1、2020年中考數(shù)學(xué)壓軸題:折疊與圖形存在性28題型一：直角三角番存在性問題折疊與圖形存在性題型二：等腰三角形存在性問題題型三：敷董（住置）關(guān)系存 在性問題典例剖析【例1】（2019鄭州外國語模擬）如圖，在RtA ABC中，/ ACB=90, AC=2 , BC=4 , CD是ABC的中線，E是邊BC上一動點，將 ABED沿ED折疊，點B落在點F處，EF交線段CD于G,當(dāng) DFG是直 角三角形時，則 CE=.2【解析】解：在 RtAABC中，由勾股定理得：AB=2 J5,由折疊性質(zhì)知/ F=/BW90；分兩種情況討論,（1）當(dāng)/ FDG=90時，D是RtA ABC斜邊AB的中點，CD = BD=

2、AD= ,5 , ./ B=Z DCE=Z F, / DCE+ / GEC= Z F+Z FDG ,/ GEC=90 ,在 RtDFG 中，tan/F = _DG, DFDG=-5 ,2 .CG=CD DG=畫, 2 _，_ _ _ 54在 RtA CEG 中,CE=CG cos/ GCE= x= =1 22.5由（1）知/ B=ZF=ZDCB,由 BD=DF = 75,DG = DF sin/ F=J5 x= =12.5.CG=CD-DG=75-1,.CE=CG/s/DCB=（戀1）45.5-2,52故答案為：1, 口后.2【變式1-1（2018 洛陽三模）如圖，在菱形ABCD中，Z DAB

3、 =45 , AB=8,點P為線段AB上一動點,過點P作PELAB交直線AD于E,沿PE將/ A折疊，點A的對稱點為點 F,連接EF、DF、CF,當(dāng)ACDF是直角三角形時， AP=【解析】解：如圖，當(dāng) DFLAB時，ACDF是直角三角形,在 RtADF 中，AD=8, Z DAN=45 , DF=AF=4 點,AP=2 我；如圖，當(dāng) CFLAB時，ADCF是直角三角形，在 RtACBF 中，/ CFB=90 , / CBF = Z A=45 , BC=8,BF=CF=4 72 , . AF=AB+BF=8+4 ,2 , AP=1 AF=4+2 - 2 , 2故答案為：4或4+2 72 .【例2

4、】（2019河南南陽一模）如圖，矩形 ABCD中，AB=2, AD =4,點E在邊BC上，將 DEC沿DE翻折后，點C落在點C處.若ABC是等腰三角形，則 CE的長為.A【分析】根據(jù) ABC是等腰三角形，分 AB=AC =2AC BC,即C落在AB的垂直平分線上時;AB=BC = 2三種情況討論，逐一作出圖形求解即可【答案】2或氈.3【解析】解：分三種情況討論:AB=AC =2如圖所示,可得：四邊形 CDCE是正方形，即 CE=2;AC BC,即C落在AB的垂直平分線 MN上時，如圖所示,CDM=30 ,即得：/ CDC=60, /EDC=30,CE=CD tan/ EDCo 3=2 X 32

5、 3=；3 AB=BC，=2此時作出C的運(yùn)動軌跡，及以 B為圓心，2為半徑的圓，發(fā)現(xiàn)二者不相交，如圖所示,C運(yùn)動軌跡即此種情況不存在；綜上所述，答案為：2或忠.3【變式2-1（2019鄭州外外國語測試）如圖所示，在 4ABC中，/ C=90, AC田C,將4ABC沿EF 折疊，使點 A落在直角邊BC上白D點，設(shè)EF與AB、AC分別交于點E、F,如果折疊后 4CDF和4BDE 均為等腰三角形，那么/ B=.【答案】45或30.【解析】解：若 4CDF是等腰三角形，C=90,CDF = Z CFD=45 ,由折疊性質(zhì)知，/ A=/FDE, /B=/EFD,若4BDE是等腰三角形，則：(1)若 DE

