1、重難點06函數與導數【命題趨勢】在目前高考全國卷的考點中，導數板塊常常作為壓軸題的形式出現， 這塊部分的試題難度呈現非減的態勢，因此若想高考中數學拿高分的同學，都必須拿下導數這塊的內容.函數單調性的討論、零點問題和不等式恒成立的相關問題（包含不等式證明和由 不等式恒成立求參數取值范圍）是出題頻率最高的對于導數內容，其關鍵在于把握好導數，其關鍵在于把握好導數的幾何意義即切線的斜率，這一基本概念和關系，在此基礎上，引申出函數的單調性與導函數的關系，以及函數極值的概念求解和極值與最值白關系以及最值的求解.本專題選取了有代表性的選擇，填空題與解答題，通過本專題的學習熟悉常規導數題目的思路解析與解題套路

2、，從而在以后的導數題目中能夠快速得到導數問題的得分技巧.【滿分技巧】對于導數的各類題型都是萬變不離其宗，要掌握住導數的集中核心題型，即函數的極值問題，函數的單調性的判定.因為函數零點問題可轉化為極值點問題，函數恒成立與存在性 問題可以轉化為函數的最值問題，函數不等式證明一般轉化為函數單調性和最值求解， 而函 數的極值和最值是由函數的單調性來確定的.所以函數導數部分的重點核心就是函數的單調性.對于函數零點問題貼別是分段函數零點問題是常考題型，數形結合是最快捷的方法， 在此方法中應學會用導數的大小去判斷原函數的單調區間，進而去求出對應的極值點與最值.恒成立與存在性問題也是伴隨著導數經典題型，對于選

3、擇題來說，恒成立選擇小題可以采用排除法與特殊值法相結合的驗證方法能夠比較快捷準確得到答案，對于填空以及大題則采用對函數進行求導，從而判定出函數的最值函數的極值類問題是解答題中的一個重難點，對于非常規函數，超出一般解方程的范疇類題目則采用特殊值驗證法，特殊值一般情況下是0,1等特殊數字進行驗證求解.對于理科類導數類題目，對于比較復雜的導數題目.一般需要二次求導，但是要注意導數大小與原函數之間的關系，搞清楚導數與原函數的關系是解決此類題目的關鍵所在.含參不等式證明問題也是一種重難點題型，對于此類題型應采取的方法是：一雙變量常見解題思路：1雙變量化為單變量一尋找兩變量的等量關系；2轉化為構造新函數；

4、二含參不等式常見解題思路：1參數分離；2通過運算化簡消參（化簡或不等關系）；3將參數看成未知數，通過它的單調關系來進行消參.那么兩種結構的解題思路理順了，那么我們來看這道題.這是含參的雙變量問題，一般來說，含參雙變量問題我們一般是不采用 轉化為構造新函數，我們最好就雙變量化為單變量，這就是我們解這道題的一個非常重要的 思路： 尋找雙變量之間的關系并確定范圍，并且確定參數的取值范圍；化簡和嘗試消參；雙變量化為單變量.證明函數恒成立(求導、求極值)(經典題型2018年全國一卷理21題)【考查題型】 選擇題，填空，解答題 21題【限時檢測】(建議用時：90分鐘)一、單選題X, 1 x 01. ( 2

5、020安徽高三月考(理)定義在 R上的函數f(x) 2，且X ,0 X 11f (x 2)f(x),g(x) ，則萬程f (x) g(x)在區間5,9上的所有實數根之和x 2最接近下列哪個數()A. 14B. 12C. 11D. 10【答案】A【解析】f (x+2) =f (x) , 二函數f (x)是周期為2的周期函數，1,g (x) =, - g (x)關于直線 x=2 對稱.x 2分別作出函數f (x) , g (x)在-5, 9上的圖象，由圖象可知兩個函數的交點個數為8個，設8個交點的橫坐標從小到大為 X1, X2, X3, X4,X5, X6, X7,X8,且這8個交點接近點（2,

6、0）對稱, （X1+X8） =2, Xi+X8=4, 2所以若 X1+X2+X3+X4+X5+X6 X7 X8 =4（X1+X8）=4X4=16 但是不都是對稱的,由圖象可知，X1+ X8>4, X2+X7>4, X3 X6 4 , X4 X5 4第五個父點為空心的，跟等于3'.-X1+X2+X4+X5+X6 X X8最接近14.故選A.【點睛】：這個題目考查了導數在研究函數的極值和零點問題中的應用；對于函數的零點問題，它和方程的根的問題，和兩個函數的交點問題是同一個問題，可以互相轉化；在轉 化為兩個函數交點時， 如果是一個常函數一個非常函數，注意讓非常函數式子盡量簡單些.

