=a+b/2-1 。 4，格點正多邊形只能是正方形。 5，格點三角形邊界上無其他格點，內部有一個格點，則該點為此三角形的重心。 三面角 定義三面角：由三個面構成的多面角稱為三面角，如圖中三面角可記作 O-ABC 。 特別地，三個面角都是直角的三面角稱為直三面角。三面角的補三面角： 由三條自已知三面角定點發出的垂直于已知三面角的三個平面的射 線組成

10、的三面角叫做已知三面角的補三面角。性質1、三面角的任意兩個面角的和大于第三個面角。2、三面角的三個二面角的和大于180°，小于 540°。三面角相關定理設三面角 O-ABC 的三個面角 AOB 、BOC 、AOC 所對的二面角依次為 OC ， OA ，OB。1、三面角正弦定理：sin OA/sin BOC=sin OB/sin AOC=sin OC/sin AOB 。 2、三面角第一余弦定理：cos BOC=cos OA× sin AOB× sin AOC+cos AOB× cos AOC 。3、三面角第二余弦定理：cos OA=cos BOC

11、× sin OB× sin OC-cos OB× cos OC 。直線方程 一般有以下八種描述方式：點斜式，斜截式，兩點式，截距式，一般式，法線式，法向 式，點向式。點斜式已知直線一點 （x1,y1,） 并且存在直線的斜率 k，則直線可表示為： y-y1=k（x-x1） 。適用范存在的直線。兩點式兩點式是解析幾何直線理論的重要概念。當已知兩點（X1，Y1），（X2 ，Y2）時，將直線的斜率公式 k=（y2-y1）/（x2-x1） 代入點斜式時，得到兩點式（y-y1）/（y2-y1）=（x-x1）/（x2-x1） 。適用范圍：不平行于（或者說不垂直于）坐標軸的的直線

12、。截距式已知與坐標軸的交點（ a，0），（ 0， b）時，截距式的一般形式： x/a+y/b=1 （a0且 b0）。適用范圍：不平行于（或者說不垂直于）坐標軸的直線，不過原點的直線。一般式ax+by+c=0 （A 、B 不同時為 0）。斜率： -A/B 截距： -C/B 。兩直線平行時：A1/A2=B1/B2 C1/C2 ，則無解。兩直線相交時： A1/A2B1/B2；兩直線垂直時： A1A2+B1B2=0 A1/B1 ×A2/B2=-1 ，都只有一個交點。兩直線重合時： A1/A2=B1/B2=C1/C2 ，則有無數解。 適用范圍：所有直線均可適用。法線式過原點向直線做一條的垂線段

13、，該垂線段所在直線的傾斜角為，p 是該線段的長度。x·cos +y sin- p=0。法向式知道直線上一點（ x0 ，y0 ）和與之垂直的向量（ a， b），則 a（ x-x0 ）+b（y-y0）=0， 法向量 n=（a， b ）方向向量 d= （ b ， -a ） k=a/b 。點向式知道直線上一點 （x0,y0） 和方向向量（ u,v ）， （x-x0）/u=（y- y0）/v （u 0,v 。0）極坐標系極坐標系( polar coordinates )是指在平面內由極點、極軸和極徑組成的坐標系。在平 面上取定一點 O，稱為極點。從 O 出發引一條射線 Ox ，稱為極軸。再取定

14、一個長度單位， 通常規定角度取逆時針方向為正。 這樣，平面上任一點 P的位置就可以用線段 OP的長度 以及從 Ox 到 OP 的角度來確定，有序數對( ，)就稱為 P 點的極坐標，記為 P(， )； 稱為 P 點的極徑， 稱為 P 點的極角。極坐標方程于極點( 90°/270 °)對稱，如果 r( -) = r( ，則)曲線相當于從極點順時針方向旋轉 °。 圓方程為 r( ) = 1的圓。在極坐標系中，圓心在 (r0, 半) 徑為 a 的圓的方程為 r2- 2rr0cos( -)+r02=a2 該方程可簡化為不同的方法，以符合不同的特定情況，比如方程r( )=a表