6、=BD,設(shè)/ B=Z DEB=x,貝U/ A=Z FDE =90-x,. / CDE= Z B+Z DEB,45+90 x=x+x,解得：x=45,即/ B=45 ,若DE=BE,/CDE=180/ BDE=180-Z B,/ CDE =45 + / FDE =45 + / A=45 +90 -Z B=135 - ZB,.不符合題意，(3)若 BD=BE,設(shè)/ B=x,則/ BDE = Z BED=90 -x2 ，Z CDE =45 +/A=135x,Z CDE =/B+/DEB=90 +1x2，135-x=90 + lx,解彳導(dǎo):x=30,2即/ B=30 ,綜上所述，/ B的度數(shù)為：45或

7、30.E為斜邊AB的中EPA；當(dāng)折疊后【例 3】（2019 商丘二模）如圖，在 Rt祥BC 中，/ ACB=90, /B=30, AC=2, 點，點P是射線BC上的一個動點，連接 AP、PE, WAAEP沿著邊PE折疊，折疊后得到 EPA與ZBEP的重疊部分的面積恰好為 AABP面積的四分之一，則此時 BP的長為【答案】2或2g.【解析】解：.一/ ACB=90, /B=30, AC=2, E 為 AB 的中點, AB=4, AE= 1AB=2, BC=2T3.2(1)若點A落在BC上方時，連接 AB,由折疊可得 SMEP= SAEP, AE = AE=2,.點E是AB的中點,Sa bep=

8、S aaep= S mbp .21由題可得：Sa efp= - S aabp4Saefp= - Sabep= - Saaep= 工 Szaep, 222 .EF=BF, PF = AF.四邊形AEPB是平行四邊形,若點A落在直線BC卜方時，連接 AA小可得：GP = BG, EG=1. BE= AE,一 1 EG= - AP= 1, 2 . AP=2AP= AC,即此時點P與點C重合，bp= BC = 2V3 .故答案為：2或28.【艾式3-1】(2019安陽二模)如圖，在點E在邊AB上，將AADE沿DE翻折，使點A【答案】1或9.22【解析】解：分兩種情況：(1)當(dāng) AE/BC 時，/AEG

9、 = /B,，交EP與H,AABC 中，/ C=90, AB= 5, BC = 4.點 D 是邊 AC 的中點,A落在點A處，當(dāng)線段 AE的長為時，AE/BC.BP= AE = 2;rxCB由折疊可得，/ A= /A,/ B+Z A=90,. AEG+Z A=90,. AGE= 90,ABCA ADG ,.AG AD DG-，AC AB BC_13-AD= -AC= 3,22AG= , DG = 6 , AG =,10510設(shè) AE= AE= x,貝U EG = x, 10則 cos/GEA-EG -AE 5 x=,即 AE=; 22(2)當(dāng) AE/ BC 時，/ AHE=Z C=90,AH

10、CD,設(shè) AE= y,由AHEsACB,得：-AH- 娼 EHAC AB BCl 1AH = _ y, HE = y,55由折疊可得， AE = AE = y, AD = AD = 3 , 2 .AH=1y DH = y-, 552/， DH 4sin Z DA H=,AD 5可得：y=9,即 AE= 9 , 22故答案為：1或9.22壓軸精練1. (2017關(guān)B州一模)如圖，在 RtAABC中，/ ACB=90, AB=5, AC=3,點 D是BC上一動點，連結(jié)AD,將9CD沿AD折疊，點C落在點C 連結(jié)C D交AB于點E,連結(jié)BC.當(dāng)ABCD是直角三角形時,DE的長為24【解析】解：(1)