7、注意函數的圖像畫的要準確一些 .的大致圖象為（）2. （2020四川高三期末（理）函數f X XCOSX SinX,X【答案】D【解析】【分析】判斷函數的奇偶性和對稱性，利用 f 的符號進行排除即可. 2【詳解】f x xcosx sinx xcosx sinx f x ,函數f x是奇函數，圖象關于原點對稱，排除 A,Cf cos sin 10,排除 B ,故選：D .2222【點睛】本題考查函數的圖象的判斷與應用，考查函數的零點以及特殊值的計算，是中檔題；已知函數解析式，選擇其正確圖象是高考中的高頻考點，主要采用的是排除法， 最常見的排出方式有根據函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性

8、等性質，同時還有在特殊點處所對應的函數值或其符號，其中包括 x , x , x 0 ,x 0等.3. （2020安徽高三月考（理）已知函數 f x lnx a 1 x 2 2a a 0 .若不等式f x0的解集中整數的個數為 3,則a的取值范圍是（）A. 1 ln3,0 B. 1 ln3,2ln2 C. 1 ln3,1 ln2 D. 0,1 ln2【答案】D【解析】【分析】對f x0進行變形，得到 a x 2 lnxx2,令hx a x 2 ,g x lnxx2,即hx g x的整數個數為3,再由g x的函數圖像和h x的函數圖像，寫出限制條件，得到答案【詳解】lnx a 1 x 2 2a 0

9、,即 a x 2Inx x 2設 hx ax 2 ,g x In x x 2 ,其中 x 2時，h 20,g 2 ln2 0x 3時，h 3 a 0,g 3 ln3 0即x 2,x 3符合要求1 . x 1g x - 1 ,所以x 0,1時，g x 0, g x單調遞減x xx 1, g x 0, g x單調遞增，g 11為極小值.Qh x g x有三個整數解，則還有一個整數解為x 1或者是x 4當解集包含x 1時，x 0時，h x 2a 0,g x所以需要滿足,解得 0 a 1 In 2;當解集包含4時，需要滿足2a ln4 4 2a 0a 0h 1g1a1即h 4g42aln442h 5g

10、53aln552a 0a 1整理得 a 1 In 2，而3 n 1,所以無解集，即該情況不成立33 ln 5a 3綜上所述，由.;得,a的范圍為0,1 ln2故選D項.利用導數研究函數圖像，兩個函數圖像的位置關系與解析式大小之間的關系，數形結合的數學思想，題目較綜合，考查內容比較多，屬于難題4. (2019山東高考模擬(理)已知函數f(x)和f(x 2)都是定義在V2019x 0,2時，f (x) 2x,則 f2-()A. 2B. 2T2C. 32D.2【答案】Bf(x 2)都是定義在R上的偶函數，可推導出周期為4,而f(4 252 1.5) f (1.5),即可計算.2)都是定義在R上的偶函

11、數，所以f( x 2) f(x 2),即R上的偶函數，當、2由f(x)和f 2019 2因為f (x20192f (x) f (4 x),又f(x)為偶函數，所以f (x) f( x) f (4 x),所以函數周期T 4，一,一2019-2019一所以 f2-f-2-f (4 252 1.5) f (1.5) 2>/2 ,故選 B.【點睛】本題主要考查了函數的奇偶性，周期性，利用周期求函數值，屬于中檔題 5. (2019四川高考模擬(理)在直角坐標系中，如果相異兩點 A a,b ,B a, b都在函數y=f(x)的圖象上，那么稱A, B為函數yf x的一對關于原點成中心對稱的點(A,B與

12、cosx, x 0,8, A為同一對).函數f x 2的圖象上關于原點成中心對稱的點有log7 x,x 0()A. 1對B. 3對C. 5對D. 7對【答案】C【解析】【分析】一cosx, x 0 函數f x2的圖象上關于原點成中心對稱的點的組數，就是log7X, x 0y cosx, x 0與y10g7x ,x 0圖象交點個數，利用數形結合可得結果2因為y 10g 7x,x 0關于原點對稱的函數解析式為y 10g7 x ,x 0 ,cos x,x 0所以函數f x2的圖象上關于原點成中心對稱的點的組數，10g7x,x 0就是y cosx,x 0與為y1og7 x ,x 0圖象交點個數，同一坐