15、示一個以極點為中心半徑為 a 的圓。直線經過極點的射線由如下方程表示=,其中為射線的傾斜角度，若 k 為直角坐標系的射線的斜率，則有 = arctan k。任何不經過極點的直線都會與某條射線垂直。這些在點(r0, )處的直線與射線 = 垂 直，其方程為r( )=r0sec( -) 圓冪點到圓的冪：設 P為O所在平面上任意一點， PO=d ， O的半徑為 r，則 d2r2三個圓兩兩的根軸如果不互相平行，則它們交于一點，這一點稱為三圓的“根心” 三個圓的根心對于三個圓等冪當三個圓兩兩相交時，三條公共弦(就是兩兩的根軸 )所在直線交于一點1定義從一點 A 作一圓周的任一割線，從 A 起到和圓相交為止

16、的兩段之積，稱為點A 于這圓周的冪2圓冪定理已知 (O, r) ，通過一定點 P，作 O的任一割線交圓于 A, B，則 PA，PB 為 P 對于 O 的冪，記為 k，則當 P 在圓外時， k=PO2-r2 ；當 P 在圓內時， k= r2-PO2 ；當 P 在圓上時， k=0.圖：相交弦定理。如圖，AB、CD 為圓 O 的兩條任意弦。相交于點 P，連接 AD、BC， 由于B與D同為弧 AC所對的圓周角，因此由圓周角定理知： B=D，同理A=C， 所以 。所以有： ，即： 。圖：割線定理。如圖，連接 AD、BC。可知B=D，又因為 P 為公共角，所以有 ，同上證得 。圖：切割線定理。如圖，連接

17、AC、 AD。PAC 為切線 PA 與弦 AC 組成的弦切角， 因此有 PBC= D，又因為 P 為公共角， 所以有，易圖 ：PA 、PC 均為切線， 則PAO= PCO=9°0 ，在直角三角形中： OC=OA=R ，PO 為公共邊，因此 。所以 PA=PC ，所以 。綜上可知， 是普遍成立的。 根軸 定義在 平面上任給兩不同心的圓，則對兩圓 圓冪相等的點的 集合是一條直線，這條線稱為這 兩個圓的根軸。另一角度也可以稱兩不 同心圓的等冪點的軌跡為根軸，或者稱作等冪軸。根軸方程設兩圓 O1,O2 的方程分別為：(x-a1)2+(y-b1)2-(r1)2=0(1)(x-a2)2+(y-b

18、2)2-(r2)2=0(2)由于根軸上任意點對兩圓的圓冪相等，所以根軸上任一點 (x,y), 有(x-a1)2+(y-b1)2-(r1)2=圓冪 =(x-a2)2+(y-b2)2-(r2)2兩式相減，得根軸的方程(即 x,y 的方程 )為2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+f1-f2=0其中 f1=(a1)2+(b1)2-(r1)2,f2解的不同可能類似。(1)(2) 連立的解，是兩圓的公共點 M(x1,y1),N(x2,y2) 如果是兩組不等實數解， MN 不重合且兩圓相交，根軸是兩圓的公共弦。 如果是相等實數解， MN 重合，兩圓相切，方程表示兩圓的內公切線。 如果是共軛虛數解，兩圓相

19、離，只有代數規律發揮作用，在坐標系內沒有實質。稱 M,N 是 共軛虛點。尺規作圖相交 ,相切時 根軸為兩圓交點的連線內含時 ,作一適當的圓與兩園相交 ,這圓與兩圓的根軸的交點在根軸上 . 同理再作一點 ,兩點所在的直線即為根軸 （等冪軸 ）相關定理1，平面上任意兩圓的根軸垂直于它們的連心線； 2，若兩圓相交，則兩圓的根軸為公共弦所在的直線； 3，若兩圓相切，則兩圓的根軸為它們的內公切線； 4，若兩圓外離，則兩圓的根軸上的點分別引兩圓的切線，則切線長相等。 5，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三個圓，若這三個圓圓心不共線，則三條根軸相交 于一點，這個點叫它們的根心；若三圓圓心共線，則三條根軸互相平行； 6， 反演后的圓和反演圓和被反演的圓3 個圓共根軸。容斥原理也可表示為：設 S 為有限集 , 則兩個集合的容斥關系公式： AB =|A B| = |A|+|B| - |AB |（ ：重合的部分） 三個集合的容斥關系公式： |ABC| = |A|+|B|+|C| - |AB| - |BC| - |CA| + |A BC|抽屜原理第一抽屜原理原理 1： 把多于 n+k 個的物體放到 n 個抽屜里，則至少有一個抽屜里的東西不少于兩 件。證明（反證法）：如果每個