11、當(dāng)點E與點C重合時，ABCD是直角三角形,在Rt祥BC中，由勾股定理得：BC=4.由翻折的性質(zhì)可知； AE=AC=3 , DC = DE, EB=2 .設(shè) DC=ED=x,貝U BD=4 - x.在RtADBE中，由勾股定理得：DE2+BE2=DB2,即 x2+22= (4-x) 2.3 解得：x= 一.2(2)當(dāng)/ EDB=90 時，由翻折的性質(zhì)可知： AC=AC, /C=/C =90. 可得：四邊形 ACDC為矩形. , AC=AC,，四邊形ACDC為正方形.，CD=AC=3. DB=BC-DC=1. DE / AC,DEBD1DE1一一-,-.ACBC4，34解得：DE=3. 4(3)二

12、點D在BC上運(yùn)動, ./ DBCv90,即/ DBC不可能為直角.故答案為：3或3. 242. （2019洛陽三模）如圖，已知 RtA ABC中，/B=90, /A=60, AB=3,點 M, N分別在線段 AC, AB上，將ANM沿直線 MN折疊，使點A的對應(yīng)點 D恰好落在線段BC上，若4DCM為直角三角形 時，則AM的長為.【答案】2或363.【解析】解：二.在 4CDM中，/ C=30,，分兩種情況討論4CDM為直角三角形的情況,(1)當(dāng)/ CMD=90時,如圖所示,設(shè) AM=x,貝U DM=x, CM= J3x, ，x+J3x=6,解得：x=3j3 3;(2)當(dāng)/ CDM=90時,如圖

13、所示,設(shè) AM=x,貝U CM =2x, DM=x,1- x+2x=6,解得 x=2,綜上所述，答案為:3百3或2.3. (2019周口二模)如圖，在矩形紙片ABCD中，已知AB=6, BC=8, E是邊AD上的點，以CE為折痕折疊紙片，使點 D落在點F處，連接FC ,當(dāng)4AEF為直角三角形時，DE的長為.【解析】解：由題意知，/ EAFW90；(1)當(dāng)/ AEF=90 時，如下圖所示，AED即 DE=6;(2)當(dāng)/ AFE=90時，如下圖所示,AC=10, CF=6, AF=4,設(shè) DE=x,貝U EF=x, AE=8-x, 在RtAAEF中，由勾股定理得： x2+42= (8 x) 2,解

14、得：x=3, 故答案為：3或6.4. (2018 焦作一模)如圖，在 RtABC 中，/A=90, /B=30, BC=J3+1,點 E、F 分別是 BC、AC邊上的動點，沿 E、F所在直線折疊/ C,使點C的落對應(yīng)點C始終落在邊AB上，若aBEC是直角三角形 時，則BC的長為.3【解析】解：一/ B=30 ,，分兩種情況討論：當(dāng)/ BEC=90時，BE=君 CE,. CE=CE, BC= 3+ +1,BE= J3 , CE=1, RtA BEC中，由勾股定理得：BC=2 ;當(dāng)/ BCE=90 時,BE=2CE=2CE, BC=6+1 ,21 .BE=*X( V3 + 1), CE=- (V3

15、+1),33在RtA BEC由勾股定理得：BC= 3 網(wǎng);3綜上所述，BC的長為紇叵或2. 35. (2019南陽畢業(yè)測試)如圖，在RtAABC中，AC= 8, BC=6,點D為斜邊 AB上一點，DEAB交AC于點E, WAAED沿DE翻折，點A的對應(yīng)點為點F.如果4EFC是直角三角形，那么 AD的長為C【答案】7或5.5【解析】解：在 RtAABC中，AC = 8, BC = 6,由勾股定理得：AB=10,按直角頂點位置分類討論，匕 &u : k 0 lti 巾5二尸DCCIEiu_rL-Bunjts-Lr、：_nr_mjr若/ CFE=90, .在 RtA ABC 中，/ ACB= 90,