13、標系內，畫出 y cosx,x 0與y 1og7 x ,x 0圖象，如圖, 2由圖象可知，兩個圖象的交點個數有5個，cos x, x 02 ,的圖象上關于原點成中心對稱的點有5組，故選C.10g7x,x 0【點睛】本題主要考查三角函數與對數函數的圖象與性質，以及數形結合思想、 轉化與劃歸思想的應用，屬于難題.數形結合是根據數量與圖形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的一種重要思想方法，.函數圖象是函數的一種表達形式，它形象地揭示了函數的性質，為研究函數的數量關系提供了形”的直觀性.歸納起來，圖象的應用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個數；2、求參數的取值范圍;3、求不等式

14、的解集；4、研究函數性質.6. （2019湖北黃岡中學高考模擬（理）定義在R上函數f x滿足f x f x ,且對任意的不相等的實數x1, X20,f X f x2有0成立，若關于x的不等式xi x2f 2mx Inx 3 2f 32mx Inx 3在x 1,3上恒成立，則實數 m的取值范圍是（）A.1 / ln6,1 一2e 6B.1 / ln3,1 一2e 6C.ln3D.ln6結合題意可知f x是偶函數，且在0,單調遞減，化簡題目所給式子，建立不等式，結合導函數與原函數的單調性關系 ，構造新函數h x ,g x，計算最值，即可.【詳解】結合題意可知f x為偶函數，且在0,單調遞減，故f

15、2mx lnx 3 2f 3 f 2mx lnx 3 可以轉換為f 2mx lnx 3 f 3 對應于 x 1,3 恒成立，即 2mx lnx 3 3即0 2mx lnx 6對x 1,3恒成立lnx 6 lnx即2m 且2m 對x 1,3恒成立xxlnx ,x，則g' xx1 lnx +在1,e上遞增，在e,3上遞減, x16所以1x -max 一e6 lnx,h' xx5 lnx2x0,在1,3上遞減所以hmin6 ln31 . ln3.故m ,1，故選B.32e 6本道題考查了函數的基本性質和導函數與原函數單調性關系，計算范圍，可以轉化為函數結合導函數，計算最值，即可得出答

16、案.7. (2019河北高考模擬(理)已知函數f(x) x23x 5,g(x)ax lnx,若對x (0, e),xhx2(0, e)且 Xix2，使得f(x)g(xi)(i1,2),則實數a的取值范圍是()1 6A- (-,-)e e67B. -,e4)e1 , C. -,e4)D.(x)min=g ( 1a實數a的取值范圍.當 x 0,eg' x 0,1 - 6 ：(0,-U-,e4)e e，一11,f (x)的值域為一，5) , g (x)=1+lna,作出函數 g (x)時，函數f x的值域為 ,54與題意不符，故a 0.令 g'在(0,.由g0,e)ax 1,推導出a

17、>0, g上的大致圖象，數形結合由求出ax 1 .可知：當a 0時,x1 .g x . g -1 lna ,mina作出函數10,e，所以 a在0,e上的大致圖象如圖所示,1觀察可知g elnaae7ae4a e .故選：B本題考查實數的取值范圍的求法，考查導數的性質、函數的單調性、最值等基礎知識,查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題.、解答題8. (2018江西高考模擬(理)已知函數f(x) (ax2 x a)e x (a R).一.5(1)右a 0,函數f (x)的極大值為一，求實數a的值；e(2)若對任意的a 0, f(x) bln(x 1),在x 0,)上恒成立，求實數b

18、的取值【答案】(1) a 2; (2) b 1【解析】試題分析：(1)先求導數，再根據導函數零點分類討論，根據導函數符號變化規律確定函數極大值，最后根據絕對值求實數a的值；(2)先求a 0 , f x最大值，再變量分xexe離得b ,最后根據導數研究函數y 最大值，即得實數 b的取值范ln(x 1)ln(x 1)圍.試題解析：(1)由題意，尸(制= (2公+1|尸一(官”+才+也|1，尸 t/1.=值/十1 - 2叮工十廿一1二一中-" (、工一卜事工+1一口 .當以二口 時，令，(K)>0 ,得天<1 ；K：卜；0 ,得五> 1 ,所以f x在 ,1單調遞增1,單

19、調遞減.15所以f x的極大值為f 1,不合題意.e e.當3> 0時，1一工,令f(tx >0,得”工 < 0 ,得X C1一1或X ,1 , a"a11單調遞減.所以f x在1 1單調遞增，,1 1 , 1,aa2a 15所以f x的極大值為f 1 一，得a 2.e e綜上所述a 2.令g(町=尸(1,近日-»9當工時，尸（犬+x之。,故 g a 于-,0 上遞增，ga g 0 xex,x0原問題 xe x bln x 1于x 0,上恒成立當上0 口 時，飛工 w 0,+oa 1 ,c 0 ,檢> Q ,此時而T >上島"+1）,

