1、高中數學圓錐曲線雙曲線一、選擇題1(文)(2016·山東濰坊)已知焦點在y軸上的雙曲線的漸近線方程是y±4x，則該雙曲線的離心率是 ()A.B.C.D.答案C解析設雙曲線方程為1，則由題意得，4，16，e.(理)(2016·河北唐山)過雙曲線1的一個焦點F作一條漸近線的垂線，若垂足恰在線段OF(O為原點)的垂直平分線上，則雙曲線的離心率為()A2 B.C.D.答案C解析如圖，FMl，垂足為M，M在OF的中垂線上，OFM為等腰直角三角形，MOF45°，即1，e.2(2010·全國文)已知F1、F2為雙曲線Cx2y21的左、右焦點，點P在C上，F1

2、PF260°，則|PF1|·|PF2|()A2B4C6D8答案B解析在F1PF2中，由余弦定理cos60°11，b1，|PF1|·|PF2|4.3(文)(2016·合肥市)中心在原點，對稱軸為坐標軸的雙曲線C的兩條漸近線與圓(x2)2y21都相切，則雙曲線C的離心率是()A.或2 B2或C.或D.或答案A解析焦點在x軸上時，由條件知，e，同理，焦點在y軸上時，此時e2.(理)已知F1、F2是雙曲線1(a>0，b>0)的兩個焦點，以線段F1F2為邊作正MF1F2，若邊MF1的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率為()A42B.1C.D.1

3、答案D解析設線段MF1的中點為P，由已知F1PF2為有一銳角為60°的直角三角形，|PF1|、|PF2|的長度分別為c和c.由雙曲線的定義知：(1)c2a，e1.4已知橢圓1和雙曲線1有公共的焦點，那么雙曲線的漸近線方程為()Ax±yBy±xCx±yDy±x答案D解析由題意c23m25n22m23n2，m28n2，雙曲線漸近線的斜率k±±.方程為y±x.5(文)(2016·湖南師大附中模擬)已知雙曲線1，直線l過其左焦點F1，交雙曲線左支于A、B兩點，且|AB|4，F2為雙曲線的右焦點，ABF2的周長為2

4、0，則m的值為()A8 B9C16 D20答案B解析由已知，|AB|AF2|BF2|20，又|AB|4，則|AF2|BF2|16.據雙曲線定義，2a|AF2|AF1|BF2|BF1|，所以4a|AF2|BF2|(|AF1|BF1|)16412，即a3，所以ma29，故選B.(理)(2016·遼寧錦州)ABC中，A為動點，B、C為定點，B，C(其中m>0，且m為常數)，且滿足條件sinCsinBsinA，則動點A的軌跡方程為()A.1 B.1C.1(x>) D.1答案C解析依據正弦定理得：|AB|AC|BC|<|BC|點A的軌跡是以B、C為焦點的雙曲線的右支，且a，c

5、，b2c2a2雙曲線方程為1(x>)6設雙曲線1(a>0，b>0)的兩焦點為F1、F2，點Q為雙曲線左支上除頂點外的任一點，過F1作F1QF2的平分線的垂線，垂足為P，則點P的軌跡是()A橢圓的一部分 B雙曲線的一部分C拋物線的一部分 D圓的一部分答案D解析延長F1P交QF2于R，則|QF1|QR|.|QF2|QF1|2a，|QF2|QR|2a|RF2|，又|OP|RF2|，|OP|a.7(文)(2016·溫州市十校)已知點F是雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若ABE是銳角三角形，

6、則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()A(1，) B(1,2)C(1,1) D(2,1)答案B解析由題意易知點F的坐標為(c,0)，A，B，E(a,0)，因為ABE是銳角三角形，所以·>0，即··>0，整理得3e22e>e4，e(e33e31)<0，e(e1)2(e2)<0，解得e(0,2)，又e>1，e(1,2)，故選B.(理)(2016·浙江杭州質檢)過雙曲線1(a>0，b>0)的一個焦點F引它的漸近線的垂線，垂足為M，延長FM交y軸于E，若FMME，則該雙曲線的離心率為()A3 B2C.D.答案D解析由

7、條件知l：yx是線段FE的垂直平分線，|OE|OF|c，又|FM|b，在RtOEF中，2c24b24(c2a2)，e>1，e.8若直線ykx2與雙曲線x2y26的右支交于不同的兩點，則k的取值范圍是()A.B.C.D.答案D解析直線與雙曲線右支相切時，k，直線ykx2過定點(0,2)，當k1時，直線與雙曲線漸近線平行，順時針旋轉直線yx2時，直線與雙曲線右支有兩個交點，<k<1.9(文)(2010·福建理)若點O和點F(2,0)分別為雙曲線y21(a>0)的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則·的取值范圍為()A32，) B32，)C，)