16、 ./ CFB + Z EFD = Z B+Z A=90,由翻折知：/ A= / EFD, AE=EF, ./ CFB = Z B, CF =BC=6,在 RtA CEF 中，有 CE2=EF2+CF2,即 CE2= ( 8-CE) 2+62,.CE=空AE =由/ ADE = Z ACB = 90,得 AADEs ACB,AE AD一 ,AB AC得：AD=7;5當(dāng)/ ECF = 90時，點F與B重合, AD= 1AB=5;2當(dāng)/ CEF = 90時，貝U EF / BC, / AFE=Z B, . / A=Z AFE, ./ A=Z B,，AC=BC （與題設(shè)矛盾），這種情況不存在，綜上所

17、述：如果 4EFC是直角三角形，AD的長為7或5.5故答案為：1或5. 5將MBCBE的長度6.（2019開封二模）在RtA ABC中，AC=3, AB=4, D為斜邊 BC中點，E為AB上一個動點, 沿直線DE折疊，A、C的對應(yīng)點分別為 A、C； EA交BC于點F,若4BEF為直角三角形，則 為.24【解析】解：.一/ BW90；，分兩種情況討論：當(dāng)/ BEF=90時，過 D 作 DM，AB于 M,則/ EMD =90, DM / AC, D 為 BC 中點,A可得：M為AB的中點，BM= -AB=2, DM = -AC=-,222由折疊可得，/ MED= - Z AEF = 45, 2.

18、DEM是等腰直角三角形，EM= DM =-, 2BE= 2 =2當(dāng)/ BFE=90時，連接 AD, AD,RtMBC 中，AC=3, AB=4,由勾股定理得：BC=5,RtABC中，D為BC的中點,AD= BD = AD= -BC=-, 22 ./ B=Z EAD = Z FAD,設(shè) BE=x,貝U BF = BE cosB=由 sin/ FAD = sinB,得:解得：x=5,即 BE=5,44綜上所述，BE的長度為1或5.247. （2019安陽一模）如圖，在RtABC 中，Z C=90, AC = 4J3, BC=4 ,點 D 是 AC 的中點，點 F 是邊AB上一動點，沿 DF所在直線

19、把4ADF翻折至U ADF的位置，若線段 AD交AB于點E,且ABAE為 直角三角形，則 BF的長為.CB【答案】28或6. 5【解析】解：由分析知/ EBA才90。分兩種情況討論:(1)當(dāng)/ BAE=90時,如圖所示,連接BD,過F作FHXAC于H,可得：BCD0BAD, /BDF=90,當(dāng)/ BEA=9CB寸,B設(shè) FH=x,貝U AF=2x, AH=73x, DH =2 73 -x, BF=82x,由勾股定理得:BD2+DF 2=BF2, DF2=DH2+FH2,即 BD2+ DH2+FH2= BF2,282 3 x一 一 12 解得：x=,5即 BF= 28 ;5如下圖所示,由折疊性質(zhì)

20、知，/ A=Z ADF = Z EDF=30 ,. , AD=2 V3 ,DE= 3 , AE=3,l- EF= - DE=1, 3AF=2,即 BF=6,綜上所述，BF的值為竺或6.58. （2019省實驗一模）如圖，在 RtA ABC中，AB = 3, BC= 4,點P為AC上一點，過點 P作PD，BC于點D,將4PCD沿PD折疊，得到 APED,連接AE.若 APE為直角三角形，則 PC=.【答案】35或125.3232【解析】解：若/ APE=90,貝U/ CPD = Z EPD=45 ,可得/ C=45,與題意不符, ./ APE w 90；在RtABC中，AB=3, BC=4,由勾

21、股定理得： AC=5,當(dāng)/ AEP=90時,設(shè) PC = x,在 RtPDC 中，sinC= 3 , cosC = 4 , 55所以 PD = x, CD = x,由折疊知DE = CD= 4x ,5BE= BC - CE= 4 - x5， . / B=Z PDE,Z BAE+Z AEB=90, / PED+/ AEB= 90, ./ BAE = Z PED = ZC,tan / BAE= tan / C,4 8x53解得：x=35,32即 PC=35；32當(dāng)/ EAP=90時，如下圖,設(shè) PC=x,則 PE=x, PD=3x, CD= -x, CE=8x, BE=8x4, 5555可證：/