20、不合題意.當上） 口時，令內（幻=81口工+ 1-施-” ,工更。,+00 J ,一、h if f L 占/ + V _ 1rr則=-一百 一工序I =,其中（工十n 0 ,4為巨Q+oo）,All ,（匯+1）言令尸=&a W-1,K wd,+GD I ,則p x在區間0, 上單調遞增（丁） 之1時,N （工）之/=8-1至0 ,所以對¥工（=d,-HX）,由'（t）之0 ,從而奴工）在o,+ra I上單調遞增，所以對任意工。，田），方（工）之用（0 = 0, 即不等式石山（X+1）貴北一”在。,40 1上恒成立.（,） 0 ca cl 時，由尸（口）二心一10 ,

21、>0 及p（;l 在區間。,4<0）上單調遞增，所以存在唯一的 飛 （0,1）使得¥（兩）二0 ,且天巨（0,砧）時，口（工",二0.從而工匠（4扁）時，依'（工j<0 ,所以也（幻在區間上單調遞減，則其目（0,而）時，立4肛0） = 0,即AEfj+l *二尊,不符合題意.綜上所述，二21.【點睛】：對于求不等式成立時的參數范圍問題，在可能的情況下把參數分離出來，使不等式一端是含有參數的不等式，另一端是一個區間上具體的函數，這樣就把問題轉化為一端是函數，另一端是參數的不等式，便于問題的解決.但要注意分離參數法不是萬能的，如果分離參數后，得出的函數

22、解析式較為復雜，性質很難研究，就不要使用分離參數法1 2_9. （2019廣東局考模擬（理）已知函數f x a x 2lnx x 2x .2（1）討論f X的單調性;（2）若f x有兩個不同的零點，求 a的取值范圍.1【答案】（1）見解析（2） a 0ln 2 1【分析】（1）求出函數的定義域以及導函數，根據導數與函數單調性的關系，分類討論a 0,0 a 2, a 2, a 2,可求得f x的單調性2時，函數的單調區間，討論出零點（2）由（1）求得在 a 0, 0 a 2, a 2, a的個數，從而求得實數 a的取值范圍一 ,， 2解析：(1) f x a 1 -xx21x2axx 0 xa

23、0, a x 0, x (0,2) , f x0, f x單調遞增；x （2,),f x 0,f x單調遞減0 a 2, f x 0 乂2或*2,當*(0,2),£乂 0,fx 單調遞減;x a,2 , f x 0, f x單調遞增；x 2, f x 0, f x單調遞減1 一 2. a 2, f x - x 20, f x在0,單倜遞減xa 2, f x 0 乂2或*2,當乂 0,2 , f x 0, f x 單調遞減；x 2,a , f x 0, f x單調遞增；x a, , f x 0, f x單調遞減1 2_一(2)由(1)得當a 0時，f x -x 2x在定義域上只有一個零

24、點2a 0,由（1）可得，要彳f x有兩個零點，則f 20 f 2 a 2 2ln2 2 01In 2 1下證f x有兩個零點1x ea，f e a e21 aea2ea0,滿足 f eaf 20 ,故 f x0,2有且只有一個零點a 4 2ln40,滿足0,在2,有且只有一個零點2時,1)可得x12ln a a22 2a2aIn a0,故f x在0,2無零點,又因為2,單調遞減, f x在0,至多一個零點，不滿足條件當a 2時，x2 a 2 2ln 2x在0,a上無零點,又因為f x在a,單調遞減,f x 在 0,至多一個零點，不滿足條件,滿足條件a的取值范圍1In 2 1本題考查導數的綜合

25、應用,考查利用導數求函數單調性及最值，考查函數零點的判斷， 考查學生的計算能力，屬于難題10. (2019湖北高考模擬(理)已知函數f(x) ex(a lnx),其中 a R .(1)若曲線y f (x)在x 1處的切線與直線yx一垂直，求a的值;e(2)記f(x)的導函數為g(x).當a (0,ln 2)時,證明：g(x)存在極小值點 小，且f(x。)0.【答案】(1) 0； (2)見解析【解析】分析：第一問對函數求導，利用兩直線垂直，斜率所滿足的條件求得切線的斜率，即函數在對應點處的導數，從而求得a 0,第二問寫出函數 g(x)的解析式，對其求導，根據21ex 0,從而將研究g'(

