1、第19講平行四邊形(含多邊形)1平行四邊形 (1)性質(zhì)： 平行四邊形兩組對邊分別_相等_； 平行四邊形對角相等，鄰角_互補(bǔ)_； 平行四邊形對角線互相_平分_； 平行四邊形是_中心_對稱圖形 (2)判定方法： 定義：兩組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形； 兩組對邊分別_相等_的四邊形是平行四邊形； 一組對邊平行且相等 的四邊形是平行四邊形； 兩組對角 分別相等 的四邊形是平行四邊形； 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形2多邊形及其性質(zhì)(1)多邊形：內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于 (n2)·180° ；外角和定理：n邊形的外角和為 360°；對角線：過n邊形的一個(gè)頂

2、點(diǎn)可引n3條對角線，n邊形共有 條對角線(2)正多邊形：正多邊形各邊相等，各內(nèi)角相等，各外角相等；正n邊形的每一個(gè)內(nèi)角為(n3)，每一個(gè)外角為；對稱性：所有的正多邊形都是軸對稱圖形，正n邊形有_n_條對稱軸；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.考點(diǎn)1：多邊形內(nèi)角和計(jì)算【例題1】在一個(gè)多邊形中，一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角與其他各內(nèi)角的和為600°.(1)如果這個(gè)多邊形是五邊形，請求出這個(gè)外角的度數(shù)；(2)是否存在符合題意的其他多邊形？如果存在，請求出邊數(shù)及這個(gè)外角的度數(shù)；如果不存在，請說明理由【解析】：(1)設(shè)這個(gè)外角的度數(shù)是x°

3、;.由題意，得(52)×180(180x)x600.解得x120.故這個(gè)外角的度數(shù)是120°.(2)存在設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，這個(gè)外角的度數(shù)是x°.由題意，得(n2)×180(180x)x600.整理，得x57090n.0x180，即057090n180.解得4<n<6.又n為正整數(shù)，n5或n6.當(dāng)n6時(shí)，x30.故這個(gè)多邊形的邊數(shù)是6，這個(gè)外角的度數(shù)為30°.歸納：本題注意隱含條件的挖掘，即鄰補(bǔ)角和為180°及凸多邊形的一個(gè)內(nèi)角是小于平角的角考點(diǎn)2：平行四邊形的性質(zhì)與判定 【例題2】(2017·大慶)如圖，以

4、bc為底邊的等腰abc，點(diǎn)d，e，g分別在bc，ab，ac上，且egbc，deac，延長ge至點(diǎn)f，使得bebf.(1)求證：四邊形bdef為平行四邊形；(2)當(dāng)c45°，bd2時(shí)，求d，f兩點(diǎn)間的距離【解析】(1)證明：abc是等腰三角形，abcc.egbc，deac，aegabcc，四邊形cdeg是平行四邊形，degcaeg.bebf，fbefaeg，fdeg，bfde.又egbc，即febd，四邊形bdef為平行四邊形；(2)解：c45°，abcbfebef45°，bde，bef均是等腰直角三角形，bfbebd.過點(diǎn)f作fmbd交db的延長線于點(diǎn)m，連接df

5、，如解圖所示則bfm是等腰直角三角形fmbmbf1，dm3.在rtdfm中，由勾股定理得df.即d，f兩點(diǎn)間的距離為.考點(diǎn)3： 關(guān)于平行四邊形的綜合探究問題【例題3】(2018四川省眉山市15分 ) 如圖，在四邊形abcd中，acbd于點(diǎn)e，ab=ac=bd，點(diǎn)m為bc中點(diǎn)，n為線段am上的點(diǎn)，且mb=mn.（1）求證：bn平分abe； （2）若bd=1，連結(jié)dn，當(dāng)四邊形dnbc為平行四邊形時(shí)，求線段bc的長； （3）如圖，若點(diǎn)f為ab的中點(diǎn)，連結(jié)fn、fm，求證：mfnbdc. 【答案】（1）證明：ab=ac, abc=acb,又m為bc中點(diǎn)，ambc，在rtabm中，abc+m

6、ab=90°,acbd，在rtcbe中，acb+ebc=90°,mab=ebc,又mb=mn，ambc，nbm為等腰直角三角形，mbn=mnb=45°,ebc+nbe=45°,mab+abn=mnb=45°,mab=ebc,nbe=abn,bn平分abe.（2）解：四邊形dnbc為平行四邊形，設(shè)bm=cm=mn=a，則dn=bc=2a，在abn和dbn中， abndbn中（sas），an=dn=2a，在rtabm中，bd=1，ab=ac=bd，ab=1，am2+bm2=ab2 ， （2a+a）2+a2=1，解得：a= .bc=2a= .（3）解