8、D，)答案B解析由條件知a21224，a23，雙曲線方程為y21.設P點坐標為(x，y)，則(x，y)，(x2，y)，y21，·x22xy2x22x1x22x1(x)2.又x(P為右支上任意一點)·32.故選B.(理)(2010·新課標全國理)已知雙曲線E的中心為原點，F(3,0)是E的焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N(12，15)，則E的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析設雙曲線的方程為1(a>0，b>0)，由題意知c3，a2b29，設A(x1，y1)，B(x2，y2)則有：，兩式作差得：，kAB，且kAB1，所

9、以4b25a2代入a2b29得a24，b25，所以雙曲線標準方程是1，故選B.10(文)過橢圓1(a>b>0)的焦點垂直于x軸的弦長為a，則雙曲線1的離心率e的值是()A.B.C.D.答案B解析將xc代入橢圓方程得，1，y2×b2×b2×b2，y±.a，b2a2，e2，e，故選B.(理)(2016·福建寧德一中)已知拋物線x22py(p>0)的焦點F恰好是雙曲線1的一個焦點，且兩條曲線交點的連線過點F，則該雙曲線的離心率為()A.B1±C1D無法確定答案C解析由題意知c，根據圓錐曲線圖象的對稱性，兩條曲線交點的連線垂

10、直于y軸，對雙曲線來說，這兩個交點連線的長度是，對拋物線來說，這兩個交點連線的長度是2p，p2c，4c，b22ac，c2a22ac，e22e10，解得e1±，e>1，e1.二、填空題11(文)(2016·廣東實驗中學)已知P是雙曲線1右支上的一點，雙曲線的一條漸近線的方程為3xy0.設F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點若|PF2|3，則|PF1|_.答案5解析由雙曲線的一條漸近線的方程為3xy0且b3可得：a1，由雙曲線的定義知|PF1|PF2|2a，|PF1|32，|PF1|5.(理)(2010·東營質檢)已知雙曲線1的右焦點為(，0)，則該雙曲線的漸近線

11、方程為_答案y±x解析由題意知9a13，a4，故雙曲線的實半軸長為a3，虛半軸長b2，從而漸近線方程為y±x.12(2016·惠州市模考)已知雙曲線y21(a>0)的右焦點與拋物線y28x焦點重合，則此雙曲線的漸近線方程是_答案y±x解析y28x焦點是(2,0)，雙曲線y21的半焦距c2，又虛半軸b1，又a>0，a，雙曲線漸近線的方程是y±x.13(2016·北京東城區)若雙曲線1(a>0，b>0)的兩個焦點為F1，F2，P為雙曲線上一點，且|PF1|3|PF2|，則該雙曲線離心率的取值范圍是_答案1<e

12、2解析由題意，|PF1|AF1|，3aac，e2，1<e2.14下列有四個命題：若m是集合1,2,3,4,5中任取的一個值，中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線方程為mxy0，則雙曲線的離心率小于4的概率為.若雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為yx，且其一個焦點與拋物線y28x的焦點重合，則雙曲線的離心率為2；將函數ycos2x的圖象向右平移個單位，可以得到函數ysin的圖象；在RtABC中，ACBC，ACa，BCb，則ABC的外接圓半徑r；類比到空間，若三棱錐SABC的三條側棱SA、SB、SC兩兩互相垂直，且長度分別為a、b、c，則三棱錐SABC的外接球的

13、半徑R.其中真命題的序號為_(把你認為是真命題的序號都填上)答案解析設雙曲線方程為m2x2y21，a2，b21，c2a2b2e<4，m<m取值1、2、3故所求概率為，故正確根據雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為yx，可得，因此離心率e2，正確；函數ycos2x的圖象向右平移個單位得ycos2(x)cos(2x)sin(2x)sin(2x)的圖象，錯誤；將三棱錐SABC補成如圖的長方體，可知三棱錐SABC外接球的直徑就等于該長方體的體對角線的長，則R，正確三、解答題15(文)已知雙曲線的中心在原點，離心率為2，一個焦點F(2,0)(1)求雙曲線方程；(2)設Q是