22、AEB=/C, . tan/ AEB= tan / C,BE 3, AB 48x 4 3即53, 34125解得：x= 32即 PC=!25 ,32綜上所述，答案為：35或125.32329. （2019葉縣一模）如圖，矩形ABCD中，AB=4, AD =6,點E為AD中點，點 P為線段AB上一個動點，連接EP,將4APE沿PE折疊得到FPE,連接CE, CF ,當(dāng) ECF為直角三角形時，AP的長為【答案】1或9.4【解析】解：由圖可知，/ ECFW90；所以分兩種情況討論:(1)當(dāng)/ CFE = 90 時,由折疊可得，/ PFE=/A=90, AE=FE=DE,CFP = 180,即點P,

23、F, C在一條直線上, RtACDERtA CFE,.-.CF=CD = 4,設(shè) AP=FP = x,貝U BP = 4- x, CP = x+4,在 RtBCP 中，BP2+BC2=PC2,即(4 x) 2+62= ( x+4) 2,r 99解得x=,即AP=;44(2)當(dāng)/ CEF = 90時,過 F 作 FHAB 于 H,作 FQAD 于 Q,則/ FQE=/ D=90, . / FEQ+/CED = / ECD+/CED, ./ FEQ = Z ECD, . FEQA ECD,FQ QE EFDE CD CEFQ QE 3345912 .FQ=- , QE=,AQ=HF=3-QE= -

24、, AH = QE=9,55設(shè) AP= FP = x,則 HP = 9 x, 5在 RtPFH 中，HP2+HF2=PF2,即(9-X)2+ ( 3) 2=X2, 55解得x= 1,即AP= 1.綜上所述，AP的長為1或9 .4點M、N分別在j DCM為直角10. (2019 濮陽二模)如圖，已知RtAABC 中，/ B= 90, / A= 60, AC=2，3+4,線段AC、AB上，將AANM沿直線MN折疊，使點 A的對應(yīng)點D恰好落在線段 BC上， 三角形時，折痕 MN的長為.答案2A 4或褥. 3【解析】解：一/ C=30,即C不可能是直角頂點,，分兩種情況討論：(1)當(dāng)/ CDM = 9

25、0 時，C在 RtABC 中，Z B=90, /A=60, AC=2T3+4, ./ C=30, AB= 73+2,由折疊性質(zhì)知，/ MDN =Z A= 60,BDN = 30,bn= 1 dn= Ian, 22BN= 1AB=君 2 ,AN=2BN =由/ DNB = 60,得：/ ANM = Z DNM =60, . AMN是等邊三角形，AN= MN = 2底 4 ； 3(2)當(dāng)/ CMD = 90時,C由題可得，/ CDM = 60, /A=/MDN=60, ./ BDN = 60, / BND = 30,BD= 1 DN= 1 AN, BN= V3BD, 22AN=2, BN= 73

26、, BD=1 ,CD = BC-BD=岳 AB - BD=2 / +2, DM=AM = -CD= V3+1, 2 在 RtMNH 中，AH=1AN=1, NH= J3, 2HM =AM -AH = 3 ,在RtA HNM中，由勾股定理得： MN=;故答案為：284或幾.11. (2019鄭州聯(lián)考)如圖，正方形ABCD的邊長是16,點E在邊AB上，AE=3,點F是邊BC上不與點B, C重合的一個動點，把 4EBF沿EF折疊，點B落在B處.若4CDB恰為等腰三角形，則 DB的長5【答案】16或4指.【解析】解：分三種情況討論,(1)當(dāng) BD = BC 時,過B作GH / AD交AB、CD于點G、H,則/ BGE=90D可得：GH是CD、AB的垂直平分線, . AG= DH= -DC = 8, 2由 AE=3, AB=1