7、證明：mb=mn，m為bc中點(diǎn)，mn=mb= bc，又f是ab的中點(diǎn)，ab=ac=bd，在rtabm中，mf=af=bf= ab= bd，mab=fmn,由（1）知mab=ebc,fmn=ebc,又 ,mfnbdc. 一、選擇題：1. （2018·浙江寧波·4分）已知正多邊形的一個(gè)外角等于40°，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（）a6b7c8d9【答案】d【解答】解：正多邊形的一個(gè)外角等于40°，且外角和為360°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是：360°÷40°=9故選：d2. 在平行四邊形abcd中，b=60°，那

8、么下列各式中，不能成立的是（）ad=60°ba=120°cc+d=180°dc+a=180°【答案】d【解答】解：四邊形abcd是平行四邊形，a=c，b=d，而b=60°，a=c=120°，d=60°所以d是錯(cuò)誤的故選d3. （2018寧波）如圖，在abcd中，對角線ac與bd相交于點(diǎn)o，e是邊cd的中點(diǎn)，連結(jié)oe若abc=60°，bac=80°，則1的度數(shù)為（）a50°b40°c30°d20°【答案】b【解答】解：abc=60°，bac=80°

9、，bca=180°60°80°=40°，對角線ac與bd相交于點(diǎn)o，e是邊cd的中點(diǎn)，eo是dbc的中位線，eobc，1=acb=40°故選：b4. （2018·浙江省臺(tái)州·4分）如圖，在abcd中，ab=2，bc=3以點(diǎn)c為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交bc于點(diǎn)p，交cd于點(diǎn)q，再分別以點(diǎn)p，q為圓心，大于pq的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)n，射線cn交ba的延長線于點(diǎn)e，則ae的長是（）ab1cd【答案】b【解答】解：由題意可知cf是bcd的平分線，bce=dce四邊形abcd是平行四邊形，abcd，dce=e，bce=aec

10、，be=bc=3，ab=2，ae=beab=1，故選：b5. （2018陜西3分）點(diǎn)o是平行四邊形abcd的對稱中心，adab，e.f分別是ab邊上的點(diǎn)，且efab；g、h分別是bc邊上的點(diǎn)，且ghbc；若s1,s2分別表示eof和goh的面積，則s1,s2之間的等量關(guān)系是（ ）.a2s13s2. b2s1s2. c s13s2. d3s12s2.【答案】a【詳解】過點(diǎn)o分別作ombc，垂足為m，作onab，垂足為n，點(diǎn)o是平行四邊形abcd的對稱中心，s平行四邊形abcd=ab2on， s平行四邊形abcd=bc2om，abon=bcom，s1=efon，s2=ghom，efab，ghbc，

11、s1=abon，s2=bcom，2s13s2，故答案為：2s13s2.故選a.二、填空題：6. （2018·湖南省衡陽·3分）如圖，abcd的對角線相交于點(diǎn)o，且adcd，過點(diǎn)o作omac，交ad于點(diǎn)m如果cdm的周長為8，那么abcd的周長是【答案】16【解答】解：abcd是平行四邊形，oa=oc，omac，am=mccdm的周長=ad+cd=8，平行四邊形abcd的周長是2×8=16故答案為167. （2018十堰）如圖，已知abcd的對角線ac，bd交于點(diǎn)o，且ac=8，bd=10，ab=5，則ocd的周長為 【答案】14【解答】解：四邊形abcd是平行四邊

12、形，ab=cd=5，oa=oc=4，ob=od=5，ocd的周長=5+4+5=14，故答案為148. （2018株洲市3分）如圖，在平行四邊形abcd中，連接bd，且bdcd，過點(diǎn)a作ambd于點(diǎn)m，過點(diǎn)d作dnab于點(diǎn)n，且dn，在db的延長線上取一點(diǎn)p，滿足abdmappab，則ap_.【答案】6【解析】分析：根據(jù)bd=cd，ab=cd，可得bd=ba，再根據(jù)ambd，dnab，即可得到dn=am=3，依據(jù)abd=map+pab，abd=p+bap，即可得到apm是等腰直角三角形，進(jìn)而得到ap=am=6詳解：bd=cd，ab=cd，bd=ba，又ambd，dnab，dn=am=3，又abd