14、雙曲線上一點，且過點F、Q的直線l與y軸交于點M，若|2|，求直線l的方程解析(1)由題意可設所求的雙曲線方程為1(a>0，b>0)則有e2，c2，a1，則b所求的雙曲線方程為x21.(2)直線l與y軸相交于M且過焦點F(2,0)l的斜率k一定存在，設為k，則l：yk(x2)令x0得M(0,2k)|2|且M、Q、F共線于l2或2當2時，xQ，yQkQ，Q在雙曲線x21上，1，k±，當2時，同理求得Q(4，2k)代入雙曲線方程得，161，k±則所求的直線l的方程為：y±(x2)或y±(x2)(理)(2016·湖南湘潭市)已知中心在原點

15、的雙曲線C的右焦點為(2,0)，右頂點為(，0)(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l：ykx與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且·>2(其中O為原點)，求k的取值范圍解析(1)設雙曲線1，由已知得a，c2，再由a2b222得，b21，故雙曲線C的方程為y21.(2)將ykx代入y21中得，(13k2)x26kx90.由直線l與雙曲線交于不同的兩點得，k2且k2<1設A(xA，yA)，B(xB，yB)，則xAxB，xAxB由·>2得，xAxByAyB>2，xAxByAyBxAxB(kxA)(kxB)(k21)xAxBk(xAxB)2(k21)

16、83;k·2于是>2，即>0，解此不等式得<k2<3由得<k2<1，<k<1或1<k<.故k的取值范圍為.16(2016·江蘇蘇州模擬)已知二次曲線Ck的方程：1.(1)分別求出方程表示橢圓和雙曲線的條件；(2)若雙曲線Ck與直線yx1有公共點且實軸最長，求雙曲線方程；(3)m、n為正整數，且m<n，是否存在兩條曲線Cm、Cn，其交點P與點F1(，0)，F2(，0)滿足·0？若存在，求m、n的值；若不存在，說明理由解析(1)當且僅當，即k<4時，方程表示橢圓當且僅當(9k)(4k)<0，

17、即4<k<9時，方程表示雙曲線(2)解法一：由化簡得，(132k)x22(9k)x(9k)(k3)00，k6或k4(舍)雙曲線實軸最長，k取最小值6時，9k最大即雙曲線實軸最長，此時雙曲線方程為1.解法二：若Ck表示雙曲線，則k(4,9)，不妨設雙曲線方程為1，聯立消去y得，(52a2)x22a2x6a2a40Ck與直線yx1有公共點，4a44(52a2)(a46a2)0，即a48a2150，a23或a25(舍)，實軸最長的雙曲線方程為1.解法三：雙曲線1中c2(9k)(k4)5，c，F1(，0)，不妨先求得F1(，0)關于直線yx1的對稱點F(1,1)，設直線與雙曲線左支交點為M

18、，則2a|MF2|MF1|MF2|MF|FF2|2a，實軸最長的雙曲線方程為1.(3)由(1)知C1、C2、C3是橢圓，C5、C6、C7、C8是雙曲線，結合圖象的幾何性質，任意兩橢圓之間無公共點，任意兩雙曲線之間也無公共點設|PF1|d1，|PF2|d2，m1,2,3，n5,6,7,8則根據橢圓、雙曲線定義及·0(即PF1PF2)，應有，所以mn8.所以這樣的Cm、Cn存在，且或或.17(文)(2010·全國文)已知斜率為1的直線l與雙曲線C：1(a>0，b>0)相交于B、D兩點，且BD的中點為M(1,3)(1)求C的離心率；(2)設C的右頂點為A，右焦點為F，

19、|DF|·|BF|17，證明：過A、B、D三點的圓與x軸相切解析(1)由題意知，l的方程為：yx2，代入C的方程并化簡得，(b2a2)x24a2x4a2a2b20設B(x1，y1)，D(x2，y2)，則x1x2，x1·x2由M(1,3)為BD的中點知1，故×1即b23a2故c2a，C的離心率e2.(2)由知，C的方程為3x2y23a2，A(a,0)，F(2a,0)，x1x22，x1·x2<0，故不妨設x1a，x2a，|BF|a2x1，|FD|2x2a，|BF|·|FD|(a2x1)(2x2a)4x1x22a(x1x2)a25a24a8.又|BF|·|FD|17，故5a24a817，解得a1，或a.故|BD|x1x2|6連結MA，則由A(1,0)，M(1,3)知|MA|3，從而MAMBMD，DAB90°，因此以M為圓心，MA為半徑的圓過A、B、D三點，且在點A處與x軸相切，所以過A、B、D三點的圓與x軸相切(理)(2016·廣東理)已知雙曲線y21的左、右頂點