26、x)的符號轉化為研究h x a - - lnx的符號，對其再求 x x導，從而確定出函數在給定區間上的變化趨勢，以及極小值點所滿足的條件，最后證得結果.詳解：(1)lnxex -lnx依題意，有1 e,解得0.所以lnx因為ex0,所以glnx同號.x2 2x 2所以對任意x0,0,0,因 a 0,ln2所以0,ln120,xO故存在x0所以g x在區間上單調遞減,在區間(.1)上單調遞增.xI2 2x0(V1)g x-0+g x-極小值上的情況如下:g x與g x在區間 ：1218-4C , C 1,使得x0是g x的極小值點.所以若a 0,ln2 ,存在x0一 ,1令 h xo0,得到 a

27、 Inxo1 2x0,M ,X0 1 2x0cJ，所以 f x°e a lnx°e 2- 0 .x°xo【點睛】：該題屬于導數的綜合應用問題，一是要明確兩直線垂直時斜率的關系，再結合導數的幾何意義求導對應的參數的值，第二問研究的是函數的極值問題，通過研究導在這里需要注意的數的符號確定函數的單調區間，從而確定函數在哪個點處取得極值,Xf x axe 1, x R .是對導函數的轉化問題，從而將函數解析式簡化 11. (2019山東省實驗中學高考模擬(理)已知函數(1)求函數f x的單調區間及極值；2(2)設 gx x t 2 In x m ，當a1時，存在 x1,

28、x20,使方程f xg x2成立，求實數 m的最小值.【答案】(1)單調遞增區間為x ( ,a 1),單調遞減區間為x (a 1,).函數f(x)1有極大值且為f(a 1) e 1, f(x)沒有極小值.(2)-e(1)通過求導，得到導函數零點為x a 1 ,從而可根據導函數正負得到單調區間，并可得到極大值為f a 1 ,無極小值；(2)由f x最大值為0且g x 0可將問題轉化為lnx m有解；通過假設 h x xlnx ,求出h x的最小值，即為 m的最小值. x【詳解】(1)由 f x a x ex 1 得：f x a 1 x exx令 f x 0,則 a1xe 0,解得 x a 1當

29、x ,a1 時，fx0當 xa 1, 時，fx0f x的單調遞增區間為 x ,a 1 ,單調遞減區間為 x a 1,a 1當x a 1時，函數f x有極大值f a 1 e 1, f x沒有極小值(2)當a 1時，由(1)知，函數f x在x a 1 0處有最大值f 0e0 1 0又因為g x方程f xix t, Inx2 ,2, m -x t Inx 0 tg X2有解，必然存在X20, ，使g X2m7等價于方程Inx m有解，即m xlnx在0, 上有解記 h x xlnx, x 0,1h x Inx 1,令 h x 0,得 x -e,八1當x 0,-時，h x 0, h x單倜遞減 e0,

30、 h x單調遞增1e1.當x -,時，h xe一， 1所以當x 一時，h x .mine ，1所以實數m的最小值為-e本題考查利用導數求解函數單調區間和極值、能成立問題的求解.解題關鍵是能夠將原題的能成立問題轉化為方程有解的問題，從而進一步轉化為函數最值問題的求解，對于學生轉化與化歸思想的應用要求較高1.12. ( 2019江西省都昌縣第一中學局考模擬(理)已知函數 f (x) x alnx.x(1)討論f(x)的單調性；f x1f x2(2)若f(x)存在兩個極值點 x1,x2,證明： a 2 .x x2【答案】(1)見解析；(2)見解析【解析】分析：(1)首先確定函數的定義域，之后對函數求

31、導，之后對 a進行分類討論，從而確定出導數在相應區間上的符號，從而求得函數對應的單調區間；(2)根據f x存在兩個極值點，結合第一問的結論，可以確定a 2,令f '(x) 0 ,得25到兩個極值點X1 , x2是方程x2ax 1 0的兩個不等的正實根，利用韋達定理將其轉換,構造新函數證得結果.詳解：（1） f x的定義域為 0,2x ax 10,當且僅當2, x 1 時0,所以f x在0,單調遞減.(ii)若a 2,令 f x0得，x a24 或 x0, a0 a Ja2 4時，fa 、a2 4 aa2 4時，f x 0 .所以f x在；a2 4a 、a2 4a - a2 4單調遞減，在 a-4遞增.（2）由（1）知,f x存在兩個極值點當且僅當a 2.由于f x的兩個極值點X, x2 滿足 x2 axx21 .由于f x1f x2a 1nxi 1nx22