13、=map+pab，abd=p+bap，p=pam，apm是等腰直角三角形，ap=am=6，故答案為：69. （2018無錫）如圖，已知xoy=60°，點(diǎn)a在邊ox上，oa=2過點(diǎn)a作acoy于點(diǎn)c，以ac為一邊在xoy內(nèi)作等邊三角形abc，點(diǎn)p是abc圍成的區(qū)域（包括各邊）內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)p作pdoy交ox于點(diǎn)d，作peox交oy于點(diǎn)e設(shè)od=a，oe=b，則a+2b的取值范圍是 【答案】2a+2b5【解答】解：過p作phoy交于點(diǎn)h，pdoy，peox，四邊形eodp是平行四邊形，hep=xoy=60°，ep=od=a，rthep中，eph=30°，eh=ep=a

14、，a+2b=2（a+b）=2（eh+eo）=2oh，當(dāng)p在ac邊上時(shí)，h與c重合，此時(shí)oh的最小值=oc=oa=1，即a+2b的最小值是2；當(dāng)p在點(diǎn)b時(shí)，oh的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5，2a+2b5三、解答題：10. 已知n邊形的內(nèi)角和(n2)×180°.(1)甲同學(xué)說，能取360°；而乙同學(xué)說，也能取630°.甲、乙的說法對嗎？若對，求出邊數(shù)n；若不對，說明理由；(2)若n邊形變?yōu)?nx)邊形，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了360°，用列方程的方法確定x.【解析】：(1)甲對，乙不對理由：360°，(n2)×1803

15、60.解得n4.630°，(n2)×180630.解得n.n為整數(shù)，不能取630°.甲對，乙不對(2)依題意，得(n2)×180360(nx2)×180.解得x2.11. (2017·河北模擬)看圖回答問題：(1)內(nèi)角和為2 018°，佳佳為什么說不可能？(2)音音求的是幾邊形的內(nèi)角和？【解析】：(1)n邊形的內(nèi)角和是(n2)·180°，內(nèi)角和一定是180°的倍數(shù)2 018÷1801138，內(nèi)角和為2 018°不可能(2)設(shè)漏加的內(nèi)角為x°，依題意，得(n2)

16、83;1802 018x，x180n2 378.90x180，90180n2 378180.解得13n14，且n為整數(shù)多邊形的邊數(shù)是14.故音音求的是十四邊形的內(nèi)角和12. 如圖，在abcd中，e，f在對角線ac上(1)若be，df分別是abo，cdo的中線，求證：四邊形bedf是平行四邊形；(2)若be，df分別是abo，cdo的角平分線，四邊形bedf還是平行四邊形嗎？若be，df分別是abo，cdo的高線時(shí)，四邊形bedf還是平行四邊形嗎？【點(diǎn)撥】(1)可從對角線互相平分上證明四邊形bedf是平行四邊形；(2)be，df分別是abo，cdo的角平分線和高線時(shí)，可得到boedof，仍有oe

17、of，則有四邊形bedf是平行四邊形【解答】解：(1)證明：四邊形abcd是平行四邊形，oaoc，obod.be，df分別是abo，cdo的中線，oeof.四邊形bedf是平行四邊形(2)四邊形abcd是平行四邊形，obod，abcd.abocdo.be，df分別是abo，cdo的角平分線，obeodf.又boedof，boedof(asa)oeof.四邊形bedf是平行四邊形同理可證得be，df分別是abo，cdo的高線時(shí)，仍有四邊形bedf是平行四邊形13. 正方形abcd的邊長是5，點(diǎn)m是直線ad上一點(diǎn)，連接bm，將線段bm繞點(diǎn)m逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段me，在直線ab上取點(diǎn)f

18、，使afam，且點(diǎn)f與點(diǎn)e在ad同側(cè)，連接ef，df.(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)m在da延長線上時(shí)，求證：adfabm；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)m在線段ad上時(shí)，求證：四邊形dfem是平行四邊形；(3)在(2)的條件下，線段am與線段ad有什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形efdm的面積最大？并求出這個(gè)面積的最大值圖1圖2【解析】：(1)證明：四邊形abcd是正方形，dafbam90°，adab.在adf和abm中，adfabm(sas)(2)證明：延長bm交df于k.adfabm，dfbm，abmadf.embm，emdf.abmamb90°，ambdmk，adfdmk90°.bkd90°.emb90°，embbkf90°.emdf.四邊